12.3 复数的几何意义 同步练习-2023-2024学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

12.3 复数的几何意义——2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第二册 一、单选题 1．已知复数（i是虚数单位），则（　　） A．1 B．2 C． D．3 2．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数（为虚数单位），则（　　） A． B． C．1 D． 4．复数 在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．设 ，则 （　　） A． B．3 C． D．2 6．若复数z满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．5 D．6 7．i是虚数单位，若Z（1+i）=i，则|Z|=（　　） A．1 B． C． D． 二、多选题 8．在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．若复数z满足(其中是虚数单位)，复数z的共轭复数为，则（　　） A． B．复数z的实部是2 C．复数z的虚部是1 D．复数在复平面内对应的点位于第一象限 10．已知复数，为虚数单位，，则下列正确的为（　　） A．若z是实数，则 B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上 C． D．若，则 三、填空题 11．已知复数 （i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于第　 　象限. 12．已知复数 （ 为虚数单位），则 　 　. 13．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=　 　． 四、解答题 14．已知复数 为虚数单位）． （1）若 ，求 ； （2）若 在复平面内对应的点位于第一象限，求 的取值范围． 15．已知复数（），且是纯虚数. （1）求复数z及； （2）在复平面内，若复数（）对应点在第二象限，求实数m的取值范围. 16．已知复数 ，求复数 在复平面内对应的点，到点 的距离. 17．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）． （1）设复数，求； （2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 18．设f（z）是一个关于复数z的表达式，若f（x+yi）＝x1+y1i（其中x，y，x1，y1∈R，i为虚数单位），就称f将点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）．例如：将点（0，1）“f对应”到点（0，﹣1）． （1）若f（z）＝z+1（z∈C），点P1（1，1）“f对应”到点Q1，点P2“对应”到点Q2（1，1），求点Q1、P2的坐标． （2）设常数k，t∈R，若直线l：y＝kx+t，f（z）＝z2（z∈C），是否存在一个有序实数对（k，t），使得直线l上的任意一点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）后，点Q仍在直线l上？若存在，试求出所有的有序实数对（k，t）；若不存在，请说明理由． （3）设常数a，b∈R，集合D{z|z∈C且Rez＞0}和A＝{w|w∈C且|w|＜1}，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有f（z）∈A；②对于集合A中的任意一个元素w，都存在集合D中的元素z使得w＝f（z）．请写出满足条件的一个有序实数对（a，b），并论证此时的f（z）满足条件． 答案 1．【答案】C 【解析】因为复数， 所以 ， 故答案为：C. 【点评】根据复数的基本运算化简z，再根据复数模长的定义直接进行计算可得答案。 2．【答案】C 【解析】， 对应的点为，位于第三象限. 故答案为：C. 【点评】由复数代数形式的乘除运算化简z， 再根据复数与复平面内对应点之间的关系，求得复数对应点的坐标. 3．【答案】C 【解析】解：由题意可知： . 故答案为：C. 【点评】根据复数的模长公式直接运算求解. 4．【答案】B 【解析】因 ，故复数 对应的点在第二象限， 故答案为：B。 【点评】利用三角函数求值得出其对应的点位于第二象限。 5．【答案】A 【解析】因为 ， 所以 ， 所以 . 故答案为：A 【点评】先利用复数的运算得到复数z的代数式，再由复数求模的方法即可得结果. 6．【答案】C 【解析】设， 则表示复平面点到点的距离为3， 则的最大值为点到的距离加上3， 即。 故答案为：C. 【点评】设，再利用复数求模公式和复数的几何意义得出表示复平面点到点的距离为3，再利用几何法得出的最大值为点到的距离加上3，再结合勾股定理得出的最大值。 7．【答案】C 【解析】解：由Z（1+i）=i，得Z= ， ∴|Z|= ． 故选：C． 【点评】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得Z，代入模的公式求得答案． 8．【答案】C,D 【解析】因为复数在第二象限，所以 故答案为：CD. 【点评】利用已知条件结合虚数单位i的运算法则和复数的运算法则，得出复数 ，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点在第二象限，从而得出实数a的取值范围，进而求出实数a可能的值。 9．【答案】A,B,D 【解析】，， ∴，A符合题意；复数z的实部为2，B符合题意；复数z的虚部为－1，C不符合题意；复数在复平面内对应的点为(2，1)在第一象限，D符合题意． 故答案为：ABD． 【点评】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，再结合复数求模公式、复数的实部、虚部的定义，复数的几何意义，进而找出正确的选项。 10．【答案】B,C 【解析】A：由复数是实数可知，解之得.A判断错误； B：复数在复平面内对应点，其坐标满足方程，即点位于抛物线上. 判断正确； C：由，可得 .判断正确； D： 即 可得，解之得.D判断错误. 故答案为：BC 【点评】根据实数的定义判断A；根据对应点的坐标判断B；求出复数z的模判断C；根据对应关系求出a判断D. 11．【答案】四 【解析】 ，则 ，对应的点为（2，-1），位于第四象限. 故答案为：四. 【点评】化简得到 ， ，得到答案. 12．【答案】 【解析】 ， . 故答案为： . 【点评】首先由复数的运算性质整理化简再由复数模的公式代入数值计算出结果即可。 13．【答案】10 【解析】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|= =10． 故答案为：10． 【点评】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可． 14．【答案】（1）解： ， 若 ，则 ，得 ，此时 （2）解：若 在复平面内对应的点位于第一象限， 则 且 ， 得 ，即 ， 即 的取值范围是 ． 【解析】【点评】（1）利用复数的四则运算，先进行化简，结合若 ，即可求 ；（2）结合复数的几何意义，求出对应点的坐标，结合点与象限的关系即可求 的取值范围． 15．【答案】（1）解：∵（），且是纯虚数， ∴是纯虚数， 则，即. ∴， ； （2）解：， 由题意可得，解得. 【解析】【点评】(1)由纯复数的定义整理化简即可求出a的取值，从而得出复数z，结合复数模的定义即可得出答案。 (2)首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数的几何意义即可得出个月m的不等式组，求解出m的取值范围即可。 16．【答案】解：因为 ，复数 在复平面内对应的点为 ， 到点 的距离为 【解析】【点评】 根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义以及两点间的距离公式进行计算即可． 17．【答案】（1）解：∵，∴.∴. 又∵为纯虚数，∴，解得．∴. ，∴； （2）解：∵，∴， 又∵复数所对应的点在第一象限， ∴，解得：． 【解析】【点评】 （1）由已知列式求出m值，把m值代入 ，直接利用复数模的计算公式求解出 ； （2）把z代入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组，求解可得实数的取值范围． 18．【答案】（1）解：由P1（1，1）知z＝1+i，则f（z）＝z+1＝2+i，故Q1（2，1）， 设P2（x，y），则f（z）＝z+1＝（x+1）+yi， 由Q2（1，1）知x+1＝1，y＝1，则x＝0，y＝1，即P2（0，1）； （2）解：直线l上的任意一点P（x，y）“对应”到点Q（x1，y1）， 所以z＝x+yi，f（z）＝z2＝（x2﹣y2）+2xyi，且y＝kx+t， 所以x2﹣y2＝x1，2xy＝y1，即Q（x2﹣y2，2xy）， 由题意，点Q（x1，y1）仍在直线l上， 则2xy＝k（x2﹣y2）+t，又y＝kx+t， 则2x（kx+t）＝k[x2﹣（kx+t）2]+t， 展开整理得（k3+k）x2+（2t+2k2t）x+kt2﹣t＝0， 则，解得k＝t＝0， 所以，所求的有序实数对（k，t）为（0，0）； （3）解：满足条件的一个有序实数对为（﹣1，1）， 即a＝﹣1，b＝1，f（z）＝，证明如下： 证明：设z＝x+yi，x，y∈R且x＞0， 则f（z）＝， ， 因为（﹣x+1）2+y2﹣[（x+1）2+y2]＝﹣4x＜0， 所以（﹣x+1）2+y2＜（x+1）2+y2， ， 即f（z）∈A，满足条件①； 设ω＝m+ni，m，n∈R，且|ω|＜1，即，得m2+n2＜1， 由ω＝f（z）得， 则 ， 则，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为（﹣1，1）． 【解析】【点评】 （1）类比函数知识理解题中的新定义，代入列式求解即可； （2）由题意可得，得出关于的方程组，求解即可； （3）找到满足条件的一个有序实数对为，结合复数模的求法及复数的运算证明即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$