11.3 余弦定理、正弦定理的应用同步练习-2023-2024学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

11.3 余弦定理、正弦定理的应用——2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第二册 一、单选题 1．苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，（为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米.在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（　　） A．30米 B．33米 C．36米 D．44米 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（　　） A． B． C． D． 3．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3 km，5 km，灯塔A在观察站C的北偏东 方向上，灯塔B在观察站C的南偏东 方向上，则灯塔A与B的距离为（　　） A．6 km B． C．7 km D． 4．在△ABC中，a＝2 ，b＝2 ，∠B＝45°，则∠A为（　　） A．30°或150° B．60° C．60°或120° D．30° 5．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶 在西偏北 （即 ）的方向上，行驶 后到达B处，测得此山顶在北偏东 （即 ）的方向上，仰角 ，则此山的高度 （　　） A． B． C． D． 6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最后一排的距离为 （如图所示），则旗杆的高度为（　　） A． B． C． D． 7．东寺塔与西寺塔为昆明市城中古景，两塔一西一东，已有1100多年历史.东寺塔基座为正方形，塔身有13级.如图，在A点测得塔底在北偏东的点D处，塔顶C的仰角为.在A的正东方向且距D点的B点测得塔底在北偏西，则塔的高度CD约为（　　） （参考数据：） A． B． C． D． 8．若△ABC的边角满足 ，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 二、多选题 9．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 (A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得 .测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有： ，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔 的高度的是（　　） A． B． C． D． 10． 内角 对边分别是 ，已知 ，则 可以是（　　） A．45° B．60° C．120° D．135° 11．已知中角，的对边分别为，，则可作为“”的充要条件的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．一艘船自西向东匀速航行，上午9时到达一座灯塔的南偏西75°距灯塔32海里的M处，下午1时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为　 　海里/时． 13．一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东 ，港口A的东偏南 处，那么B，C两点的距离是　 　海里． 14．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为　 　小时，角的正弦值为　 　． 四、解答题 15．三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为 、b、c， （1）求角B的大小 （2）若角A为75º，b=2，求 与c的值. 16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若，求的周长的最大值． 17． 在中，角所对的边分别为，已知，角的平分线交边于点，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 18．在 中， ， . （1）若 ，求 的值； （2）若 的面积为 ，求c的值. 19．位于某港口的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口北偏东且与该港口相距海里的处，并正以海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与海轮相遇. （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？ （2）若经过小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？ （3）假设小艇的最高航行速度只能达到海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间. 答案 1．【答案】B 2．【答案】B 【解析】在中，因为， 由正弦定理 ，可得 ， 因为 ，即 ，所以 ， 所以 ， 则 . 故答案为：B. 【点评】由正弦定理和题设条件求得 ，得到 ，进而求得，再结合两角和的余弦公式，即可求解. 3．【答案】C 【解析】由题意作出示意图如下： 由题意可得 ， 由余弦定理可知： ，所以 ． 故答案为：C. 【点评】根据题意作出示意图，然后利用余弦定理可求解 的长度即为灯塔A与B的距离. 4．【答案】C 【解析】解：∵a＝2 ，b＝2 ，∠B＝45°， ∴根据正弦定理 得： sinA= = ， 又a＞b，∴A＞B， ∴45°＜A＜180°， 则A为60°或120°． 故答案为：C． 【点评】先利用正弦定理求出sinA，再已知a＞b即可确定角A的大小. 5．【答案】C 【解析】易得 . 由正弦定理得 . 故 . 故答案为：C 【点评】根据正弦定理先求得 ，再求出 即可. 6．【答案】B 【解析】如图，在△ 中， ， ，所以 ． 根据正弦定理得， ， ， 在Rt△ 中， ． 故答案为B. 【点评】结合题干的条件，找到三角形，由正弦定理求解. 7．【答案】C 【解析】解：如图： 已知，，，BD=50， 在中， 由正弦定理可得， 在中， 故答案为：C 【点评】利用正弦定理先求出，再利用正切函数的定义求出CD即可. 8．【答案】D 【解析】解答：利用正弦定理化为角的关系可得 ， 所以 ， 即 ， 即 ， 所以 ，结合角的范围知 或 ，即 或 ，即 或 ，可知△ABC为等腰或直角三角形. 分析：利用正弦定理化为角的关系，把角化边，由代入已知式子可得． 9．【答案】A,C,D 【解析】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. A. 在 中，已知 ，可以解这个三角形得到 ，再利用 、 解直角 得到 的值； B. 在 中，已知 无法解出此三角形，在 中，已知 无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔 的高度； C. 在 中，已知 ，可以解 得到 ，再利用 、 解直角 得到 的值； D. 如图，过点 作 ，连接 . 由于 ， 所以 ，所以可以求出 的大小， 在 中，已知 可以求出 再利用 、 解直角 得到 的值. 故答案为：ACD 【点评】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.基于这一原则，结合选项中的条件，通过推理，正确选项是ACD。 10．【答案】A,D 【解析】解：由正弦定理，得 因为a<b， 所以A<B ，且0°<B<180°， 所以B=45°或B=135°， 故选：AD 【点评】由正弦定理求得sinB，再结合大边对大角即可求解. 11．【答案】A,B 【解析】解：在中，， 当时，根据正弦定理可知， 当时根据正弦定理可知， 所以是的充要条件， 所以A选项正确， 根据余弦函数在上单调递减， 当时，所以，所以， 当时，所以，所以， 所以是的充要条件， 所以B选项正确， 当时，所以， 取特殊值，， 所以，， 所以， 所以C、D选项错误， 故答案为：AB. 【点评】首先根据题意，可知，结合正弦定理的性质和余弦函数的单调性，可知AB选项正确，再通过对，取特殊值法，验证CD选项错误. 12．【答案】 【解析】设灯塔为 ,由题意可知 , , ,∴ . 由正弦定理,得 ,即 , 解得 .∵船由M行驶到N的时间为4小时, ∴船的速度为 （海里/时）. 故答案为： 【点评】设灯塔为 ,根据所给信息构造 ,再分析边角关系利用正弦定理求解即可. 13．【答案】 【解析】由已知可得 ，从而得 ，由正弦定理可得 ，故答案为 . 【点评】首先根据题意画出基本图像得出，从而得知，根据正弦定理得出BC的值。 14．【答案】2； 【解析】解：首先根据题意作图，如下： 根据题意可知，海里，， 设分钟后拦截， 因为， 所以， 所以， 所以红方侦察艇所需的2小时才能拦截， 所以海里，海里， 所以 故答案为：；. 【点评】首先根据题意作图，再根据题目所给线段长度，结合余弦定理，求得红方侦察艇所需最短拦截时间，再次利用余弦定理，求出的余弦值. 15．【答案】（1）解：由正弦定理可知：整理为，由余弦定理可得，因为 故 B=45°。 （2）解： 故 【解析】【点评】（1）由正弦定理整理已知的代数式得到，再利用余弦定理即可得出结果。(2)首先求出C的大小，然后利用正弦定理求出a和c 的值即可。 16．【答案】（1）解：因为，所以， 所以，所以，且， 所以，所以； （2）解：因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，取等号时， 所以的周长的最大值为. 【解析】【点评】(1)根据正弦定理，结合和角的正弦公式求解即可； (2)根据余弦定理，结合基本不等式求解即可. 17．【答案】（1）解：因为， 由正弦定理可得 ，所以，故，. （2）解：由题意可知， 即，化简可得， 在中，由余弦定理得， 从而，解得或（舍）， 所以. 【解析】【点评】（1）利用正弦定理边化角得到，计算可得结果； （2）由三角形面积公式结合余弦定理，即可求得，由三角形的面积公式可得结果. 18．【答案】（1）解：在 中，因为 ， 即 所以 . （2）解：因为 . 所以 ，解得 . 又因为 . 所以 ,所以 . 【解析】【点评】（1）利用正弦定理即可解出；（2）根据面积公式计算b，再利用余弦定理解出c． 19．【答案】（1）解： 如图所示， ，，， 时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为海里， 海轮航行的距离为海里，故航行时间为小时， 所以小艇的航行速度海里/时； （2）解：如图所示， 设小艇与海轮在点处相遇， 经过小时后海轮航行的里程为海里， 即， 则在中，由余弦定理得， 所以小艇航行的里程海里， 故小艇的航速海里/时； （3）解：如图所示， 因为，且小艇的最高航速为海里/时， ，，故小艇与海轮不可能于，及之间的任意位置相遇， 设在点相遇，， 则，， ， 整理得， 从而，所以， ， 故时，即，相遇时间最短，为小时， 综上当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇. 【解析】【点评】（1）利用已知条件结合余弦函数的定义和速度等于路程除以时间的求解公式，进而得出小艇的航行速度。 （2）设小艇与海轮在点处相遇，经过小时后海轮航行的里程为海里，即，在中，由余弦定理得出AD的长，进而得出小艇航行的里程，再结合速度等于路程除以时间得出小艇的航速。 （3）利用，且小艇的最高航速为海里/时，进而结合比较法得出小艇与海轮不可能于，及之间的任意位置相遇，设在点相遇，，再结合三角函数的定义和辅助角公式正弦型函数的图象求最值的方法得出，再利用正弦型函数的图象求值域的方法得出角的取值范围，进而得出当时结合角之间的关系式以及两角差的余弦公式，进而得出相遇的最短时间，从而得出当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇。 学科网（北京）股份有限公司 $$