2024年第五届“清辉杯”初中生线上数学友谊赛试题卷

第 1 页 共 6 页 第五届“清辉杯”初中生线上数学友谊赛试题卷 2024.08.04 （完成时间：36小时 总分：300 分） 关于“清辉杯”的一些解释： 初中数学难题探索群聊从成立之初至今，一直在努力搭建难题互享、知识互通的平台，旨在强化解证初 中数学难题的能力，提升初中学生数学水平。“清辉杯”由此产生，这算是一次勇敢的尝试。但十分可惜， 由于各命题者能力有限，无法在短时间内融合出一套能够媲美中考数学的试卷，所以与“清辉杯”有关的试 卷就无法体现参赛者中考数学水平。 因此，我们希望你能够基于不耽误自身学业的基础上，适当选做，量力而行。 最后，如若此试卷的题目及成绩对你当下数学学习带来困扰，那么请允许我们致以最诚挚的歉意。 注意事项： 1. 本卷由三部分试题组成； 2. 考试由 2024 年 8 月 4 日星期日上午 9时整开始，8月 5日星期一晚 21 时整结束，持 续 36 小时（共 2160 分钟）.参赛者可自由安排答题时间，无需挤压日常休息时间，如午 饭、午觉等； 3. 考试期间，本群全员禁言，参赛者不可以任何方式与他人交流，也不可使用计算机、计算器 等工具辅助答题，如有发现立即取消考试资格，并视情况给予一定惩罚（如群内禁言、移 除群聊等）； 4. 答题时，参赛者务必按照题号依次在空白草稿纸上作答，注意书写规范和卷面整洁； 5. 除填空题外，其余各题如无特别说明，都必须在相应位置上写出证明或计算的主要步骤，只 给出最终答案不得分； 6. 考试结束时，参赛者应立即停止答题，并第一时间完整、清晰地拍摄答题纸，通过邮件或私 聊发送给群主@Too Far.收卷截止时间是 2024 年 8 月 5 日星期一晚 21 时 10 分，逾期 交卷或未交卷自动视为放弃考试资格.此段时间内如有发现与其他群成员交流的，同样视 为舞弊行为，立即取消考试成绩； 7. 本份试卷为本群专属，请勿外传，谢谢配合； 8. 预祝各位参赛者答题顺利、取得佳绩！ 第 2 页 共 6 页 一、填空题（第 1、2题 5分，第 3、4 题 10 分，共 30 分） 1. baba 3221  ，求，设 ：__________. 2.解方程： 311  xx ， x __________. 3.已知 的复根是多项式 z zzzzPz !2024)2024()2)(1()(0   ，则 10z 的最大值为: __________. 4.已知   1  kpnkpnkpnkpn kpn . （1）若 kpn 、、 为连续的自然数时，请写出一组 kpn 、、 的值使题干成立：_______ ___. （2）若 kpn 、、 为两两不连续的自然数，请写出三组 kpn 、、 的值使题干成立：①_ _________，②__________，③__________. 第 3 页 共 6 页 二、解答题（第 5 题 10 分，第 6-9 题 15 分，第 10-12 题 20 分，第 13-15 题 25 分，第 16 题 30 分，共 235 分） 5.锐角△ CB cb cbAcbaCBAABC coscosminsin. 22         ，求，令、、所在边为、、，角 的最大值. 6.已知 0zyx 、、 ，且 3 zyx .证明：       4 3 1 1 1 1 1 1 222      zxyzxy . 7.  90)ln,(),( 221 1 AOBxxBexAO x ，满足，为坐标原点，设 .证明： 1AB . 8.如图，在矩形 ABCD中放入五个正方形和一个等腰直角三角形,交矩形的边于点 GFE 、、 H和 ,已知矩形长 22，宽 20. （1）求阴影部分面积； （2）证明: 至少有一个成立和 BCHFABEG  . 第 6 题 9.设△ 为平面内一点，满足、、所对边为、、角 QabbccbaCBAABC .22  . （1） 的取值范围求 c b ； （2） CQ BQAPQQPBPBBCP 恒成立，求，使得的三等分点，若靠为记  301 的最 大值. 第 4 页 共 6 页 10.证明：  Nn ， nzyx  22 有无穷多项正整数解  zyx ，， . 11.如图，不等边△ 为内心，内切圆中，IABC ⨀ QPBCABI 、分别交于切点，与 .连接 ，交AI ⨀ I 于点M ，过 做点M ⨀ I 切线分别与 在点、交于点、 NDEACAB . 边 ，上，且 AIINAB  直线 QPCE、 交于点 CDEBKNMFAF 和、、证明：交于点和， . 四点共圆的充要条件是 AEDKE 平分 . 第 9 题 12. 分别为其顶点，、的焦点，、为、，外切于点、如图，抛物线 QPCCFFRCC 212121 并且 SQFPF 和公切线交于点、 21 . （1） 21 FQPF 、、、证明： 四点共圆； （2）记 ）为（11O 中圆的圆心， 的值外心，求为△ 21 212 OO RSFSFO . 第 5 页 共 6 页 第 10 题 13.已知                1 2 14 2 14 2 140 2 222 2 222 2 222           acc cac bcb cbb aba baacba ，证明：，， . 14.      两次可得到恒同映射应用为偶函数，且任意 xfxxxf  2 1 ，对函数  xf 图像 上每一 ltxy 线为点，设两个切点所在直切线均得到两个不同切点做抛物线  2 .证明： 存在  xf ，使得直线族 l的包络线解析式为  xf . 15. Ncba ，，设 ，且    acbcab  111 为完全平方数.证明：     acbcab  111 ，， 都是完全平方数. 16. naaannmNnm ，，，个正整数，有任意，给定   212 . 1bn个正奇数证明：存在 ，  2,1 1 2    jjii n k kn babanjimbbb ，有，且对，满足，， . 第 6 页 共 6 页 三、加试题（第 17 题 35 分，共 35 分） 17.在△ ABC及其外接圆C中， 尔为密克尔点，三个密克内任意一点，以为 iABCi 圆 交三边分别为 相切的圆并与，，，分别作过、、 CFGEGEFGFE .设过EF的两圆与 21 OOC 、切点为 ，类似有 2121212121 . QQPPOOQQPP 和、证明：、，、 三线共点.