精品解析：陕西省商洛市2024届高三第五次模拟预测理科数学试题

商洛市2024届高三第五次模拟检测 数学试卷（理科） 考生注意： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 3.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 第I卷 一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由并集的概念即可求解. 【详解】由，得. 故选：A. 2. 已知复数满足，则的实部与虚部之和为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法运算、虚部以及实部的概念即可求解. 【详解】因为，所以，所以的实部与虚部之和为9. 故选：D. 3. 已知，，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，由数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，因为，所以， 所以． 故选：C. 4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程化成标准形式，根据焦点位置，列出不等式组，解之即得. 【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得． 故选：B. 5. 设满足约束条件则的最大值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先画出平面区域，利用z的几何意义求最大值. 【详解】由题意x，y满足平面区域如图： 联立，解得， 所以当直线经过时，z取到最大值为. 故选：D 6. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ） A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据所涉及的程序列式求解即可. 【详解】由程序框图可得， 输出的. 故选：C. 7. 如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体展开图得到直观图，即可判断. 【详解】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线是异面直线的是， 其中，所以与共面、与共面、与共面． 故选：C 8. 若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换、函数平移变换法则得的表达式，利用整体代入法即可求解. 【详解】， 由题意得. 令，得， 所以图象的对称中心的坐标是. 故选：C. 9. 设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件结合方差公式直接求解即可. 【详解】由题意得， 所以数据的方差 . 故选：B 10. 已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，若A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，则（ ） A. 14 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】将代入，得，将代入，得，利用梯形的面积公式得，再利用抛物线的定义即可求解. 【详解】将代入，得，将代入，得， 所以，因为A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18， 所以，解得， 故由抛物线定义知. 故选：A 11. 已知正四棱锥外接球的半径为3，内切球的半径为1，则该正四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正四棱锥底边长为2a，高为，外接球半径，内切球半径，设，分别为AD和BC的中点，由题意得的内切圆半径即为内切球半径，的外接圆半径即为正四棱锥的外接球半径，利用勾股定理求解即可. 【详解】设正四棱锥的底边长为2a，高为，外接球半径，内切球半径． 设M，N分别为AD和BC的中点，则的内切圆半径即为内切球半径． 设，则，． 由，得，即． 另外的外接圆半径即为正四棱锥的外接球半径，所以在中， 有，即，即， 所以，解得． 故选：D 12. 已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论： ①； ②的图象关于直线对称； ③是周期函数； ④. 其中结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给等式，结合赋值法推导出函数的对称轴及周期，再逐项分析即可. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以是周期为4的周期函数，则③正确. 令，得， 则，从而，故①错误； 因为， 所以， 所以， 所以的图象关于直线对称，则②正确； 易得的周期为4，且其图象关于直线及对称， 则直线及均为图象的对称轴， 从而. 令，得， 即， 则， 故 ，故④正确. 故选：. 第II卷 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式的被开方数非负和对数的真数大于零，列不等式组，可求得答案 【详解】由题意得，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 14. 在中，所对的边分别为.若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】应用余弦定理计算求参即可. 【详解】由余弦定理得，代入数据得，解得. 故答案为：2. 15. 3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为__________. 【答案】360 【解析】 【分析】由捆绑法、插空法即可求解. 【详解】当恰好2名女生相邻时，有种排法， 当3名女生都不相邻时，有种排法， 则共有种排法. 故答案为：360. 16. 若函数的最小值为0，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先把恒成立不等式同构再结合函数的单调性得出恒成立，再由导数求出最小值即可. 【详解】由题意可知恒成立， 所以恒成立. 令，则是增函数，且， 所以，即恒成立且等号能成立. 令，则. 当时，，单调递减； 当时，单调递增. 所以的最小值为，所以. 故答案为：. 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． （1）求图中a的值； （2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； （3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 【答案】（1） （2）79.3 （3）7次 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解. （2）先确认频率分布直方图中频率为0.5的位置，再结合中位数定义求解即可. （3）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解. 【小问1详解】 因为各组频率之和为1，组距为10， 所以， 解得. 【小问2详解】 因为， 所以中位数位于第三组中， 设中位数为x，则， 解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3. 【小问3详解】 由题红灯等待时间低于85秒的频率为， 故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次. 18. 已知数列的各项均为正数，其前项和为是等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，由等比数列的性质和与的关系，解方程可得首项和公比，即可求解； （2）先求出，再由对数的运算性质求得，根据数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 由是等比数列，设公比为，则由得，所以， 所以，所以，故由得， 所以，所以，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，当时，. 当时，.经检验不适合， 所以，所以， 则数列的前项和， ， 两式相减可得， 所以. 19. 如图1，在平面四边形中，，，垂足为，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示. （1）设平面与平面的交线为，证明：. （2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由题意可知. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，所以平面，则. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，即可得证； （2）由面面垂直的性质得到平面，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出的值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图1可知. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以，则两两互相垂直， 故以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系： 设，则， 所以. 设，则，从而， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 易知平面的一个法向量为， 设二面角为， 则， 即，整理得，解得或（舍去）. 故当时，二面角的余弦值为. 20. 已知双曲线的焦距为，且的离心率为.记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点. （1）求的方程； （2）证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件. 【答案】（1） （2） 当轴时，不妨假设在第一象限， 由，解得， 则， 则，必要性得证； 由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，， 联立，得， 由且，得且， . ， 整理得，则当或（满足且）时， 均有的面积为，所以充分性不成立. 故“的面积为”是“轴”的必要不充分条件. 【解析】 【分析】（1）由焦距为，可得，离心率为，可得，进而，则可得的方程； （2）当轴时，求出坐标，则可求出的面积，即可证明必要性；设直线的方程为，，联立直线与双曲线方程，消元，得韦达定理，由，求出，即可证明. 【小问1详解】 设的焦距为，则，得， 因为，所以， 所以，故的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：轴，即可得交点坐标，由面积公式求出面积；通过直曲联立消元，利用韦达定理，是解决直线与圆锥曲线一类问题的通用方法，本题即可求出直线的斜率，问题的证. 21. 已知函数为的导函数. （1）若是的极大值点，求的取值范围； （2）已知，若存在，使得成立，证明：. 【答案】（1） （2）不妨设，因为， 所以， 即，所以， 由，得， 则， 即， 所以. 设，构造函数， 则， 所以在上为增函数，所以， 即，又，所以. 【解析】 【分析】（1）先由极值的必要条件得的关系，然后对分类讨论检验充分性是否成立即可求解； （2）不妨设，由题意将条件等式转换为，化简得，故只需构造函数，并证明对成立即可. 【小问1详解】 . 因为是的极大值点，所以，即， 所以. 当时，，此时是的极大值点，符合题意， 当时，令，可得或， 因为是的极大值点，所以，解得. 综上，的取值范围为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得到：只需构造函数，并证明对成立即可顺利得证. （二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22. 在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程； （2）若射线与曲线交于点（异于极点），与曲线交于点，且，求. 【答案】（1）曲线的极坐标方程为：，曲线的极坐标方程为： （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）依题意将射线依次代入曲线，的极坐标方程可求出，，代入求解即可. 【小问1详解】 因为曲线：即， 所以由得曲线的极坐标方程为：， 曲线的方程为， 所以由得曲线的极坐标方程为：， 整理得. 【小问2详解】 射线与曲线交于点A，故，故， 射线与曲线交于点，故，故， 由于，故，整理得， 因为，所以，所以. [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值解不等式即可； （2）先应用绝对值三角不等式得出函数的最小值，再应用最值转化恒成立问题最后解出参数范围. 【小问1详解】 当时，，得，即； 当时，恒成立； 当时，，得，即. 综上所述，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，当时取等号，所以的最小值为5. 由不等式恒成立可得， 解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商洛市2024届高三第五次模拟检测 数学试卷（理科） 考生注意： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 3.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 第I卷 一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的实部与虚部之和为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 3. 已知，，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设满足约束条件则的最大值是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 6. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ） A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 7. 如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（ ） A. B. C. D. 8. 若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，若A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，则（ ） A. 14 B. 12 C. 16 D. 18 11. 已知正四棱锥外接球的半径为3，内切球的半径为1，则该正四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 12. 已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论： ①； ②的图象关于直线对称； ③是周期函数； ④. 其中结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 函数的定义域为______． 14. 在中，所对的边分别为.若，则__________. 15. 3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为__________. 16. 若函数的最小值为0，则__________. 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． （1）求图中a的值； （2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； （3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 18. 已知数列的各项均为正数，其前项和为是等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 如图1，在平面四边形中，，，垂足为，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示. （1）设平面与平面的交线为，证明：. （2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知双曲线的焦距为，且的离心率为.记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点. （1）求的方程； （2）证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件. 21. 已知函数为的导函数. （1）若是的极大值点，求的取值范围； （2）已知，若存在，使得成立，证明：. （二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22. 在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程； （2）若射线与曲线交于点（异于极点），与曲线交于点，且，求. [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $