求二面角基础方法专题讲义(定义法、三垂线法和投影面积法)-2025届高三数学一轮复习

二面角专题-基础方法(定义法三垂线法和投影面积法) 二面角的定义： 1、定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做 二面角的面. 2、二面角的表示方法 二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 注意：二面角的平面角必须满足： 1)角的顶点在棱上(与顶点位置无关) 2)角的两边分别在两个面内 3)角的两边都要垂直于二面角的棱 二面角的平面角的范围：0°~180° 求二面角的方法一:定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 注意: (1)范围：0⁰≤a≤180° (2)直二面角：平面角是直角的二面角。 作二面角步骤 第一步：在交线l上取一点O 第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA 第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB ∠AOB即为二面角，余弦定理求角 1.在长方体中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2.如图，若平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，则二面角的大小为______. 3.如图，在正方体中， 求二面角的大小. 针对性训练(定义法) 1.已知P为正方形ABCD所在平面外 一 点，PA⊥平面ABCD, P A = A B = a , 求 ： (1)二面角P-AB-D的大小； (2)二面角P-BC-A的大小： (3)二面角B-PA-D的大小： (4)二面角A-PB-C的大小； (5)二面角P-BD-A的大小； (6) 二面角B-PC-D的大小： 2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1 (1)求二面角A1-BD-A的大小： (2)若E为CC1的中点，求二面角E-BD-A的大小。 3.空间三条射线CA、CP、CB,∠PCA=∠PCB=60°,∠ACB=90°, 求二面角B-PC-A 的大小. 4.在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°求二面角A-PB-C 的余弦值. 5.如图，已知二面角α-a-β等于120°,PA⊥a,A∈a,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小. 6.在四 棱 锥 P-ABCD中 ，ABCD是正方形 ，PA⊥平面 ABCD,PA=AB=a, 求二面角B-PC-D 的大小. 7.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2,VC=√3, 求二面角V-AB-C的大小。 8.二面角a-l-β的大小为60°,A,B 分别在两个面内且A和B到棱的距离分别为2和4,且AB =10,求AB 与棱1所成角的正弦值. 9.如图1,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 矩形，PA1 平面ABCD,点E 在线段PC 上，且PC⊥平面 BDE,PA=1,AD=2,求二面角A-PC-B 的正切值. 10.如图2,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点，求二面角E-AC-B 的大小. 11.如图3,在四棱锥S-ABCD中，已知SA⊥平面ABCD. ∠BAD=∠ADC=90°.SA=AID=CD=2.AB=1. 求平面SBC与平面SAD所成锐二面角的余弦值. 12.如图(1),六边形ABCDEF 是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD 拼接而成，且∠BAD=∠ADC=90,AB=AF=EF=ED=2,AD =CD=4, 沿AD进行翻折，得到的图形如图(2)所示，且∠AEC=90. 图(1) 图(2) (1)求证：CD⊥平面ADEF. (2)求二面角C-AE-D的余弦值； 13.如 图在圆锥P O 中,已知 PO = √2 ,圆0 的直 径 AB = 2, 点C 在AB上，且 ∠CAB=30°, 点 D为 AC的中点. (1)证明：AC⊥平面POD (2)求二面角P-AC-O 的正弦值. 14..如图，四边形 ABCD 是正方形，PA⊥ 平面ABCD, 且PA=AB=2. 求： (1)求二面角B-PA-C大小 (2)求二面角A-PD-C大小 (3)求二面角B-PD-A大小 15. 如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形， ∠BAC =90°,0为BC中点. ( I ) 证 明： SO⊥平 面ABC; ( Ⅱ ) 求 二 面 角A-SC-B 的余弦值 . 三 垂 线 法 求 二 面 角 一 垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 已知：如图，PB是平面α的斜线，PA是平面α的垂线，a⊂α,a⊥AB. 求 证 ： a ⊥P B 证明： ∵PA是平面α的垂线，直线ac平面α ∴直线a⊥P A 又∵直线a⊥AB, AB∩PA=A ∴直线a⊥平面PAB,而PB⊂面PA B ∴a⊥PB 总结：定理论述了三个垂直关系 ①垂线PA和平面α垂直； ②射影AB和直线a垂直； ③斜线PB和直线a垂直 运用三垂线法求二面角的一般步骠： 第一步：在交线l上取一点O 第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA 第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB ∠AOB即为二面角，余弦定理求角 二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小 使用情况：已知其中某个平面的垂线段 第二步：过垂直B作l的垂线OB ∠AOB即为二面角 且△AOB为直角三角形，邻比斜 三、作2次交线的垂线 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l 连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角 四、转换成线面角 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长) 连接AB，∠AOB即为二面角 △AOB为直角三角形，邻比斜 五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理 提问：什么时候用？ 若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC 则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角 补充：三垂线定理逆定理 (1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 1 学科网（北京）股份有限公司 1.如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°,SA=AB,SB=BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB (2)求二面角A-SC-B正弦值. 2.如 图，平面β内一条直线AC , AC与平面a所成的角为30°,AC 与 棱BD 所成的角为45°,求二面角α-BD-β的大小. 3.如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2求： (1)求二面角B-PA-C的大小 (2)求二面角A-PD-C的大小 (3)求二面角B-PD-A的大小的正弦值 4.如图，AB是圆O的直径，点C 是圆O上异于A,B 的点，直线PC⊥平面ABC. (1)证明：平面PBC⊥平面 PAC; (2)设AB=PC=2,AC=1, 求二面角B-PA-C 的余弦值. 5.如图，四棱锥P-ABCD中 ，PA⊥ 底面 ABCD, 底面ABCD为菱形，且 有AB=1,PA=√2,∠ABC=60°,E 为PC中点. (1)证明：AC⊥ 面BED; (2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值. 6.如图，在四棱锥P-ABCD中 ，PA⊥ 平面ABCD,四边形ABCD为菱形， ∠ADC=60°,PA=AD=4,E为AD的中点. (1)求证：平面PCE⊥平面PAD: (2)求二面角A-PD-C的平面角的正弦值. 7.如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与 侧 面SAC均为等边三角形， ∠BAC=90°,0为BC中点. ( I )证 明：SO⊥平 面ABC; ( Ⅱ ) 求 二 面 角A-SC-B的余弦值 . 8.如右图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD,BC⊥CD且BC=CD=1,AD= √3, ①求二面角C-AB-D的大小；②求二面角B-CD-A的大小； 9.如 图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形(尺寸如图所示),E为 VB的中点.求二面角A-VB-D的余弦值 10.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1 求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值. 11.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, 点E在线段PC 上，PC⊥平面BDE. ( 1 ) 证 明 ：BD⊥平面PAC; (2) 若PA=1,AD=2, 求二面角B-PC-A的正切值： 三 射影面积法 二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积,可利用射影面积公式cosθ=,求出二面角的大小.射影面就是指一个平面在另一个平面上的投影；原面就是指第一个平面，角α为射影面与原面所成的二面角的平面角。 1.在四棱锥P-ABCD中 ，ABCD为正方形，PA⊥ 平面ABCD,PA=AB=a, 求平面 PBA 与平面 PDC所成二面角的大小. 2.如图，在三棱柱ABC-A1B1 C1中，CC⊥平面ABC , D , E , F 分别为AA1 AC ,A1C1 的中点，AB=BC=√5,AC=AA1=2. (1)求证：AC⊥平面 BEF; (2)求二面角B-CD-C1的余弦值. 3.已知△ABC 是正三角形，PA⊥平面且PA=AB=a, 求二面角A-PC-B的大小. 4.如图，在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中 AD//BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABC,SA=AB=BC=1, .求面SCD与面SAB所成的角的大小。 5.如图，在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC. (I)求证：PC⊥AB: (Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小： 6.如图 ,E 为正方体 ABCD一A₁B₁C₁D₁的棱CC₁ 的中点，求平面AB₁E 和底面A₁B₁C₁D1所成锐角的余弦值. 7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形 ，PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2√2,E,F分别是AD,PC的中点.证明：PC⊥平面BEF; 求平面BE与平面BAP夹角的大小 8.已知△ABC 是正三角形，PA⊥平 面ABC 且PA=AB=a, 求二面角A-PC-B 的大小。 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二面角专题-基础方法(定义法三垂线法和投影面积法解析版) 二面角的定义： 1、定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做 二面角的面. 2、二面角的表示方法 二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 注意：二面角的平面角必须满足： 1)角的顶点在棱上(与顶点位置无关) 2)角的两边分别在两个面内 3)角的两边都要垂直于二面角的棱 二面角的平面角的范围：0°~180° 求二面角的方法一:定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 注意: (1)范围：0⁰≤a≤180° (2)直二面角：平面角是直角的二面角。 作二面角步骤 第一步：在交线l上取一点O 第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA 第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB ∠AOB即为二面角，余弦定理求角 1.在长方体中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出的值即可得出答案. 【详解】长方体中，，， ，平面,平面,, 又平面 平面 ， 为二面角所成的平面角， ， 所以二面角的余弦值为. 故选：D. 2.如图，若平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，则二面角的大小为______. 【答案】 【分析】由已知条件可证是二面角的平面角，在中，，即可求出的大小. 【详解】解：平面， ， 又是正方形， ， 又， 平面， 是二面角的平面角. 在中，， ， 二面角的大小为， 故答案为：. 3.如图，在正方体中， 求二面角的大小. 【答案】 【分析】 在正方体中，， 所以是二面角的平面角， 根据正方体的性质可知， 所以二面角的大小为. 针对性训练(定义法) 1.已知P为正方形ABCD所在平面外 一 点，PA⊥平面ABCD, P A = A B = a , 求 ： (1)二面角P-AB-D的大小； (2)二面角P-BC-A的大小： (3)二面角B-PA-D的大小： (4)二面角A-PB-C的大小； (5)二面角P-BD-A的大小； (6) 二面角B-PC-D的大小： 2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1 (1)求二面角A1-BD-A的大小： (2)若E为CC1的中点，求二面角E-BD-A的大小。 3.空间三条射线CA、CP、CB,∠PCA=∠PCB=60°,∠ACB=90°, 求二面角B-PC-A 的大小. 解：过PC 上的点D 分别作DE⊥AC于 E,DF⊥BC于 F,连EF. ∴∠EDF 为 二 面 角B-PC-A的 平 面 角 ， 设 CD=a, ∵∠PCA=∠PCB=60°, ∴CE=CF=2a,DE=DF=√3a ,又∵∠ACB=90°, ∴EF=2√2a, 4.在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°求二面角A-PB-C 的余弦值. 5.如图，已知二面角α-a-β等于120°,PA⊥a,A∈a,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小. 6.在四 棱 锥 P-ABCD中 ，ABCD是 正 方 形 ，PA⊥平面 ABCD,PA=AB=a, 求二面角B-PC-D 的大小. 7.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2,VC=√3, 求二面角V-AB-C的大小。 解 析如图，取AB的中点D, 连接VD,CD, ∵在△VAB 中，VA=VB=AB=2, ∴△VAB为等边三角形， ∴VD⊥AB 且VD=√3, 同理CD⊥AB,CD=√3, ∴∠VDC为二面角V-AB-C的平面角， 而△VDC 是等边三角形，∠VDC=60°, ∴二面角V-AB-C 的大小为60°. 8.二面角a-l-β的大小为60°,A,B 分别在两个面内且A和B到棱的距离分别为2和4,且AB =10,求AB 与棱1所成角的正弦值. 解 析如图，作AC⊥l.BD⊥l.C.D为垂足l 则AC=2,BD=4,AB=10. 在β内过C 作CE//DB, 且CE=DB, 连接BE,AE, ∴四边形CEBD 为平行四边形， ∴BE// l, 且CE=BD=4, ∴∠ABE为AB 与棱l 所成的角， ∵BD//CE,∴l⊥CE, 又l⊥AC,ACNCE=C, ∴∠ACE为a-l-β的平面角，且l⊥平面ACE, ∴∠ACE=60°, 又 BE//l,l⊥ 平面ACE,∴BE⊥AE, ∴AB 与棱l所成角的正弦值为 9.如图1,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 矩形，PA1 平面ABCD,点E 在线段PC 上，且PC⊥平面 BDE,PA=1,AD=2,求二面角A-PC-B 的正切值. 解：设AC与BD相交于点 0,连接EO, 如图1. 因为PC⊥平面BDE,OE,BD,BE 均在平面BDE内， 所以PC⊥OE,PC⊥BD,PCIBE. 因 为PA1平面ABCD,ACC 平面ABCD,BDC 平面ABCD, 所以PALAC,PALBD. 因为PA∩PC=P, 所以BD1 平面PAC. 因 为ACC 平面PAC,OEC 平面PAC, 所以BD⊥AC,BD⊥0E. 因为底面ABCD为矩形，BDLAC, 所以四边形ABCD为正方形. 已 知AD=2, 所以AC=2√2, 所以PC=√PA²+AC²=3,0C=√2. 因为PAIAC,PC⊥OE,∠ECO=∠ACP, 所以△ECO~△ACP 所以 ,得 因为平面PAC∩平 面PBC=PC,PC⊥BE,PC1OE 所以∠BEO为二面角A-PC-B 的平面角.在Rt△BEO中 ， 故二面角A-PC-B 的正切值为3. 10.如图2,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点，求二面角E-AC-B 的大小. 取AC 的中点0 ,AD 的中点F, 连接OE,OF,EF,FC,如图2. 易知 EF,OF分别是△DPA, △ADC的 中 位 线， 所 以 又PA⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD. 因为AC ⊂平面ABCD,OF ⊂平面ABCD, 所以EF⊥AC,EF⊥OF. 因为AB//CD,AB⊥AC,所以CD⊥AC,所以OF⊥AC. 又EF∩OF=F, 所以AC⊥平面EOF. 又OE⊂平面EOF, 所以AC⊥0E, 所以∠EOF为二面角E-AC-F 的平面角 因为PA=AB, 所以EF=OE, 所以在Rt△EOF 中，∠EOF=45°. 又二面角E-AC-F与二面角E-AC-B互补， 所以二面角E-AC-B 的大小为135° 11.如图3,在四棱锥S-ABCD中，已知SA⊥平面ABCD. ∠BAD=∠ADC=90°.SA=AID=CD=2.AB=1. 求平面SBC与平面SAD所成锐二面角的余弦值. 图4图3 解：延长DA,CB, 设两延长线交于点E, 连 接SE, 如图4. 因为∠BAD=∠ADC=90°, 所以AB//CD. 所以 , 即 ,解得EA=2, 所以EA=AD,ED=4. 因为SA⊥平面ABCD,ED⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以SA⊥ED,SA⊥CD, 所以SE=SD=JSA²+AD²=2√2. 因为SE²+SD²=ED², 所以SE⊥SD. 因为SA⊥CD,AD⊥CD,SA∩AD=A, 所以CD⊥平面SED. 因为SD⊂平面SED, 所以CD⊥SD, 所以SC=√SD²+CD²=2√3. 又CE=√ED²+CD²=2√5, 所以 SE²+SC²=CE², 所以SE⊥SC, 所以∠CSD为 平面SBC 与平面SAD所成锐二面角的平面角. 在△CSD中 ， 故平面SBC与 平面SAD所成锐二面角的余弦值为 12.如图(1),六边形ABCDEF 是由等腰梯形ADEF 和直角梯形ABCD 拼接而成，且∠BAD=∠ADC=90,AB=AF=EF=ED=2,AD =CD=4, 沿AD进行翻折，得到的图形如 图(2)所示，且∠AEC=90. 图(1) 图(2) (1)求证：CD⊥平面ADEF. (2)求二面角C-AE-D的余弦值； 13.如 图在圆锥P O 中,已知 PO = √2 ,圆0 的直 径 AB = 2, 点C 在AB上，且 ∠CAB=30°, 点 D为 AC的中点. (1)证明：AC⊥平面POD (2)求二面角P-AC-O 的正弦值. 14..如图，四边形 ABCD 是正方形，PA⊥ 平面ABCD, 且PA=AB=2. 求： (1)求二面角B-PA-C大小 (2)求二面角A-PD-C大小 (3)求二面角B-PD-A大小 15. 如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形， ∠BAC =90°,0为BC中点. ( I ) 证 明： SO⊥平 面ABC; ( Ⅱ ) 求 二 面 角A-SC-B 的余弦值 . 解 ：(I) 略 . (Ⅱ)由(I)知 SO⊥AO, 又 O 为BC中点 ，AB=AC, ∴AO⊥BC,∴AO1平 面 SBC. 过 O 做 OD⊥SC, 垂足为D, 连 结AD. 由三垂线定理知 SC⊥AD,∴∠ADO为二面角A-SC-B 的平面角 . 由 已 知 在 Rt△AOD中，可求得 cos∠ADO 三 垂 线 法 求 二 面 角 一 垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 已知：如图，PB是平面α的斜线，PA是平面α的垂线，a⊂α,a⊥AB. 求 证 ： a ⊥P B 证明： ∵PA是平面α的垂线，直线ac平面α ∴直线a⊥P A 又∵直线a⊥AB, AB∩PA=A ∴直线a⊥平面PAB,而PB⊂面PA B ∴a⊥PB 总结：定理论述了三个垂直关系 ①垂线PA和平面α垂直； ②射影AB和直线a垂直； ③斜线PB和直线a垂直 运用三垂线法求二面角的一般步骠： 第一步：在交线l上取一点O 第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA 第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB ∠AOB即为二面角，余弦定理求角 二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小 使用情况：已知其中某个平面的垂线段 第二步：过垂直B作l的垂线OB ∠AOB即为二面角 且△AOB为直角三角形，邻比斜 三、作2次交线的垂线 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l 连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角 四、转换成线面角 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长) 连接AB，∠AOB即为二面角 △AOB为直角三角形，邻比斜 五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理 提问：什么时候用？ 若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC 则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角 补充：三垂线定理逆定理 (1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1.如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°,SA=AB,SB=BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB (2)求二面角A-SC-B正弦值. (1)∵∠SAB=∠SAC=90°, ∴SA⊥AB,SA⊥AC. 又AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC, ∴SA⊥平面ABC. 又BCC 平面ABC,∴SA⊥BC. 又AB⊥BC,SA∩AB=A,SA,AB⊂平面SAB, ∴BC⊥平面SAB. 又BC⊂平面SBC,∴平面SBC⊥平面SAB. (2)取SB 的中点D, 连接AD,则AD⊥SB, 由(1)知平面SBC⊥平面SAB,平面SBCN∩平面SAB=SB,AD⊂平面SAB,∴AD⊥平面SBC. 又SCc 平面SBC,∴SC⊥AD. 作AE⊥SC, 垂足为点E,连接DE, ∵AENAD=A,AE,AD⊂平面ADE. ∴SC⊥平面ADE. 又DEC 平面ADE, 则DEISC, 则∠AED为二面角A-SC-B的平面角.设SA=AB=2a, 则SB=BC=2√2a,AD=√2a,AC=2√3a,SC=4a. 由题意得AE=√3a, ∴二面角A-SC-B 的平面角的正弦值为 2.如 图，平面β内一条直线AC , AC与平面a所成的角为30°,AC 与 棱BD 所成的角为45°,求二面角α-BD-β的大小. 解析如图，过A 作AE⊥平面a. E 为垂足，过点E作EF⊥BD,F为垂足，连接AF,CF, ∴由三垂线定理知二面角a-BD-β的棱BD⊥AF, ∴∠AFE为二面角a-BD-β的平面角。 依题意∠ACF=45°,∠ACE=30°, 设AC=2, ∴AF=CF=√2,AE=1, ∴∠AFE=45°. ∴二面角a-BD-β的大小为45°. 3.如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2求： (1)求二面角B-PA-C的大小 (2)求二面角A-PD-C的大小 (3)求二面角B-PD-A的大小的正弦值 4.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A,B 的点，直线PC⊥ 平面ABC. (1)证明：平面PBC⊥平面 PAC; (2)设AB=PC=2,AC=1, 求二面角B-PA-C 的余弦值. 5.如图，四棱锥P-ABCD中 ，PA⊥ 底面 ABCD, 底面ABCD为菱形，且 有AB=1,PA=√2,∠ABC=60°,E 为PC中点. (1)证明：AC⊥ 面BED; (2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值. 6.如图，在四棱锥P-ABCD中 ，PA⊥ 平面ABCD,四边形ABCD为菱形， ∠ADC=60°,PA=AD=4,E为AD的中点. (1)求证：平面PCE⊥平面PAD: (2)求二面角A-PD-C的平面角的正弦值. 7.. (本小题满分12分)如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与 侧 面SAC均为等边三角形， ∠BAC=90°,0为BC中点. ( I )证 明：SO⊥平 面ABC; ( Ⅱ ) 求 二 面 角A-SC-B的余弦值 . 解 ：(I) 略 . (Ⅱ)由(I) 知 SO⊥AO, 又 O 为 BC中 点 ，AB=AC, ∴AO⊥BC, ∴AOL平面 SBC. 过 O做 OD⊥SC, 垂足为D,连结AD. 由三垂线定理知 SC⊥AD, ∴∠ADO 为二面角A-SC-B的平面角 . 由 已 知 在 Rt△AOD中，可求得 cos∠ADO 故二 面 角A-SC-B余弦值为 8.如右图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD,BC⊥CD且BC=CD=1,AD= √3, ①求二面角C-AB-D的大小；②求二面角B-CD-A的大小； 解： ①∵AB⊥面BCD ∴BC⊥AB BD⊥AB ∴∠CBD为二面角C-AB-D的平面角 ∵BC⊥CD且BC=CD=1: : ∴二面角C-AB-D的大小为 ②∵AB⊥面BCD BCICD ∴由三垂线定理得CD⊥AC ∴∠ACB为二面角B-CD-A的平面角， ∵BC⊥CD∴BD= √BC²+CD²= √2 ∵AB⊥平面BCD ∴AB⊥B C AB⊥BD ∴AB= √AD²-BD²=1, 在RtAABC中， ∴二面角B-CD-A的大小为 9.如 图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形(尺寸如图所示),E为 VB的中点.求二面角A-VB-D的余弦值 解：取 AB 的中点P, 连结VP,DE, 则由题意可知VP⊥ 平面ABCD, ∴DA⊥VP 又 ∵AD⊥AB∴AD⊥平面VAB ∵△VAB是正三角形，E为VB 的中点， ∴AE⊥VB, ∴ 由三垂线定理得VB⊥DE 所以∠AED就是所求二面角的平面角. 由已知得 DA-2,AE=√3.DE=√7: 故二面角A-VB-D 的余弦值为 10.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1 求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值. 解法一：延长BA, CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱 ∵AD//BC,BC=2AD→EA=AB=SA→SE⊥SB ∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交线. 又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB 故SB是SC在面SEB上的射影， ∴CS⊥SE, 所以∠BSC是所求二面角的平面角 ∵SB= √SA²+AB²= √2,BC=1,BC⊥SB 即所求二面角的正切值为 解法二：延长BA、CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱过A作AF⊥SE,垂足为F,连结FD ∵SA⊥面ABCD ∴AD⊥SA 又∵∠ABC=90°,AD//BC ∴AD⊥AB而AD∩SA=A ∴DA⊥面SAE,在RAFAD中， 解法三(提示):取SC 的中点Q,BC的中点H, 连 结QH,DH,DQ,则 QH //SB,DH//AB, 从而平面QHD// 平面SBA 所以面QHD与面SCD所成二面角的大小等于面△SCD 与面SBA 所成二面角的大小而面QHD与面SCD的公共棱为QD, ∵SA⊥面 ABCD ∴SA⊥BC又∵∠ABC=90° ∴BC⊥面SBA ∴CH⊥面QHD 由已知得： ∴SD=CD 又Q为SC的中点 ∴QD⊥QC 由三垂线逆定理得QD⊥QH ,所以∠CQH是面QHD与面SCD 所成二面角的平面角 由已知得： 在Rt△QHC 中，事 解法四(提示用面积投影法): ∵SA⊥面 ABCD ∴SA⊥BC, 又∵∠ABC=90° ∴BC⊥ 面SBA ∵BC/AD ∴AD⊥面 SBA ∴C 在平面SBA 上的射影为B,D 在平面SBA 上的射影为A, ∴面△SCD 的投影面为面△SAB, 设 Q 为SC 的中点，所求二面角的大小为θ,则 由已知得： 从而求得 11.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, 点E在线段PC 上，PC⊥平面BDE. ( 1 ) 证 明 ：BD⊥平面PAC; (2) 若PA=1,AD=2, 求二面角B-PC-A的正切值： 解：(1)PC⊥平面BDE,BD⊂面BDE→BD⊥PC , PA⊥平面ABCD,BD⊂面ABCD→BD⊥PA 又PA∩PC=P=→BD⊥面PAC (2)法一：(定义法)设AC∩BD=O 由(1)得：BD⊥AC→AB=AD,PA=1,AD=2→AB=2, PC⊥平面BDE→BE⊥PC,OE⊥PC→∠BEO 是二面角B-PC-A的平面角 二面角B-PC-A 的正切值为3 法二：(三垂线法)设AC∩BD=0 ,由(1)得：BO⊥平面PAC, 过垂足O 作公共棱的垂线OF, 连结BF, 则由三垂线定理得PC⊥BF ∴∠BFO就是二面角B-PC-A 的平面角。 ∵底面ABCD 为矩形，BD⊥AC ∴AB=AD=2,BO=0C=√2,Pc=VPA³+AC²=3 易得RtAPA ∼Rt△OFC∴, 故二面角B-PC-A的正切值为3 三 射影面积法 二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积,可利用射影面积公式cosθ=,求出二面角的大小.射影面就是指一个平面在另一个平面上的投影；原面就是指第一个平面，角α为射影面与原面所成的二面角的平面角。 1.在四棱锥P-ABCD中 ，ABCD为正方形，PA⊥ 平面ABCD,PA=AB=a, 求平面 PBA 与平面 PDC所成二面角的大小. 解：(面积法)如图， 同 时 ，BC⊥平面BPA 于 B ,故 △PBA 是△PCD 在平面PBA 上的射影,设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, 则 2.如图，在三棱柱ABC-A1B1 C1中，CC⊥平面ABC , D , E , F 分别为AA1 AC ,A1C1 的中点，AB=BC=√5,AC=AA1=2. (1)求证：AC⊥平面 BEF; (2)求二面角B-CD-C1的余弦值. (1) 证明：在三棱柱ABC-A1B1C₁中， ∵CC⊥ 平 面 ABC, ∴四边形 A1ACC₁为矩形.又E,F分别为AC,A₁C的中点， ∴A C⊥EF. ∵AB=BC, ∴AC⊥BE. 又EF∩BE=E,EF,BE⊂平面BEF, ∴AC⊥ 平面BEF. (2) 如图，连接ED, ∵BE⊥AC,BE⊥CC1 , CC1∩AC=C, ∴BE⊥平面ACC₁A₁, ∴△BCD在平面ACD上的射影为△ECD. 又∵在△BDC 中，BC=DC=√5,BD=√6, 设平面BCD 与平面ACD 所成的二面角为0, 又∵二面角B-CD-C₁的平面角是二面角A-CD-B的平面角的补角， ∴二面角B-CD-C₁的余弦值为 3.已知△ABC 是正三角形，PA⊥平面且PA=AB=a, 求二面角A-PC-B的大小. 过B 作 BE⊥AC于E, 连结PE, ∵PA⊥平面，PA⊂平面PAC ∴平面PAC⊥平 面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC ∴BE⊥平面PAC ∴△PEC是 △PBC在平面PA上的射影ABC 设PA=1,则PB=PC=√2,AB=1,则? , 由射影面积公式得， :: 4.如图，在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中 AD//BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABC,SA=AB=BC=1, .求面SCD与面SAB所成的角的大小。 射影面积法来求， 这里只要求出SAscp与S△SAB即可， 故所求的二面角0应满足 5.如图，在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC. (I)求证：PC⊥AB: (Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小： 解 ：(I) 证略 (Ⅱ)∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC,∴PC⊥BC. 又∠ACB=90°, 即 AC⊥BC, 且 AC∩PC=C, ∴BC⊥平面PAC. 取 AP中点E,连结BE,CE. ∵AB=BP,∴BE⊥AP. ∵EC是BE在平面PAC内的射影， ∴CE⊥AP. ∴△ACE是△ABE 在平面 ACP内的射影， 于是可求得： AB=BP=AP=√AC²+CB²=2√2,BE=√AB²-AE²=√6, 设二面角B-AP-C的大小为8,则 ∴二面角B-AP-C的大小为 6.如图 ,E 为正方体 ABCD一A₁B₁C₁D₁的 棱CC₁ 的中点，求平面 AB₁E 和底面A₁B₁C₁D1所成锐角的余弦值. (答案：所求二面角的余弦值为 7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形 ，PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2√2,E,F分别是AD,PC的中点.证明：PC⊥平面BEF; 求平面BE与平面BAP夹角的大小 方法一：垂面法 在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角 如图一：∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD, ∴PA⊥BC. 又∵BC⊥AB,AB∩PA=A, ∴BC⊥平面BAP. 又∵BC⊂平面PBC, ∴ 平面PBC⊥平面BAP. 由题(1) ,PC⊥ 平面BEF,PC⊂平面BEF, ∴ 平面PBC⊥平面BEF. ∴∠PBF 是所求二面角的平面角 ∵PB=√PA²+AB²=2√2, sin∠PBF=P=, , 即平面BEF 与平面BAP夹角为 方法二：平移平面法 如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面 角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角. 如图二：取BC 的中点G, 连接FG,EG. ∵E,F 分别是AD,PC的中点， ∴EG∩AB,FG∩PB. 又∵FG∩EG=G,AB∩PB=B, ∴平面EFG//平面BAP. ∴二面角B-EF-G的大小就是平面BEF 与平面BAP 夹角的大小。 ∠BFG 为二面角B-EF-G的平面角，大小为 方法三：射影法 利用公式 ,其中S 表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积，S 表示此多边形在另一个半平面射影的面积，θ表示原图形与射影图形所成的二面角。 如图三：取PB 的中点H, 连 接FH,AH, ∵F为PC中点， ∴FH// BC,AE//BC. 由解法一知，BC⊥平面BAP, ∴FH⊥平面BAP,AE⊥平面BAP, ∴点F 、E在平面BAP内的射影分别为H 、A. ∴△BEF 在平面BA上的射影为△BAH. 可以证明△BEF 和△BAH 均为直角三角形. ∵HF // BC,AE//BC, ∴四边形HFEA 为平行四边形， ∴EF=AE. 记平面BEF 与平面BAP 夹角为θ, 则 所以 即平面BEF与平面BAP 夹角为 8.已知△ABC 是正三角形，PA⊥平 面ABC 且PA=AB=a, 求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理(逆)来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1:(三垂线定理法) 取 AC的中点E, 连接BE, 过E做 EF⊥PC, 连接BF ∵PA⊥平 面ABC,PA⊂平面PAC ∴平面PAC⊥ 平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC ∴BE⊥平面PAC 由三垂线定理知 BF⊥PC ∴∠BFE为二面角A-PC-B 的平面角 设PA=1,E 为 AC 的中点， ∴∠BFE=argtan√6 解2:(三垂线定理法) 取 BC 的 中 点E,连 接AE,PE过A 做 AF⊥PE, FM⊥PC,连接FM ∵AB=AC,PB=PC ∴AE⊥BC,PE⊥BC ∴ BC⊥平面 PAE,BC⊂平 面PBC ∴ 平面PAE⊥平面PBC,平面 PAE∩平 面PBC=PE 由三垂线定理知AM⊥PC ∴∠FMA为二面角A-PC-B 的平面角 解3:(投影法) 过 B 作 BE⊥AC 于 E, 连结PE ∵PA⊥平 面ABC,PA⊂平面PAC ∴平面PAC⊥平 面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC ∴BE⊥平面 PAC ∴△PEC是△PBC在平面PAC 上的射影 ,设 PA=1, 则 PB=PC=√2,AB=1 由射影面积公式得， ∴ 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$