4.2.1等差数列的概念讲义-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 一、知识梳理 1.如果一个数列从________起，每一项减去它的前一项所得的______都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的_______，公差通常用______表示． 2.若数列a，A，b成等差数列，则A＝______，其中A叫作a，b的________． 二、课前自测 1.下列数列不是等差数列的是(　　) A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.， ，1， ， D.－3，－2，－1，1，2 2.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　) A.26 B.29 C.39 D.52 3.已知a＝ ，b＝ ，则a与b的等差中项为________． 4.等差数列3，7，11，…的第4项是________． 5.已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－ (n＞1)，记bn＝，求证：数列 {bn}是等差数列． 三、课后练习 6.有下列数列：① 1，3，5，7，9；② 2，0，－2，0，－6，0；③ ， ， ， ；④ 0，0，0，0；⑤ －1，， ＋1.其中，递增的等差数 列有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.已知数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列是(　　) A.公差为－3的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D.公差为n的等差数列 8.已知a，2a－1，6－a这三个数成等差数列，则该数列的公差为(　　) A.－1 B.1 C.2 D. 9.已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是 (　　) A.6 B.8 C.10 D.12 10.(多选题)下列命题正确的是(　　) A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 11.(多选题)若{an}是等差数列，则下列数列仍为等差数列的有(　　) A.{|an|} B.{an＋1－an} C.{pan＋q}(p，q为常数) D.{2an＋n} 12.已知某个等差数列的前三项依次为x，2x＋1，4x＋2，则它的第5项为 ________． 13.已知三个数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小16，则该等差数列的公差为________． 14.判断下面的数列是否为等差数列． (1) 在数列{an}中，an＝3n＋2； (2) 在数列{an}中，an＝n2＋n. 15.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？请 说明理由． 16.已知a，b，c成等差数列，求证：a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 一、知识梳理 1.如果一个数列从__第二项______起，每一项减去它的前一项所得的___ 差___都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的__公差_____，公差通常用__d____表示． 2.若数列a，A，b成等差数列，则A＝_____，其中A叫作a，b的___等差中项____． 　　 　 二、课前自测 1.下列数列不是等差数列的是(　D　　) A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.， ，1， ， D.－3，－2，－1，1，2 解析：由等差数列的定义，知D选项中的数列不是等差数列． 2.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　C　　) A.26 B.29 C.39 D.52 解析：因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y既是5和21的等差中项，也是x和z的等差中项．所以5＋21＝2y.所以y＝13，x＋z＝2y＝26.所以x＋y＋z＝39. 3.已知a＝ ，b＝ ，则a与b的等差中项为________． 解析：a与b的等差中项为＝ ()＝[()＋()]＝ . 4.等差数列3，7，11，…的第4项是__15______． 解析：由题意，可知公差为7－3＝4，所以第4项是11＋4＝15. 5.已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－ (n＞1)，记bn＝，求证：数列 {bn}是等差数列． 证明：由题意，得bn＋1－bn＝－＝ － ＝ － ＝ ＝.又因为b1＝＝，所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． 三、课后练习 6.有下列数列：① 1，3，5，7，9；② 2，0，－2，0，－6，0；③ ， ， ， ；④ 0，0，0，0；⑤ －1，， ＋1.其中，递增的等差数 列有(　C　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：等差数列有①③④⑤，其中递增的为①③⑤，共3个，④为常数列. 7.已知数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列是(　A　　) A.公差为－3的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D.公差为n的等差数列 解析：因为an－an－1＝－3，所以此数列是公差为－3的等差数列． 8.已知a，2a－1，6－a这三个数成等差数列，则该数列的公差为(　B　　) A.－1 B.1 C.2 D. 解析：由题意，得2(2a－1)＝a＋(6－a)，解得a＝2，故原数列为2，3，4，它的公差为1. 9.已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是 (　A　　) A.6 B.8 C.10 D.12 解析：由题意，得所以3(m＋n)＝20＋16＝36.所以m＋n＝12.所以m和n的等差中项为＝6. 10.(多选题)下列命题正确的是(　AC　) A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 解析：对于A，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.所以2·(2b)＝2a＋2c.所以2a，2b，2c成等差数列．故A正确．对于B，因为a，b，c成等差数列，所以log2b＝log2 ＝log2(a＋c)－1≠ (log2a＋log2c)． 所以log2a，log2b，log2c不成等差数列．故B错误．对于C，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.所以2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)．所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．故C正确．对于D，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝2 ≠ (2a＋2c)．所以2a，2b，2c不成等差数列．故D错误． 11.(多选题)若{an}是等差数列，则下列数列仍为等差数列的有(　 BCD　) A.{|an|} B.{an＋1－an} C.{pan＋q}(p，q为常数) D.{2an＋n} 解析：设an＝kn＋b，则an＋1－an＝k，故B选项为常数列，也是等差数列．pan＋q＝p(kn＋b)＋q＝pkn＋(pb＋q)，故C选项为等差数列.2an＋n＝2(kn＋b)＋n＝(2k＋1)n＋2b，故D选项为等差数列．A选项未必是等差数列，如an＝2n－4，则{|an|}的前4项为2，0，2，4，不满足等差数列的定义，故{|an|}不一定是等差数列． 12.已知某个等差数列的前三项依次为x，2x＋1，4x＋2，则它的第5项为___4_____． 解析：因为x，2x＋1，4x＋2成等差数列，所以(2x＋1)－x＝(4x＋2)－(2x＋1)，解得x＝0.所以该等差数列的前三项依次为0，1，2.所以它的第5项为4. 13.已知三个数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小16，则该等差数列的公差为___±4__． 解析：由题意，可设三个数依次为a－d，a，a＋d，其中d为公差．由题意，得(a－d)(a＋d)＝a2－16，解得d2＝16，则d＝±4. 14.判断下面的数列是否为等差数列． (1) 在数列{an}中，an＝3n＋2； (2) 在数列{an}中，an＝n2＋n. 解析：(1) an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3，这个数列为等差数列． (2) an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列． 15.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？请 说明理由． 解析：数列是等差数列．理由：因为a1＝2，an＋1＝ ，所以＝ ＝＋.所以－＝ .所以是首项为＝ ，公差为的等差数列． 16.已知a，b，c成等差数列，求证：a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列． 证明：因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)．所以a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$