4.1数列练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第4章　数　列 4．1　数　列 一、知识梳理 1.按照一定次序排列的一列数称为________，数列中的项具有________、________、________等性质． 2.如果数列{an}的________与________之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的________公式． 3.项数________的数列称为有穷数列；项数________的数列称为无穷数列． 4.从第2项起，每一项都________它的前一项的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都________它的前一项的数列称为递减数列；各项都________的数列称为常数列． 5.数列是以_______________________________________为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 6.如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，并且数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的_______． 二、课前自测 1.数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是(　　) A.an＝(－1)n2n B.an＝(－1)n＋12n C.an＝(－1)n2n D.an＝(－1)n＋12n 2.已知数列{an}的一个通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.不是数列中的任何一项 3.(多选题)满足下列条件的数列{an}(n∈N*)是递增数列的为(　　) A.an＝ B.an＝n2＋n C.an＝1－2n D.an＝2n＋1 4.若数列{an}的通项公式为an＝3n－2，则a5＝________． 5.根据下列各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) －1，7，－13，19，…； (2) ， ， ， ， ，…； (3) ，2， ，8， ，…； (4) 5，55，555，5 555，…. 三、课后练习 6.在数列{an}中，若an＝ ，则a4等于(　　) A. B. C.2 D.8 7.已知数列{an}满足an＝且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A.(，3) B.[，3) C.(1，3) D.(2，3) 8.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n，若该数列的第k项ak满足40＜ak＜70，则k的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 9.若数列{an}满足a2n＝a2n－1＋a2n＋1(n∈N*)，则称{an}为“Y型数列”，则下列数列不可能是“Y型数列”的是(　　) A.－1，0，1，0，－1，0，1，… B.1，2，1，3，5，2，3，… C.0，0，0，0，0，0，0，… D.2，1，－1，0，1，2，1，… 10.(多选题)已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为(　　) A.an＝1＋(－1)n B.an＝2cos C.an＝2∣sin ∣ D.an＝1－cos(n－1)π＋(n－1)(n－2) 11.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，∀i，j∈N*，则下列仍是数列{an}中的项的是(　　) A.ai＋j＋ai B.ai＋j－ai C.ai＋j·ai D. 12.在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝ ＋1，则a4＝________． 13.已知数列{an}的通项公式为an＝ ，则满足an＋1＜an的n的取值为________． 14.已知数列{an}满足am·n＝am·an(m，n∈N*)，且a2＝3，则a8＝________． 15.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n＋6. (1) 这个数列的第4项是多少？ (2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3) 该数列从第几项开始各项都是正数？ 16.已知数列{an}的通项公式为an＝. (1) 求这个数列的第10项． (2) 在区间(,)内是否存在该数列中的项？若存在，有几项？若不存在，请说明理由． 17.将如图①所示的正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”(如图②的实线部分)，对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”(如图③)，这样一直继续下去，可以得到一系列的“雪花曲线”.设第n条“雪花曲线”有an条边． (1) 写出a1，a2的值； (2) 求出数列{an}的递推公式． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章　数　列 4．1　数　列 一、知识梳理 1.按照一定次序排列的一列数称为__数列_____，数列中的项具有__确定性___、__可重复___、__有序性____等性质． 2.如果数列{an}的__第n项___与___序号n___之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的__通项__公式． 3.项数___有限____的数列称为有穷数列；项数__无限____的数列称为无穷数列． 4.从第2项起，每一项都__大于____它的前一项的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都___小于___它的前一项的数列称为递减数列；各项都__相等___的数列称为常数列． 5.数列是以___正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，k}) ___为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 6.如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，并且数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的___递推公式___． 二、课前自测 1.数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是(　B　) A.an＝(－1)n2n B.an＝(－1)n＋12n C.an＝(－1)n2n D.an＝(－1)n＋12n 解析：对于数列2，－4，6，－8，…，其中a1＝1×2×1＝2，a2＝(－1) ×2×2＝－4，a3＝1×2×3＝6，a4＝(－1)×2×4＝－8，则其通项公式可以为an＝(－1)n＋12n. 2.已知数列{an}的一个通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的(　C 　) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.不是数列中的任何一项 解析：设－8是第n项，因为数列{an}的一个通项公式为an＝n2－n－50，所以n2－n－50＝－8，解得n＝7或n＝－6(舍去)．所以－8是该数列的第7项． 3.(多选题)满足下列条件的数列{an}(n∈N*)是递增数列的为(　BD　) A.an＝ B.an＝n2＋n C.an＝1－2n D.an＝2n＋1 解析：对于A，an＝ ，a1＝1，a2＝ ，不是递增数列，不符合题意； 对于B，an＝n2＋n，an－an－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n＞0，是递增数列，符合题意； 对于C，an＝1－2n，an－an－1＝(1－2n)－[1－2(n－1)]＝－2＜0，不是递增数列，不符合题意； 对于D，an＝2n＋1，函数y＝2x＋1为增函数，则an＝2n＋1是递增数列，符合题意． 4.若数列{an}的通项公式为an＝3n－2，则a5＝___13_____． 解析：因为an＝3n－2，所以a5＝3×5－2＝13. 5.根据下列各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) －1，7，－13，19，…； (2) ， ， ， ， ，…； (3) ，2， ，8， ，…； (4) 5，55，555，5 555，…. 解析：(1) 偶数项为正，奇数项为负，故其通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故该数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2) 这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故所求数列的一个通项公式为an＝ . (3) 将数列的各项都统一成分数再观察，即， ， ， ， ，…，从而可得该数列的一个通项公式为an＝ . (4) 将原数列改写为×9， ×99， ×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求数列的一个通项公式为an＝ (10n－1)． 三、课后练习 6.在数列{an}中，若an＝ ，则a4等于(　B　) A. B. C.2 D.8 解析：因为在数列{an}中，an＝ ，所以a4＝ ＝ . 7.已知数列{an}满足an＝且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　D　) A.(，3) B.[，3) C.(1，3) D.(2，3) 解析：因为{an}是递增数列，所以即解得2＜a＜3.所以实数a的取值范围是(2，3)． 8.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n，若该数列的第k项ak满足40＜ak＜70，则k的值为(　C　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：因为数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n，该数列的第k项ak满足40＜ak＜70，则有40＜2k＋2k＜70，又因为k∈N*，所以k＝5. 9.若数列{an}满足a2n＝a2n－1＋a2n＋1(n∈N*)，则称{an}为“Y型数列”，则下列数列不可能是“Y型数列”的是(　B　) A.－1，0，1，0，－1，0，1，… B.1，2，1，3，5，2，3，… C.0，0，0，0，0，0，0，… D.2，1，－1，0，1，2，1，… 解析：因为只要数列{an}满足a2n＝a2n－1＋a2n＋1(n∈N*)，即数列的每个偶数项都等于其相邻两项的和，则称{an}为“Y型数列”，故不符合条件的只有B选项． 10.(多选题)已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为(　AC　) A.an＝1＋(－1)n B.an＝2cos C.an＝2∣sin ∣ D.an＝1－cos(n－1)π＋(n－1)(n－2) 解析：对于A，an＝1＋(－1)n取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件；对于B，an＝2cos取前六项得0，－2，0，2，0，－2，不满足条件；对于C，an＝2∣sin ∣取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件；对于D，an＝1－cos(n－1)π＋(n－1)(n－2)取前六项得0，2，2，8，12，22，不满足条件． 11.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，∀i，j∈N*，则下列仍是数列{an}中的项的是(　CD　) A.ai＋j＋ai B.ai＋j－ai C.ai＋j·ai D. 解析：因为an＝2n，∀i，j∈N*，所以ai＋j＋ai＝2i＋j＋2i＝2i(2j＋1)∉ {an}，ai＋j－ai＝2i＋j－2i＝2i(2j－1)∉{an}，ai＋j·ai＝2i＋j·2i＝22i＋j ∈{an}， ＝ ＝2j∈{an}． 12.在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝ ＋1，则a4＝________． 解析：由题意，得a1＝1，a2＝ ＋1＝2，a3＝ ＋1＝，a4＝ ＋1＝ . 13.已知数列{an}的通项公式为an＝ ，则满足an＋1＜an的n的取值为__5______． 解析：由an＋1＜an，得an＋1－an＝ － ＝ ＜0，解得＜n＜ .又n∈N*，所以n＝5. 14.已知数列{an}满足am·n＝am·an(m，n∈N*)，且a2＝3，则a8＝___27_____． 解析：由am·n＝am·an，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27. 15.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n＋6. (1) 这个数列的第4项是多少？ (2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3) 该数列从第几项开始各项都是正数？ 解析：(1) 当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6. (2) 令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项． (3) 令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n<1(舍去)．所以该数列从第7项起各项都是正数． 16.已知数列{an}的通项公式为an＝. (1) 求这个数列的第10项． (2) 在区间(,)内是否存在该数列中的项？若存在，有几项？若不存在，请说明理由． 解析：(1) 根据题意，知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝＝. (2) 存在．根据题意，知＜＜，解得＜n＜.又因为n为正整数，所以n＝2.所以在区间()内只存在该数列中的一项． 17.将如图①所示的正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”(如图②的实线部分)，对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”(如图③)，这样一直继续下去，可以得到一系列的“雪花曲线”.设第n条“雪花曲线”有an条边． (1) 写出a1，a2的值； (2) 求出数列{an}的递推公式． 解析：(1) a1＝12，a2＝48. (2) 由“雪花曲线”的作法，可知第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第(n＋1)条“雪花曲线”的四条边．所以an＋1＝4an.所以数列{an}的递推公式为an＋1＝4an(n∈N*)． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$