精品解析：甘肃省定西市安定区公园路中学2023—2024学年九年级下学期开学数学试题

公园路中学2023-2024学年度第二学期开学检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　　） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 7. 在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 10. 如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 分解因式：=______． 12. 函数中自变量的取值范围是______． 13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，请你添加一个条件________，使． 14. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____． 15. 如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm． 16. 如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值） 三、解答题（本大题共11小题，满分72分） 17. 计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣． 18. 解方程：. 19. 化简求值：，其中． 20. 如图，四边形中，连接． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交于点E、F； （2）连接，若，求的度数． 21. 某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据：≈1.73，≈1.41） 22. 小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次． （1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率； （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率． 23. “防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 96 m 众数 b 98 方差 28.6 28 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ 24. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，内接于，AB是直径，延长AB到点E，使得，连接EC，且，点D是上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F． （1）求证：EC是的切线； （2）若BC平分，求AD的长． 26. 已知四边形中，，连接，过点作的垂线交于点，连接． （1）如图，若，求证：四边形是菱形； （2）如图，连接，设，相交于点，垂直平分线段． （ⅰ）求的大小； （ⅱ）若，求证：． 27. 如图，抛物线过点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 公园路中学2023-2024学年度第二学期开学检测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐个分析即可求解． 【详解】解：A.是轴对称图形，故该选项符合题意； B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选A 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义. 3. 2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解答：解：160万=1600000=， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行线，内错角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可求出∠CGE的大小，然后利用对顶角性质即可求解． 【详解】解：设CD与EF交于G， ∵AB∥CD ∴∠1=∠C=58° ∵BC∥FE， ∴∠C+∠CGE=180°， ∴∠CGE=180°-58°=122°， ∴∠2=∠CGE=122°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键 5. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断． 【详解】，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项正确，符合题意； ，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　　） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解． 【详解】解：根据n边形的内角和公式，得 （n﹣2）•180°=900°， 解得n=7， ∴这个多边形的边数是7， 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程． 7. 在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵点的坐标为（1，2），点A与点关于轴对称， ∴点A的坐标为（1，-2）， ∵点A与点关于轴对称， ∴点的坐标是（-1，﹣2）． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键． 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两条直线的图象得到，，，，然后再进行判定求解． 【详解】解：∵一次函数与的图象分别为直线和直线， ∴，，，， ∴，，，， 故A，B，C项均错误，D项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与k和b符号的关系，掌握当直线与y轴交于正半轴上时，；当直线与y轴交于负半轴时， 是解答关键． 9. 如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案． 【详解】解：连接CD， ∵AD是的直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 10. 如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为解答即可． 【详解】解：在菱形ABCD中，∠A=60°， ∴△ABD为等边三角形， 设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为， ∴△ABD的面积 解得：a=(负值已舍) 故选B 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 分解因式：=______． 【答案】a（b+1）（b﹣1） 【解析】 【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1）， 故答案为a（b+1）（b﹣1）． 12. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：根据题意， ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题． 13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，请你添加一个条件________，使． 【答案】OB=OD（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据SAS添加OB=OD即可 【详解】解：添加OB=OD， 在△AOB和△COD中， ， ∴（SAS） 故答案为OB=OD（答案不唯一） 【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键． 14. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】根据作图可知，，根据直角三角形两个锐角互余，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出是的垂直平分线，是解题的关键． 15. 如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 16. 如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值） 【答案】 【解析】 【分析】连接BD交AC于点G，证明△ABD是等边三角形，可得BD＝2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出AC，再由S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案． 【详解】解：连接BD交AC于点G， ∵四边形是菱形， ∴AB＝AD＝2，AC⊥BD， ∵， ∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°， ∴BD＝2， ∴BG＝， ∴， ∴AC＝， ∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，满分72分） 17. 计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣． 【答案】2- 【解析】 【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣ =1+-1+2-2 =2-． 【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键． 18. 解方程：. 【答案】， 【解析】 【详解】试题分析：运用配方法求解即可． 试题解析： 故：， 考点：解一元二次方程-配方法． 19. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将分子因式分解，再进行通分，然后根据分式减法法则进行计算，最后再根据分式除法法则计算即可化简，再把a的值代入计算即可求值． 【详解】解：原式＝ ； 当时，原式＝． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则以及正确的计算是解题的关键． 20. 如图，四边形中，连接． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交于点E、F； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）如图1所示：直线即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角的含义，掌握线段的垂直平分线的作图与性质的运用是解本题的关键． （1）分别以，为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两弧的交点画直线，分别交于点E、F即可； （2）证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2．连接， ∵垂直平分，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 21. 某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据：≈1.73，≈1.41） 【答案】 不穿过，理由如下： 过点A作AD⊥BC，交BC于点D，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°. 设CD=x，则BD=2.4-x， 在Rt△ACD中，∠ACD=45°， ∴∠CAD=45°， ∴AD=CD=x． 在Rt△ABD中，， 即， 解得x=0.88， 可知AD=0.88千米=880米， 因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园． 【解析】 【分析】先作AD⊥BC，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，可表示AD和BD，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD，与800米比较得出答案即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 22. 小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次． （1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率； （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由频率定义即可得出答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案. 【详解】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝； （2）画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况， ∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝. 【点睛】此题考查事件概率：列举法求事件的概率，还考查了频率的定义，正确理解概率事件中“放回”或“不放回”事件是解此类问题的关键. 23. “防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96． 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 96 m 众数 b 98 方差 28.6 28 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ 【答案】（1）30，96，93 （2）七年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但七年级的中位数高于八年级 （3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论； （2）根据七年级的中位数高于八年级，于是得到七年级学生掌握防溺水安全知识较好； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：， ∵在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多， ∴ ； ∵八年级10名学生的竞赛成绩在A组中有2个，在B组有1个， ∴八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数， ∴, 故答案为：30，96，93； 【小问2详解】 七年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但七年级的中位数高于八年级． 【小问3详解】 七年级在的人数有6人，八年级在的人数有3人， 估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数为：（人）， 答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人． 【点睛】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 24. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），，144元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 25. 如图，内接于，AB是直径，延长AB到点E，使得，连接EC，且，点D是上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F． （1）求证：EC是的切线； （2）若BC平分，求AD的长． 【答案】（1） 证明：连接OC． ， ． ， ． 是的直径， ． ． ，即． 又是的半径， 是的切线． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OC，证明∠OCE=90°即可； （2）先证明出CD⊥AB，再利用直角三角形的性质和三角函数分别求出∠CAD和CF后即可求出AD的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ． ， . 又， ． 又是的直径， ． 在中， ， ． ． 在中，， ． ，AB是的直径， ． 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理及其推论、垂径定理的推论、三角函数等知识，解题关键是连半径构造或证明直角三角形等，主要运用了转化的思想方法． 26. 已知四边形中，，连接，过点作的垂线交于点，连接． （1）如图，若，求证：四边形是菱形； （2）如图，连接，设，相交于点，垂直平分线段． （ⅰ）求的大小； （ⅱ）若，求证：． 【答案】（1） 证明：设与相交于点O， ，， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． （2） （ⅰ） （ⅱ）连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先根据，，得出，再根据“”证明，得出，得出四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形为菱形； （2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明，再根据，即可得出； （ⅱ）连接，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 （ⅰ）根据（1）可知，， 垂直平分， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， （ⅱ）略． 27. 如图，抛物线过点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点P坐标为； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）把代入即可的得出抛物线解析式； （2）依题意可得出即P点在的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出P点的坐标； （2）利用铅垂线ME，即可表达出，再由即可列出方程求解． 【小问1详解】 根据题意，得 ， 解得， 抛物线解析式为：． 【小问2详解】 由（1）得， 点，且点， ． ∵当是以BC为底边的等腰三角形 ∴PC=PB， ∵OP=OP， ∴， ∴， 设抛物线的对称轴与轴交于H点，则， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴， ． 点P坐标为． 【小问3详解】 存在． 理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F． 设，则， 设直线BC的解析式为：，依题意，得： ， 解得， 直线BC的解析式为：， 当时，， 点E的坐标为， ∵点M在第一象限内，且在BC的上方， ， ， ． ∵， ， 解得． 【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $