精品解析：山东省济南市章丘区2023-2024学年高一下学期期中阶段性诊断测试数学试题

山东省济南市章丘区2023-2024学年高一下学期期中阶段性诊断测试数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章、第七章、第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部和虚部分别是（ ） A. 1，1 B. 1， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由复数代数形式的运算化简即可. 【详解】， 所以数的实部和虚部分别是1,1， 故选：A. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得． 故选：B． 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B. 正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C. 经过不共线的三个点的球有且只有一个 D. 直棱柱的侧面是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间几何体的结构，依次分析选项即可得到答案. 【详解】对于A，两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A错误． 对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B错误． 对于C，经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C错误． 对于D，直棱柱的侧面是矩形，D正确． 故选：D 4. 棱长为的正方体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的棱长求出内切球的半径，进而求得内切球的表面积． 【详解】因为正方体的内切球的半径是正方体棱长的一半， 所以内切球的半径，所以内切球的表面积． 故选：D． 5. 已知正方形的边长为，，，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得. 【详解】如图建立平面直角坐标，则，，，， ，， ． 故选：C． 6. 已知向量，，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，，再由数量积的定义求出，最后由投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，，又， 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：C 7. 用斜二测画法画梯形的直观图，如图所示．已知，，则梯形绕轴旋转一周形成的空间几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，在直观图中，由梯形的性质可得的长，将直观图还原为原图，利用圆台的侧面积公式计算即可得答案. 【详解】画出梯形的原图，如图所示． 在直观图中，，，得， 则在原图中，，，四边形是直角梯形， 则四边形OABC绕轴旋转一周所形成的空间几何体是一个圆台， 该圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为， 故该圆台的母线长为，侧面积为． 故选：A 8. 新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（ ） A. 米 B. 80米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】由题意可得，米，， 则． 在中，由正弦定理可得， 即，解得米． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数乘法可得，再结合共轭复数以及复数的模长公式逐项分析判断. 【详解】因为， 所以，故AC错误，BD正确. 故选：BD. 10. 已知正四棱台的高为，，，则（ ） A. 正四棱台的体积为 B. 二面角的大小为 C. 直线与平面ABCD所成角的正弦值为 D. 异面直线与所成角的正切值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式，即可判断A；设上、下底面的中心分别为，，分别取和的中点，，由二面角的定义知即为所求，再利用三角函数的知识，求解即可判断B；过点作于点，由线面角的定义知即为所求，再由三角函数的知识，求解即可判断C；由知或其补角即为所求，再结合余弦定理，求解即可判断D． 【详解】对于A：正四棱台的体积，故A正确； 对于B：设上、下底面的中心分别为，，则， 分别取和的中点，，连接，，，则，， 所以即为二面角的平面角， 过点作于点， 则，， 在中，， 因为，所以， 所以二面角的大小为，故B正确； 对于C：过点作于点，则平面， 所以，，且即为直线与平面所成角， 而， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故C错误； 对于D：因为， 所以与所成角就是异面直线与所成角，即或其补角就是所求， 过点作，交于点，则四边形是平行四边形， 所以，， 所以， 在中，， 则，所以， 所以异面直线与所成角的正切值为，故D正确． 故选：ABD． 11. 在中，角的对边分别为，点是的内心.若，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由平面向量的数量积得，再结合余弦定理即可求出，于是由，结合半角公式和诱导公式即可推出的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 所以， 则由余弦定理得， 整理得， 所以由余弦定理，当且仅当时，等号成立， 又为三角形的内角， 所以，， 又且，所以， 因为点是的内心，故，分别为，的角平分线， 所以， 则， 因为，所以，即，故符合题意的有ABC. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据对应的点所在象限列出限制条件得出答案. 【详解】由题意可得解得．因为，所以． 故答案为: 1 13. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得，依题意可得且，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】由正弦定理可得，即， 因为三角形有两解，所以且，则，即，所以， 即的取值范围是. 故答案为： 14. 如图，将两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为4的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．若该正子体的体积为，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】若为重合的底面连接、交于点，连接，设正四棱锥底面边长为，根据锥体的体积公式求出，再由勾股定理计算可得，若为重合的底面，类似计算可得. 【详解】依题意为正四棱锥的侧棱或底面上的棱， 若为重合的底面，连接、交于点，连接，则平面， 依题意可知正四棱锥的高为，设正方形的边长为， 则，解得， 所以， 所以. 若为重合的底面，连接、交于点，连接，则平面， 依题意可知正四棱锥的高为，设正方形的边长为， 则，解得， 即， 综上可得：或. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）求及的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律求出； （2）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 向量，满足，，且与的夹角为， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ，解得． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，． （1）求a，c； （2）若，求AD的长． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）由同角的三角函数关系，正弦定理，余弦定理解出即可； （2）方法一直接用余弦定理解出即可；方法二先由向量的线性运算得到，然后利用模长的计算结合数量积的定义式求出AD的长. 【小问1详解】 在中，， 则． 由正弦定理得，解得． 由，解得或（舍去）． 【小问2详解】 方法一． 因为，所以． 由余弦定理可得， 故，即AD的长为． 方法二． 因为， 所以， 所以 ， 故，即AD的长为． 17. 如图，在长方体中，E，F分别为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）已知，以为直径的球的表面积为，设三点确定平面，在答题卡的图中作出平面截四棱柱所得的截面（写出作法），并求截面的周长． 【答案】（1）证明：在长方体中，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面， 所以平面． （2）证明：取BC的中点，连接，． 因为E，F分别为的中点，所以， 又平面平面， 所以平面，由（1）知平面，得平面， 又，平面EFG，所以平面平面， 又平面，所以平面． （3）取的中点，连接， 则要求作的截面为四边形． 在矩形中，， 所以，解得， 所以截面的周长为 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面平行的判定定理可得平面，由（1）可得平面，截面面面平行的判定定理与性质即可证明； （3）确定要求作的截面为四边形，根据勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济南市章丘区2023-2024学年高一下学期期中阶段性诊断测试数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章、第七章、第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部和虚部分别是（ ） A. 1，1 B. 1， C. ， D. ， 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B. 正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C. 经过不共线的三个点的球有且只有一个 D. 直棱柱的侧面是矩形 4. 棱长为的正方体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正方形的边长为，，，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 6. 已知向量，，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 用斜二测画法画梯形的直观图，如图所示．已知，，则梯形绕轴旋转一周形成的空间几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（ ） A. 米 B. 80米 C. 米 D. 米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正四棱台的高为，，，则（ ） A. 正四棱台的体积为 B. 二面角的大小为 C. 直线与平面ABCD所成角的正弦值为 D. 异面直线与所成角的正切值为2 11. 在中，角的对边分别为，点是的内心.若，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数______． 13. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是______. 14. 如图，将两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为4的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．若该正子体的体积为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）求及的值； （2）若，求的值． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，． （1）求a，c； （2）若，求AD的长． 17. 如图，在长方体中，E，F分别为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）已知，以为直径的球的表面积为，设三点确定平面，在答题卡的图中作出平面截四棱柱所得的截面（写出作法），并求截面的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $