[新知预习衔接]角(讲义)-2024-2025学年四年级上册数学西师大版

角 (知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 模块一 知识梳理 知识点1．直线、线段和射线的认识 【知识点归纳】 1．概念：直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 2．直线、射线、线段区别： （1）、直线没有端点，两边可无限延长； （2）、射线有一端有端点，另一端可无限延长； （3）、线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 知识点2．角的度量 【知识点归纳】 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量． 3．度量方法： 量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． 量角器的0刻度线和角的一条边对齐． 做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． 看刻度要分清内外圈． 知识点3．画指定度数的角 【知识点归纳】 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角 模块二 典例分析 【典例1】如图所示，将一张正方形纸沿AB折叠，如果∠1＝20°，那么∠2是多少度？ 【答案】解：如图，根据题意可知，∠2=∠3， ∠2＝（90°－20°）÷2＝35° 答：∠2是35°。 【分析】直角的度数-∠1的度数=2个∠2的度数，2个∠2的度数÷2=∠2的度数。 【典例2】如图，一张纸上画了一个角，不过角的顶点处被撕掉了。现在你能想办法量出这个角的度数吗？ 【答案】解： 反方向延长这两条射线会相交于一点，这点就是角的顶点，然后用量角器即可量出这个角的度数，量得这角的度数是40°。 【分析】反方向延长这两条射线会相交于一点，这点就是角的顶点，把量角器的中心和角的顶点重合，0°刻度线和角的一条边重合；另一条边所对应的量角器上的度数就是这个角的度数，经过度量这个角是40°。 【典例3】把一张正方形纸对折三次后展开（如下图），你能直接从图中找出45°、90°、135°的角吗？（在图中标出来） 【答案】 【分析】对折的斜线把正方形的每个顶点处的角都分成两个45度的角，平行与每条边对折的折痕把每条边中间都分成了两个90° 的角。正方形中间部分每个单独的角都是45°，三个45°的角就拼成了一个135°的角。 【典例4】张奶奶家有一块直角三角形的菜地，菜地的最大角是最小角度数的3倍，求出这块菜地每个角的度数。 【答案】解：90°÷3=30° 90°-30°=60° 答：这块菜地角的度数分别是90°、60°、30°。 【分析】最大角是直角，最大角的度数÷3=最小角的度数，90度-最小角的度数=另一个角的度数。 【典例5】小明要从家去学校，走哪条路最近？为什么？ 【答案】解：走中间的路最近，因为两点之间所有连线中线段最短。 【分析】线段的性质：两点之间，线段最短。 模块三 高频考题 1．台球在桌面上滚动遵循这样的规律：撞入方向的角和弹出方向的角相等，如下图1中. （1）一个台球如图2所示方向撞向桌边，已知那么　 　°。 （2）台球继续在桌面上滚动再次撞击桌边，形成的∠5=　 　°，∠6=　 　°。 2．下图是由同一个长方形转动而成，∠1和∠2相等吗？请在下面方框内说明理由。 3．图中直线a、b、c相交于o点，∠1＝30°，∠2＝60°。直线a、b互相垂直吗？请说明理由。 4．下图四个角中哪些角相等，请写出来并选择其中一组简要说明理由。 5．王教授早上8点到达车站候车，登上列车时，站台上时钟的时针和分针恰好左右对称。列车8点35出发，下午2点15分到达终点站。当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好3点整。那么王教授在列车上的时间共计多少分钟？ 6．如下图，三角形纸片ABC沿着DE对折，点A刚好落在BC边上的点F；沿着DF对折，点B刚好落在AC边上的点E，求∠ADE的度数。 7．已知∠1=28°，求∠2和∠5各是多少度？ 8．我们知道：三角形的内角和是180°，一个平角也是180°。请你利用这两个结论解决下列问题。 （1）如图①，如果延长三角形ABC的边BC到点D，那么∠ACD=∠A+∠B吗？请说明理由。 （2）如图②，已知∠A=40°，∠B=21°，∠C=18°，求∠BDC的大小。 9．从大连到广州航运线上，中途有8个停靠码头，若干艘客轮往返于大连与广州之间，航运公司共要为这条航运线准备多少种不同的船票？ 10．姐姐用三个同样大的正方形硬纸板摆成了如下图所示的图案。已知∠1=∠3，∠2=20°，请你计算∠4的度数。 11．下面是一张长方形纸片折起来以后的图形，其中∠1=30°，你知道∠2是多少度吗？说出你的理由？ 12．一个三角形有一个钝角和两个锐角，已知钝角是105°，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，这两个锐角分别是多少度？ 13．不在同一直线上的A、B、C三个点，经过其中的两个点画直线，最多可以画多少条？如杲再增加一个D点，最多可以画多少条？ （先画一画，再回答） 14．此时（如图）妈妈开始做豆浆，并告诉妞妞：分针再走150°。豆浆就做好了。”豆浆在什么时候可以做好？ 15．从甲市到乙市的铁路沿线上共有8个站点（包括起点站和终点站），铁路局要准备多少种不同的车票才能满足所有乘客的需求？ 16．三个正方形的位置如图所示，那么∠1的度数是多少？ 17．观察下图，想一想，直线a与直线b互相垂直吗? 为什么? 18．山东省的潍坊市是风筝之都，每次国际风筝比赛时规则是这样的：选手们的风筝线长度是相同的，主要看风筝线和地面所成的夹角，夹角越大，成绩就越好! 根据这一规则，请你给下面4位小选手当裁判，写出他们的名次。 19．马玥用五个相同的锐角和一个直角拼成了一个周角。这个锐角的度数是多少度？ 20．将一把三角尺和一个正方形纸叠放在一起，图中∠3=41°，求∠1和∠2的度数。 21．把一张长方形纸折成下图形状，已知∠1＋∠2＋∠3＝220°，求∠1，∠2，∠3的度数。（提示：两条直线相交形成的四个角中，相对的两个角大小相等） 22．把下面的角的度数分别填在适当的圈里。 15° 90° 35° 108° 179° 91° 60° 150° 23．如图，∠1＝30°，∠2＝20°，求∠3的度数。 24．从一条线段的一端到另一端，每隔2厘米画一个点（两端都画），一共画了10个点。这条线段全长多少厘米？ 25．如图，是一个平行四边形，∠1=55°，∠4=125°算一算∠2、∠3、的度数。 26．下图中有多少个角? 27．先认真看图，再写出3条线段、3条直线和3条射线。 28．如图是一张长方形纸折起来后的图形。 （1）若∠1＝50°，则∠2、∠3的度数分别是多少？ （2）若∠2＝65°，则∠1、∠3的度数分别是多少？ 29．放风筝比赛时，选手们所用的风筝线一样长，他们都把线放到了最长。 （1）量一量，甲、乙两人的风筝线与地面的夹角分别是多少度？ （2）风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？ （3）如果丙的风筝线与地面的夹角为35°，他的风筝飞得比甲、乙的高吗？ 30．蓝蓝在游乐场玩旋转飞机，她发现这个旋转飞机一共有8个座位（如图所示），爸爸问她：“你知道每相邻两个座位之间的夹角是多少度吗？”蓝蓝不明白。亲爱的小朋友，你知道答案吗？ 31．学习了角的相关知识后，天天画了三个角，如下图所示。 你认为天天的说法正确吗？请说明理由。 32．梦梦从家到图书馆共有三条路（如图所示）可以走，梦梦以同样的速度从家去图书馆借书，请你给梦梦推荐一条路线，使梦梦用时最短，并说明你的理由。 33．从天天家到蓝蓝家有3条路，天天从家到蓝蓝家走哪条路最近？ 34．如图，已知AO⊥BO（“⊥”表示垂直），CO⊥DO。请你用推理说明：∠1＝∠2。 35．某天中午甜甜开始吃饭时是12：30，饭时正好是13：00。在甜甜吃饭的这段时间里，分针和时针分别转了多少度？ 36．如图，这是一张长方形纸折起来以后的图形。其中°中，那么是多少度？ 37．妙想打开一把折扇，打开后的折扇每两条折痕夹角度数是15°，妙想数了数，不算折扇的两边，中间一共有10条折痕。这把折扇左右两边的夹角是多少度？ 38．体育课上，体育老师喊口令”向左转”“向右转”“向后转”。完成这些口令的动作时我们一共在原地转了多少度？ 39．如图，把一张正方形纸的其中一个角折叠一下，如果∠1=35°，那么∠2是多少度？ 40．如图，∠1+∠2=150°，∠1+∠3=110°。求∠1的度数。 41．拿出一张正方形纸，将它对折，出现一条折痕，将A角、D角折到刚才出现的折痕上，折出的∠1=60°。那么，∠2为多少度呢？ 42．小敏用两根火柴棒摆成一个66°的角，小丽摆出的角的度数比小敏摆的2倍还大48°。小丽摆的角是多少度？这是什么角？ 43．把一个半圆对折两次后展开（如下图），你能在图上找到哪些度数的角？ 44．将一束光照在一面镜子上，这束光通过镜面改变传播方向反射出来。光线照射路径如图所示，如果∠1＝∠2＝50°，那么∠3和∠4各是多少度？ 45．华华的妈妈带华华去外婆家，早上9：00出发，到外婆家时，华华问妈妈：“我们坐了多长时间的车？”妈妈看了看手表，笑着说：“从出发到现在，我手表上的时针走了不到30°，分针却正好走了一个平角的度数，你自己算一算。”这可把华华难住了。同学们，你知道华华和妈妈是什么时候到外婆家的吗？她们坐了多长时间的车呢？ 模块四 答案分析 1．【答案】（1）120 （2）60；30 【解答】解：（1） ∠4=180°-∠3-∠7=180°-30°-30°=120°， （2） ∠8=90°-30°=60°，则∠5=60° ∠6=90°-60°=30° 故答案为：（1）120；（2）60；30。 【分析】（1）∠7是弹出方向的角，∠3是撞入方向的角，他们都等于∠3，都等于30°；∠3∠7∠4组成一个平角，据此求出∠4的度数； （2）根据撞入方向的角和弹出方向的角相等，以及三角形的内角和是180度来进行计算。 2．【答案】答：∠1和∠2相等，因为∠1加上重叠的角与∠2加上重叠的角的度数都是90°。 【分析】∠1和重叠的角组成90°角，∠2和重叠的角组成90°角，重叠的角固定，因此∠1和∠2相等。 3．【答案】解： ∠1+∠2+∠3＝180° ∠1＝30°，∠2＝60° ∠3＝180°﹣30°﹣60°＝90° 所以直线a、b互相垂直。 【分析】∠1、∠2、∠3刚好拼成一个平角，即三个角的和是180度，据此算出∠3的度数；因为∠3=90度，所以直线a、b互相垂直。 4．【答案】解：∠1=∠3 ∠2=∠4 因为：∠1+ ∠2=180° ∠1+∠4=180° 所以：∠2=∠4 或因为：∠1+ ∠4=180° ∠4+∠3=180° 所以：∠1=∠3 【分析】平角=180度，图中每两个相邻的角加起来都是一个平角，然后利用代换即可得出相等的角。 5．【答案】解：8点整时分针与时针的夹角是120°，120÷（6 （分），王教授登上列车的时间是8时- 分； 下午2时15分时，分针与时针的夹角是： （度） （分） 王教授下列车的时间是：2时15分 分=下午2时分 ； 下午2时 分化成24时计时法是14时 分， 14时 分-8时 分=6小时，6小时=360分； 所以，王教授在列车上的时间共计360分钟。 【分析】首先，当王教授登上列车时，站台上时钟的时针和分针恰好左右对称，分针和时针相差180°，而时针在12点到3点的位置，分针在18点的位置，说明此时时间已经过了12点，下午2点15分到达终点站，王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，分针和时针在3点和6点的位置，说明时针走了3个大格，分针走了6个大格，说明从王教授到达终点站到他走下列车，时针和分针相差180°。王教授从到达终点站到他走下列车一共过了6小时，6小时为360分钟。 6．【答案】解：180°÷3=60° 答：∠ADE的度数是60°。 【分析】从对折可以看出，∠ADE、∠EDF、∠BDF三个角相等，三个角刚好拼成一个平角，三个角的和÷3=其中任意一个角的度数。 7．【答案】解：∠2=180°-28°=152° ∠5=90°-28°=62° 答：∠2=152°，∠5=62°。 【分析】平角=180°，直角=90°，∠2=平角-∠1；∠5=直角-∠1。 8．【答案】（1）解：因为：∠A+∠B+∠ACB=180° ∠ACD+∠ACB=180° 所以：∠ACD=∠A+∠B （2）解： 40°+21°+18°=79° 答：∠BDC的度数是79°。 【分析】（1）三角形的内角和是180°，平角=180°，所以∠ACD=∠A+∠B； （2）∠1=∠3＋∠B，∠2=∠4＋∠C，∠BDC=∠1＋∠2=∠3＋∠4＋∠B＋∠C= 79°。 9．【答案】解：8+2=10（个）， 中途有8个停靠码头，相当于一条线段上有10个点， 单程需要的车票种类数：10×（10-1）÷2=10×9÷2=45（种） 往返需要的车票种类数：45×2=90（种） 答：航运公司共要为这条航运线准备90种不同的船票。 【分析】这道题先按求线段的条数理解：n表示一条线段上点的个数，线段的总条数=n×（n-1）÷2， 这个是单程需要准备的车票种类数；单程需要准备的车票种类数×2=往返单程需要准备的车票种类数。 10．【答案】解：∠1+∠3=90°-20°=70° 因为∠1=∠3，所以∠3=70°÷2=35° ∠4 =90° -35° =55° 答：∠4 =55°。 【分析】∠1，∠2，∠3组成一个直角；即∠1+∠2+∠3=90度；∠3、∠4组成一个直角，即：∠3+∠4=90度，据此解答。 11．【答案】解：（180°-30°）÷2 =150°÷2 =75° 答：折叠起来的两个角相等，所以用180°减去∠1的度数，再除以2就是∠2的度数。 【分析】∠1和折叠的两个角组成平角，折叠的两个角相等，所以180°减去∠1的度数，再除以2就是∠2的度数。 12．【答案】解：（180°-105°）÷（2＋1） =75°÷3 =25° 25°×2=50° 答：这两个锐角分别是25°和50°。 【分析】三角形的内角和是180°，其中较小的锐角度数=（三角形的内角和-钝角的度数）÷（2＋1），较大锐角的度数=较小的锐角度数×2。 13．【答案】解： 答：经过3点最多可以画3条，再增加一个点，最多可以画6条。 【分析】原来的3个点可以画直线AB、AC、BC三条直线，再增加一个点，这个增加的点分别于原来的3个点画出1条直线，因此四个点一共最多可以画6条直线。 14．【答案】答：豆浆在9：25可以做好。 【分析】分针走1大格是5分，旋转了30度，分针走了150°，说明分针走了5个大格，则分针走了25分，所以做好的时间是9时25分。 15．【答案】解：单程：8×（8-1）÷2 =8×7÷2 =28（种） 28×2=56（种） 答：铁路局要准备56种不同的车票才能满足所有乘客的需求。 【分析】n表示点的个数，线段的总条数=n×（n-1）÷2，据此求出单程需要准备的车票数；单程需要准备的车票数×2=往返一共需要准备的车票数。 16．【答案】解：如图： ∠1+∠2=90°-45°=45° ∠1+∠3=90°-30°= 60° ∠1+∠2+∠1+∠3=45°+60°=105° 即：（∠1+∠2+∠3）+∠1=105° 90°+∠1=105° ∠1=105°- 90° ∠1= 15° 答：∠1的度数是15°。 【分析】正方形的每个角都是直角，即每个角都是90度，据此先分析，再解答。 17．【答案】解：180°-65°-25° =115°-25° =90° 答：互相垂直。 【分析】因为直线a与直线b上面的一个夹角与65°角、25°角组成一个平角即180°，即直线a与直线b的夹角=180°－65°－25°=90°，也就是直线a与直线b相交成直角，所以直线a与直线b互相垂直。 18．【答案】解：第一名：阳阳 第二名：亮亮 第三名：欢欢 第四名：伟伟 【分析】因为名次是根据风筝线与地面夹角的大小来定的，所以角越大名次越好，而角的大小与角两条边的开口大小有关，开口越大角就越大，并且给出的角开口差距都很明显，因此可以通过目测它们的开口大小从而判断成绩；如果遇到角开口差距很小的我们就需要实际用量角器测量再做判断。 19．【答案】解：（360°-90°）÷5 =270°÷5 =54° 答：这个锐角的度数是54° 【分析】周角=360°，直角=90°，这个锐角的度数=（360°-90°）÷锐角的个数。 20．【答案】解：90°-41°=49° ∠1=∠3=41° 答：∠1=41°，∠2=49°。 【分析】正方形的四个角都是90°，三角尺最大的内角是90°，∠2=90°-∠3；∠1=∠3=41° 21．【答案】解：∠1＝220°－（∠2＋∠3）＝220°－180°＝40° ∠3＝∠1＝40° ∠2＝180°－∠3＝180°－∠1＝180°－40°＝140° 【分析】平角=180°，∠1＝220°-平角=40°，∠1＝∠3=40°，∠2=平角-∠3。 22．【答案】解： 【分析】锐角是小于90°的角，直角是90°，钝角大于90°小于180°。 23．【答案】解：180°－2×30°－2×20° ＝180°－60°－40° ＝120°－40° ＝80° 答：∠3的度数是80°。 【分析】从图中可以看出，∠1和∠2是折起来的角，所以∠3=180°-∠1×2-∠2×2，据此代入数据作答即可。 24．【答案】解：2×（10-1） =2×9 =18（厘米） 答：这条线段全长18厘米。 【分析】一共画了10个点，说明有9条2厘米的线段；1条线段的长×9=这条线段全长。 25．【答案】解：∠2=∠4=125° ∠3=∠1=55° 答：∠2=125° ；∠3=55°。 【分析】平行四边形的一个特点是对角相等，据此解答。 26．【答案】解：3×3=9（个） 2+1=3（个） 9+3+2=14（个） 有14个角 【分析】从图中可以看出，一共有3个单个的三角形，所以是3×3=9个角，3个单个的三角形的最上面的角可以组成3个角，最下面有2个平角，所以一共是9+3+2=14个角。 27．【答案】线段MN、线段MP、线段PQ 直线MN、直线MP、直线PQ 射线MN、射线MP、射线PQ 【分析】线段有2个端点；射线有1个端点；直线没有端点。据此解答。 28．【答案】（1）解：（180°－50°）÷2 =130°÷2 ＝65° 答：∠2、∠3的度数均为65°。 （2）解：∠3＝∠2＝65° ∠1＝180°－∠2－∠3＝180°－65°－65°＝50° 答：∠1的度数是50°，∠3的度数是65°。 【分析】因为∠2是∠3翻上来的，所以∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=180°，据此作答即可。 29．【答案】（1）解：甲、乙两人的风筝线与地面的夹角分别是65°、40°。 （2）解：风筝线一样长时，风筝线与地面的夹角越大，风筝的高度越高。 （3）解：丙的风筝飞得比甲、乙的低。 【分析】（1）量角的度数时，先把量角器的中心和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，观察另一条边所指的刻度，就是这个角的度数； （2）根据风筝飞的高度和夹角的大小作答即可； （3）比较3个风筝线与底面夹角的大小即可。 30．【答案】解：360°÷8＝45° 答：每相邻两个座位之间的夹角是45°。 【分析】完整的一圈是360°，中间夹了8个角，所以每相邻两个座位之间的夹角=360°÷座位的个数，据此代入数值作答即可。 31．【答案】天天的说法不正确。 理由：角的大小与角的两边画得长短无关，只与角的两边张口的大小有关。用三角尺比一比，这三个角都是直角，即这三个角同样大，所以天天的说法不正确。 32．【答案】解：梦梦走路线C，用时最短。理由：两点之间的所有连线中，线段最短，即路线C最短。梦梦以同样的速度从家去图书馆，走路程最短的路线，用时最短。 【分析】两点之间线段最短，据此作答即可。 33．【答案】解：两个点之间的距离线段的长度比折线、曲线短，第②条路最近。 【分析】两点之间的线段最短，所以天天从家到蓝蓝家走第②条路最近。 34．【答案】解：∠1+∠COB＝90°，∠2+∠COB＝90°，所以∠1＝∠2＝90°﹣∠COB。 据此即可判断：∠1＝∠2。 【分析】互相垂直的两条直线的夹角等于90°，∠1＝90°-∠COB，∠2＝90°-∠COB，所以∠1＝∠2。 35．【答案】解：12：30到13：00是30分， 分针从12旋转到6，30°×6=180°，分针旋转了180°， 时针从12和1之间旋转到1，旋转了半格，30°÷2=15°， 答：分针转了180°；时针转了15°。 【分析】30°×旋转的格数=旋转的度数，据此解答。 36．【答案】解：∠2和∠2遮住的角相等， （180°-70°）÷2 =110°÷2 =55° 答：∠2=55°。 【分析】平角的度数-∠1的度数=2个∠2的度数，2个∠2的度数÷2=1个∠2的度数。 37．【答案】解：（10＋1）×15° =11×15° =165° 答：这把折扇左右两边的夹角是165°。 【分析】这把折扇左右两边的夹角度数=（中间一共有折痕的条数＋1）每两条折痕夹角度数。 38．【答案】解：90°+90°+180°=360° 答：成这些口令的动作时我们一共在原地转了360°。 【分析】向左转是旋转了90°；向右转是旋转了90°；向后转是旋转了180°；据此解答。 39．【答案】解：∠2=90°－ 35°－ 35°=20° 答：∠2是20°。 【分析】∠1＋∠2＋中间一个角=正方形的一个角=90°，则∠2=90°-∠1-∠1=20°。 40．【答案】解：180°－150°=30° 110°-∠3 =110°-30° =80°。 答：∠1的度数是80°。 【分析】因为∠1+ ∠2+ ∠3=180°，∠1+ ∠2=150°，所以∠3=180°－（∠1＋∠2）=30°，又因为∠1+ ∠3=110 °， 所以∠1=110°-∠3。 41．【答案】解：360°-90°×2-60° =360°-180°-60° =120° 答：∠2为120°。 【分析】∠1、∠2、∠1∠2两边的两个直角，四个角组成一个周角；∠2=360度-两个直角-∠1，据此解答。 42．【答案】解：66°×2+48° =132°+48° =180° 180°的角是一个平角 答：小丽摆的角是180°，是平角。 【分析】小丽摆出的角的度数=小敏摆出的角的度数×2倍+48°，据此解答。 43．【答案】 把一个半圆对折两次后展开（如下图），可找出45°，90°，135°，180°的角。 答：可找出45°，90°，135°，180°的角。 【分析】观察图可知，一个半圆对折1次，可以得到两个90°的角，对折两次打开，可以得到4个45° 的角，90°和45°的角合起来是135°角，两个90°角合起来是180°角，据此解答。 44．【答案】解：∠3＝∠4＝90°－50°＝40° 答：∠3和∠4各是40°。 【分析】∠2与∠4的和是90度，∠2是50度，∠4就是40度；同理，∠3也是40度。 45．【答案】解：9时+30分钟＝9时30分 答：华华和妈妈9：30到外婆家，她们坐了30分钟的车。 【分析】分针走了一个平角是180°，正好是半小时，即30分钟；出发的时间+坐车的时间=到外婆家的时间。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$