精品解析：2024年吉林省名校调研九年数学第三次模拟测试题

2024名校调研系列试卷九年级第三次模拟测试 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 若实数a与2024互为相反数，则a的值为（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 每天供给地球光和热的太阳与我们地球的平均距离是1天文单位，约等于150000000千米，将150000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，为的弦，且．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 不等式的解集是______． 8. 分解因式：a2-4a+4=___ 9. 如图，工人师傅用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，能正确解释这一现象的数学基本事实是________． 10. 根据右图中呈现的开立方运算关系，可以得出a的值为_________． 11. 如图，正方形的边长是2，延长到点E，为半径的弧恰好经过正方形的顶点C，则的长＝____________________． 12. 如图，在直角坐标系中，的顶点为．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为______． 13. 如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为__________． 14. 如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为______ ． 三、解答题(每小题5分,共20分) 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率． 17. 两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示方式放置，图②是由图①抽象出的几何图形，其中，，，点B、C、E在同一条直线上．连接．求证：． 18. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的倍．若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，小正方形的边长都是1，线段的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个等腰三角形且三边长均是无理数； （2）在图②中以线段为边画一个只是轴对称的四边形，使其面积为9． 20. 如图，五边形是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点B在点A的正北方，点E在点A的正东方，点D在点B的北偏东，且在点E的正北方，，米，米．求的长（参考数据：，，）． 21. 如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． （1）求k、b的值； （2）求的面积． 22. 某年级共有300名学生．为了解该年级学生A、B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）； b．A课程成绩在这一组是： 70 71 71 71 76 76 77 77.5 78 78 79 79 79 c．A、B两门课程成绩的平均数、中位数、众数列表如下： 课程 平均数 中位数 众数 A B 70 83 根据以上信息，解答下列问题． （1）写出表中m的值； （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是______（填“A”或“B”）； （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过分的人数． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 已知M、N两地之间有一条公路．甲车从M地出发匀速开往N地．甲车出发两小时后，乙车从N地出发，以每小时90千米的速度匀速开往M地，两车同时到达各自的目的地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为______千米/小时，a的值为______； （2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式； （3）当甲、乙两车相距120千米时，求甲车行驶的时间x． 24. 综合与实践课上，老师组织同学们开展以“矩形的折叠”为主题的数学活动． （1）操作判断 操作一：如图①，取一张矩形纸片．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，在EF上取一点H，连接AH、BH，总有； 操作二：如图②，第二次折叠纸片ABCD，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接BN、MN、AN，由，，可知是等边三角形； 根据以上操作，除等边的三个内角外，写出图②中一个60°的角______； （2）探究提升 如图③，延长MN交BC于点G，求证：是等边三角形； （3）拓展应用 如图④，第三次折叠纸片ABCD，使点D落在EF上的点Q处，并使折痕经过点C，得到折痕CP，把纸片展平，连接PQ、CQ．若点Q在点N的左侧，，则矩形ABCD的面积为______． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，．动点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作于点．以为边向右作正方形，正方形与重叠部分图形的面积为．设动点的运动时间为． （1）当点在上时，的长为______（用含的代数式表示）； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当所在的直线将的面积分为的两部分时，直接写出的取值范围． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为A，点P在此抛物线上，其横坐标为m，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，以点P为直角顶点，为腰在的上方作等腰直角三角形． （1）求此抛物线的解析式； （2）当点O在内部时，求m的取值范围； （3）当此抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围； （4）过点M作直线的垂线，垂足为N．当此抛物线在四边形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024名校调研系列试卷九年级第三次模拟测试 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 若实数a与2024互为相反数，则a的值为（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键． 【详解】解：实数a与2024互为相反数， a的值为， 故选：D 2. 每天供给地球光和热的太阳与我们地球的平均距离是1天文单位，约等于150000000千米，将150000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 3. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握面动成体．从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体，分别判断各选项是否可得到图中所示的立体图形． 【详解】解：绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是： 故选：D． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】A：，故该选项不正确，不符合题意； B：，故该选项正确，符合题意； C：，故该选项不正确，不符合题意； D：，故该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，是的直径，为的弦，且．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据，可得，，即，问题随之得解． 【详解】连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键． 6. 如图，在中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作角平分线和垂直平分线，熟知角平分线的作法和垂直平分线性质是解答此题的关键． 根据题意得到是的角平分线，垂直平分，进而求解即可． 【详解】解：由作图知，是的角平分线， ∴，故A不符合题意； 由作图知垂直平分， ∴，，故C，D不符合题意； 无法证明，故B符合题意， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，移项合并同类项，化系数为即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解： 故答案为：． 8. 分解因式：a2-4a+4=___ 【答案】（a-2）2． 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式． 【详解】解：a2-4a+4=（a-2）2． 故答案为：（a-2）2． 9. 如图，工人师傅用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，能正确解释这一现象的数学基本事实是________． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟记相关数学结论即可． 【详解】解：由题意得：工人师傅用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上， 运用的基本数学事实为：两点确定一条直线 故答案为：两点确定一条直线 10. 根据右图中呈现的开立方运算关系，可以得出a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，由图可知，左右数字变化为开立方运算，通过开立方为，而与为相反数且一个数的立方根只有一个进行分析判断，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵开立方为，与为相反数且一个数的立方根只有一个， ∴的立方根为， ∴， 故答案为：． 11. 如图，正方形的边长是2，延长到点E，为半径的弧恰好经过正方形的顶点C，则的长＝____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，弧长公式．连接，根据勾股定理求出，求出，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：连接， 由勾股定理得： ， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴的长度=＝． 故答案为：． 12. 如图，在直角坐标系中，的顶点为．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，且， 点的坐标为，即， 故答案为：． 13. 如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握正方形的面积公式，实数的开方运算，线段的和差计算，是解决问题的关键，先由正方形面积为2可知边长为，而后根据线段的和差即得． 【详解】∵正方形面积为2， ∴， ∵点A表示的数为2， ∵， ∵点E在点A的左边， ∴， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理的应用是解题的关键．首先证明是等腰直角三角形，利用面积，然后由勾股定理得，从而求出，再通过勾股定理求得，最后根据，求出的值即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 三、解答题(每小题5分,共20分) 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的混合运算法化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式， ， 当时，原式． 16. 班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率． 【答案】 【解析】 【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有种， 则某同学获一等奖的概率为：， 答：某同学获一等奖的概率为． 【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键． 17. 两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示方式放置，图②是由图①抽象出的几何图形，其中，，，点B、C、E在同一条直线上．连接．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即． 在与中， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解此题的关键． 由得到．由，，根据即可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】略 18. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的倍．若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度． 【答案】甲骑行的速度为18千米/时 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设乙骑行的速度是y千米/时，则甲骑行的速度是千米/时．再利用两个人的骑行时间建立相等关系，列方程求解即可． 【详解】解：设乙骑行的速度是y千米/时，则甲骑行的速度是千米/时． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则． 答：甲骑行的速度为18千米/时． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，小正方形的边长都是1，线段的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个等腰三角形且三边长均是无理数； （2）在图②中以线段为边画一个只是轴对称的四边形，使其面积为9． 【答案】（1） 如图①，即为所求作， （2） 如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可，然后利用网格及勾股定理求出边长为无理数； （2）作底为2和4，高为3的等腰梯形即可． 【小问1详解】 解：，三边均为无理数． 【小问2详解】 解：面积为． 20. 如图，五边形是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点B在点A的正北方，点E在点A的正东方，点D在点B的北偏东，且在点E的正北方，，米，米．求的长（参考数据：，，）． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，勾股定理及锐角三角函数，过点B作，则，根据得四边形是矩形，则，，根据点D在点B的北偏东得，根据得，在中，，米，米，根据勾股定理得，，在中，，，即可得，则，掌握矩形的性质，平行线的性质，勾股定理及锐角三角函数． 【详解】解：如图所示，过点B作， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点D在点B的北偏东， ∴， ∵， ∴， 在中，，米，米，根据勾股定理得， ， 在中，，， 即， ∴， 答：的长为． 21. 如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． （1）求k、b的值； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式： （1）代入点C坐标求得反比例函数的关系式，再计算点B的坐标，将点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）分别求出点A、D和E的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； ∵点B的横坐标为6， ∴点B的纵坐标为4，即点， 将代入得：， 则； 【小问2详解】 解：∵，轴， ∴点， 由（1）可得，直线解析式为， 当时，，点， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴． 22. 某年级共有300名学生．为了解该年级学生A、B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）； b．A课程成绩在这一组是： 70 71 71 71 76 76 77 77.5 78 78 79 79 79 c．A、B两门课程成绩的平均数、中位数、众数列表如下： 课程 平均数 中位数 众数 A B 70 83 根据以上信息，解答下列问题． （1）写出表中m的值； （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是______（填“A”或“B”）； （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过分的人数． 【答案】（1） （2）B （3）180人 【解析】 【分析】（1）本题考查了数据统计中位数的概念，“将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.”根据概念，课程数据一共14个为偶数，将其从小到大排列，取中间两个数的平均数即可求得． （2）要确定学生哪门成绩排名更靠前，只需要根据成绩和中位数的关系即可知道排名更靠前的课程． （3）要求当参加考试总人数300人时，A课程成绩超过分的人数，只需要总人数300乘以抽取的学生中A课程成绩超过分的比例即可． 【小问1详解】 解： 根据A课程成绩的频数分布直方图可知： 成绩为，，，分别为2、6、12人，共20人； 成绩为，，分别为18、8人，共26人； 成绩为数据共14个，即是： 70 71 71 71 76 76 77 78 78 79 79 79 ． 一共有60个数据为偶数，因此将整组数据按照从小到大排列后，位于中间的两个数据是处于成绩内的第10和第11个数据，即是78，79. 　. 【小问2详解】 解： 该学生A课程分数76分低于A课程中位数78.5，排名在中间位置之后，而B课程分数71高于B课程中位数70，排名在中间位置之前. B课程排名靠前． 【小问3详解】 解： 根据题中给的数据，抽取的60名学生中，A课程成绩超过75.8的人数为36人， 若参加人数300，估计A课程成绩超过分的人数为：人． 答: 该年级学生都参加测试，估计A课程分数超过75.8的人数为180人． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 已知M、N两地之间有一条公路．甲车从M地出发匀速开往N地．甲车出发两小时后，乙车从N地出发，以每小时90千米的速度匀速开往M地，两车同时到达各自的目的地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为______千米/小时，a的值为______； （2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式； （3）当甲、乙两车相距120千米时，求甲车行驶的时间x． 【答案】（1）60；6； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，明确题意、找出所求问题需要的条件、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据题意得出甲车的速度为千米/小时，再由两车同时到达各自的目的地即可求解； （2）设y与x的函数关系式为，点B的横坐标为：，结合函数图象，分两部分计算求解即可； （3）利用（2）中结果，代入求解即可． 【小问1详解】 解：甲车的速度为千米/小时， 根据图象得M、N两地之间的距离为360千米，点B表示两车相遇， ∴， 故答案为：60；6； 【小问2详解】 设y与x的函数关系式为， 点B的横坐标为：， 当时， 把代入得：， 解得：， ∴； 当时，把(6,360),(3.6,0)代入解析式得：， 解得：， ∴； ∴； 【小问3详解】 当时， 令，得，解得：， 当时， 令，得，解得：， ∴或． 24. 综合与实践课上，老师组织同学们开展以“矩形的折叠”为主题的数学活动． （1）操作判断 操作一：如图①，取一张矩形纸片．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，在EF上取一点H，连接AH、BH，总有； 操作二：如图②，第二次折叠纸片ABCD，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接BN、MN、AN，由，，可知是等边三角形； 根据以上操作，除等边的三个内角外，写出图②中一个60°的角______； （2）探究提升 如图③，延长MN交BC于点G，求证：是等边三角形； （3）拓展应用 如图④，第三次折叠纸片ABCD，使点D落在EF上的点Q处，并使折痕经过点C，得到折痕CP，把纸片展平，连接PQ、CQ．若点Q在点N的左侧，，则矩形ABCD的面积为______． 【答案】（1）、、、、（答案不唯一）； （2） 证明：由探索发现可得：， ∴， ∴为等边三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠可得：是等边三角形，，，再结合矩形的性质与平行线的性质可得结论； （2）由探索发现可得：，从而可得结论； （3）同理可得：，证明，，可得，，，证明四边形为平行四边形，可得，同理可得：，再进一步结合勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：由折叠可得：是等边三角形，，， ∴，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 如图，同理可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 同理可得：， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得：， ∵同理可得：， 而，， ∴， ∴， ∴， 由可得： ， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握基础图形的性质是解本题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，．动点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作于点．以为边向右作正方形，正方形与重叠部分图形的面积为．设动点的运动时间为． （1）当点在上时，的长为______（用含的代数式表示）； （2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当所在的直线将的面积分为的两部分时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）当或时，所在的直线将的面积分为的两部分． 【解析】 【分析】（）根据线段和差即可求解； （）分当点落在上时，，，则当时，运动到点，则当时，当点在上时，即时三种情况分析即可； （）设所在直线交折线于点，分当在上时，当在上时两种情况分析即可． 【小问1详解】 由题意知：速度为，则， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 当点落在上时，如图， 由题知，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，解得： ， ∴当时，， ，，则当时，运动到点，则当时，如图所示， 设交于，交于， 由知：， ∵， ∴， ∴， 同理可得：和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，， 当点在上时，即时，如图， 此时与重合， 同理可得：是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 综上可知：； 【小问3详解】 设所在直线交折线于点， 当在上时，如图， ∴， ∴， ∴点为中点， ∴， ∴， 过作于点， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（）得：，， ∴，即， ∴，整理得：， 解得：，经检验，是原分式方程的解， 当在上时，如图，同理为中点， ∴当时，将的面积分为的两部分， 综上可知：当或时，所在的直线将的面积分为的两部分． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，函数关系式，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为A，点P在此抛物线上，其横坐标为m，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，以点P为直角顶点，为腰在的上方作等腰直角三角形． （1）求此抛物线的解析式； （2）当点O在内部时，求m的取值范围； （3）当此抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围； （4）过点M作直线的垂线，垂足为N．当此抛物线在四边形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2）当时，点O在内部； （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与三角形及一次函数的综合问题，理解题意，分情况分析作出相应图象是解题关键． （1）将点代入即可求解； （2）当点O在上时，点P即为抛物线与x轴的交点，求出两个交点的横坐标，结合图象即可求解； （3）根据题意得出，设所在直线的解析式为，确定，然后由点，与点恰好关于抛物线的对称轴对称，得出，当点P在直线右侧抛物线图象上时，分别作出图象即可求解； （4）分两种情况分析：当点A恰好在上时，当点P在右侧时，作出相应的图像求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 当点O在上时，点P即为抛物线与x轴的交点， 当时，， 解得：， ∴抛物线与x轴的左交点为， ∴当时，点O在内部； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵等腰直角三角形． ∴设所在直线的解析式为， 将点代入得：， ∴， 当时，， ∴点，与点恰好关于抛物线的对称轴对称， ， 当时，即时，内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大； 当点P在直线右侧抛物线图象上时，内部的图象对应的函数值y随x的增大而减小， ∴， 综上可得：或； 【小问4详解】 如图，当点A恰好在上时， ∵， ∴P点纵坐标为2， 当时，， 解得（舍去）， ∴， 当点P在右侧时，当时，纵坐标差为2， ∴， 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $