2024年九年级数学中考复习专题满分秘籍讲义 二次函数与几何模型综合压轴突破

二次函数与几何模型综合压轴突破 《学习目标分解》 1.熟练掌握二次函数图象和性质； 2.掌握二次函数与几何综合问题的处理方法. 《重难点分析》 1.二次函数图象和性质的综合应用； 2.二次函数与几何问题的综合处理； 3.二次函数与新定义问题的处理. 《专题热点精准分析》 二次函数与几何综合问题 1.二次函数与几何图形的面积问题 二次函数与几何图形的面积问题一般是利用面积公式表达出图形的面积函数关系式——一般是二次函数的表达式，再利用函数的解析式的特点求面积的最值问题；此外还会涉及到面积相等、给出面积的值等问题，其核心处理方法都是表示出面积的表达式，再去研究相关的性质. 2.二次函数与等腰三角形 在二次函数的图象中研究等腰三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准顶角与底角是分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段. 3.二次函数与直角三角形 在二次函数的图象中研究直角三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段. 4.二次函数平行四边形 在二次函数的图象中研究平行四边形的问题常会用到平行四边形的一些性质之间的转化，同时此类问题也会涉及到矩形、菱形、正方形的确定，其分析思想是互通的. 5.二次函数与线段和、差的最值问题 在二次函数的图象中研究线段的和、差最值问题，一般会用到初二所学的将军饮马问题的思想，其本质一般是三点共线问题的处理. 典例1.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点． （1）求b、c的值； （2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标； （3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】解：（1）∵CD∥x轴，CD=2，∴抛物线对称轴为x=1．∴． ∵OB=OC，C（0，c），∴B点的坐标为（﹣c，0）， ∴0=c2+2c+c，解得c=﹣3或c=0（舍去），∴c=﹣3； （2）设点F的坐标为（0，m）． ∵对称轴为直线x=1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）． 由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4）， ∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4）， ∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6． ∵点F在BE上，∴m=2×2﹣6=﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）； （3）存在点Q满足题意． 设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3． 作QR⊥PN，垂足为R， ∵S△PQN=S△APM，∴，∴QR=1． ①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n），R点的坐标为（n，n2﹣4n），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）． ∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2， ∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为； ②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）． 同理，NQ2=1+（2n﹣1）2， ∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为． 综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或． 【精准解析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；（2）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；（3）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标， 练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积． 【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， 把A、B、C三点坐标代入可得，解得， ∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4； （2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1， ∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点， ∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2， 代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=， ∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）； （3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4）， 过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2， ∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4， ∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t， ∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8， ∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6， ∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8． 【精准解析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标． 《小结》 二次函数与几何图形的面积问题一般是利用函数的面积公式表达出图形的面积函数关系式——一般是二次函数的表达式，再利用函数的解析式的特点去研究面积的特点. 典例2.已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）． （1）求c1的解析式； （2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值； （3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点； （4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形． 【答案】解：（1）∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4）， ∴设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4， 把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，∴a=﹣1， ∴抛物线c1的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3； （2）解得x2+3x+m﹣3=0， ∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，∴△=9﹣4m+12=0，∴m=； （3）∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2， ∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3）， ∴抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3， ∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点； ②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点； ③当3＜n＜4或n＜3时，l2与c1和c2共有四个交点； （4）如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，∴B（3，0），∴OB=3，∴AB==4， ①当AP=AB=4时，PB=8，∴P1（﹣5，0）， ②当AB=BP=4时，P2（3﹣4，0）或P3（3+4，0）， ③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=4，∴P4（﹣1，0）， 综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形． 【精准解析】（1）设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到结论；（2）解方程组得到x2+3x+m﹣3=0，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB==4，①当AP=AB，②当AB=BP=4时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论． 练习1.如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由； （3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】解：（1）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c． ∵点A（1，0），点B（﹣3，0），点C（0，）在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+； （2）DG=DE．理由如下： 设直线l1的解析式为y=k1x+b1，将A（1，0），C（0，）代入，解得y=﹣x+； 设直线l2的解析式为y=k2x+b2，将B（﹣3，0），C（0，）代入，解得y=x+； ∵抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（﹣3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1， 又∵点G、D、E均在对称轴上， ∴G（﹣1，2），D（﹣1，），E（﹣1，）， ∴DG=2﹣=，DE=﹣=，∴DG=DE； （3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，分三种情况： ①以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1、C，点M1与C关于抛物线的对称轴对称，则M1的坐标为（﹣2，）； ②以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3，点M2与点A重合，点A、C、G在一条直线上，不能构成三角形，M3与M1重合； ③作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5，点M4与点D重合，点D的坐标为（﹣1，），M5与M1重合； 综上所述，满足条件的点M只有两个，其坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）． 【精准解析】（1）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c．将点A、B、C的坐标代入，得到关于a、b、c的方程组，解方程求出a、b、c的值，进而得到抛物线的解析式；（2）利用待定系数法分别求出直线l1、直线l2的解析式，再求出G、D、E的坐标，计算得出DG=DE=；（3）当△MCG为等腰三角形时，分三种情况：①GM=GC；②CM=CG；③MC=MG． 《小结》 在二次函数的图象中研究等腰三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准顶角与底角是分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段. 典例3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），∴AC=5． ∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，∴BC=AC=5．∴B（﹣4，﹣5）． 将点A和点B的坐标代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3． （2）如图1所示： 设直线AB的解析式为y=kx+b， 将点A和点B的坐标代入得：，解得：k=1，b=﹣1． 所以直线AB的解析式为y=x﹣1． 设点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）． ∴EF=﹣t2﹣2t+3﹣（t﹣1）=﹣t2﹣3t+4=﹣（t+）2+． ∴当t=﹣时，FE取最大值，此时，点E的坐标为（﹣，﹣）． （3）存在点P，能使△PEF是以EF为直角边的直角三角形． 理由：如图所示：过点F作直线a⊥EF，交抛物线于点P，过点E作直线b⊥EF，交抛物线P′、P″． 由（2）可知点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），t=﹣， ∴点E（﹣，﹣）、F（﹣，）． ①当﹣t2﹣2t+3=时，解得：t=﹣或t=﹣（舍去）． ∴点P的坐标为（﹣，）． ②当﹣t2﹣2t+3=﹣时，解得：t=﹣1+或t=﹣1﹣． ∴点P′（﹣1﹣，﹣），P″（﹣1+，﹣）． 综上所述，点P的坐标为（﹣，）或（﹣1﹣，﹣）或P″（﹣1+，﹣）． 【精准解析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入可求得直线AB的解析式，设点E的坐标为（t，t﹣1），则点F的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），然后列出EF关于t的函数关系式，最后利用配方法求得EF的最大值即可；（3）过点F作直线a⊥EF，交抛物线于点P，过点E作直线b⊥EF，交抛物线P′、P″，先求得点E和点F的纵坐标，然后将点E和点F的纵坐标代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而可求得点P、P′、P″的坐标． 练习1.如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S． ①求S关于m的函数表达式； ②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得，解得：， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8； （2）①∵OA=8，OC=6，∴AC==10， 过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB===， ∴=，∴QE=（10﹣m），∴S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m； ②∵S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m=﹣（m﹣5）2+， ∴当m=5时，S取最大值； 在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形， ∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8的对称轴为x=， D的坐标为（3，8），Q（3，4）， 当∠FDQ=90°时，F1（，8）， 当∠FQD=90°时，则F2（，4）， 当∠DFQ=90°时，设F（，n）， 则FD2+FQ2=DQ2，即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16，解得：n=6±， ∴F3（，6+），F4（，6﹣）， 满足条件的点F共有四个，坐标分别为 F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）． 【精准解析】（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；（2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数；②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写． 《小结》 在二次函数的图象中研究直角三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补、相似（下学期学）等性质来转化已知条件是常用的处理手段. 典例4.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标； （3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），∴OC=3， ∵OC=3OB，∴OB=1，∴B（﹣1，0）， 把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，∴， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3； （2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F， ∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），∴AF∥x轴，∴F（﹣1，﹣3）， ∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°， 设D（0，m），则OD=|m|， ∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1， ∴D1（0，1），D2（0，﹣1）； （3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n）， ①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME， ∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a﹣1|=3，∴a=4或a=﹣2，∴M（4，5）或（﹣2，5）； ②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3， 则N在x轴上，M与C重合，∴M（0，﹣3）， 综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）． 【精准解析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m|即可得到结论；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论． 练习1.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5； （2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8）， 设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8， 代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3， ∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8）， ∵C（﹣6，8），∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位， ∴m的值为7或9； （3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为x=2， ∴可设P（2，t），由（2）可知E点坐标为（1，8）， ①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图， 则∠BEF=∠BMP=∠QPN， 在△PQN和△EFB中 ∴△PQN≌△EFB（AAS）， ∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4， 设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6， 当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7， ∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）； ②当BE为对角线时， ∵B（5，0），E（1，8）， ∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4）， 设Q（x，y），且P（2，t）， ∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，∴Q（4，5）； 综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）． 【精准解析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标． 《小结》 在二次函数的图象中研究平行四边形的问题常会用到平行四边形的一些性质之间的转化，同时此类问题也会涉及到矩形、菱形、正方形的确定，其分析思想是互通的. 典例5.如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0） （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 【答案】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3， 解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标为（1，4）． （2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3， 当x=1时，y=﹣1+3=2， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）． 【精准解析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案． 练习1.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标； （3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值． 【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴，解得：， ∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）； （2）∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，﹣t2+2t+3）（t＞0）， 又点C（0，3）， 设直线NC的解析式为y=k1x+b1， 则，解得：， ∴直线NC的解析式为y=（﹣t+2）x+3， 设直线CN与x轴交于点D， 当y=0时，x=，∴D（，0），BD=3﹣， ∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC﹣yN|=[3﹣（﹣1）]×3， 即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]=6， 整理，得：t2﹣3t﹣4=0，解得：t1=4，t2=﹣1（舍去）， 当t=4时，﹣t2+2t+3=﹣5，∴N（4，﹣5）； （3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ， 则MM′=3， ∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3， ∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′， 由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值， 设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）， 将点M′（1，1）、N（4，﹣5）代入，得：，解得：， ∴直线M′N的解析式为y=﹣2x+3， 当y=0时，x=，∴Q（，0），即m=， 此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E， 在Rt△M′EN中，∵M′E=1﹣（﹣5）=6，NE=4﹣1=3，∴M′N==3， ∴M′Q+QN=3，∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【精准解析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；（2）设N（t，﹣t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=AB•OC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N==3，即M′Q+QN=3，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 《小结》 在二次函数的图象中研究线段的和、差最值问题，一般会用到初二所学的将军饮马问题的思想，其本质一般是三点共线问题的处理. 二次函数与新定义问题 在二次函数与新定义问题中，重点是将题中给出的定义“翻译”成学过的知识，再结合二次函数的性质综合进行处理，其难点就在于“翻译定义”的过程，对学生的理解能力和初中知识的运用能力要求较高. 典例1.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数； （2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围． 【答案】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k， 当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4． ∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上． 当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4． ∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上． ∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上， ∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”． ∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4． （2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1． 整理得：m2﹣2m+1=0，解得：m1=m2=1． ∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1， ∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3）， ∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”， ∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4， ∴函数y2的表达式为：y2=x2﹣2x+1． ∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， ∴函数y2的图象的对称轴为x=1． ∵1＞0，∴函数y2的图象开口向上． 当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上， ∴y2的取值范围为0≤y2≤4． 【精准解析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题． 练习1.设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=﹣c，b=2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”． （1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”； （2）已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=nx2+x，函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍【答案】解：（1）∵y=x2+x+1，∴y=， ∴二次函数y=x2+x+1的顶点坐标为（﹣，）， ∴二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，）， ∴反倍顶二次函数的解析式为y=x2﹣x+； （2）y1+y2=x2+nx+nx2+x=（n+1）x2+（n+1）x， y1+y2=（n+1）（x2+x+）﹣， 顶点坐标为（﹣，﹣）， y1﹣y2=x2+nx﹣nx2﹣x=（1﹣n）x2+（n﹣1）x， y1﹣y2=（1﹣n）（x2﹣x+）﹣， 顶点坐标为（，﹣）， 由于函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”， 则﹣2×=﹣，解得n=． 【精准解析】（1）先求出y=x2+x+1的顶点坐标，然后根据反倍顶二次函数”的定义求出答案；（2）先求出y1+y2和y1﹣y2的解析式并求出顶点坐标，然后根据条件a=﹣c，b=2d，且开口方向相同求出n的值． 《小结》 与二次函数相关的新定义问题是较综合的问题，是对二次函数性质的综合考查，难度较大. 《当堂总结》 二次函数是初中数学的重点知识，而二次函数的综合问题也是初中数学的重难点问题，其中常见的类型包括二次函数与一次函数结合类的综合问题、二次函数与几何综合问题及与二次函数相关的新定义问题，其中涉及到二次函数与几何的综合问题对几何性质的考查也是非常重要的，要求学生对几何性质要熟练掌握，才能在解题的过程中灵活运用. 学科网（北京）股份有限公司 $$