精品解析：宁夏石嘴山市平罗县平罗中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（重点班）

平罗中学2023-2024学年度第二学期期末考试题 高二数学（尖） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题：①回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系；②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；③在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近时，样本数据的线性相关程度越强.④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大.其中正确的命题序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 3. 已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（ ）． A. B. C. D. 4. 关于函数．下列说法中：①它的极大值为，极小值为；②当时，它的最大值为，最小值为；③它的单调减区间为；④它在点处的切线方程为，其中正确的有个 A. B. C. D. 5. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 6. 上周联考的数学成绩服从正态分布，且，负责命题的王老师考后随机抽取了个学生的数学成绩，设这个学生中得分在的人数为，则随机变量的方差为（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 等差数列 的前 项和为 ，则（ ） A. B. C. D. 当 时， 的最小值为 16 10. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有120种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有24种 D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种 11. 下列四个命题是真命题的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数f（x）满足，则 D. 若方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为_________． 13. 若的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为______. 14. 在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右第3个数是______；若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为，则______. 四.解答题:本题共5小题,共77分,其中第15题13分,第16题和第17题每题15分,第18题和第19题每题17分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，，恰为等比数列的前三项． （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：． 16. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占. （1）根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？ 女生 男生 合计 运动达人 非运动达人 合计 （2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率. 附：，. 0.100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 17. 如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； （2）若，讨论函数的单调性； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 19. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2023-2024学年度第二学期期末考试题 高二数学（尖） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得集合，可求得. 【详解】依题得，则． 故选：C. 2. 下列命题：①回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系；②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；③在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近时，样本数据的线性相关程度越强.④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大.其中正确的命题序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由线性相关关系、回归方程、残差图、相关系数与独立性检验的定义与性质逐项判断即可得. 【详解】对①：由，故变量与具有负的线性相关关系，故①正确； 对②：在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄， 其模型拟合的精度越高，故②正确； 对③：样本相关系数越接近时，样本数据的线性相关程度越强，故③正确； 对④：对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小， 判断“与有关系”的把握越小，故④错误. 故选：B. 3. 已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故选：A. 4. 关于函数．下列说法中：①它的极大值为，极小值为；②当时，它的最大值为，最小值为；③它的单调减区间为；④它在点处的切线方程为，其中正确的有个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵函数 ∴ 由，解得x>2或x<−2，此时函数单调递增， 由，解得−2<x<2,此时函数单调递减，∴③正确； 当x=−2时,函数f(x)取得极大值f(−2)=，当x=2时,函数f(x)取得极小值f(2)=，∴①结论正确；时，单调递增，它的最大值为，最小值为，∴②不正确；∴它在点处的切线方程为，∴④正确， 故选:C. 5. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据，，，利用基本不等式，由求解. 【详解】因为，，， 所以， 所以 ， 当且仅当 时，取等号， 所以的最小值是， 故选：C 6. 上周联考的数学成绩服从正态分布，且，负责命题的王老师考后随机抽取了个学生的数学成绩，设这个学生中得分在的人数为，则随机变量的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，求得学生得分在的概率，再根据二项分布方差的计算方法求解即可. 【详解】由正态分布知，学生得分在的概率为， 抽取个学生得分在的人数服从二项分布， . 故选：. 7. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A表示甲车间生产的产品， 记事件表示乙车间生产的产品， 记事件表示丙车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 ， 若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为： . 故选：C 8. 已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段讨论不等式，利用导数研究函数的最值即可得出参数范围. 【详解】当时，. 当时，恒成立等价于恒成立，因为当时，，所以. 当时，恒成立等价于恒成立. 记，则在区间上为增函数， 并且零点为，单调递减， 单调递增， 因此，所以. 综上，. 故选：A. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 等差数列 的前 项和为 ，则（ ） A. B. C. D. 当 时， 的最小值为 16 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由等差数列性质即可判断；对于B，由公差的定义即可判断；对于C，作差结合公差小于0即可判断；对于D，只需注意到，由此即可判断. 【详解】对于A，由题意，故A正确； 对于B，，其中为等差数列的公差，即，故B正确； 对于C，，即，故C错误； 对于D，由题意， 从而当，，且，故D正确. 故选：ABD. 10. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有120种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有24种 D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，按照分步乘法原理可计算；对B，从5个盒子中选出4个盒子的排列；对C，先选定两个盒子的编号与球的编号相同的球，再考虑剩下的两个球不放进自己编号的盒子放法有种；对D，即考虑哪个盒子为空的放法有5种. 【详解】对于A，每个球都有5种放法，共有种放法，故A正确； 对于B，把球全部放入盒子内，恰有一个盒子不放球，则有4个盒子每个盒子放1个球，有种放法，故B正确； 对于C，每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有种放法，故C错误； 对于D，将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒，即有4个盒子每个盒子放1个球的放法有5种，故D正确， 故选：ABD. 11. 下列四个命题是真命题的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数f（x）满足，则 D. 若方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】A. 利用抽象函数的定义域求解判断；B.利用函数的单调性求解判断；C. 由得到，联立求解判断；D.令，利用方程根的分布判断. 【详解】A. 因为函数的定义域为，所以，解得 ，所以函数的定义域为，故是真命题； B. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增，所以函数的值域为，故不是真命题； C. 由，得，联立解得，故不是真命题； D.令，因为的两个不等实根都在区间内， 所以，即， 解得，所以实数的取值范围为，故是真命题； 故选：AD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以有，等号不同时成立，， 当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意， 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 若的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为______. 【答案】－448 【解析】 【分析】令，和联立求解可得和的值，化简通项，由的指数等于2可解. 【详解】由题意得，所以， 所以的展开式的通项为， 令，解得. 所以的系数为. 故答案为：－448 14. 在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右第3个数是______；若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为，则______. 【答案】 ①. 36 ②. 27 【解析】 【分析】由归纳推理及组合数的运算可得． 【详解】依题意 ，， 解得． 故答案为：；. 四.解答题:本题共5小题,共77分,其中第15题13分,第16题和第17题每题15分,第18题和第19题每题17分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，，恰为等比数列的前三项． （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1），；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列，等比数列基本量计算即可求出通项公式（2）由可知数列利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意，，得， 由，得，． 所以． 由，，得公比，所以． （2）因为，所以① 得② ①-②得 ． 所以． 从而． 【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列基本量的运算，错位相减法求数列的和，属于中档题. 16. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占. （1）根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？ 女生 男生 合计 运动达人 非运动达人 合计 （2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率. 附：，. 0.100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）列联表如下图所示： 女生 男生 合计 运动达人 15 30 45 非运动达人 5 30 35 合计 20 60 80 有90％的把握认为“运动达人”和性别有关； （2）. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算的观测值并作答. （2）利用独立重复试验的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算即得. 【小问1详解】 抽取的80人中，女生与男生的人数比为，则女生有20人，男生有60人， 男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占，则得如下列联表： 女生 男生 合计 运动达人 15 30 45 非运动达人 5 30 35 合计 20 60 80 显然， 所以有90％的把握认为“运动达人”和性别有关. 【小问2详解】 由分层抽样，得抽取的男生人数为2，女生人数为1， 记“恰有两人闯关成功”为事件A，“有女生闯关成功”为事件B， 则，， 于是， 所以恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为. 17. 如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）由已知得，, 又由得，故∥， 因此，从而⊥. 由得. 由∥得.所以,. 于是,故. 又,而, 所以平面. （2）. 【解析】 【详解】分析：(1)证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即利用线线垂直进行论证，而线线垂直的寻找与论证往往需要利用平面几何条件，如本题需利用勾股定理经计算得出线垂直 （2）一般可利用空间向量的数量积求二面角的大小， 首先根据题意建立恰当的直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面的法向量，再根据向量数量积求出两个法向量的夹角的余弦值，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角的余弦值. 试题解析：(1)略 （2）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，， . 设是平面的法向量， 则，即，可取. 设是平面的法向量， 则，即，可取 于是， 设二面角的大小为，.因此二面角的正弦值是. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； （2）若，讨论函数的单调性； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 时，在上单调递增； 当时，的单调增区间为，；单调减区间为； 当时，的单调增区间为，；单调减区间为. （3）. 【解析】 【分析】（1）求导，，可得结果； （2），讨论，，，根据导数正负判断单调性. （3）,讨论，根据单调性判定是否成立即可． 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 由题，可得 由于，的解为，. ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以的单调增区间为，；单调减区间为； ③当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以的单调增区间为，；单调减区间为. 【小问3详解】 ①当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立； ②当时，， 所以在上单调递增，所以成立； ③当时，在区间上，：在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以当时，，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 19. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1） （2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. 【小问2详解】 （i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $