精品解析：湖南省部分学校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

高一数学期中考试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、必修第二册第六章至第八章8.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出两集合，根据交集含义即可得到答案. 【详解】由题意得，， 则. 故选：B. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的有关概念直接得出结果. 【详解】因为，所以 则z的虚部为2. 故选：A 3. 下列结论正确的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C. 有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D. 棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥的定义即可判断A，举反例即可判断BC，根据棱台特点即可判断D. 【详解】对于A，底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才是正四棱锥，故A错误； 对于B，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误； 对于C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台， C错误； 对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D. 4. 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数平移规则“左加右减”，结合诱导公式可解. 【详解】图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数. 故选：A 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点的存在性定理结合函数的单调性判断即可. 【详解】易知函数是上的增函数， 且，，即， 根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为. 故选：C. 6. 一艘轮船从地出发，先沿东北方向航行15海里后到达地，然后从地出发，沿北偏西方向航行10海里后到达地，则地与地之间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 15海里 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可求得，利用余弦定理可得，可求得. 【详解】在中，由题意可知海里，海里，. 由余弦定理可得， 则海里. 故选：A. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用指数函数和对数函数的单调性进行比较，借助于中间值“2”即可判断三个值的大小. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，即. 又因为函数在上单调递增，所以，所以. 故选：D. 8. 已知为第一象限角，若函数的最大值是2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换整理得，结合最大值，解得，代入运算求得结果. 【详解】由题意可得， ， 则，解得，又为第一象限角，， 所以 . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知（，），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件得到方程组，求出、，即可得到复数，再根据共轭复数的定义判断A，根据复数的模判断B，根据复数代数形式的运算法则判断C、D. 【详解】依题意可得，则，解得，则， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. D. 点是图象的一个对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】观察图象求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出、的值，得出解析式后，再利用正弦函数的图象和性质进一步求解． 【详解】解：由图象知：， 函数的最小正周期为， ，则，故A正确， 即， 又，得， 由，可知，故C错误， 从而， ， 点是图象的一个对称中心，故D正确， ， ， 故在上单调递增，故B正确； 故选：ABD． 11. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 当时，的值域是 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据原式得到其对称性，结合偶函数则得到其周期性，再利用其偶函数性质并结合其的解析式即可判断CD. 【详解】因为，则关于直线对称， 则，因为函数是定义在上的偶函数， 则，则，则B正确， 则 则的图象关于直线对称，故A正确； 对C，因为函数是定义在上的偶函数，则当时，的值域与时值域相同， 当时，，显然其为增函数，则的值域为，即，故C错误； 对D，当时，，则， 当时，，根据的周期为4， 则，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量．若，则_________；若，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】运用向量平行垂直的坐标结论可解. 【详解】由于，则时，，解得； 则时，，解得. 故答案为： ；. 13. 已知某圆台的上、下底面直径分别为4，10，高为4，则该圆台的侧面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，求出母线长，结合侧面积公式求解即可. 【详解】如图，圆台的上、下底面直径分别为4，10，高为4，则. 则，根据侧面积公式，知道圆台侧面积为． 故答案为：． 14. 已知函数在内恰有两个不同的零点，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由题意，根据两角和的正弦公式可得，令得或，设，结合二倍角的正弦公式化简计算即可. 【详解】由题意可得. 令，得， 则或， 解得或. 由，得或，所以. 不妨取， 则. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角恒等变换的化简问题，由确定、由二倍角的正弦公式化简都是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解； （2）由实部小于0与虚部大于得到不等式组，求出的取值范围． 【小问1详解】 是纯虚数， 故，解得. 【小问2详解】 因为在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得， 故的取值范围为． 16. 已知向量，的夹角为，且． （1）求向量在向量上的投影向量； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）或3. 【解析】 【分析】（1）求出，再利用投影向量的意义求解即可. （2）利用向量数量积的运算律建立方程求解即得. 【小问1详解】 由向量，的夹角为，且，得， 所以向量在向量上的投影向量为. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得，即， 整理得，解得或， 所以的值是或3. 17. 在中，． （1）若为的角平分线，且交于，求的长； （2）若为的中线，且交于，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等面积法，结合面积公式求解即可； （2）运用中线的向量表达式，结合向量数量积和模公式可解. 【小问1详解】 由， 则 得，即的长为. 【小问2详解】 由为的中线，则， 得， 故，即的长为. 18. 如图，在长方体中，分别在上.已知，. （1）作出平面截长方体的截面，并写出作法； （2）求（1）中所作截面的周长； （3）长方体被平面截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积. 【答案】（1） 如图所示，五边形为所求截面. 作法如下： 延长，与的延长线交于点， 连接并延长，分别交于，交的延长线于， 连接，交于点，连接，则五边形为所求截面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长，与的延长线交于点，连接并延长，可得交的延长线于，可作所求截面. （2）利用平行线分线段成比例定理可求五边形的周长； （3）利用，可求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，则， 由，可得， 得，则， . 由，得，由，得， 则 . 故截面的周长为. 【小问3详解】 ， 故所求体积为. 19. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）若为锐角，且，求的面积； （2）求四边形面积的最大值； （3）当时，在四边形所在平面内，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，在中，在中，分别利用余弦定理表示，可得，可求得，可求得的面积； （2），两边平方结合（1）可求得四边形面积的最大值； （3）将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，，可求得，进而由余弦定理可求得，利用可求最小值. 【小问1详解】 连接. 在中，由余弦定理可得，即. 在中，由余弦定理可得，即， 则，即. 因为为锐角，且，所以，所以，则， 故的面积为. 【小问2详解】 四边形的面积， 则.① 由（1）可知，则.② 联立①②，解得，则，等号成立当且仅当， 所以四边形面积的最大值为. 【小问3详解】 将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，， 则，，，. 因为，所以， 所以，则. 由图可知， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 故的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中考试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、必修第二册第六章至第八章8.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 下列结论正确的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C. 有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D. 棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 4. 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 一艘轮船从地出发，先沿东北方向航行15海里后到达地，然后从地出发，沿北偏西方向航行10海里后到达地，则地与地之间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 15海里 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为第一象限角，若函数的最大值是2，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知（，），若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. D. 点是图象的一个对称中心 11. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 当时，的值域是 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量．若，则_________；若，则_________． 13. 已知某圆台的上、下底面直径分别为4，10，高为4，则该圆台的侧面积为_________． 14. 已知函数在内恰有两个不同的零点，则__________，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. 已知向量，的夹角为，且． （1）求向量在向量上的投影向量； （2）若，求的值． 17. 在中，． （1）若为的角平分线，且交于，求的长； （2）若为的中线，且交于，求的长． 18. 如图，在长方体中，分别在上.已知，. （1）作出平面截长方体的截面，并写出作法； （2）求（1）中所作截面的周长； （3）长方体被平面截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积. 19. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）若为锐角，且，求的面积； （2）求四边形面积的最大值； （3）当时，在四边形所在平面内，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $