北京市第一七一中学2023-2024学年高一下学期3月调研数学试题

2023-2024学年北京171中高一（下）调研数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）下列命题正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意向量共线 2．（4分）下列说法错误的是（　　） A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 3．（4分）将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则＝（　　） A． B． C． D．1 4．（4分）在△ABC中，若AD为BC边上的中线，点E在AD上，且AE＝2ED，则＝（　　） A． B． C． D． 5．（4分）求出sinx≥的解集（　　） A． B． C． D． 6．（4分）已知角α∈（﹣，0），且tan2α﹣3tanαsinα﹣4sin2α＝0，则sin（α+2023π）等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 7．（4分）已知向量，不共线，且向量＝λ+，＝+（2λ﹣1），若与反向，则实数λ的值为（　　） A．1 B．﹣ C．1或﹣ D．﹣1或﹣ 8．（4分）已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则，是“存在非零实数x，y，使得”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 9．（5分）已知角α终边经过点P（m，﹣3），且，则sinα的值为 　 　． 10．（5分）已知cosα＝，sin（β﹣α）＝﹣，α，β均为锐角，则sinβ＝　 　． 11．（5分）已知，，为单位向量，且满足3＝0，与的夹角为，则实数λ＝　 　． 12．（5分）已知函数，则该函数的最小正周期为 　 　，若方程有实数解，则实数t的取值范围为 　 　． 13．（5分）已知△ABC所在平面内一点O满足＝＝，则点O是△ABC的　 　心（填“内”、“外”、“重”、“垂”），若△ABC的内角A＝，边BC＝2，则+的最大值是　 　． 三、解答题：本题共6小题，共85分。 14．（14分）已知向量，满足，，且，的夹角为． （1）求； （2）若，求实数λ的值； 15．（14分）（1）化简： （2）若tanα＝﹣3，求的值． 16．（14分）已知扇形AOB（如图所示），圆心角∠AOB＝，半径|OA|＝2，在弧AB上取一点P，作扇形AOB的内接矩形PNDM，记∠POA＝x，矩形PNDM的面积为y． （1）写出y与x的函数关系式，并化简； （2）求矩形PNDM面积的最大值，并求此时x的取值． 17．（14分）如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设，． （1）试用向量表示； （2）过点M作直线EF分别交线段AC，BD于点E，F，记，，求证：不论点E，F在线段AC，BD上如何移动，为定值． 18．（14分）已知函数． （1）求函数f（x）的最小正周期和最大值； （2）求函数f（x）在[0，π]上的单调区间． 19．（15分）对于数集X＝{﹣1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2．定义向量集Y＝{|＝（s，t），s∈X，t∈X}．若对于任意∈Y，存在∈Y，使得•＝0，则称X具有性质P． （1）已知数集X1＝{﹣1，1，2}，请你写出数集X1对应的向量集Y1，X1是否具有性质P？ （2）若x＞2，且X2＝{﹣1，1，2，xj}具有性质P，求x的值； （3）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年北京171中高一（下）调研数学试卷（3月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共40分。 1．【答案】D 【解答】解：对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，∴A错误； 对于B，任一向量与它的相反向量不相等；例如零向量．∴B错误 对于C，共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，∴C错误； 对于D，模为0的向量为零向量，零向量和任一向量平行，∴D正确． 故选：D． 2．【答案】C 【解答】解：对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确； 对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误； 对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确． 故选：C． 3．【答案】B 【解答】解：f（x）＝cos（2x﹣）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得到y＝cos（x﹣）的图象， 则g（x）＝cos[（x﹣）﹣]＝cos（x﹣）＝sin，则＝sin（）＝． 故选：B． 4．【答案】A 【解答】解：如图所示， 因为AD为BC边上的中线， 所以， 又点E在AD上，且AE＝2ED， 所以， 所以＝＝＝＝． 故选：A． 5．【答案】C 【解答】解：画出正弦函数y＝sinx的图象，如图： ∵，， ∴等价， 因为y＝sinx的周期为2π，∴， 故不等式的解集为 故选：C． 6．【答案】A 【解答】解：因为tan2α﹣3tanαsinα﹣4sin2α＝0， 所以﹣﹣4sin2α＝0， 因为α∈（﹣，0）， 所以sin2α＞0， 所以﹣﹣4＝0，解得＝4或﹣1， 因为α∈（﹣，0），可得cosα∈（0，1），∈（1，+∞）， 所以得＝4，可得cosα＝，可得sinα＝﹣＝﹣， 所以sin（α+2023π）＝﹣sinα＝． 故选：A． 7．【答案】B 【解答】解：∵向量，不共线，且向量＝λ+，＝+（2λ﹣1），与反向， ∴存在实数k使＝k（k＜0）， 于是λ+＝k[+（2λ﹣1）]． 整理得λ+＝k+（2λk﹣k）． 由于向量，不共线，所以有， 整理得2λ2﹣λ﹣1＝0， 解得λ＝1或λ＝﹣． 又因为k＜0，所以λ＜0， 故λ＝﹣． 故选：B． 8．【答案】A 【解答】解：，故， 整理得，即cos＜，＞＝1，故，共线且方向相同， 存在非零实数x，y，使得，故，共线，但方向不一定相同， 即“ 是“存在非零实数x，y，使得的充分不必要条件． 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 9．【答案】． 【解答】解：∵， ∴m＝4， ∴． 故答案为：． 10．【答案】 【解答】解：cosα＝，sin（β﹣α）＝﹣，α，β均为锐角， 则sin，cos（β﹣α）＝， 则sinβ＝sin[（β﹣α）+α]＝sin（β﹣α）cosα+cos（β﹣α）sinα＝＝， 故答案为：． 11．【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵3+λ+7＝， ∴7＝﹣（3+λ）， 两边平方，得 49||2＝9||2+6λ||||cos+λ2||2， ∵、、为单位向量， ∴49＝9+3λ+λ2， ∴λ＝5或﹣8． 故答案为：5或﹣8． 12．【答案】π；． 【解答】解：∵ ＝ ＝ ＝， ∴其最小正周期为， 方程恒有实数解，等价于求函数的值域， ∵t＝ ＝ ＝cos2x+sinx﹣2 ＝﹣2sin2x+sinx﹣1 ＝cos2x+sinx﹣2 ＝﹣2sin2x+sinx﹣1 ＝， ∵﹣1≤sinx≤1， ∴． 故答案为：π；． 13．【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵，∴（）＝0，即＝0， ∴AC⊥OB， 同理可得：BC⊥OA，AB⊥OC， ∴O是△ABC的垂心， 延长BO交AC于D，延长CO交AB于E，则BD⊥AC，CE⊥AB， ∵A＝，∴∠ABD＝∠ACE＝， ∴+＝|OB|•cos150°+|OC|•cos30°＝（|OC|﹣|OB|）， 显然当O与B重合时，OC﹣OB取得最大值|BC|＝2， 故+的最大值为＝． 当B为钝角时， +＝﹣||•cos30°+||•cos30° ＝（﹣||+||）≥﹣||＝﹣， 综上，+的最大值是． 故答案为：垂，． 三、解答题：本题共6小题，共85分。 14．【答案】（1）5； （2）λ＝0． 【解答】解：（1）根据题意，可得＝1×2×＝1． 所以； （2）因为，所以， 即，可得， 所以1﹣4λ+λ﹣1＝0，解得λ＝0． 15．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）； （2）． 16．【答案】（1）y＝2sin（2x+）﹣2，0＜x＜；（2）矩形PNDM面积的最大值为2﹣2，此时x＝． 【解答】解：（1）由∠AOB＝，半径|OA|＝2，∠POA＝x，可得PM＝2sinx， 又OD＝ND＝PM＝2sinx，所以DM＝2cosx﹣2sinx， 所以y＝PM•DM＝4sinx（cosx﹣sinx）＝2sin2x﹣2（1﹣cos2x） ＝2sin（2x+）﹣2，0＜x＜； （2）因为0＜x＜，所以2x+∈（，）， 即有2x+＝，即x＝时，y取得最大值2﹣2． 17．【答案】（1）＝+， （2）证明详见解析． 【解答】解：（1）设，由A，M，D三点共线可得存在实数t使得 ＝t+（1﹣t）＝t+（1﹣t）•， 同理由C，M，B三点共线可得存在实数λ使得 ＝λ+（1﹣λ）＝λ+， ∴，解得， ∴＝+， （2）证明：设＝x+y＝xλ+yμ， 则，即，即+＝7， 故不论点E，F在线段AC，BD上如何移动，为定值． 18．【答案】（1）最小正周期为π，最大值为； （2）单调递减区间为和，单调递增区间为[，]． 【解答】解：（1）∵ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； ∴函数f（x）的最小正周期为T＝π，函数f（x）的最大值为； （2）设，解得． ∴函数f（x）的单调递减区间是， 又∵x∈[0，π]， ∴分别取k＝0和1，取交集可得f（x）在[0，π]上的单调递减区间为和． 设，解得． ∴函数f（x）的单调递增区间是， 又∵x∈[0，π]， ∴取k＝1，取交集可得f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[，]． 19．【答案】（1）具有性质P；（2）x＝4；（3）证明见解答． 【解答】解：（1）{﹣1，1，2}具有性质P． （2）选取＝（x，2），Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b）． 所以x＝2b，从而x＝4； （ 3）证明：取＝（x1，x1）∈Y，设＝（s，t）∈∈Y满足•＝0． 由（s+t）x1＝0得s+t＝0，所以s、t异号． 因为﹣1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为﹣1，另一为1， 故1∈X． 假设xk＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn． 选取＝（x1，xn），并设＝（p，q）满足•＝0， 即px1+qxn＝0，则p，q异号，从而p，q之中恰有一个为﹣1． 若p＝﹣1，则x1＝qxn，显然矛盾； 若q＝﹣1，则xn＝px1＜p≤xn，矛盾． 所以x1＝1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$