陕西省西安高新第三中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新三中八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（共8小题，共24分) 1．（3分）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（3分）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点 3．（3分）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．a（m+n）＝am+an D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x 4．（3分）关于x的不等式（m﹣n）x＜2n﹣2m的解集为x＞﹣2，则m与n的大小关系为（　　） A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定 5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（3分）如图，射线OC平分∠AOB，点D，Q分别在射线OC，OB上，过点D作DP⊥OA于点P．若OQ＝4，△ODQ的面积为10，则DP的长为（　　） A．10 B．5 C．4 D．3 7．（3分）一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则关于x的不等式组kx＜﹣x+3＜3的解集是（　　） A．1＜x＜3 B．0＜x＜2 C．0＜x＜3 D．0＜x＜1 8．（3分）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正确的序号是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 9．（3分）分解因式：3y2﹣12＝　 　． 10．（3分）如图，△ABC沿直线l向右平移 4cm，得到△FDE，且BC＝6cm，则BE的长为 　 　． 11．（3分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是　 　． 12．（3分）若关于x的不等式组：无解，则a的取值范围是 　 　． 13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点M，N在底边BC上，若∠AMN＝75°，∠MAN＝45°，那么线段MN与CN之间的数量关系为 　 　． 14．（3分）将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2．将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC+GC的最小值为 　 　． 三.解答题（本题共10题，共78分） 15．（12分）解下列不等式，并将其解集表示在数轴上． （1）； （2）； （3）． 16．（5分）如图，在△ABC中，请用尺规作图法求作线段AD，点D在边BC上，且S△ABD：S△ACD＝AB：AC．（不写作法，保留作图痕迹） 17．（7分）如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，5），B（4，6），C（2，3）． （1）请画出△ABC先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的△A1B1C1； （2）请画出△ABC绕点（0，3）逆时针旋转90°后得到△A2B2C2； （3）若△ABC与△A3B3C3关于某点成中心对称，且A3（﹣3，﹣1），请写出对称中心的坐标 　 　． 18．（5分）某种商品的进价为1000元，商场将商品进价涨价35%后标价出售，后来由于该商品积压较多，商场准备进行打折销售，但要保证所获利润不低于8%，则至多可打几折？ 19．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于点D，连接AD． （1）求证：AD平分∠CAB； （2）若CD＝3，求AB的长． 20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点D为垂足，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，延长AE交CB的延长线于点F，延长EB交AD的延长线于点G，求证：EG＝DF． 21．（6分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．已知AC＝10，BE＝2，求AB的长． 22．（9分）为促进复工复产，调动消费积极性，两个商场分别推出了如下促销活动．甲商场：所有商品按标价9折出售． 乙商场：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打8折． 设需要购买商品的原价总额为x元，去甲商场购买应付y1元，去乙商场购买应付y2元，其函数图象如图所示． （1）分别求y1、y2与x的函数关系式． （2）两图象交于点E，请求出E点坐标，并说明点E的实际意义． （3）黄老师准备去商场购物，请你建议黄老师选择去哪个商场购物更划算． 23．（10分）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ （2）该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元； ①求W关于x的函数关系式． ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 24．（12分）如图（1），已知CA＝CB，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE，将△DCE绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）在△DCE绕C点旋转的过程中，若ED、AB所在的直线交于点F，当点F为边AB的中点时，如图2所示．求证：∠ADF＝∠BEF（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； （3）在（2）的条件下，求证：AD⊥CD． 2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新三中八年级（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，共24分) 1．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：①、是中心对称图形，故本选项符合题意； ②、是中心对称图形，故本选项符合题意； ③、是中心对称图形，故本选项符合题意； ④、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2．【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【解答】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上． 故选：D． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 3．【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解）逐个判断即可． 【解答】解：A、是因式分解，故本选项符合题意； B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 4．【分析】先根据关于x的不等式（m﹣n）x＜2n﹣2m的解集为x＞﹣2，得出m﹣n的关系，即可求出答案． 【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣n）x＜2n﹣2m的解集为x＞﹣2， ∴m﹣n＜0， ∴m＜n， 故选：C． 【点评】本题主要考查了不等式的解集，在解题时要注意注意不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向改变． 5．【分析】连接AD，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：连接AD， ∵点E为边AC的中点，DE⊥AC， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C， ∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C， ∵∠B＝2∠C， ∴∠B＝∠ADB， ∴AB＝AD＝5， ∴CD＝AD＝5， ∴BD＝BC﹣CD＝8， 故选：D． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．【分析】过点D作DM⊥OB于点M，利用角的平分线的性质得到DP＝DM，利用三角形的面积公式求出DM＝5即可得到答案． 【解答】解：如图所示，过点D作DM⊥OB于点M， ∵射线OC平分∠AOB，DP⊥OA，DM⊥OB， ∴DP＝DM； ∵OQ＝4，△ODQ的面积为10， ∴； ∴； 解得DM＝5， ∴DP＝5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，关键是三角形面积公式的应用． 7．【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系求解． 【解答】解：关于x的不等式组kx＜﹣x+3＜3的解集是0＜x＜1． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 8．【分析】先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD＝BE，∠DBE＝60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠BCD＝60°，∠BCD＝∠BAE＝60°，所以∠BAE＝∠ABC＝60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE＝60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE＝BD＝4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE＝CD，所以△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+BD． 【解答】解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴△BDE是等边三角形，所以①正确； ∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°， ∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∠BCD＝∠BAE＝60°， ∴∠BAE＝∠ABC， ∴AE∥BC，所以②正确； ∴∠BDE＝60°， ∵∠BDC＝∠BAC+∠ABD＞60°， ∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误； ∵△BDE是等边三角形， ∴DE＝BD＝4， 而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴AE＝CD， ∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+4＝5+4＝9，所以③正确． 故选：D． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 9．【分析】先提公因式，在利用平方差公式因式分解． 【解答】解：3y2﹣12 ＝3（y2﹣4） ＝3（y+2）（y﹣2）， 故答案为：3（y+2）（y﹣2）． 【点评】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式因式分解的一般步骤是解题的关键． 10．【分析】根据平移的性质可求出CE的长度，再结合BC的长度即可解决问题． 【解答】解：因为△FDE由△ABC沿直线l向右平移4cm得到， 所以CE＝4cm． 又因为BC＝6cm， 所以BE＝BC+CE＝6+4＝10（cm）． 故答案为：10cm． 【点评】本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键． 11．【分析】过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，根据题意可得B（3，），进而可得点B的对应点B'的坐标． 【解答】解：如图，过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C， ∵∠AOB＝∠B＝30°， ∴AB＝OA＝2，∠BAD＝60°， ∴AD＝1，BD＝， ∴OD＝OA+AD＝3， ∴B（3，）， ∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'， ∴B′C＝BD＝，OC＝OD＝3， ∴B′坐标为：（，3）． 故答案为：（，3）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 12．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【解答】解：由5﹣2x＜x﹣1，得：x＞2， 由x﹣a＜3，得：x＜a+3， ∵不等式组无解， ∴a+3≤2， 解得a≤﹣1， 故答案为：a≤﹣1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13．【分析】由旋转的性质可得BH＝CN，AN＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，由“SAS”可证△AMN≌△AMH，可得MN＝MH，∠AMN＝∠AMH＝75°，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， 如图，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH， ∴△ACN≌△ABH，∠HAN＝90°， ∴BH＝CN，AN＝AH，∠ABH＝∠C＝45°， ∴∠HBM＝90°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠HAM＝∠MAN， 在△AMN和△AMH中， ， ∴△AMN≌△AMH（SAS）， ∴MN＝MH，∠AMN＝∠AMH＝75°， ∴∠BMH＝30°， ∴HM＝2BH， ∴MN＝2CN， 故答案为：MN＝2CN． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．【分析】连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，先证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE＝CG，推出EC+GC＝EC+ED＝HE+ED≥DH，再证明四边形ABCD为正方形，从而H、A、C三点共线，再用勾股定理求出HD即可． 【解答】解：如图，连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH， ∵将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF， ∴GE＝CD且GE∥CD， ∴四边形GEDC为平行四边形， ∴ED＝CG， ∴EC+GC＝EC+ED＝HE+ED≥DH， ∵CH⊥AE，AE∥BD， ∴CH⊥BD， ∵∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2， ∴四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD， ∴H、A、C三点共线， 记HC与BD相交于M， ∴MD＝，HM＝3AM＝3MD， ∵BD＝＝2， ∴HD＝＝2， ∴EC+GC的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路径问题，平行四边形的判定和性质，正方形的判定与性质，勾股定理．解题的关键是连接DE，证明四边形EGCD是平行四边形，将EC+GC转化成HE+ED． 三.解答题（本题共10题，共78分） 15．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集； （3）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）∵， ∴10﹣2（2﹣3x）＞5（1+x）， 10﹣4+6x＞5+5x， 6x﹣5x＞5﹣10+4， x＞﹣1； 将解集表示在数轴上如下： （2）由3x﹣1≥x+1得：x≥1， 由x+4＜4x﹣2得：x＞2， 则不等式组的解集为x＞2； 将解集表示在数轴上如下： （3）由5x﹣1＜3（x+1）得：x＜2， 由﹣≤1得：x≥﹣1， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜2． 将解集表示在数轴上如下： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 16．【分析】利用基本作图，作∠BAC的平分线交BC于D点，则根据角平分线的性质得到点D到AB和AC的距离相等，然后根据三角形面积公式可得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC． 【解答】解：如图，线段AD即为所求， 理由如下： 由图可知：AD是∠BAC的角平分线； 过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，则DE＝DF， ∴． 【点评】本题考查了角平分线的尺规作图及角平分线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的面积． 17．【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）连接AA3，由题意可得对称中心为线段AA3的中点，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）连接AA3， 由题意可得，对称中心为线段AA3的中点， ∵A（1，5），A3（﹣3，﹣1）， ∴对称中心的坐标为（﹣1，2）． 故答案为（﹣1，2）. 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换、中心对称，熟练掌握旋转、平移、中心对称的性质是解答本题的关键． 18．【分析】设可打x折，根据所获利润不低于8%得：1000×（1+35%）×0.1x﹣1000≥1000×8%，解出x的取值范围可得答案． 【解答】解：设可打x折， 根据题意得：1000×（1+35%）×0.1x﹣1000≥1000×8%， 解得x≥8， 答：至多可打8折． 【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意．列出不等式解决问题． 19．【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可； （2）利用（1）中的结论、角平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠DBA＝30°． ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴AD平分∠CAB． （2）解：∵∠CAD＝∠BAD＝30°，CD＝3， ∴AD＝2CD＝6． ∴AC＝3． ∵∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝6． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练应用上述性质解答是解题的关键． 20．【分析】先根据三线合一定理得到∠ADC＝∠ADF＝90°，再由旋转的性质得到∠AEB＝∠ADC＝90°，AE＝AD，证明△ADF≌△AEG即可证明EG＝DF． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADF＝90°， ∵△AEB由△ADC旋转而得， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°，AE＝AD， 在△ADF和△AEG中， ， ∴△ADF≌△AEG（ASA）， ∴EG＝DF． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 21．【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，得∠E＝∠CFD＝∠AFD＝90°，可根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得DE＝DF，再证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得AE＝AF，所以AB+BE＝AC﹣CF，则AB＝AC﹣CF﹣BE＝6． 【解答】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E＝∠CFD＝∠AFD＝90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∴AB+BE＝AC﹣CF， ∵AC＝10，BE＝CF＝2， ∴AB＝AC﹣CF﹣BE＝10﹣2﹣2＝6， ∴AB的长为6． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明Rt△BDE≌Rt△CDF及Rt△ADE≌Rt△ADF是解题的关键． 22．【分析】（1 ）根据题意和题目中的数据，可以分别写出y甲，y乙关于x的函数关系式； （2）根据（1）中的结果和题意，令0.9x＝0.8x+60，求出x的值，再求出相应的y的值，即可得到点E的坐标； （3）由点E的实际意义并结合图象解答即可． 【解答】解：（1）由题意可得， y甲＝0.9x， 当0≤x≤300时，y乙＝x， 当x＞300时， y乙＝300+（x﹣300）×0.8＝0.8x+60， ∴y乙＝； （2）令0.9x＝0.8x+60， 解得x＝600， 将x＝600代入y甲＝0.9x得， y甲＝0.9×600＝540， 即点E的坐标为（600，540）， 点E的实际意义：当购买商品标价为600元时，甲乙两个商场优惠后所需要的费用相等都是540元； （3）由图象可得， 当x＜600时，去甲商场购物更合算； 当x＝600时，两家商场购物一样合算； 当x＞600时，去乙商场购物更合算． 【点评】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23．【分析】（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额+100精装练习本销售额＝1450元；200本普通练习本销售额+50精装练习本销售额＝1100元，列出方程组，求出即可； （2）①购买普通练习本x个，则购买精装练习本（500﹣m）个，根据总利润＝普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式； ②根据一次函数的性质和x的取值范，可以得到商店应如何进货才能使销售总利润最大，并求出最大利润． 【解答】解：（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，由题意可得： ， 解得：， 答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元； （2）①购买普通练习本m个，则购买精装练习本（500﹣m）个， 由题意可得：W＝（3﹣2）m+（10﹣7）（500﹣m）＝﹣2m+1500， ∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍， ∴m≥3（500﹣m）， 解得：m≥375， 即W关于x的函数关系式是：W＝﹣2m+1500（375≤m≤500）； ②由①得W＝﹣2m+1500（375≤m≤500）， ∵﹣2＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当m＝375时，W取得最大值，此时W＝750，500﹣m＝125， 答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元． 【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的应用，解题的关键是根据题意找出关系式． 24．【分析】（1）由“SAS”可证△ACD≌△BCE； （2）由“SAS”可证△AFD≌△BFG，可得∠ADF＝∠FGB，AD＝BG，即可求解； （3）由角的和差关系可得∠ADF+∠CDE＝∠BEF+∠CED＝∠BED，即可求解． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）过点B作BG∥AD，交ED的延长线于G， ∴∠DAF＝∠GBF， ∵点F是AB的中点， ∴AF＝BF， 又∵∠AFD＝∠BFG， ∴△AFD≌△BFG（ASA）， ∴∠ADF＝∠FGB，AD＝BG， 由（1）可知△ACD≌△BCE， ∴BE＝AD， ∴AD＝BG＝BE， ∴∠BEF＝∠BGE， ∴∠ADF＝∠BEF； （3）∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∵∠ADF＝∠BEF， ∴∠ADF+∠CDE＝∠BEF+∠CED＝∠BEC， 由（1）可知△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵∠ADF+∠CDE+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥CD． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$