精品解析：天津市北辰区2022-2023学年高二下学期期中检测数学试卷

北辰区2022～2023学年度第二学期期中检测试卷 高二数学 说明：本试卷共有选择、填空、解答三道大题，共计120分，考试时间：100分钟 一、选择题．（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上） 1. （ ） A. 10 B. 5 C. 20 D. 4 2. 函数，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 某地教育部门为了解小学生的视力状况，要从该地甲，乙，丙，丁 4 所小学中随机抽取2 所进行检查，则甲小学被抽到的概率为（　　） A. B. C. D. 4. 曲线在处切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同选派方案的种数是（ ） A 20 B. 90 C. 120 D. 240 6. 已知是函数的导函数，若，则（    ） A. B. 2 C. D. 8 7. 的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（ ） A. 2 B. ±2 C. D. ± 8. 已知，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 有极大值，无极小值 D. 有极小值，无极大值 9. 已知随机变量，，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在答题卡上） 10. 已知某车间在上半年的六个月中，每个月的销售额（万元）与月份满足线性回归方程，则该车间上半年的总销售额约为______万元． 11. 某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则p＝______________. 12. 在的展开式中，的系数是__________． 13. 用这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为______（用数字作答） 14. 甲袋中有个白球、个红球，乙袋中有个白球、个红球，从两个袋中随机取一袋，再从此袋中随机取一球，则取到红球的概率为_______. 15. 已知是定义在上奇函数，是的导函数，当时，，若，则不等式的解集是________． 三、解答题．（本大题共5个小题，共60分） 16. 已知． （1）求的值； （2）求展开式中项的系数． 17. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的数学期望． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）若函数在上的最小值是，求a的值． 19. 甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响. （1）求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率； （2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的分布列. 20. 已知函数. （1）若曲线在点处得切线方程与直线垂直，求的值； （2）若在上为单调递减函数，求的取值范围； （3）设，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北辰区2022～2023学年度第二学期期中检测试卷 高二数学 说明：本试卷共有选择、填空、解答三道大题，共计120分，考试时间：100分钟 一、选择题．（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上） 1. （ ） A. 10 B. 5 C. 20 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】用排列数公式展开即可求得. 【详解】． 故选：B 2. 函数，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】直接求导代入即可得解. 【详解】，则. 故选：A 3. 某地教育部门为了解小学生的视力状况，要从该地甲，乙，丙，丁 4 所小学中随机抽取2 所进行检查，则甲小学被抽到的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出总情况共有6种，满足情况的有3种，则可得到答案. 【详解】总共抽取的情况共有种，其中含有甲小学的共有种， 故甲小学被抽到的概率为， 故选：C. 4. 曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程 【详解】，则， 当时，，， 所以切线方程为，即． 故选：D． 5. 现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（ ） A. 20 B. 90 C. 120 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列可求不同的选派方案的种数. 【详解】共有种不同的选派方案． 故选：C. 6. 已知是函数的导函数，若，则（    ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合导数的定义，即可求解 【详解】 故选：C 7. 的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（ ） A. 2 B. ±2 C. D. ± 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式，确定项的系数，即可求解. 【详解】展开式的通项公式是，当时，项的系数为 ，解得：. 故选：D 8. 已知，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 有极大值，无极小值 D. 有极小值，无极大值 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值. 【详解】因，所以， 则当时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时函数有极大值，无极小值. 故选：C 9. 已知随机变量，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量可知，再根据，，可求出，利用，建立方程，即可求出结果. 【详解】因为随机变量，所以， 因为，，所以，即， 又 所以，即. 故选：B. 二、填空题．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在答题卡上） 10. 已知某车间在上半年的六个月中，每个月的销售额（万元）与月份满足线性回归方程，则该车间上半年的总销售额约为______万元． 【答案】210 【解析】 【分析】根据样本中心在线性回归方程上，将代入，即可得答案. 【详解】由题意，， 由样本中心在回归直线上，则， 所以，该车间上半年的总销售额约为（万元）. 故答案为：210 11. 某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则p＝______________. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解. 【详解】由题意可知，解得. 故答案为：. 12. 在的展开式中，的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意写出二项式展开式的通项公式，令，求得r的值，即可求得答案. 【详解】由题意可得的通项为， 令， 则的系数是， 故答案为： 13. 用这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为______（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】直接由排列数即可求解. 【详解】最后一位数是偶数有：“2”，“4”，“6”，共3种选择， 然后从剩下的五个数中选两个数进行排列， 故所求. 故答案为：60. 14. 甲袋中有个白球、个红球，乙袋中有个白球、个红球，从两个袋中随机取一袋，再从此袋中随机取一球，则取到红球的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】记事件选取的是甲袋，事件选取的是乙袋，事件从选出的袋中取出的一球为红球，利用全概率公式求出的值，即为所求. 【详解】记事件选取的是甲袋，事件选取的是乙袋，事件从选出的袋中取出的一球为红球， 则，，， 由全概率公式可得. 故答案为：. 15. 已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，若，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】构造新函数，利用条件求得的单调性，再根据奇偶性即可解得不等式解集. 【详解】解：构造函数，其中为奇函数且， 则， 所以，函数为奇函数，且，， 当时，， 所以，函数在上是单调递增函数， 因为函数为奇函数，故函数在上是严格增函数， 故， 当时，，可得； 当时，，可得． 综上所述，不等式的解集为． 故答案为： 三、解答题．（本大题共5个小题，共60分） 16. 已知． （1）求的值； （2）求展开式中项的系数． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）利用排列数和组合数的性质求解即可. （2）利用二项式定理求解指定项系数即可. 【小问1详解】 因为，所以， 可得， 化简得，解得(另一个根舍去)，故的值为10. 【小问2详解】 由上问得，所以， 由二项式定理得通项展开式为， 令，解得，所以项的系数为. 17. 已知某单位甲、乙、丙三个部门员工人数分别为．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的数学期望． 【答案】（1）3，2，2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义结合已知条件直接求解即可； （2）由题意可知的可能取值为0，1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求出的数学期望． 【小问1详解】 由题意得从甲部门的员工中应抽取人， 从乙部门的员工中应抽取人， 从丙部门的员工中应抽取人； 【小问2详解】 由题意可知的可能取值为0，1，2，3，则 ，， ，， 所以. 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上的最小值是，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用导数与切线斜率的关系求解即可； (2)利用导数讨论函数在区间上的单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，，， 所以切点为， ，则， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，不满足题意； 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得，不满足题意， 综上，. 19. 甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响. （1）求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率； （2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的分布列. 【答案】（1）；（2）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）设“甲至多命中1个球”为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B，求出即得解； （2）乙所得分数为，可能的取值，0，4，8，12，求出对应的概率即得解. 【详解】（1）设“甲至多命中1个球”为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B，由题意得，P(A)＝()4＋C ()1()3＝＋＝，P(B)＝1－(1－)4＝1－＝， ∴甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. （2）乙所得分数为，可能的取值，0，4，8，12， ， 分布列如下： η＝k －4 0 4 8 12 P(η＝k) 20. 已知函数. （1）若曲线在点处得切线方程与直线垂直，求的值； （2）若在上为单调递减函数，求的取值范围； （3）设，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得，即可求得实数的值； （2）分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围； （3）令，分析可知原不等式等价于证明，由（2）中结论结合函数在上的单调性可证得原不等式成立. 【小问1详解】 解：因为，该函数的定义域为，则， 直线的斜率为，由题意可得，解得. 【小问2详解】 解：由题意可知对任意的恒成立，所以，， 因为，当且仅当时，等号成立，所以，. 【小问3详解】 解：因为，则， 要证，即证， 令，即证， 由（2）可知当时，在上单调递减， 因为，则，所以，， 故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值、导数的几何意义以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立（）或恒成立（即可）；②数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立； ④讨论参数. 本题（2）是利用方法①求得的取值范围的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$