2025年中考数学复习专题分类强化训练 讲义-专题11 数论材料阅读（重庆专用）

专题11 数论阅读材料 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 目录 命题角度一：整数与余数型 1 命题角度二：方程与等式 6 命题角度三：分式型 9 命题角度四：完全平方数 14 命题角度五：因式分解 15 命题角度一：整数与余数型 1．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数5324，，不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 ． 2．若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，个位数字比十位数字大1，则称这样的四位正整数为“吉祥数”．比如2345就是一个“吉祥数”，那么最小的“吉祥数”是 ．若A是一个“吉祥数”，由A的千位数字和百位数字依次组成的两位数与A的十位数字和个位数字依次组成的两位数的和记为，比A的各个数位上的数字之和大2，若为整数，则满足条件中的A的最大值为 ． 3．一个四位正整数若满足各个数位上的数字均不为0，且它的前两位数字组成的两位数与它的后两位数组成的两位数的乘积能被35整除，则称这个四位正整数为“三五数”．例如：四位数1225，∵，300不能被35整除．∴1225不是“三五数”；又如：四位数1425，∵，350能被35整除．∴1425是“三五数”．若m是最小的“三五数”，则 ；若四位正整数是“三五数”，且满足，则满足条件的最大的“三五数”与最小的“三五数”之和为 ． 4．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是 ；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是 ． 5．如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，，1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，，5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为 ；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是 ． 6．对于一个四位正整数（，且为整数），若满足，那么就称这个数为“完美数”，且，，当，时， ；若一个“完美数”的千位与百位数字分别为，，且和均为整数，则满足条件的的最大值与最小值的和为 ． 7．如果一个四位数，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则．若“同城数”，则 ． 已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的所有之和是 ． 8．一个四位正整数，将的千位数字和百位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，将的十位数字和个位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，规定，当能被6整除时，被称为“顺心数”．例如：，则，，，因为能被整除，所以是“顺心数”．最小的“顺心数”为 ；若“顺心数”（其中，，，，，均为整数），且的各个数位数字之和等于它千位数字的倍，则的最大值为 ． 9．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被整除，则满足条件的数的最小值是 ． 10．若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为满足，则称这个三位正整数为“吉祥数”．对于一个“吉祥数” ，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数，记．如：满足，则216为“吉祥数”，那么，所以．则最小的“吉祥数”是 ；对于任意一个“吉祥数”m，若能被7整除，则满足条件的“吉祥数”m的最大值是 ． 11．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个数为“轮换数”．例如：四位数1347，，是“轮换数”；四位数2469，，不是“轮换数”．若一个“轮换数”为，则这个数为 ；若一个“轮换数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的所有“轮换数”之和是 ． 12．对于各位数字均不为零的三位自然数，若m满足各位数字之和能被十位数字整除，则称m为“对偶数”，例如是“对偶数”；又如不能被3整除，不是“对偶数”，将m的百位数字放在其个位数字后得，再将的百位数字放在其个位数字后得．记．已知一个“对偶数”（其中），若能被7整除，则所有满足条件的n的最大值为 ． 13．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，则称这个四位数为“乘风破浪数”，例如：四位数3296，∵，∴是“乘风破浪数”．则 （填“是”或“不是”）“乘风破浪数”；若一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两个数字组成的两位数的差，再减去能被8整除，则满足条件的“乘风破浪数”的最大值为 ． 14．一个四位正整数各数位上数字均不为0，若以千位数字、百位数字分别作为十位数字、个位数字组成的两位数与十位数字、个位数字分别作为十位数字、个位数字组成的两位数字之和为110，称这个四位数为“尚善数”．例如：四位正整数2783，因为，所以2783是一个“尚善数”，则最小的“尚善数”是 ．如果一个四位正整数为“尚善数”，定义，若能被15整除，则满足条件的的最大值为 ． 15．如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”；一个五位数A，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为；若为“星星数”，为“月亮数”（其中，，，，且a，b，c，d为整数），则的值为 ；在此条件下，若的值能被13整除，则满足条件的M的值为 ． 16．若一个四位正整数m的各个数位数字之和是百位上的数字与十位数字之和的3倍，则称这个四位正整数m为“和谐数”．将一个“和谐数”m百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数，记，则 ；当“和谐数”m的百位上的数字是个位上的数字的2倍，千位上的数字与十位上的数字之和能被9整除时，记，则的最大值为 ． 17．对于一个四位自然数，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“凤翔数”．例如，，因为，所以5241是“凤翔数”，则最小的“凤翔数”是 ；若“凤翔数”，使二次函数与轴有且只有一个交点，且满足，则满足条件的的最大值为 ． 18．任意三位数，若十位数字比百位数字大4，则称为“博雅数”．在“博雅数”的左边放一个小于10的正奇数得到一个四位数：在“博雅数”的右边放同样的正奇数得到一个四位数，规定．若为“博雅数”，且，则 ．若能被26整除，则所有满足条件的三位数的和为 ． 19．一个数位大于等于4的多位数n，规定其末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，则 ；若能被11整除，则这个多位数就一定能被11整除，反之，一个数位大于等于4的多位数n能被11整除，则n的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差一定能被11整除．若两个四位数s，t，其中s能被11整除，且，t的千位数字为，百位数字为4，十位数字为3，个位数字为（a，b，c均为整数），规定，当时，则的最小值为 ． 20．若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和平数”，那么最大的“和平数”为 ；将一个“和平数”M的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，规定，，若、都是整数，则满足条件的M的最大值和最小值的差为 ． 21．一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为 ．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为 ． 22．一个四位自然数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且千位数字的2倍减去百位数字的差等于十位数字和个位数字组成的两位数，那么称这样的两位数M为“2倍差数”．例如：四位数9513，，9513是“2倍差数”；又如：四位数8315，，8315不是“2倍差数”对“2倍差数”M，记，请用含a，b的式子表示 ；若是7的倍数，则满足条件的数的最小值是 ． 23．一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，它的十位数字等于个位数字与千位数字之差，则称这个四位数为“简约数”．将“简约数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“简约数”的千位数字的2倍求和，记作．若，（，，，，，且，，，，均为整数）都是“简约数”，其中能被11整除，则 ．在此条件下，能被7整除，则满足条件的值的和为 ． 24．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，则最大的“逢双数”为： ；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为 ． 25．对于一个四位自然数M，如果它百位上的数字与十位上的数字的和等于千位上的数字与个位上的数字的和，则称M为“和对称数”．对于一个“和对称数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N，规定：．在、中选出“和对称数”，并计算相应的 ；已知，均为“和对称数”，其中，（其，，，且均为整数），令，若k能被13整除，则当取最小值时， ． 26．一个四位正整数的各数位上的数字都不相同且都不为零，并满足千位上的数字与百位上的数字之和为，且十位上的数字与个位上的数字之和为，则称为“七夕数”，将“七夕数”的千位上的数字与十位上的数字交换、百位上的数字与个位上的数字交换得到一个新的四位正整数，则称这个数为M的“七夕佳数”，规定，例如：四位正整数，∵，，∴是“七夕数”，此时．若，则 ；若“七夕数”满足能被整除，则满足条件的四位正整数的最大值为 ． 27．对于一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字的差的两倍等于百位上的数字与个位上的数字的和，则称这个四位数为“双差喜数”．将“双差喜数”M的前两位数组成的数记为s，后两位数组成的数记为t，并规定（d表示个位上的数字），则＝ ；若一个四位数（均为整数）是“双差喜数”，且被7除余4，则满足条件的M的最大值为 ． 命题角度二：方程与等式 28．一个数位大于等于4的多位数n，规定其末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为F（n），则＝ ；若F（n）能被11整除，则这个多位数就一定能被11整除，反之，一个数位大于等于4的多位数n能被11整除，则n的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差F（n）一定能被11整除．若两个四位数s，t，其中s能被11整除，且，t的千位数字为，百位数字为4，十位数字为3，个位数字为（a，b，c均为整数），规定，当，则K的最小值为 ． 29．一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新的“对称数”记为，记，若“对称数”A，满足能被7整除，则A的最小值为 ；在能被7整除的情况下，对于“对称数”，有，且k为正整数，当取得最大值时， ． 30．一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且都不等于0，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于100，那么就称这个数为“奋进数”．把“奋进数”的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数3268，因为，所以3268是“奋进数”，且．如果四位自然数（，且为整数）是一个“奋进数”，则 （用含的代数式表示），另外规定等于的前两位数字之和．如果是一个“奋进数”，为偶数，且（为整数），则满足条件的的最小值是 ． 31．对于一个各个数位上的数字均不为0的自然数m，将各个数位上的数字任意排列，用排列后最大的数减去最小的数，我们称这样的运算为“极差变换”，记为．例如：，则，，．当时，称m是“极差数”．如果（，a为整数）是一个“极差数”，则 ；已知（均为整数），若为整数，且，则 ． 32．任意一个个位数字不为0的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，，则 ；若四位数，满足，，则 ． 33．对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为“义渡数”．当三位自然数为义渡数”时，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“义渡数”，且，则最小的“义渡数”是 ；若三位自然数是“义渡数”（其中，，，、、均为整数），且的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数的最大值是 ． 34．一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：对称数时，，则．已知s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a，b，t的千位数字与百位数字分别为x，y，其中，，，a，b，x，y均为整数．若能被8整除，则 ；同时，若、还满足，则所有可能值中的最大值与最小值的差为 ． 35．一个四位数M，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“丙午数”；将“丙午数”千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数．将原数M与新数作差，再除以99，所得商记为．例如：，∵，∴7315是“丙午数”，∴，∴．现有“丙午数”，，那么 ．若两个四位数A和B都是“丙午数”，，，其中，，，，且m，n，x，y均为整数，若，则差的最小值为 ． 36．介绍一个“能被13整除的数的特征”的数学小知识：一个多位数（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除．例如数字160485，这个数末三位是485，末三位以前是160，，．即325能被13整除，那么160485也能被13整除．则 ；若，均为13的倍数，且，，（，，，且，，均为整数）．规定，当时，的最大值为 ． 命题角度三：分式型 37．如果一个自然数的各位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，各位数字之和为8，则称数为“优数”，并把数分解成的过程，称为“最优分解”．例如：数 “优数”(填：是或不是)；若把一个“优数”进行“最优分解”，即，与之和记为，与之差的绝对值记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值是 ． 38．对于任意一个四位数，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大，则称这个四位数根为“差双数”，记为的各个数位上的数字之和．例如：，，是“差双数”， ；，， 不是“差双数”．若与都是“差双数”，且，则“差双数”是 ；已知M，N均为“差双数”，其中， ，，，，，，，，，是整数，已知能被整除，且为整数，则满足条件的所有的的值之和为 ． 39．若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“同七数”． 已知M为一个“同七数”，且M可以被9整除． 将M的各个数位数字之和记为，则可求出的值是 (请填入具体数字)． 将M的个位数字与千位数字的差记为，并令 当是整数时，则满足条件 M 的最大值与最小值的差是 ． 40．对于一个四位自然数，如果它满足千位数字与百位数字的和大于十位数字，千位数字与百位数字的差的绝对值小于个位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么我们称这个数为“三角数”．例如：3729，因为，，所以3729是“三角数”；又如4057，因为，所以4057不是“三角数”．若是最小的“三角数”，则 ；若“三角数”（，，，，，为整数），记的千位数字与十位数字的和为，当是4的倍数时，满足条件的的最大值和最小值的差为 ． 41．对于任意四位自然数P，记H（为各个数位上的数字之和，若四位数满足千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“大2数”；若四位数 满足千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大6，则称这个四位数是“大3数”；若为“大2数”，为“大3数”，则值是 ；若M，N分别是个位数字都是3的“大2数”和“大3数”，且 能被10整数，则 的最大值是 ． 42．对于一个四位正整数，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“优胜数”．则符合条件的A的最大数与最小数的差为 ，， ，若能被7整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为 43．对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小（为正整数），则称该数为“元数”．对“元数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若四位数是一个“8元数”，则的值为 ．若是一个“3元数”，且能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为 ． 44．如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为，个位数字之和为，则称为“霸气数”，把分解成的过程叫做“霸气分解”．例如：因为，，，所以是“霸气数”；因为，，所以不是“霸气数”，则最大的“霸气数”为 ；若自然数是“霸气数”，“霸气分解”为，将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，若为整数，则满足条件的自然数的最大值为 ． 45．如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“胜利数”．将“胜利数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数1729，∵，∴1729不是“胜利数”，又如：四位数5432，∵，∴5432是“胜利数”，.若能被7整除，令，则所有满足条件的之和是 ；若对于“胜利数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最大值时，“胜利数”是 ． 46．一个四位自然数，若它的千位数字比十位数字少，百位数字比个位数字多，则称为“一生一世数”．如：四位数，∵，，∴是“一生一世”；四位数，∵，∴不是“一生一世数”，则最大的“一生一世数”为 ．若一个四位数是“一生一世数”，且，，若能被整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 ． 47．若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：，满足；若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：，满足；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是 ．如果一个“和数”与一个“差数”的个位数字均为、十位数字均为，且，若为整数时，记，则的最大值是 ． 48．对于一个四位自然数N ，其千位数字为a，百位数字为b ，十位数字为c，个位数字为d ， 各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字 ，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，，，，， 所以6345是“坎数”．若N为“坎数”，且，当为9的倍数时，则所有満足条件的N的最大值为 ． 49．如果一个自然数M能分解成，其中A和B都是两位数，且A与B的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M为“十全九美数”，把M分解成的过程称为“全美分解”．在2040和182这两个数中，是“十全九美数”的是 ．若自然数M是“十全九美数”，“全美分解”为，将A 的十位数字与个位数字的差，与 B的十位数字与个位数字的和求和记为； 将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5 整除时，则所有满足条件的自然数M的最大值与最小值之和是 ． 50．若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”，如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是 ；若、分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，、各数位上的数字之和分别记为和，若能被10整除．则当取得最小值时的值是 ． 51．若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是M的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“好数”，一个“好数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记．若为整数， 是4的倍数，则 ；满足条件的M的最大值 ． 52．把一个四位数N的各个数位上的数字（均不为零）之和记为，把N的千位数字与百位数字的乘积记为，十位数字与个位数字的乘积记为，称为N的“陪伴值” （1）4164的“陪伴值”为 ； （2）若N的千位与个位数字之和能被9整除，且，N的“陪伴值”为4，则满足条件的N的最小值是 ． 53．如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为，百位数字与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称M为“整和差数”．若（其中，，，且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，则满足条件的M的最小值为 ． 54．如果一个四位数M满足各个数位数字都不为0，且千位数字与百位数字之和为9，将M的千位数字与百位数字组成的两位数记为x，十位数字与个位数字组成的两位数记为y，令，若F（M）为整数，则称数M是“长久数”．例如：，∴，，，为整数，∴是“长久数”；又如：，∴，，，不为整数，∴不是“长久数”．若p为最大的“长久数”，则 ；把一个“长久数”M的千位数字记为a，十位数字记为b，个位数字记为c，令，当G（M）为整数时，满足条件的M的最小值为 ． 55．对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示 ，当能被20整除时，k的所有取值之积为 ． 56．如果一个三位自然数的百位数字与1的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“差一数”．例如：726，∵，726是“差一数”．又如：632，∵，∴632不是“差一数”，则最小的“差一数”是 ：若一个“差一数”为，且可以被5整除，又，且为整数，则满足条件的“差一数”的最大值为 ． 57．若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M称为“和差数”． ①“和差数”M的最小值是 ； ②令M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且，当，均为整数时，M的最大值为 ． 58．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“加和数”．例如：四位数5127，因为，所以5127是“加和数”：又如：四位数6238，因为，所以6238不是“加和数”．若是“加和数”，记，若是一个完全平方数，则 ；记，若“加和数”能被7整除，则满足条件的所有的和为 ． 59．对于一个四位自然数，如果它满足千位数字与百位数字的和大于或等于十位数字，千位数字与百位数字的差的绝对值小于个位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么我们称这个数为“三角数”．例如：3729，因为，，所以3729是“三角数”；又如4057，因为，所以4057不是“三角数”．若M是最小的“三角数”，则 ；若“三角数”（，，，a，b，c为整数），记N的千位数字与十位数字的和为，当是4的倍数时，满足条件的N的最大值和最小值的和为 ． 命题角度四：完全平方数 60．对于一个四位自然数M，如果M满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，且它的千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差，那么称这个数M为“等差数”．将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四为自然数，并规定．若S，T都是“等差数”，其中，（，，，，且a，b，c，x，y都是整数），则= （用含c，y的代数式表示），若是一个完全平方数，则此时最小值为 ． 61．若一个各个数位都不相同的四位正整数，其千位数字与十位数字之和为10，百位数字与个位数字之和为10，则称这样的四位数为“双十数”．请写出最小的“双十数” ；若m是一个“双十数”，将m的千位数字和十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数n．若是一个完全平方数，则m的最大值是 ． 62．对于一个四位自然数，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“附中数”并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差．例如：四位数8274，满足：，则8274是一个“附中数”．记“附中数”，（，且a，b，c，d均为整数），若为完全平方数，则 ；同时，令，若为整数，则满足条件的M最大值与最小值之差为 . 63．若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等，满足，那么称这个四位数为“无量数”．如：四位数8420，，8420是“无量数”；又如：四位数7324，，7324不是“无量数”．最大的“无量数”是 ；若一个“无量数”满足与的差能被8整除，且的结果是一个正整数的平方，则这个“无量数”是 ． 命题角度五：因式分解 64．如果两个两位数和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新和，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：，所以，26和93是一对“友谊数对”． （1）若和是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为 ； （2）若和是一对“友谊数对”，其中，，，，则这两个两位数分别是 ． 65．一个四位自然数m各个数位上的数字均不相等且不为零，若m满足百位数字与十位数字之和恰好是千位数字和个位数字之和的倍，则称这个四位数为“倍数”．一个“倍数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若，则 ；在此条件下，记，若除以余数是，则满足条件的值为 ． 66．若一个四位正整数满足千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之差的k倍（k为整数），称该四位数为“k倍数”．例如，对于四位数3641，∵，所以3641为“3倍数”，若四位数M是“4倍数”，是“倍数”，将M的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数N，N也是“4倍数”，则满足条件的M的最小值为 ，将M的最小值写成两个正整数的平方差，即（a、b均为正整数）为M的一个平方差分解，在M的最小值的所有平方差分解中，当最小时，规定，则的值为 ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 数论阅读材料 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 目录 命题角度一：整数与余数型 1 命题角度二：方程与等式 36 命题角度三：分式型 49 命题角度四：完全平方数 82 命题角度五：因式分解 88 命题角度一：整数与余数型 1．（2024·重庆大渡口·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数5324，，不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 ． 【答案】 5138 9174 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和数的整除，读懂题意是解题的关键． ①根据定义列出方程即可求出m； ②先根据数的特征设千位为9，再根据“差中根据各数”的特征求出位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可． 【详解】解：①为“差中数”， ， ， ∴这个数为5138； ②设满足条件的四位自然数是， 又是差中数， ，即， 故或， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，，，，， 当时，这个“差中数”是9817，不能被11整除， 当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除， 当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除， 当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除， 当时，这个“差中数”是9174，能被11整除， ∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174， 故答案为：5138，9174． 2．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，个位数字比十位数字大1，则称这样的四位正整数为“吉祥数”．比如2345就是一个“吉祥数”，那么最小的“吉祥数”是 ．若A是一个“吉祥数”，由A的千位数字和百位数字依次组成的两位数与A的十位数字和个位数字依次组成的两位数的和记为，比A的各个数位上的数字之和大2，若为整数，则满足条件中的A的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，整式的加减，根据最大的四位数和最小的四位数的特点，结合题意，依次确定百位数和十位数，进而即可求解． 【详解】解：依题意，一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0， ∴最小四位数的千位与百位数字为， ∵百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和， ∴十位数字为， ∵个位数字比十位数字大1， ∴个位数字为， ∴这个数为； 依题意，设 ∴， ∵比A的各个数位上的数字之和大2， ∴ ∴又∵为整数， ∴能被整除 要使得最大，则， 当时，能被整除 ∴ ∴， ∴满足条件中的A的最大值为 故答案为：，． 3．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）一个四位正整数若满足各个数位上的数字均不为0，且它的前两位数字组成的两位数与它的后两位数组成的两位数的乘积能被35整除，则称这个四位正整数为“三五数”．例如：四位数1225，∵，300不能被35整除．∴1225不是“三五数”；又如：四位数1425，∵，350能被35整除．∴1425是“三五数”．若m是最小的“三五数”，则 ；若四位正整数是“三五数”，且满足，则满足条件的最大的“三五数”与最小的“三五数”之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，设，根据得到当中都不等于时，那么能被7整除的时候，一定能被5整除或能被5整除的时候，一定能被7整除，两位数中能被7整除的数有14 、21、 28、42、 49、 56、 63、 77、 84、 91，98（除去35），能被5整除的数有15 、25、 45、 55、 65、 75、 85、 95（除去35），据此可得此时满足题意得最小值为；当中至少有一个数为35时，满足题意的最小的四位数为，据此可求出m的值；类似的若四位正整数是“三五数”，则当中都不等于时，那么能被7整除的时候，一定能被5整除或能被5整除的时候，一定能被7整除，则分别在14 、21、 28、42、 49、 56、 63、 77、 84、 91，98和15 、25、 45、 55、 65、 75、 85、 95这两组数中取值，再保证的前提下找到的最大值和最小值；当中至少有一个数为35时，则，则此时满足题意得的最大值为，最小值为；由此确定最大值为，最小值为，再求和即可得到答案． 【详解】解：设， ∵能被35整除，且， ∴当中都不等于时，那么能被7整除的时候，一定能被5整除或能被5整除的时候，一定能被7整除， ∵两位数中能被7整除的数有14 、21、 28、42、 49、 56、 63、 77、 84、 91，98（除去35），能被5整除的数有15 、25、 45、 55、 65、 75、 85、 95（除去35）， ∴此时组成的最小的四位数为； 当中至少有一个数为35时，那么另一个数可以为任意的不被10整除的两位数， ∴当要保证此时m最小时，则，即此时最小的四位数为； 综上所述，； 同理若四位正整数是“三五数”，则当中都不等于时，那么能被7整除的时候，一定能被5整除或能被5整除的时候，一定能被7整除， ∵两位数中能被7整除的数有14 、21、 28、42、 49、 56、 63、 77、 84、 91，98（除去35），能被5整除的数有15 、25、 45、 55、 65、 75、 85、 95（除去35）， 当，不存在满足被5整除且满足； 当，不存在满足被7整除且满足； 当，只有时，满足，即此时的最大值为； 当，不存在满足被5整除且满足； 当，只有时，满足，即此时的最小组值为； 当中至少有一个数为35时， ∴， ∴此时满足题意得的最大值为，最小值为； 综上所述，满足条件的最大的“三五数”为，与最小的“三五数”， ∴满足条件的最大的“三五数”与最小的“三五数”之和为； 故答案为：；． 4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是 ；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是 ． 【答案】 8354 6213 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键．根据“和方数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】解：是“和方数”， ， 解得：， 这个数是8354； 设这个四位数，则， ， 四位数M是“和方数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的M的最大值是， 故答案为：8354；6213． 5．（2024·重庆沙坪坝·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，，1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，，5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为 ；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“跳跃数”的概念． 根据“跳跃数”的概念列出关于m的方程解答即可，设满足条件的“跳跃数”的最大值是，根据“跳跃数”的概念得出，再根据前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，即可得出答案． 【详解】解：是“跳跃数”， ， 解得：， 这个数为； 设满足条件的“跳跃数”的最大值是， ， ， b，c，d是中的整数， ，， 满足条件的“跳跃数”的最大值是， 前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，且， 是7的倍数， ， 是7的倍数， c最大为6， ， 满足条件的“跳跃数”的最大值是． 故答案为：，． 6．（2024·重庆·三模）对于一个四位正整数（，且为整数），若满足，那么就称这个数为“完美数”，且，，当，时， ；若一个“完美数”的千位与百位数字分别为，，且和均为整数，则满足条件的的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 1153 10359 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． 当，时，根据定义得，，即可求得的值；根据定义可知“完美数”的千位与百位数字分别为，，十位与个位数字分别为，，且，，进而得，，根据和均为整数，得或，即或5或6，再根据要使得最大，则，取最大，即，进而求得满足条件得最大的，同理可求得的最小值，再求和即可求解． 【详解】解：由“完美数”可知，，则， ∴当，时，，， ， ∵一个“完美数”的千位与百位数字分别为，， 则十位与个位数字分别为，， 且，，，， ∴，， 则 ， ， ∵和均为整数， ∴，均为整数， 则或， ∴或5或6， 要使得最大，则，取最大，即， 此时为整数， ∴为整数，满足条件的最大值为， 即最大的“完美数”为6846； 要使得最小，则，取最小，即， 此时为整数， ∴为整数，满足条件的最小值为， 即最小的“完美数”为3513； 综上，满足条件的的最大值与最小值的和为； 故答案为：1153，10359． 7．（2024·重庆九龙坡·三模）如果一个四位数，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则．若“同城数”，则 ． 已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的所有之和是 ． 【答案】 30 15078 【分析】本题考查了因式分解的应用、一元一次方程等相关内容，关键在于理解“同城数”的定义，正确列式计算．根据题意直接计算，即可求解；根据同城数的定义，，，是整数，整理化简即可求解出满足条件的所有的值． 【详解】解：根据题意，； 因为 是“同城数”，所以，， ， 整理化简得，， 所以，是8的倍数； 那么、可能的取值为，；或，；或，； 满足条件的所有的值为：1741、6214、7123，它们的和为：． 故答案为：30；15078． 8．（2024·重庆·二模）一个四位正整数，将的千位数字和百位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，将的十位数字和个位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，规定，当能被6整除时，被称为“顺心数”．例如：，则，，，因为能被整除，所以是“顺心数”．最小的“顺心数”为 ；若“顺心数”（其中，，，，，均为整数），且的各个数位数字之和等于它千位数字的倍，则的最大值为 ． 【答案】 1014 【分析】本题考查了顺心数得到定义，6的倍数特征，以及列举法，排除法解题，解题的关键是找到的千位，百位，十位，个位数字分别是谁，正确理解顺心数的定义．为了使最小，千位数最小为1，百位数最小为0，十位是，即，然后找出个数数字；由题意可知，的千位数字是，百位数字是，十位数字是，各位数字是，那么有，因为是顺心数，是的倍数，即是的倍数，所以推出，是2的倍数，因为，为了大一些，那么取，从而得出的最大值． 【详解】①是一个正四位数，为了使最小 千位数最小为1，百位数最小为0，即， 为了使最小，能被6整除，且为两位数， 当的十位数为1，个位数取0时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取1时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取2时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取3时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取4时，，能被6整除， 最小的“顺心数”为1014， 故答案为：1014． ②（其中，，，，，均为整数）， 由题意可知，的千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是 的各个数位数字之和等于它千位数字的倍， 即 是顺心数 是的倍数 即是的倍数 是的倍数，且，，，，均为整数 必须是，可以是，，， ， 为了使最大，要越大越好，那么越小越好 当，时， ，满足 此时，，， ，是的倍数，所以是顺心数； 故的最大值是； 故答案为：． 9．（2024·重庆·模拟预测）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被整除，则满足条件的数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据“差中数”的定义计算即可求解，理解“差中数”的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴， ∵为整数，， ∴， ∴， ∴这个数为； ∵自然数是“差中数”， ∴， ∴， ∵“差中数”能被整除， ∴或， 当时，， ∵为整数，且各数位上的数字互不相等， ∴该种情况不存在； 当时，， ∵为整数，且各数位上的数字互不相等， ∴或或， ∴满足条件的数的最小值是； 故答案为：，． 10．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为满足，则称这个三位正整数为“吉祥数”．对于一个“吉祥数” ，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数，记．如：满足，则216为“吉祥数”，那么，所以．则最小的“吉祥数”是 ；对于任意一个“吉祥数”m，若能被7整除，则满足条件的“吉祥数”m的最大值是 ． 【答案】 117 351 【分析】本题考查整式的加减，因式分解，解题的关键是：根据题意最小的“吉祥数”百位上是1，十位上是1，则个位是7即可解答；设，其中，则，表示出，，2，，然后把依次代入找出符合题意得即可解答． 【详解】解：，各个数位上的数字均不为0，这个三位数要最小， 百位上是1，十位上是1， 个位是7， 最小的“吉祥数”是 117； 设，其中，则， ， ，且，，均不为0， ，2，， 当时，，不能被7整除，不合题意， 当时，，不能被7整除，不合题意， 当时，，不能被7整除，不合题意， 当时，，不能被7整除，不合题意， 当时，，能被7整除，符合题意， ， ，，， 或252或351， 当时，，不能被7整除，不合题意， 当时，，不能被7整除，不合题意， 满足条件的“吉祥数” 的最大值是351． 故答案为：117，351． 11．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个数为“轮换数”．例如：四位数1347，，是“轮换数”；四位数2469，，不是“轮换数”．若一个“轮换数”为，则这个数为 ；若一个“轮换数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的所有“轮换数”之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，新定义下的实数运算．解题的关键是分类讨论思想的应用． 由“轮换数”的定义，即可得求出该数； 由是“轮换数”，可得①，再由前三个数字与后三个数字组成的三位数的和能被整除，可推得能被整除，即知，再分类讨论可得答案． 【详解】解：为“轮换数”， ， ， ，且，为整数， ， 这个数为； 为“轮换数”， ， 前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除， 能被整除，即能被整除， 能被整除， 能被整除，即能被整除， 能被整除， 自然数的各数位上的数字互不相等且均不为， ， 当，时，由①知， ，， 此时四位数为； 当，时，由①知， ，， 此时四位数为； 当，时，由①知，不存在满足条件的，； 当，时，由①知，不存在满足条件的，； 当，时，由①知， ，， 此时四位数为； 当，时，由①知，不存在满足条件的，； 当，时，由①知，不存在满足条件的，； 当，时，由①知，不存在满足条件的，； 综上所述，满足条件的四位数为或或， 则满足条件的所有“轮换数”之和是， 故答案为：；． 12．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）对于各位数字均不为零的三位自然数，若m满足各位数字之和能被十位数字整除，则称m为“对偶数”，例如是“对偶数”；又如不能被3整除，不是“对偶数”，将m的百位数字放在其个位数字后得，再将的百位数字放在其个位数字后得．记．已知一个“对偶数”（其中），若能被7整除，则所有满足条件的n的最大值为 ． 【答案】514 【分析】本题主要考查了整除问题以及新定义“对偶数”，正确理解新定义“对偶数”以及运用分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 先表示出，进而得出，即可得出，进而得出是7的倍数，可推导21或35或49，最后分类讨论即可求出答案． 【详解】∵， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∵能被7整除， ∴是7的倍数， ∵，且a、b为整数， ∴，， ∴， ∴14或21或28或35或42或49， ∵，即为偶数， ∴是奇数， ∴21或35或49， ①当时，， ∵a、b为整数， ∴，， ∴， ∵，8能被2整除， ∴224是“对偶数”，符合题意； ②当时，， ∵a、b为整数， ∴，或，或，， 当，时，，，12不能被7整除，故174不是“对偶数”，不符合题意； 当，时，，，11不能被4整除，故344不是“对偶数”，不符合题意； 当，时，，，10能被1整除，故514是“对偶数”，符合题意； ③当时，， ∵a、b为整数， ∴，或，， 当，时，，，14不能被6整除，故464不是“对偶数”，不符合题意； 当，时，，，13能被3整除，故634不是“对偶数”，不符合题意； 综上所述，所以满足条件的n为224或514． 则所有满足条件的n的最大值为514， 故答案为：514． 13．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，则称这个四位数为“乘风破浪数”，例如：四位数3296，∵，∴是“乘风破浪数”．则 （填“是”或“不是”）“乘风破浪数”；若一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两个数字组成的两位数的差，再减去能被8整除，则满足条件的“乘风破浪数”的最大值为 ． 【答案】 不是 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义概念；根据“乘风破浪数”的概念进行判断，根据“乘风破浪数”的概念先求得, 然后根据题意列出的数能被整除的数的特征分析满足条件的数即可． 【详解】∵， ∴不是“乘风破浪数”. 故答案为：不是； ∵是一个乘风破浪数， ∴， 即 ∵一个“乘风破浪数”的前三个数字组成的三位数和后两位数组成的两位数的差，再减去能被8整除， ∴ ∴能被8整除， ∵ ∴ ∴能被8整除，且, ,, 当，，则，，则， 为其他数时，不合题意，舍去； 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，，则 当，，则，则，舍去 综上所述，最大值为． 14．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）一个四位正整数各数位上数字均不为0，若以千位数字、百位数字分别作为十位数字、个位数字组成的两位数与十位数字、个位数字分别作为十位数字、个位数字组成的两位数字之和为110，称这个四位数为“尚善数”．例如：四位正整数2783，因为，所以2783是一个“尚善数”，则最小的“尚善数”是 ．如果一个四位正整数为“尚善数”，定义，若能被15整除，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查对题干“尚善数”概念的理解，根据题意得到一个“尚善数”的千位数字与十位数字的和为，百位数字与个位数字的和为，推出要“尚善数”最小，即千位数字为1，则十位数字为9，百位数字为1，则个位数字为9，即可得到最小的“尚善数”；再根据第一空同理得到最大的“尚善数”，利用列举法往下找出满足能被15整除的最大的“尚善数”，即可解题． 【详解】解：“尚善数”以千位数字、百位数字分别作为十位数字、个位数字组成的两位数与十位数字、个位数字分别作为十位数字、个位数字组成的两位数之和为110， 一个“尚善数”的千位数字与十位数字的和为，百位数字与个位数字的和为， 四位正整数各数位上数字均不为0， 要“尚善数”最小，即千位数字为1，则十位数字为9，百位数字为1，则个位数字为9， 最小的“尚善数”是． 由第一空同理可知， 最大的“尚善数”是，其，不能被15整除； 其次是，其，不能被15整除； 依次往下是，其，不能被15整除； ，其，不能被15整除； ，其，不能被15整除； ，其，不能被15整除； ，其，能被15整除； 满足条件的A的最大值为； 故答案为：，． 15．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”；一个五位数A，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为；若为“星星数”，为“月亮数”（其中，，，，且a，b，c，d为整数），则的值为 ；在此条件下，若的值能被13整除，则满足条件的M的值为 ． 【答案】 17 【分析】本题考查整式的加减运算，不定方程，根据星星数和月亮数的定义，得到，，进而求出的值即可，求出，根据的值能被13整除，得到能被13整除，设，得到，根据的范围，分类讨论进行求解即可，本题的难度大，属于填空题中的压轴题． 【详解】解：∵为“星星数”， ∴， ∴， ∵为“月亮数”， ∴， ∴， ∴； ∵的万位上数字为，千位上数字为，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为； ∴ ； ∵的万位上数字为，千位上数字为，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为； ∴ ， ∴ ∵， ∴ ∵的值能被13整除， ∴能被13整除， 设（x为正整数）， ∴， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴不符合题意； 当时，， ∴当时，，此时：，； 当时，，此时：，，非“星星数”故舍去； 当时，不存在满足题意； 综上：； 故答案为：17，． 16．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）若一个四位正整数m的各个数位数字之和是百位上的数字与十位数字之和的3倍，则称这个四位正整数m为“和谐数”．将一个“和谐数”m百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数，记，则 ；当“和谐数”m的百位上的数字是个位上的数字的2倍，千位上的数字与十位上的数字之和能被9整除时，记，则的最大值为 ． 【答案】 270 【分析】本题考查新定义的实数运算，直接根据定义求解；设“和谐数”m千位、百位、十位和个位的数字分别为a、b、c、d，根据定义可得，列举出符合条件的a、b、c、d的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：， 设“和谐数”m千位、百位、十位和个位的数字分别为a、b、c、d， ∴， 由“和谐数”定义可得， ∴， ∵百位上的数字是个位上的数字的2倍， ∴， ∴，即 ∵千位上的数字与十位上的数字之和能被9整除， ∴设， ∴，即， ∴ ∴、取最大值时有最大值 ∵，，，， ∴，， ∴， ∵ ∴最大值为，此时，满足 ∴当、时，有最大值，最大值为， 故答案为：270，． 17．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）对于一个四位自然数，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“凤翔数”．例如，，因为，所以5241是“凤翔数”，则最小的“凤翔数”是 ；若“凤翔数”，使二次函数与轴有且只有一个交点，且满足，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 1010 8978 【分析】 此题主要考查了二次函数与轴的交点，不等式的性质．对于一个四位数，当各个数位上的数字最小时，这个四位数最小，由此得千位上的数字为1，百位上的数字为0，再根据“凤翔数”的定义得十位上的数字为1，个位上的数字为0，据此可得出最小的“凤翔数”；先由“凤翔数”，得，，，，且，，，均为整数，，再根据二次函数与轴有且只有一个交点，得，由此可得出，，进而根据，得，然后根据“凤翔数”为最大，得、均为最大，此时取最大值8，取最大值9，从而得，，据此可得出的最大值． 【详解】 解：对于一个四位数，当各个数位上的数字最小时，这个四位数最小， 千位上的数字为1，百位上的数字为0， 又千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和， 十位上的数字为1，个位上的数字为0， 最小的“凤翔数”是1010； “凤翔数”， 显然，，，，且，，，均为整数， 根据“凤翔数”的定义得：， 二次函数与轴有且只有一个交点， ， ， 整理得：， ， ， 又， ， 解得：， “凤翔数”为最大， 、均为最大， 取最大值8，取最大值9，此时，， 的最大值为：8978． 故答案为：1010；8978． 18．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）任意三位数，若十位数字比百位数字大4，则称为“博雅数”．在“博雅数”的左边放一个小于10的正奇数得到一个四位数：在“博雅数”的右边放同样的正奇数得到一个四位数，规定．若为“博雅数”，且，则 ．若能被26整除，则所有满足条件的三位数的和为 ． 【答案】 9 【分析】根据定义，表示出两个四位数，根据定义，分类计算即可． 【详解】设个位数字是a，百位数字是b，则十位数字是， 根据题意，得， ， ， ∴， ∵为“博雅数”，且， ∴ ∴， 解得， 则， 故答案为：9； ∵能被26整除， ∴一定是偶数，一定能被13整除， ∵是偶数，是奇数， ∴a一定是奇数， ∵， ∴， 当时，， 不论a取中的哪一个数，都不能被13整除，此时无解； 当时，， 不论a取中的哪一个数，都不能被13整除，此时无解； 当时，， 时，能被13整除， 此时； 当时，， 时，能被13整除， 此时； 当时，， 不论a取中的哪一个数，都不能被13整除，此时无解； 符合题意的M有两个，分别是，； 故， 故答案为：． 19．（2023·重庆江北·一模）一个数位大于等于4的多位数n，规定其末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，则 ；若能被11整除，则这个多位数就一定能被11整除，反之，一个数位大于等于4的多位数n能被11整除，则n的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差一定能被11整除．若两个四位数s，t，其中s能被11整除，且，t的千位数字为，百位数字为4，十位数字为3，个位数字为（a，b，c均为整数），规定，当时，则的最小值为 ． 【答案】 13 / 【分析】先求出根据定义求出，即可求解；由题意可知，，， s，t均为四位数，，，由，得，在根据s能被11整除，得，则，即，再根据，，，为整数，可得，为整数，再结合可知当越大，越小，依次可求解． 【详解】解：由题意可得， ∴； 由题意可得：，， ，， ∵s能被11整除，， ∴能被11整除，则能被11整除，t能被11整除， 则，即：， ∴， ∵能被11整除，且，为整数， ∴，则，即 ∵能被11整除，且，，，为整数， 即：，， ∵， ∴， ∴，，为整数， 当越大，越小， 即：当时，有最小值，， 故答案为：13；． 【点睛】此题主要考查了整除问题，能被11整除的数的特征，求出是解本题的关键． 20．（23-24九年级下·重庆·期中）若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和平数”，那么最大的“和平数”为 ；将一个“和平数”M的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，规定，，若、都是整数，则满足条件的M的最大值和最小值的差为 ． 【答案】 9871 4761 【分析】本题考查了代数式，整式的加减，整除的意义，理解新定义和掌握知识点是解决本题的关键． ①由a、b、c、d的取值范围，确定出最大的完全平方数为25，即可求解； ②确定都能被3整除，能被3整除，继而得到，因此得到，，即可求解． 【详解】解：①为最大的“和平数”，而， 但各个数位上的数字不同，而各个数位上的数字之和为完全平方数， ∴最大的完全平方数为25， ∴最大的“和平数”，当，时，, ∴最大的“和平数”为； ②，则，， ∵、都是整数， ∴设，，为正整数， 则， 两式相加得：， 两式相减得：， ∴都能被3整除， ∴能被3整除， ∵， ∴， ∴或16或25，而能被3整除， ∴ 又∵都能被3整除， ∴时，M最大，时，M最小， ∴，， ∴． 故答案为：9871；4761. 21．（23-24九年级下·重庆·期中）一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为 ．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为 ． 【答案】 7807 9507 【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点．根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被7整除且能被13整除，即可求解． 【详解】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数， 又∵各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴千位不能为9，即千位最大是8，最小是1， ∴最大的“压轴数”是8919，最小的“压轴数”是1112， 则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为； ，， ∴， ∵个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴，， ∴， ∴， ∵能被7整除且能被13整除， ∴能被7整除，能被13整除， ∵ ∴， ∴， ∴能被7整除， ∵， 当，时，能被7整除，此时； 当，时，能被7整除，此时； 其余取值均不符合， ∴满足条件的值的和为； 故答案为：7807，9507． 22．（23-24九年级下·重庆·期中）一个四位自然数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且千位数字的2倍减去百位数字的差等于十位数字和个位数字组成的两位数，那么称这样的两位数M为“2倍差数”．例如：四位数9513，，9513是“2倍差数”；又如：四位数8315，，8315不是“2倍差数”对“2倍差数”M，记，请用含a，b的式子表示 ；若是7的倍数，则满足条件的数的最小值是 ． 【答案】 8412 【分析】本题考查了因式分解的应用，列代数式等知识，理解“2倍差数”的定义是解题的关键． 根据题意，易得，且，对的代数式整理化简即可；通过因式分解将的式子变形，可得是7的倍数；然后分析a，b的可能取值即可． 【详解】解：根据“2倍差数”的定义，可得， a，b，c，d互不相等且均不为零， ， ； ， 是7的倍数， 是7的倍数， 根据“2倍差数”的定义得，a最小值为8，此时，，， 故满足条件的数最小值为8412． 故答案为：；8412． 23．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·期中）一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，它的十位数字等于个位数字与千位数字之差，则称这个四位数为“简约数”．将“简约数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“简约数”的千位数字的2倍求和，记作．若，（，，，，，且，，，，均为整数）都是“简约数”，其中能被11整除，则 ．在此条件下，能被7整除，则满足条件的值的和为 ． 【答案】 3 10741 【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点，掌握分类讨论思想是关键．确定s各个数位的值，再根据定义计算出，然后根据能被11整除即可求解；根据定义计算出，然后根据能被7整除即可求解． 【详解】解：∵， ∴s的个位数是p，十位数是x，百位数是2，千位数是x， ∵s是“简约数”， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵能被11整除，，且x是整数， ∴是整数， ∴； ∴， ∵是“简约数”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，，且，，，均为整数， ∴， ∴， ∵能被7整除， ∴是整数， ∴，，此时； ，，此时（舍去）； ，，此时； ，，此时 ∴满足条件的值的和为， 故答案为：3，10741． 24．（23-24七年级上·重庆铜梁·期末）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，则最大的“逢双数”为： ；对于“逢双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“逢双数”千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 9819 6174 【分析】本题考查了新定义，整除问题，理解定义是解题的关键． 【详解】设四位数为,根据题意，得,当时，，当时，最大， 故最大的“逢双数”为9819， 故答案为：9819； 设“逢双数”m的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为， 故， =， ∵能被4整除， ∴， ∴能被4整除， 当时，或； 当时，或； 当时，或； ∵ ∴，时，m取得最大值，且为； ∴，时，m取得最小值，且为； 故最大值与最小值的差为：； 故答案为：． 25．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）对于一个四位自然数M，如果它百位上的数字与十位上的数字的和等于千位上的数字与个位上的数字的和，则称M为“和对称数”．对于一个“和对称数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N，规定：．在、中选出“和对称数”，并计算相应的 ；已知，均为“和对称数”，其中，（其，，，且均为整数），令，若k能被13整除，则当取最小值时， ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，整式的加减运算的应用，新定义运算，理解新定义是解题的关键．根据新定义运算直接判断，再根据新定义的含义列式计算即可；根据新定义先分别计算，，再根据与，k能被13整除，进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴是和对称数， ∵， ∴不是和对称数， ∵是和对称数， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵最小， ∴，，取最大， ∴ ， ∴能够被整除，而，取最大， ∴，，经检验符合题意； 故答案为：；； 26．（23-24九年级下·重庆大足·期末）一个四位正整数的各数位上的数字都不相同且都不为零，并满足千位上的数字与百位上的数字之和为，且十位上的数字与个位上的数字之和为，则称为“七夕数”，将“七夕数”的千位上的数字与十位上的数字交换、百位上的数字与个位上的数字交换得到一个新的四位正整数，则称这个数为M的“七夕佳数”，规定，例如：四位正整数，∵，，∴是“七夕数”，此时．若，则 ；若“七夕数”满足能被整除，则满足条件的四位正整数的最大值为 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查新定义，根据新定义运算解答即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 设“七夕数”的千位上的数字为，十位上的数字为，则百位上的数字为，个位上的数字为， ∴， ， ∴， ∵，， ∴取最大值时，， 又∵能被整除，的各数位上的数字都不相同， ∴， ∴的最大值为为， 故答案为：． 27．（23-24九年级下·重庆·期中）对于一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字的差的两倍等于百位上的数字与个位上的数字的和，则称这个四位数为“双差喜数”．将“双差喜数”M的前两位数组成的数记为s，后两位数组成的数记为t，并规定（d表示个位上的数字），则＝ ；若一个四位数（均为整数）是“双差喜数”，且被7除余4，则满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 48 7921 【分析】本题考查新定义运算．根据题意中“双差喜数”的定义，求出，再求出整数解即可． 【详解】解：由题意知：， ∴， 则， ∵一个四位数（均为整数）是“双差喜数”， ∴千位数为，百位数，十位数2，个位数， ∴， ， ，即：， ∵被7除余4， ∴被7除余4， ∴或， ∵求M的最大值， ∴， ∴， ∴M的最大值为， 故答案为：． 命题角度二：方程与等式 28．（23-24九年级上·重庆渝中·阶段练习）一个数位大于等于4的多位数n，规定其末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为F（n），则＝ ；若F（n）能被11整除，则这个多位数就一定能被11整除，反之，一个数位大于等于4的多位数n能被11整除，则n的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差F（n）一定能被11整除．若两个四位数s，t，其中s能被11整除，且，t的千位数字为，百位数字为4，十位数字为3，个位数字为（a，b，c均为整数），规定，当，则K的最小值为 ． 【答案】 16 【分析】先求出根据定义求出，即可求解；由题意可知：，，s,t均为四位数，,由 得，在根据s能被11整除可得，则，即,再根据，b,c为整数可得，c为整数，再结合可知，当c越大，越小，依次可求解即可． 【详解】解：由题意可得， ∴； 由题意可得：，, ∵s能被11整除，， ∴能被11整除，则能被11整除，t能被11整除， 则，即：， ∴， ∵能被11整除，且，a为整数， ∴，则，即, ∵能被11整除，且，b,c为整数，即：， ∵, ∴， ∴，，c为整数，当c越大，越小，即：当时，有最小值，． 故答案为：16，． 【点睛】本题主要考查了整除问题、能被11整除的数的特征等知识点，求出是解本题的关键． 29．（2024·重庆·模拟预测）一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新的“对称数”记为，记，若“对称数”A，满足能被7整除，则A的最小值为 ；在能被7整除的情况下，对于“对称数”，有，且k为正整数，当取得最大值时， ． 【答案】 1881 12342 【分析】此题考查因式分解的应用，理解题意，分类讨论，搞清楚数量关系是解决问题的关键： 根据题意可得，由于能被7整除，则是7的倍数，即可得到a，b的值；同理可得，因为，得到 ，分类讨论即可． 【详解】解：“对称数”， 则， ∴ ∵能被7整除，A最小，各数位上的数字不完全相同且均不为0， ∴是7的倍数且，， ∴的最小值为， ∴， ∴A的最小值是1881； ∵的最大值为7， ∴当时，A的最大值为9229； ∵“对称数”， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∵k为正整数， ∴， ∴或， 当时，n可取0,1,2,3,4，故m应为1，3，5，7，9； 当时，n可取0,1，故m应为7,9； ∵ ， ∴要使取得最大值，a与b尽可能大，m与n尽可能小，尤其是a与m， ∴A最大为9229，B最小为3113， ∴， 故答案为：1881，12342． 30．（2024·重庆·一模）一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且都不等于0，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字所组成的两位数的和等于100，那么就称这个数为“奋进数”．把“奋进数”的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．并且规定：．例如：一个四位数3268，因为，所以3268是“奋进数”，且．如果四位自然数（，且为整数）是一个“奋进数”，则 （用含的代数式表示），另外规定等于的前两位数字之和．如果是一个“奋进数”，为偶数，且（为整数），则满足条件的的最小值是 ． 【答案】 5941 【分析】由新定义可得，结合进行计算即可得到答案；再设，且为偶数，可得同奇同偶，，结合，利用，，可得，由同奇同偶，且最小，可得必须最小；再进一步求解即可． 【详解】解：∵，是奋进数， ∴，，， ∴， ， 设，且为偶数， ∴同奇同偶，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵同奇同偶，且最小， ∴必须最小； 当时，，舍去， 当时，， ∴，则，此时，不符合题意，舍去， 当时，则， 当时，，此时，不符合题意，舍去， 当时，，此时，不符合题意，舍去， 当时，则， 当时，，，不符合题意，舍去， 当时，，则，不符合题意，舍去， 当时，则， 此时，都不符合题意； 当时，则，此时符合题意， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； 【点睛】本题考查的是新定义运算，整式的加减运算的应用，三元方程的应用，方程正整数解的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 31．（2024·重庆·一模）对于一个各个数位上的数字均不为0的自然数m，将各个数位上的数字任意排列，用排列后最大的数减去最小的数，我们称这样的运算为“极差变换”，记为．例如：，则，，．当时，称m是“极差数”．如果（，a为整数）是一个“极差数”，则 ；已知（均为整数），若为整数，且，则 ． 【答案】 4 8411 【分析】本题考查新定义的应用；能够通过题意，利用代数式将进行正确的表示是解题的关键，根据极差数的定义计算可得； 【详解】设一个四位数各数位上的数由，，，d四个数字组成，且， 则所组成的最大四位数为：，最小四位数为：， 所组成的最大四位数与最小四位数之差为： ， ， ，，d为正整数， 组成的最大四位数与最小四位数之差可以被9整除； ∵（，a为整数）是一个“极差数”， ∴能被9整除 当时，，不符合； 当时，，不符合； 当时，，不符合， 当时，，符合； 当时，，不符合； 当时，，不符合； 当时，，不符合； ∵ ∴当时，，，符合； 当时，，，不符合 当时，，不符合； 当时，，不符合 当时，，符合； 当时，，符合 同理可得：当时，把代代入，没有符合条件的， 当时，把代入，没有符合条件的， 当时，把代入，符合条件的， 故答案为：4,8411 32．（2024·重庆九龙坡·二模）任意一个个位数字不为0的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，，则 ；若四位数，满足，，则 ． 【答案】 231 1986 【分析】本题考查整式的加减运算，解一元一次方程，根据新定义的法则，列出算式以及方程进行计算即可． 【详解】解：当时，则：， ∴； 当时，则：， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：231，1986． 33．（2024·重庆大渡口·二模）对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为“义渡数”．当三位自然数为义渡数”时，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“义渡数”，且，则最小的“义渡数”是 ；若三位自然数是“义渡数”（其中，，，、、均为整数），且的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数的最大值是 ． 【答案】 213 978 【分析】本题考查了因式分解，掌握“义渡数”是解题关键． 由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213．由，又得，结合，分类讨论即可． 【详解】解：由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213， 故答案为：213． ， ， ， ， ， 当时，，若最大，则， 当时，，若最大，则， 当时，，若最大，则， 的最大是978． 故答案为：978． 34．（23-24九年级下·重庆·期中）一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：对称数时，，则．已知s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a，b，t的千位数字与百位数字分别为x，y，其中，，，a，b，x，y均为整数．若能被8整除，则 ；同时，若、还满足，则所有可能值中的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】根据对称数定义表示出， 得到， 根据能被8整除， ，得到同理得 ，根据条件得到，由得到得到根据x，y均为整数，分别列举出x，y的值代入求和即可． 本题考查了新定义，因式分解的应用，数的整除性，关键是正确理解新定义，利用代数式的值进行相关分类讨论，把新知识转化为熟悉的知识进行解答． 【详解】解： ∵的千位数字与百位数字分别为， ∵能被8整除， 且 ， ， 同理得 ， ， 即 ∵均为整数， 当时， 符合题意，此时 当 时， ，不符合题意， 当 时，符合题意，此时 当 时，，不符合题意； 当 时，，不符合题意； 当 时，符合题意，此时 当 时，，不符合题意； 当 时，，不符合题意， 当 时，符合题意，此时 ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为： 故答案为：，． 35．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）一个四位数M，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“丙午数”；将“丙午数”千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数．将原数M与新数作差，再除以99，所得商记为．例如：，∵，∴7315是“丙午数”，∴，∴．现有“丙午数”，，那么 ．若两个四位数A和B都是“丙午数”，，，其中，，，，且m，n，x，y均为整数，若，则差的最小值为 ． 【答案】 9 2882 【分析】本题考查了整式的加减，理解新定义，运用分类讨论思想解不定方程是解题的关键． 根据“丙午数”定义得出，求出的值，即可得出的值． 根据“丙午数”定义，结合，，得出，，进而确定和的值，再分类讨论解答即可． 【详解】解：“丙午数”，， ， 解得， ， 四位数，其中，，，均为整数，四位数，其中，，，均为整数， 数中的千位数字是6，百位数字是，十位数字是2，个位数字是，数中的千位数字是，百位数字是3，十位数字是2，个位数字是4， 与都是“丙午数”， ，， ，． 由，得当时，，这时为6226； 当时，，这时为6325； 当时，，这时为 6424； 当时，，这时为6523； 当时，，这时为6622； 当时，，这时为6721． 由，得当时，，这时为1364； 当时，，这时为2354； 当时，，这时为3344． 对中四位数，，，， ，． 对四位数，，． ①当，时，（不符合题意，舍去）； ②当，时，（不符合题意，舍去）； ③当，时，，符合题意； ④当，时，（不符合题意，舍去）； ⑤当，时，（不符合题意，舍去）； ⑥当，时，（不符合题意，舍去）； ⑦当，时，，（不符合题意，舍去）； ⑧当，时，（不符合题意，舍去）； ⑨当，时，（不符合题意，舍去）； ⑩当，时，（不符合题意，舍去）； ⑪当，时，，符合题意； ⑫当，时，（不符合题意，舍去）； ⑬当，时，（不符合题意，舍去）； ⑭当，时，（不符合题意，舍去）； ⑮当，时，（不符合题意舍去）； ⑯当，时，（不符合题意，舍去）； ⑰当，时，（不符合题意，舍去）； ⑱当，时，（不符合题意，舍去）． 综上所述，符合题意的有两种情况，即当，时，； 当，时，， ， 的最小值为2882． 故答案为：9；2882． 36．（23-24九年级下·重庆大渡口·阶段练习）介绍一个“能被13整除的数的特征”的数学小知识：一个多位数（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除．例如数字160485，这个数末三位是485，末三位以前是160，，．即325能被13整除，那么160485也能被13整除．则 ；若，均为13的倍数，且，，（，，，且，，均为整数）．规定，当时，的最大值为 ． 【答案】 126 【分析】（1）直接根据公式代入求解即可得到答案； （2）根据公式代入求出、，结合整除及取值范围即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵m是的倍数，且， ∴可以取或或或或或或， ∴可能是：、2、、、、、， ∵是整数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， ⑤当时，， ∵ ∴的最大值为， 故答案为：126，． 【点睛】本题考查新定义的运算及整除问题，解题的关键是正确理解新定义，根据的条件求出a． 命题角度三：分式型 37．（23-24九年级上·重庆彭水·期末）如果一个自然数的各位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，各位数字之和为8，则称数为“优数”，并把数分解成的过程，称为“最优分解”．例如：数 “优数”(填：是或不是)；若把一个“优数”进行“最优分解”，即，与之和记为，与之差的绝对值记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值是 ． 【答案】 是 【分析】此题主要考查了新定义，分解因数，整除问题；先将分解因数，再判断即可得出答案；设两位数的个位数字为，十位数字为，则两位数的个位数字为，十位数字为，，且，为正整数，得出，，进而得出，，进而得出，再判断出或或，最后分三种情况利用能被整除，求出的值，即可求出答案． 【详解】解：， 是优数； 设两位数的个位数字为，十位数字为， 则两位数的个位数字为，十位数字为，，且，为正整数， 则，， ， ， 令，则， ， 即且为整数， ， ， ，且为整数， 或或， ①当时，，此数的个位数字必为， ， ， 能被整除， 或， 或， ②当时，，此数的个位数字为或， ， ， 能被整除， 能被整除， ， ， ③当时，， ， ， 能被整除， 能被整除， 而的个位数字为， 或或， 或不符合要求或不符合要求， 要最大，则最大， 而两位数，的十位数字是， 所以最大， 当，时，，， ； 当，时，，， ， 故答案为：是；． 38．（2024·重庆·一模）对于任意一个四位数，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大，则称这个四位数根为“差双数”，记为的各个数位上的数字之和．例如：，，是“差双数”， ；，， 不是“差双数”．若与都是“差双数”，且，则“差双数”是 ；已知M，N均为“差双数”，其中， ，，，，，，，，，是整数，已知能被整除，且为整数，则满足条件的所有的的值之和为 ． 【答案】 【分析】根据“差双数”的定义可得的值为，；根据，可得和的另一个关系，进而求得和的值，即可求得差双数”；判断出和的各个数位上的数字，根据它们都是“差双数”得的各个数位上的数字的关系，得到和并化简，根据能被整除，且为整数，得到可能的各个数位上的数字，计算得到所有的，相加即可． 【详解】解：与都是“差双数” ， ， 即 则为：． ，均为“差双数”，其中， ，，，，，，，，，是整数， 即 ， 能被整除， 即是整数， 又是整数， ，且为整数，是整数， 或或． 当时，为整数 或； 当时，为整数，不存在； 当时，为整数，不存在； ①，． ， ． ，， ，或，． 当，时，此时，即，符合题意； 当，时，此时，即，不符合题意； ． ②，． ， ． ，， ，或， 当，时，此时，即，不符合题意； 当时，此时，即，符合题意； ． 满足条件的所有的的值之和为：． 故答案为：，． 39．（2024·重庆·一模）若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“同七数”． 已知M为一个“同七数”，且M可以被9整除． 将M的各个数位数字之和记为，则可求出的值是 (请填入具体数字)． 将M的个位数字与千位数字的差记为，并令 当是整数时，则满足条件 M 的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 9 2997 【分析】本题考查不等式的性质，整式的加减等知识，灵活运用不等式的性质推导是解题的关键．设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是，， ，．根据M可以被9整除和a的取值范围可知，即，又求出，再根据是整数求出a的值，从而得出复合条件的M的值，继而求出满足条件 M 的最大值与最小值的差． 【详解】解：设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是，， ∴，． ∵M可以被9整除，， ∴是9的倍数， 又∵，且b为自然数， ∴，且是奇数， ∴，即． 解得：， 又∵M的个位数字与千位数字的差记为，即． ∴， 又∵，且a为正整数， ∴，且是奇数， 又∵是整数， ∴或或1或3， 解得：或4或3或2， ∴M=5112或4113或3114或2115． ∴满足条件 M 的最大值与最小值的差是：． 故答案为：9；2997． 40．（2024·重庆九龙坡·一模）对于一个四位自然数，如果它满足千位数字与百位数字的和大于十位数字，千位数字与百位数字的差的绝对值小于个位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么我们称这个数为“三角数”．例如：3729，因为，，所以3729是“三角数”；又如4057，因为，所以4057不是“三角数”．若是最小的“三角数”，则 ；若“三角数”（，，，，，为整数），记的千位数字与十位数字的和为，当是4的倍数时，满足条件的的最大值和最小值的差为 ． 【答案】 1203 5056 【分析】本题考查了新定义、数的整除、实数的运算等知识，掌握分类讨论是解题的关键． ①设，且，当，数字重复，时，则，只能为0，故，即可求解； ②当时，则N为，有是4的倍数，只有，则，此时符合题意；当时，则N为，则，是4的倍数，只有时，符合题意． 【详解】解：①若是最小的“三角数”，设，且， 当时，则，则，数字重复，故不符合题意； 当，数字重复，故不符合题意； 当时，则， ∴b可取1，2，0，b为1数字重复，b为2数字重复，故b为0， ∴这个四位数目前为， ∵且数字不重复， ∴，故， 故答案为：1203． ②当时，则N为， ∴， ∵是4的倍数， ∴当，则，此时，舍； 当，则，此时，此时，不满足千位数字与百位数字的和大于十位数字，舍， 当，则，此时，此时，由于， 故最小为； 当时，则N为，则， ∵是4的倍数，且， ∴当时，，而，故最大为， 当时，，而，故最大为，因此最大数为，最小数为， ∴差为5056． 故答案为：1203，5056． 41．（2024·重庆渝中·二模）对于任意四位自然数P，记H（为各个数位上的数字之和，若四位数满足千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“大2数”；若四位数 满足千位数字比百位数字大3，十位数字比个位数字大6，则称这个四位数是“大3数”；若为“大2数”，为“大3数”，则值是 ；若M，N分别是个位数字都是3的“大2数”和“大3数”，且 能被10整数，则 的最大值是 ． 【答案】 15055 【分析】本题考查了对题干“大2数”与“大3数”新概念的理解，以及用代数式表示数字，根据新定义求得和中的未知数即可求得；结合题意可设M千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，7，3；N千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，9，3，则求得，；，，进一步求得，再利用能被10整除，即可得出a，b取值情况，分别计算不同情况下的值，再进行比较，即可解题． 【详解】解：∵为“大2数”，为“大3数”， ∴ ∴， 则， ∵M，N分别是个位数字都是3的“大2数”和“大3数”， ∴设M千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，7，3； N千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，9，3， 则， ； ， ； 则 ， 能被10整除， 为整数， 即是的因数， 由题意可知，，（千位上最大的数字是9）， 当取得最大值时，即最大， ， 当时，； 当时，； 即当时，，，时，最大值为； 当时，，，时，最大值为； 故当时，有最大值为． 故答案为：15055，． 42．（2024·重庆·二模）对于一个四位正整数，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“优胜数”．则符合条件的A的最大数与最小数的差为 ，， ，若能被7整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律题，整式加减的应用、不等式得应用等知识，根据题意求出当时，A的最大数为，当时，A的最小数为，即可求出符合条件的A的最大数与最小数的差，根据题意求出，则或或，进一步求出所有满足条件的四位正整数A，即可求出所有满足条件的四位正整数A的和． 【详解】解：∵四位正整数是“优胜数”． ∴， ∴， ∵ ∴，，， ∴，， 可得到A为，     当时，A的最大数为， 当时，A的最小数为， ∴最大值与最小值的差为； ， ∵，， ∴，， ∴，， ∵能被7整除， ∴，则或或， 解得，，， ，，， 或，，， 或，，， ∴所有满足条件的四位正整数A为, ∴所有满足条件的四位正整数A的和为， 故答案为：， 43．（2024·重庆·二模）对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小（为正整数），则称该数为“元数”．对“元数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若四位数是一个“8元数”，则的值为 ．若是一个“3元数”，且能被的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字问题，新定义，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“元数”定义可得，根据题意表示出，，利用即可得到，设，则，根据“3元数”定义可得，，根据能被的各个数位上的数字之和整除，得到为整数，结合各个数位上的数字互不相等且均不为0 且取最大，求出、、、的值，即可解题． 【详解】解：四位数是一个“8元数”， ，解得， ， ， ， ； 设，则， 是一个“3元数”， ， ， ， ， 能被的各个数位上的数字之和整除， 为整数， ， ， ， 为整数， 各个数位上的数字互不相等且均不为0， ， 为的因数，且最大为， 即， 解得， 若要最大，即，， ， 若要最大，即，， 满足条件的的最大值为； 故答案为：，． 44．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为，个位数字之和为，则称为“霸气数”，把分解成的过程叫做“霸气分解”．例如：因为，，，所以是“霸气数”；因为，，所以不是“霸气数”，则最大的“霸气数”为 ；若自然数是“霸气数”，“霸气分解”为，将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，若为整数，则满足条件的自然数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题是新定义题，主要考查了列代数式，有理数的运算，关键是准确理解新定义“霸气数”含义．根据“霸气数”的定义，结合有理数的四则运算分类讨论即可得解． 【详解】解：设为“霸气数”，令，（且，整数），则再设则 ，， ∴，或，或，或，或，或，或，或，；或，或，或，或，或，或，或，或，；或，或，或，或，或，或，或，或，；或，或，或，或，或，或，或，或，； ∴可以为或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或， ∴最大的“霸气数”为， ∵将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，（且，整数），则 ∴，， ∴， ∵为整数， ∴或或或， ∴当时，或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）； 当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）； 当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）； 当时，（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）； ∴，或，或，或，或，或，或，； ∴可以为或或或或或或， ∴自然数的最大值为， 故答案为：，． 45．（2024·重庆·三模）如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“胜利数”．将“胜利数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数1729，∵，∴1729不是“胜利数”，又如：四位数5432，∵，∴5432是“胜利数”，.若能被7整除，令，则所有满足条件的之和是 ；若对于“胜利数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最大值时，“胜利数”是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数的整除，乘法分配律的灵活应用，二元一次方程的正整数解问题，由，可得能被7整除，再分类讨论即可．清晰的分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵能被7整除， ∴能被7整除， 当时，，则； 当时，，（舍去）或，则； 当时，，（舍去）或（舍去）， 当时，（舍去） 当时，，，则； 当时，或，则或； 当时，，，则； 当时，，，则； ∴满足条件的之和是为； 要使得最大，则， ∴当，，时，最大值为， 当，，时，最大值为， 当，，时，最大值为， 综上所述，当，，时，最大，这时“胜利数”是； 故答案为：，； 46．（2024·重庆·模拟预测）一个四位自然数，若它的千位数字比十位数字少，百位数字比个位数字多，则称为“一生一世数”．如：四位数，∵，，∴是“一生一世”；四位数，∵，∴不是“一生一世数”，则最大的“一生一世数”为 ．若一个四位数是“一生一世数”，且，，若能被整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了新定义问题，由题意得，，则， 故，然后分情况讨论即可根据题意列出代数式，利用条件进行化简是解题的关键． 【详解】由题意知，千位比十位少，百位比个位多， 则千位数字最大为， 此时十位数字为，要数最大则百位数字为，此时个位数字为， ∴最大的“一生一世数”为， 由“一生一世数”可知，，， ∵，，，， ∴，， ∴， 则， ∵能被整除， ∴当时，四位数为：，，，，，，都不能被整除， ∴不符合题意； 当时，四位数为：，，，，，， ∴其中符合能被整除， ∴最大值为：， 当，四位数为：，，，，，， ∴其中符合能被整除， 最小值为：， ∴差值为， 故答案为：，． 47．（23-24九年级下·重庆·期中）若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：，满足；若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：，满足；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是 ．如果一个“和数”与一个“差数”的个位数字均为、十位数字均为，且，若为整数时，记，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，完全平方公式，平方差公式，根据新定义以及最大，最小的四位数的特征写出，求其差；根据依题意表示出，进而根据是整数，得出，从而得到为偶数，再讨论求解，进而求得的值，求得，取最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最大的 “和数”千位最大只能为，则百位为 ∵ ∴最大的十位为，则个位为 ∴最大的 “和数”为 最小的“差数”的千位为，百位最小为时，完全平方数之差没有相差10的数， 则百位数为，此时 ∴最小的“差数”为 ∴最大的“和数”与最小的“差数”之和是； ∵一个“和数”与一个“差数”的个位数字均为、十位数字均为， ∴， ∴ ∵ ∵为整数时 ∴能被整除 ∴ ∴为偶数， 当时， ∵， ∴不合题意， 当， 解得：，则此时N不是四位数，不符合题意； 当时，， ∵， ∴或 ∴或（舍去）， ∴， 当时， ∵， ∴或 ∴（舍去）（舍去）； 当时，，同理可求得只有符合题意， ∴ ……， 综上所述，的最大值为， 故答案为：；． 48．（2023·重庆九龙坡·二模）对于一个四位自然数N ，其千位数字为a，百位数字为b ，十位数字为c，个位数字为d ， 各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字 ，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，，，，， 所以6345是“坎数”．若N为“坎数”，且，当为9的倍数时，则所有満足条件的N的最大值为 ． 【答案】8154 【分析】根据“坎数”的定义可以得到，可得出，根据当为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，所以可知，则可知，，故，则最大的值为，，即可求解． 【详解】解：根据“坎数”的定义可以得到， ∴， ∵为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当，时，N有最大值， ∴， ∴N的最大值为8154， 故答案为：8154． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过给出的“坎数”的定义求出对应的各个数位的数字的关系，通过给出的式子，求出对应的数字的结果，从而求出最后的解． 49．（22-23九年级下·重庆·阶段练习）如果一个自然数M能分解成，其中A和B都是两位数，且A与B的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M为“十全九美数”，把M分解成的过程称为“全美分解”．在2040和182这两个数中，是“十全九美数”的是 ．若自然数M是“十全九美数”，“全美分解”为，将A 的十位数字与个位数字的差，与 B的十位数字与个位数字的和求和记为； 将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5 整除时，则所有满足条件的自然数M的最大值与最小值之和是 ． 【答案】 2040 3078 【分析】 答题空1：根据“十全九美数”的定义直接判定即可； 答题空2：设A的十位数字为m，个位数字为n，得出，，当能被5整除时，设值为k，再分类进行讨论即可求解． 【详解】，且，， ∴2040是“十全九美数”； ，但，， ∴182不是“十全九美数”． 设A的十位数字为m，个位数字为n，则B的十位数字为，个位数字为， 则，， ∵M是“十全九美数”，， 由题意得， ， 则 (k为整数)， 由题意知，，且都为整数， ，， 当时，， ∴或或， 解得或 (舍去)或； 当时，， ∴，解得 (舍去)， 当时，， ∴，解得， ∴，； 或，； 或，； ∴， 或， 或， 综上，满足“十全九美数”条件的M有：1564或1914或1164． M的最大值与最小值之和为：． 故答案为：2040．3078． 【点睛】本题是新定义题，主要考查了列代数式，以及因式分解的应用，一元一次方程的应用，关键是准确理解“十全九美数”含义． 50．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”，如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是 ；若、分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，、各数位上的数字之和分别记为和，若能被10整除．则当取得最小值时的值是 ． 【答案】 2040 【分析】本题考查了对题干“谷雨数”与“惊蛰数”概念的理解，以及用代数式表示数字，根据未知数的范围推算最小值，根据题意即可得出最小的“谷雨数”；设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，4，2；“谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，6，2，再结合a，b取值范围和能被10整除，即可得出a，b取值情况，分别计算不同情况下的值，再进行比较，即可解题． 【详解】解：根据题意，最小的“谷雨数”，若千位数字最小，则应为2，百位数字为0，此时十位数字最小为4，个位数字最小为0，则最小的“谷雨数”是2040； 设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，4，2； “谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：，，6，2， 则， ； ， ； 则， ， ， ， 能被10整除， 为整数， 即是的因数， 由题意可知，，（千位上最大的数字是9）， 当取得最小值时，也就是说最小， ， 当时，； 当时，； 即当时，有，时，最小值为； 当时，有，时，最小值为； 故当，时，有最小值，此时的值为：． 故答案为：． 51．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是M的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“好数”，一个“好数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记．若为整数， 是4的倍数，则 ；满足条件的M的最大值 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意求出 是解题的关键． （1）根据定义得到 进一步得到 ； （2）是的倍数,，或，进一步计算即可． 【详解】解：， ， 为整数， ， ∴， 是的倍数， 或， 即当时，取到最大值，， 或， ∴的最大值为， 故答案为: ，． 52．（22-23九年级下·重庆大渡口·阶段练习）把一个四位数N的各个数位上的数字（均不为零）之和记为，把N的千位数字与百位数字的乘积记为，十位数字与个位数字的乘积记为，称为N的“陪伴值” （1）4164的“陪伴值”为 ； （2）若N的千位与个位数字之和能被9整除，且，N的“陪伴值”为4，则满足条件的N的最小值是 ． 【答案】 /0.75 2527 【分析】本题考查了实数的新定义问题，解二元一次方程组，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义，先、和，再求解即可． （2）设N的四位数分别为，根据新定义建立方程组，利用不等式的性质确定的值，要使最小，则应最小，依次使=1，2，3…，代入求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴4164的“陪伴 值” ． 故答案为：． （2）设N的四位数分别为，（均不为零） 由题意得：其中n是正整数， ∵， ∴， ∴，，， 要使最小，则应最小， 当时，，解得，或，不是整数，舍去； 当时，，解得，或，此时的四位数是； ∴满足条件的N的最小值是． 故答案为：． 53．（2023·重庆开州·一模）如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为，百位数字与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称M为“整和差数”．若（其中，，，且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，则满足条件的M的最小值为 ． 【答案】7231 【分析】由“整和差数”的定义可得，再分情况讨论可得满足条件的所有M的值，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴M的千位数字为，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d， ∵M是“整和差数”， ∴， ∴， ①当时，不为整数； ②当时，不为整数； ③当时，， ∴或10，即或7， ∴M的值为7231，7736； ④当时，， ∴或8，即或7， ∴M的值为9312，9716． 综上所述，M的值为7231，7736，9312，9716．其中M的最小值为7231 故答案为：7231 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解“整和差数”，明确条件与所求的关系． 54．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如果一个四位数M满足各个数位数字都不为0，且千位数字与百位数字之和为9，将M的千位数字与百位数字组成的两位数记为x，十位数字与个位数字组成的两位数记为y，令，若F（M）为整数，则称数M是“长久数”．例如：，∴，，，为整数，∴是“长久数”；又如：，∴，，，不为整数，∴不是“长久数”．若p为最大的“长久数”，则 ；把一个“长久数”M的千位数字记为a，十位数字记为b，个位数字记为c，令，当G（M）为整数时，满足条件的M的最小值为 ． 【答案】 31 1836 【分析】本题考查了因式分解的应用，新定义．（1）根据“长久数”的定义计算即可；（2）根据是“长久数”，可知的百位数字为，根据是正整数，可得，根据为整数，可知为整数，可得可取18或9或6，即可确定满足条件的、、，进一步即可确定． 【详解】解：（1）∵p为最大的“长久数”，千位数字与百位数字之和为9， ∴， ∴， ∴是9的倍数，且为最大的2位数， ∴， ∴； 故答案为：31； （2）是“长久数”， 的百位数字为， ，， 是正整数， 是9的倍数， 和是不超过9的正整数， ， ， ， 当为整数时，为整数， ，均是不超过8的正整数， 可取18或9或6， 满足条件的，的取值有： ，，此时，； ，，此时，； ，，此时，； 综上所述，满足条件的的值有：2763，4536，1836． 故答案为：1836． 55．（2023·重庆九龙坡·三模）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示 ，当能被20整除时，k的所有取值之积为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，，求得，，，由，，可知，根据能被20整除，可得，可得，，当，6，7，8时：，，，，即可求出k的所有取值之积． 【详解】解：∵若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵能被20整除， ∴，则，即： ∴，， ∵各个数位上的数字都不为零且互不相同， ∴， ∴当，6，7，8时：，，，， ∴k的所有取值之积为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，阅读理解题目是本题的关键． 56．（23-24九年级下·重庆·期中）如果一个三位自然数的百位数字与1的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“差一数”．例如：726，∵，726是“差一数”．又如：632，∵，∴632不是“差一数”，则最小的“差一数”是 ：若一个“差一数”为，且可以被5整除，又，且为整数，则满足条件的“差一数”的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据“差一数”的定义即可求出最小的“差一数”， 由题意得出，再根据可以被5整除，，且为整数，可求出“差一数”的最大值解题的关键是理解“差一数”的定义． 【详解】解：设为最小的“差一数”，则，由“差一数”的定义可知： ， ∴， ∴最小的“差一数”是102； ∵“差一数”为，可以被5整除， ∴或， 在，为偶数，为偶数， 又∵，为整数， ∴， 根据“差一数”的定义可知，， ∴， 当时，，“差一数”为，不为整数， 当时，，“差一数”为，不为整数， 当时，，“差一数”为，不为整数， 当时，，“差一数”为，为整数， ∴“差一数”P的最大值为． 57．（23-24九年级下·重庆开州·期中）若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M称为“和差数”． ①“和差数”M的最小值是 ； ②令M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且，当，均为整数时，M的最大值为 ． 【答案】 1156 6318 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及整除、新定义等知识，理解新定义，并用含c，d的代数式表示出M是解题的关键． ①由和差数的定义可得，令，，可得答案； ②结合可得，进而可得，设（k为整数且），根据，均为整数，可得，再分或两种情况，分别计算即可． 【详解】解：①令“和差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d， 则， 要使“和差数”M取最小值，令，，则， 没有满足条件的c，d，不合题意； 令，，则， 当，时，等式成立，符合条件， 因此“和差数”M的最小值是1156； ②由①知， ， ， 是整数， 是整数， 是整数， ， 设（k为整数且）， ， ， 或， 当时， 若，则，此时，不合题意； 若，则，此时，； 若，则，此时，； 若，则，此时，； 若，则，不合题意； 当时， 若，则，此时，； 若，则，不合题意； 综上可知，符合条件的M有1224，2736，4848，6318，其中最大值为6318． 故答案为：①1156；②6318． 58．（23-24九年级下·重庆·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“加和数”．例如：四位数5127，因为，所以5127是“加和数”：又如：四位数6238，因为，所以6238不是“加和数”．若是“加和数”，记，若是一个完全平方数，则 ；记，若“加和数”能被7整除，则满足条件的所有的和为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键． 【详解】 ． ， 是一个完全平方数， ； ∵ ∴（舍），21，28（舍），35（舍） ∴， ，，（舍）， ∴ ∴ 59．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）对于一个四位自然数，如果它满足千位数字与百位数字的和大于或等于十位数字，千位数字与百位数字的差的绝对值小于个位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么我们称这个数为“三角数”．例如：3729，因为，，所以3729是“三角数”；又如4057，因为，所以4057不是“三角数”．若M是最小的“三角数”，则 ；若“三角数”（，，，a，b，c为整数），记N的千位数字与十位数字的和为，当是4的倍数时，满足条件的N的最大值和最小值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、数的整除、实数的运算等知识，掌握分类讨论是解题的关键． ①设，且，，当，数字重复，时，则，故b为0，即可求解；②，可得N为，即有，根据是4的倍数，依次列举即可：当时，当时，当时，当时，四种情况，结合限制条件，求出每种情况下a、b的值，问题随之得解． 【详解】解：①若是最小的“三角数”，设，且，， 当时，则，则或者，数字重复，故不符合题意； 当，数字重复，故不符合题意； 当时，则， ∴b可取1，2，3，0，b为在避免重复的条件下尽可能小， 故b为0， ∴这个四位数目前为， ∵且数字不重复， ∴，故， ②∵， ∴N为， ∴， ∵是4的倍数， ∴当，则，此时，舍； 当，则，此时，，此时， ∵，且， ∴， ∴此时N最小为，N最大为， 当，则，此时，，此时， ∵，且， ∴， ∴此时N最小为，N最大为， 当，则，此时，，此时与矛盾，舍去， 综合比较：N最小为，N最大为， 二者的和为： 故答案为：，． 命题角度四：完全平方数 60．（23-24九年级下·重庆江北·阶段练习）对于一个四位自然数M，如果M满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，且它的千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差，那么称这个数M为“等差数”．将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四为自然数，并规定．若S，T都是“等差数”，其中，（，，，，且a，b，c，x，y都是整数），则= （用含c，y的代数式表示），若是一个完全平方数，则此时最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减、不等式的性质等知识，由“等差数”定义得到，求出，得到，进而得到或1或4或9，求出，再分情况讨论得到答案． 【详解】解：∵S，T都是“等差数”， ，， ∴， ∴ 由题意可得， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵，且c，y都是整数， ∴， ∵是一个完全平方数， ∴或1或4或9， ∵ 当时，即，则， ∵， ∴此时的最小值为， 当时，即，则， ∵， ∴此时的最小值为， 当时，即，则， ∵， ∴此时的最小值为， 当时，即，则， ∵， ∴此时的最小值为， 综上可知，的最小值为， 故答案为：， 61．（23-24九年级下·重庆巴南·阶段练习）若一个各个数位都不相同的四位正整数，其千位数字与十位数字之和为10，百位数字与个位数字之和为10，则称这样的四位数为“双十数”．请写出最小的“双十数” ；若m是一个“双十数”，将m的千位数字和十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数n．若是一个完全平方数，则m的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，因式分解的应用，二元一次方程的解的含义，理解题意是解本题的关键，由“双十数”定义可得最小的“双十数”的千位为，则十位为，再确定百位与个位即可，设“双十数”的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，可得，再结合的特点再逐一分析即可． 【详解】解：由“双十数”定义可得最小的“双十数”的千位为，则十位为， 而百位为，则个位为， ∴最小的“双十数”为； 设“双十数”的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为， ∴， ， ∴， ∵， ∴； ∵是完全平方数，且最大，而，，且，为正整数， ∴， ∵为完全平方数， ∴当最大，则最小，最大，最大， ∴， ∴， ∴当最大时，则， ∴； 故答案为：，； 62．（23-24九年级下·重庆北碚·阶段练习）对于一个四位自然数，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“附中数”并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差．例如：四位数8274，满足：，则8274是一个“附中数”．记“附中数”，（，且a，b，c，d均为整数），若为完全平方数，则 ；同时，令，若为整数，则满足条件的M最大值与最小值之差为 . 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，理解新定义和整除的意义是解题的关键．先找出的各个数上的数字，再分别求出，再根据为整数，验证求解． 【详解】解：是“附中数”， ， ， 为完全平方数， ， 是完全平方数，且，且a，b，c，d均为整数， 或， ，则，不合题意，故舍去， ， ； 当时，， a，b，c，d互不相同， ①当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ②当，时，，，所以，此时是整数，， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ③当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ④当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ⑤当，时，，，所以，此时是整数，， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ⑥当，时，，，所以，此时是整数，， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ⑦当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， 综上，最大值为，最小值为， 最大值与最小值之差为， 故答案为：，． 63．（23-24九年级下·重庆·期中）若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等，满足，那么称这个四位数为“无量数”．如：四位数8420，，8420是“无量数”；又如：四位数7324，，7324不是“无量数”．最大的“无量数”是 ；若一个“无量数”满足与的差能被8整除，且的结果是一个正整数的平方，则这个“无量数”是 ． 【答案】 8490 6320 【分析】本题考查新定义运算、因式分解的应用，由，即，化简得，d为10的倍数，可得，，即可求解；将，两个代数式进行化简整理，即可求解． 【详解】解：∵，即， 化简得，，d为10的倍数， ∴当时，，即， 当，则，，最大的“无量数”是8490； ∵， ∵， ∵与的差能被8整除， ∴能被8整除，或16， ∵的结果是一个正整数的平方， ∴， 解得，，， 则这个无量数是6320， 故答案为：8490；6320． 命题角度五：因式分解 64．（2023·重庆南岸·一模）如果两个两位数和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新和，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：，所以，26和93是一对“友谊数对”． （1）若和是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为 ； （2）若和是一对“友谊数对”，其中，，，，则这两个两位数分别是 ． 【答案】 42，36 【分析】（1）根据“友谊数对”的定义即可得到，，，之间满足的等量关系，化简得； （2）根据列等式，化简解方程可得的值，可得这两个两位数． 【详解】解：（1）∵和是一对“友谊数对”， ∴， ∴， 故答案为； （2）∵和是一对“友谊数对”，，，，，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴，，，， ∴两个两位数分别是，， 故答案为，． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式和新定义“友谊数对”，理解和掌握新定义是解题的关键，需要学生具备一定的分析能力． 65．（2024·重庆·一模）一个四位自然数m各个数位上的数字均不相等且不为零，若m满足百位数字与十位数字之和恰好是千位数字和个位数字之和的倍，则称这个四位数为“倍数”．一个“倍数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若，则 ；在此条件下，记，若除以余数是，则满足条件的值为 ． 【答案】 4 3621 【分析】此题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意，求出；是解题的关键． 根据定义得到，进一步得到，从而可求得，；由，及除以余数是，得是的倍数，进一步即可得到答案， 【详解】解：为“倍数”．一个“倍数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 除以余数是， ∴是的倍数， 四位自然数m，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，各个数位上的数字均不相等且不为零， 由，，， ，，且为正整数， ， b、c有以下情况： ①，， 不是的倍数舍去， ②，，是的倍数，且余数为3，符合题意， ③，，与矛盾，舍去， ④，，重复，舍去， ⑤，，与矛盾，舍去， ⑥，，不是的倍数舍去， ⑦，，不是的倍数舍去， ∴综上所述：，，，， ∴的值为3621． 故答案为：4，3621 66．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）若一个四位正整数满足千位上的数字与百位上的数字之和是十位上的数字与个位上的数字之差的k倍（k为整数），称该四位数为“k倍数”．例如，对于四位数3641，∵，所以3641为“3倍数”，若四位数M是“4倍数”，是“倍数”，将M的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数N，N也是“4倍数”，则满足条件的M的最小值为 ，将M的最小值写成两个正整数的平方差，即（a、b均为正整数）为M的一个平方差分解，在M的最小值的所有平方差分解中，当最小时，规定，则的值为 ． 【答案】 6663 / 【分析】本题考查因式分解的应用、整式的加减运算、解二元一次方程（组），理解题意，正确运用分类讨论思想是解答的关键．设，则，先根据题中定义得到，然后分和 两种情况，分别求解得到M的最小值；再利用平方差公式确定当最小时为1 ，进而求得即可求解． 【详解】解：设，则， ∵四位数M是“4倍数”，N也是“4倍数”， ∴，， ∴， ∴，则， ∵是“倍数”， ∴分两种情况： 当时，， ∵， ∴，即， ∴， ∵y、d为整数， ∴不存在满足条件的y、d值； 当时，， ∴，即， ∴，则， ∴，则， 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时， 故M的最小值为6663； 由题意，，又a、b为正整数， ∴当最小时为1 ， ∴，则， ∴， 故答案为：6663；． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$