专题16 动态函数（6种类型65题） 2025年中考数学复习专题分类强化训练（重庆专用）

专题16 动态函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 目录 命题角度一：长度与长度 1 命题角度二：速度与长度 2 命题角度三：长度与面积 7 命题角度四：速度与面积 10 命题角度五：交点个数 18 命题角度六：反比例函数与二次函数 24 命题角度一：长度与长度 1．如图，中，，，．点从点出发沿折线方向运动，到达点后停止，过点作直线的垂线交于点．设线段长为，线段的长为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的取值范围． 2．如图，在中，，，，点D是AC的中点，动点E从点C出发，沿着折线（含端点）运动，到达点B时停止运动，过点E分别向BC，AB边作垂线，垂足分别为F，G．设点E运动的路程为x，线段EF与EG的长度和为y，      (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若，结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过） 命题角度二：速度与长度 3．如图1，为等边三角形，，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到A点停止，作交直线于E，设，点D的运动时间为t． (1)直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合图象直接写出时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2） 4．如图，在矩形中，，动点M，N分别以每秒个单位长度的速度和每秒1个单位长度的速度同时从点C出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线C→D→A方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点M，N的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点M，N相距4个单位长度时x的值． 5．如图，中，，，，动点、分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度同时从出发，点沿折线→→方向运动，点沿折线→→方向运动，点到达点后，点的运动速度变为每秒个单位长度运动，同时点的运动速度变为每秒个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出、两点相距个单位长度时的值． 6．如图1，平行四边形ABCD中，，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线运动（含端点），到达A点停止运动．过点P作，交一边于点Q，并过点Q作QM垂直于直线CD于点M．设点P的运动时间为x秒，，请解答下列问题：    (1)直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 7．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒1个单位长度，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为，． (1)请直接写出y关于t的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合图象直接写出时，t的值． 8．如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值． 9．如图，中，，，动点M、N分别以每秒4个单位长度、3个单位长度的速度同时从出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动（、均包含端点），点达点后，点、点的运动速度均变为每秒1个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过）． 10．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点和）运动，速度为每秒2个单位长度，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，点到的距离为个单位长度． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质______； (3)根据图象直接写出当时，直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 11．如图1， 矩形 中， 交 于点O，动点P沿按每秒1个单位长度运动，动点Q 沿按每秒 个单位长度运动，P，Q两点同时运动，当P运动至点D时，点Q也停止运动，在整个运动过程中，记 记点Q到与的距离和为，设运动时间为x秒． (1)直接写出和关于x的函数关系，并注明自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)根据所画出的函数图像，直接写出当 时，所对应x的取值范围． 12．如图，是边长为的等边三角形，动点以每秒个单位长度的速度从出发，沿折线运动；同时动点以每秒个单位长度的速度从出发，沿折线方向运动、当两点重合时停止运动，设运动的时间为秒，记的长度为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围． 命题角度三：长度与面积 13．如图，在矩形中，，，点从点出发沿着方向运动，当点到达点A时停止运动．设点运动的路程为，的面积为． (1)直接写出与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出一条该函数图象的性质： ． (3)根据函数图象，直接写出当的面积大于的面积时，的取值范围： ． 14．如图，在中，，，．点是的中点，动点从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，设点运动的路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围． 15．如图，在矩形中，，，动点在对角线上运动（点不与、重合），设的长度为，的面积为，的面积为，请解答下列问题： (1)请直接写出，与的函数关系式及的取值范围，并在平面直角坐标系中画出，的函数图象； (2)结合函数的图象，写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，的取值范围． 16．如图，中，，，，动点P从点A出发，沿着折线匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，的面积为y（动点P在点A和点C时，的面积记为0）．    (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时的取值范围． 17．如图，四边形中，，，，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿的路径运动（不含起点和终点），到点停止．设点的运动路程为，的面积为． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出面积不大于3时x的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 18．如图，中，，点D为上一点，且，动点E从D点出发，E沿折线运动，当E点到达B点时停止运动，设点E运动路程为x，的面积为y，    (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积不小于4的x的取值范围． 命题角度四：速度与面积 19．如图，在中，，，，动点D以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点D运动到点C时停止运动.设运动时间为t秒，的面积为y. (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出的面积为4时t的值. 20．如图，在中，为的中点，为的中点，动点从点出发，沿着→→方向运动到点处停止．连接，，设点的运动路程为，的面积为． (1)直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)请在图中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围． 21．如图1，在等腰中，，于点D，，．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线方向运动，到点A处停止；动点Q从点C出发，以同样的速度沿着折线方向运动，到点A处停止．令，运动时间记为x秒，请回答下列问题： (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围； (2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并根据图象写出一条性质； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 22．如图1，在矩形中，，．动点P从B出发以的速度向C运动，动点Q从C出发以的速度向B运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，．运动过程中的面积记为，且，的长度记为．    (1)求出、的函数关系式，并写出的取值范围． (2)在图2的平面直角坐标系中，画出、的函数图象，并写出函数图象的一条性质： ． (3)结合图象，当时，直接写出的取值范围． 23．如图，在矩形中 ，和交于点O，，点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→C→A 方向运动，到达A点停止运动，设运动时间为t 秒，的面积为y．    (1)请直接写出y 关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y的一条性质；    (3)结合函数图象，写出时，自变量t的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过）． 24．在中，，点P，Q分别从点A，点B同时出发，点P沿以每秒1个单位长度速度运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿运动，点P到达点B时点Q同时停止运动．点P的运动时间为t秒，的面积记为，面积的记为，回答下列问题： (1)求出与t之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)当时，直接写出t的取值范围． 25．如图，在矩形中，点E为边的中点，动点P从D点以每秒1个单位长度的速度出发，沿着折线D→C→B方向运动，当点P到达B点时停止运动．若，，设动点P的运动时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)如图直线l为函数的图象，结合函数图象，请直接写出满足的x的取值范围． 26．如图1，在等腰中，，，于点，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿折线运动，到达点停止运动．设点的运动时间为秒，连接，设，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出的图象，并写出该函数的一条性质； (3)已知直线的图象如图2所示，结合函数图象，直接写出当时的取值范围．（结果精确到，误差） 27．如图1，在菱形中，．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线方向运动，到点A处停止，过点P作交菱形一边于点Q，设点P运动时间为x秒，线段的长度为y，请回答下列问题： (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围； (2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并根据图象写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围． 28．如图，在矩形中，，，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时从点和点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当点到达点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出当的面积不小于6且不大于11时的取值范围． 29．如图，四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心，动点P从点A出发沿折线A→B→C方向运动，到达C点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，的面积为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为3时t的值． 30．如图，在矩形中，．点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位长度运动，运动到点处停止．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积超过3时，直接写出的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 31．如图，四边形是边长为的菱形，，动点分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动时间为秒，点两点间的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点相距个单位长度时的值．（结果保留一位小数） 32．如图，在中，，，动点和分别以每秒3和4个单位长度的速度同时从点出发，点沿方向运动，到达点即停止运动，点沿方向运动，到达点即停止运动．设运动时间为秒，，．    (1)请直接写出和关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数和的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的值，保留1位小数，误差小于． 33．已知矩形，，，点Q在的中点，点P沿着运动，到点C停止，运动速度为每秒一个单位长度，的面积为y，运动时间为，． (1)请直接写出y与t之间的函数表达式，并写出t对应的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出y与t的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合图像，当时，直接写出t的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2） 命题角度五：交点个数 34．如图，在矩形中，点E在边上，且满足，，点P从点A出发，沿着折线运动，到达点C后停止运动．设点P运动的路程为x，的面积为y．    (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并写出对应自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若与y的函数图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围． 35．如图，是等边三角形，，中，，且，动点从点出发，沿折线方向以每秒个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线方向以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒，、两点间的距离为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 36．如图，在四边形中，，，点F从B点出发，沿着折线运动，点F的速度始终为每秒1个单位长度，设运动时间为x秒，的面积记为y，请解答下列问题： (1)请直接写出y关于x的函数解析式，并注明x的取值范围． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出函数的其中一条性质：__________． (3)若与y的图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围______． 37．如图1，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，到达时停止运动，运动时间为秒，的面积为，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有且只有两个交点，则的取值范围为______． 38．如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段BC运动．当点到达点时，P，Q停止运动．设点运动的时间为的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________； (3)若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____________． 39．如图1，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度沿的路径运动，动点以每秒2个单位长度的速度沿的路径运动，当点到达点时，两者都停止运动．设运动时间为秒，点、的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当函数与上述函数的图像有两个交点时的取值范围． 40．如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有1个公共点时的取值范围． 41．如图1，中，，，是边上的高，点E是的中点，连接．，若动点P分别以每秒2单位长度的速度从点B（含端点出发，沿折线B→E→A→C方向运动，当点P运动到点C（含端点）时停止运动．设运动时间为x秒，点P到的距离为y． (1)直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质： ； (3)若一次函数与y的函数图象有两个交点，直接写出b的取值范围． 42．如图，平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线B→A→D运动，在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动时间为x秒，点P到直线BC的距离与点P到点A的距离之和记为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有两个公共点时m的取值范围． 43．如图，在中，点D为中点，点P 从点 D出发，沿D→C→A方向以每秒1个单位的速度匀速运动到点A．设点P 的运动时间为x秒，的面积为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)画出y的函数图像，观察y的函数图像，并写出一条该函数的性质； (3)观察图像，直接写出函数与y只有一个交点时k的取值范围． 44．如图1，在中，，，，点，分别在，上，且满足，，点从出发，沿着折线运动，到达点时停止运动．设点运动的路程为，连接，记的面积为，请解答下列问题： (1)请直接写出关于的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，若直线与函数图象只有一个交点，则k的取值范围是______． 45．如图，矩形中，，，点E为边的中点，点F为边上的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动.点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为y.      (1)请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出当直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围. 46．如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接、．设的面积为y． (1)求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象； (2)根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有两个交点，直接写出m的取值范围． 命题角度六：反比例函数与二次函数 47．如图1，已知四边形是平行四边形，，，，点从点出发，沿方向移动到点停止．过点作的垂线，垂足为点，设的长为，的长为．请解答下列问题： (1)写出与之间的函数关系式； (2)通过取点，画图，测量得到了与的几组值，如下表： 3 4 5 6 7 8 4 4 请直接写出m和n的值； (3)如图2，请在平面直角坐标系中画出该函数的图像； (4)请直接写出y的最小值． 48．如图，在中，，， ，点为的中点，于点，点从点出发沿折线运动（含、两点），当动点在上运动时，速度为每秒个单位，当动点在上运动时，速度变为每秒个单位，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，线段的长度记为     (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)若函数，在给定的平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接估计时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 49．如图，在 中， ， ，， 点 D为的中点， 过点D作交于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线(含端点) 运动，到达E点停止运动，过点P作交于点Q． 设点P的运动时间为x秒，的长度为，请解答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)的函数图象如图所示，当时，请直接写出x的取值范围．(结果保留一位小数，误差不超过) 50．如图，在梯形中，其中底边，，连接对角线，为等边三角形，动点P从C点出发，沿折线方向以1个单位长度每秒匀速运动，同时Q点从B点出发，沿折线方向以1个单位长度每秒匀速运动，当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．设运动时间为x秒，P、Q两点间的距离为y； (1)请直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)已知图象如图所示，若时，请直接写出x的取值范围． 51．如图，在中，，，，．若动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为．      (1)直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围； (2)若函数，请在给定的平面直角坐标系中画出和的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接估计时，的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 52．如图，在等腰中，，，，动点P从B点出发，沿运动（包含端点），点P运动到点C时停止运动，过点P作交于点Q，记，点的运动路程为x．    (1)直接写出y关于x的函数关系式，注明x的取值范围，并在下面的平面直角坐标系中直接画出y的函数图象；    (2)根据所画的函数图象，写出该函数的一条性质_______； (3)在射线上有一动点M，始终满足，结合函数图象：当时，直接写出x的取值范围． 53．如图1，菱形中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿折线运动（含端点），到达A点停止运动．过点E作，交一边于点F，并过点F作垂直于直线于点G．设点E的运动时间为x秒，，请解答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)若函数在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 54．如图1，中，，，．在线段上，且．动点从点出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动．动点从点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿折线运动，点、同时从点出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点、的距离为．    (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)若函数，请在图2的平面直角坐标系中分别画出函数、的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接估计当时的取值．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 55．如图，在等腰中，，，点D，E分别在边上，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线方向运动，到达点E时停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积记为． (1)请直接写出关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)若函数，在给定的平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时对应的t的取值． 56．如图，在中，，点D为斜边的中点，连接，动点E从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒个单位长度，到达B点停止运动，过点E作，垂足为点F，点G、H分别是射线，上的两个动点，的长度等于点E运动的路程，，设点E的运动时间为，的长度为，BH的长度为．    (1)直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质： (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围：__________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 57．如图，在矩形中，，对角线交于点O，动点Р以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿运动，点F是线段上一点，满足．设点P、Q运动的时间都为，点Р到的距离与点Р到的距离的和为，点F到的距离为． (1)直接写出，关于x的函数关系式并写出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图形估计并直接写出当时x的取值范围.（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 58．如图，中，，，，动点、分别以每秒3个单位长度、4个单位长度的速度同时从出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，点到达点后，点、点的运动速度均变为每秒1个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)若函数，在给定的平面直角坐标系中分别画出和的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接估计当时的取值范围．（保留1位小数，误差不超过） 59．如图矩形中，，点为边上的三等分点（），动点从点出发，沿折线运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为．      (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)若函数，请在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的取值范围? 60．如图1．在四边形中， ，， ，，点P在四边形的边上，且沿着点B→C→D→A运动．设点P的运动路程为x，记围成的图形面积为S，    (1)请直接写出与x的函数关系式，并写出x的取值范围 (2)如图2，平面直角坐标系中已画出函数的图像，请在同一坐标系中画出函数的图像； (3)结合y1与y2的函数图像，直接写出当时，x的取值范围．(结果取精确值) 61．如图，矩形中，，．动点P从点A出发，沿着折线方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x（其中），连接，记的面积为y，请解答下列问题： 图1                             图2 (1)直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，请直接估计当时x的取值：____________（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 62．如图1，在中，，，，，若动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数图像，并写出函数的一条性质； (3)若函数如图2，结合函数图像，请直接估计时，的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 63．如图1，在四边形中，，，，，点在四边形的边上，且沿着点运动．设点的运动路程为，记围成的面积为，，． (1)请直接写出与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)如图2，平面直角坐标系中已画出函数的图象，请在同一坐标系中画出函数的图象，并根据函数图象，写出函数的一条性质； (3)结合与的函数图象，直接写出当时，的取值范围．（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 64．如图1，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； (3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时，的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 65．如图，中，，，点M、N以每秒1个单位长度从中点D点出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线方向运动，点M达点B后动点M、N的速度分别变为每秒3个单位长度、4个单位长度，设运动时间为t秒，点M、N的距离为． (1)请直接写出关于t的函数表达式并直接写出自变量t的取值范围； (2)已知，请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： (3)若，请根据所画图象直接写出t的范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 动态函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 命题角度一：长度与长度 1．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，中，，，．点从点出发沿折线方向运动，到达点后停止，过点作直线的垂线交于点．设线段长为，线段的长为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析，当，随增大而增大 (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，解直角三角形，一次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质求出，然后分类讨论即可； （2）结合（1）即可在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，进而可以写出该函数的性质； （3）结合图象，即可得当时的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，， ， 如图，过点作， ， ， ， 过点作交于点， ， ， 当点在上运动时，的取值范围是， ， ， ， 当点在上运动时，的取值范围是， ， ， ， ， ， ， 综上所述，关于的函数表达式： ； （2）解： ， 函数图象如图所示，函数的性质为：当，随增大而增大； （3）解：由函数图象可知，当时的取值范围． 2．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在中，，，，点D是AC的中点，动点E从点C出发，沿着折线（含端点）运动，到达点B时停止运动，过点E分别向BC，AB边作垂线，垂足分别为F，G．设点E运动的路程为x，线段EF与EG的长度和为y，      (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若，结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，y随x增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分两种情况：当点E在上时和当点E在上时，分别利用三角函数表示出线段EF与EG的长度，即可写出y关于x的函数表达式； （2）根据（1）中所列表达式，取值描点连线作图，结合图象写出性质； （3）观察图象求出函数图象的交点，根据交点结合图象根据函数值大小判断自变量取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点D是AC的中点， ， ①当点E在上时，即时，如图：   ，， 四边形是矩形， ， 即， ， 同理，， 即， ， ， ； ②当点E在上时，即时，如图：    由①知四边形是矩形， ， ， ， 又点E运动的路程为x， ， ， ， 同理， ， 即， ， ； （2）解：函数，当时，； 当时，（不包括这点）； 函数，当时，； 当时，； 描点、连线，函数图象如下图所示：    性质：①当时，y随x增大而减小；（答案不唯一） ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值8，当时，函数取得最小值0．（答案不唯一） （3）解：由题意得：先求函数图象与直线交点， ， 解得：， 两图象交点为， 再求函数图象与直线交点， ， 解得：， 两图象交点为， 当图象在两个交点之间时， 此时，x的取值范围是（结果保留1位小数，误差不超过）． 【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质、三角函数的应用，掌握一次函数图象与性质是解题关键． 命题角度二：速度与长度 3．（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）如图1，为等边三角形，，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到A点停止，作交直线于E，设，点D的运动时间为t． (1)直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合图象直接写出时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，取最小值3 (3)或 【分析】（1）根据题意得，，，可得，，分两种情况：当时，，，当时，，； （2）描点再顺次连接可得函数图象，由图象可得函数的一条性质； （3）观察图象可得答案． 【详解】（1）根据题意得：，，， ，， ， ， ， 当时，如图： ， ， 当时，如图： ， ； ； （2）当时，，当时，；当时，， 画出函数图象如下： 由图象可知，当时，取最小值3（答案不唯一）； （3）观察图象可得，时，或． 【点睛】本题考查三角形综合应用，等边三角形的性质，涉及一次函数及图象，解题的关键是分类讨论思想的应用． 4．（2024·重庆·一模）如图，在矩形中，，动点M，N分别以每秒个单位长度的速度和每秒1个单位长度的速度同时从点C出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线C→D→A方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点M，N的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点M，N相距4个单位长度时x的值． 【答案】(1) (2)图见解析；当时，y随x的增大而增大 (3)点M，N相距4个单位长度时x的值分别为3和7.5 【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，函数的图象，正确地求得函数解析式是解题的关键． （1）当点在上，点在上时，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，求得，当点，点在上时，，得到，于是得到结论； （2）根据题意画出函数图象即可； （3）把代入得，把代入得，于是得到结论． 【详解】（1）解：当点在上，点在上时， 在矩形中，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 当点，点在上时，， 即， 综上所述，； （2）解：如图所示； 当时，随的增大而增大； （3）解：把代入得，把代入得， 故点，相距4个单位长度时的值分别为3和7.5． 5．（23-24九年级下·重庆大足·期末）如图，中，，，，动点、分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度同时从出发，点沿折线→→方向运动，点沿折线→→方向运动，点到达点后，点的运动速度变为每秒个单位长度运动，同时点的运动速度变为每秒个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出、两点相距个单位长度时的值． 【答案】(1); (2)见解析； (3)的值为或． 【分析】（）分及两种情况考虑，对前一情况，利用勾股定理即可，对后一情况，利用两点运动路程和与的和为即可解决； （）由（）中求得的函数关系式画出函数图象，根据图象即可写出一条性质即可； （）根据所求得的函数关系式，求出当时的自变量值即可． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴由勾股定理得：； 当、分别运动到点、时，运动时间为（秒）； 当、在上相遇时，，解得； ①当时，、分别在边上，此时， 由勾股定理得； ②当时，，两点在边上，此时， ∵， ∴； 综上，所得函数关系式为； （2）解：函数图象如下： 当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：当时，，得； 当时，，得； 故当，两点相距个单位长度时，的值为或． 【点睛】本题是动点问题，考查了勾股定理，求函数解析式，画一次函数图象，已知函数值求自变量值等知识，注意分类讨论是解题的关键． 6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图1，平行四边形ABCD中，，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线运动（含端点），到达A点停止运动．过点P作，交一边于点Q，并过点Q作QM垂直于直线CD于点M．设点P的运动时间为x秒，，请解答下列问题：    (1)直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 (3) 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可； （2）利用描点法作出图象，再根据函数图象写出性质即可； （3）根据图象写出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时， 过点C作于E，    ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ 由勾股定理，得， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，如图，    同理可得： 综上，． （2）解：函数图象如图所示，    性质：当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． （3）解：如图，    由图象可得当时， 【点睛】本题考查分段函数，求函数解析式，画函数图象，函数的性质，利用函数图象求不等式解集，相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求出函数解析式是解题的关键． 7．（2024·重庆大渡口·二模）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点出发，沿着方向运动，速度为每秒1个单位长度，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为，． (1)请直接写出y关于t的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合图象直接写出时，t的值． 【答案】(1)关于的函数关系式为： (2)作图见详解，当时，随的增大而减小 (3)的值为3或9 【分析】（1）根据勾股定理得到，由题意得，当时，，，根据线段的和差得到，，于是得到函数关系式；当时，得到，，即可得到函数关系式； （2）根据函数解析式在平面直角坐标系中画出函数的图象即可； （3）将分别代入两个函数解析式解两次方程即可． 【详解】（1）解：，，， ， 由题意得，当时，，， ，， ； 当时， ，，当相遇时，，解得， ， 综上所述，关于的函数关系式为：； （2）解：在平面直角坐标系中画出函数的图象如图所示， 当时，随的增大而减小； （3）解：当时， ，解得；或，解得 ∴的值为3或9． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，求函数的解析式，画函数的图象以及函数的性质，正确地画出函数的图象是解题的关键． 8．（23-24九年级下·重庆开州·期中）如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】此题考查了动点问题函数图象，画一次函数图象，等边三角形的性质，菱形的性质； （1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可； （3）利用分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，点分别在上运动，连接 ∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发， ∴ 又∵ ∴等边三角形， ∴ 当时，点分别在上运动， ∵四边形是菱形，是边长为的菱形， ∴， ∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发， ∴ ∴ ∴等边三角形， ∴ ∴ （2）如图所示， 该函数是轴对称图形，对称轴是直线； 该函数在自变量范围内有最值，当或时，函数有最小值；当时，函数有最大值； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （选择其中之一即可） （3）解：当时，     当时，， 当时，，解得： ∴或 9．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，中，，，动点M、N分别以每秒4个单位长度、3个单位长度的速度同时从出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动（、均包含端点），点达点后，点、点的运动速度均变为每秒1个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过）． 【答案】(1) (2)图象见解析， ①该函数在自变量的取值范围内，有最大值、最小值．当时，函数取得最大值10，当和7时，函数取得最小值0； ②当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小．（以上两条性质写一条即可） (3)或 【分析】 本题考查了勾股定理，动点函数图象，利用图象法求函数自变量取值范围．利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，分两种情况讨论，当时，当2＜t≤7时，由勾股定理和线段和差即可求解； （2）根据函数关系式画出函数图象即可；根据图象最值或增减性得出性质即可； （3）根据图象，得出当时的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 当时， ∴， 当2＜t≤7时，， ∴． 综上，； （2）解：函数的图象如图所示： ①该函数在自变量的取值范围内，有最大值、最小值．当时，函数取得最大值10，当和7时，函数取得最小值0； ②当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小．（以上两条性质写一条即可） （3）解：由图象可得：当时，或． 10．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点和）运动，速度为每秒2个单位长度，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，点到的距离为个单位长度． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质______； (3)根据图象直接写出当时，直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)图象见解析，当 时，随的增大而增大, 当 时，随的增大而减小 (3) 【分析】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． (1)分两种情形: 当和 时，利用三角函数的定义求解； (2)画出函数图象，可得结论； (3)利用图象法解决问题即可． 【详解】（1）， ， ∵是的中点， ， ， ， ， 当时, ； 当 时,； 综上所述，； （2）函数图象如图所示： 性质: 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 故答案为：当 时，随的增大而增大, 当 时，随的增大而减小； （3）观察图象可知，当 时，或 ∴当时，， 故答案为：． 11．（2024·重庆·模拟预测）如图1， 矩形 中， 交 于点O，动点P沿按每秒1个单位长度运动，动点Q 沿按每秒 个单位长度运动，P，Q两点同时运动，当P运动至点D时，点Q也停止运动，在整个运动过程中，记 记点Q到与的距离和为，设运动时间为x秒． (1)直接写出和关于x的函数关系，并注明自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)根据所画出的函数图像，直接写出当 时，所对应x的取值范围． 【答案】(1)； (2)见详解 (3) 【分析】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，涉及到一次函数的图象和性质，函数作图，数形结合以及分类求解是解题的关键． （1）分两种情况：当时，当时，结合矩形的性质以及等腰三角形的性质，即可求解； （2）由函数表达式画出函数图象即可； （3）在图中画出直线，根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 当点在上时，即，； 当点在上时，即， 过点作， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴终上所述， ； 过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由函数表达式画出函数图象如下： 从图象看，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； （3）解：在图中画出直线， 当时，或， 解得：或， 则直线与函数的交点的横坐标为：1.6或7， 当 时，所对应x的取值范围． 12．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，是边长为的等边三角形，动点以每秒个单位长度的速度从出发，沿折线运动；同时动点以每秒个单位长度的速度从出发，沿折线方向运动、当两点重合时停止运动，设运动的时间为秒，记的长度为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)图像见解析，该函数的其中一条性质：当时，随的增大而减小；（答案不唯一，正确即可） (3)时，或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，一次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合，分类讨论． （1）先计算出、两点重合的时间，再分两种情况讨论：当点、分别在、上运动时，即；当点、都在上运动时，即；写出不同时间的函数表达式即可； （2）根据画函数图像的方法分别画出两段函数图像，然后写出这个函数的其中一条性质即可； （3）根据两段函数关系式分别求出当时的值，再结合图像即可求解． 【详解】（1）解：、两点重合时，， 解得：， ， 当点、分别在、上运动时，即， ，， ； 当点、都在上运动时，即， ，， ； 关于的函数关系式为：； （2）由（1）中的表达式可知：当时，；当时，；当时，； 分别描出三个点，，，然后依次连接，如图： 该函数的其中一条性质：当时，随的增大而减小；（答案不唯一，正确即可） （3）在中，令，则， 解得：， 在中，令，则， 解得：， 结合图像可知，时，或． 命题角度三：长度与面积 13．（2024·重庆九龙坡·一模）如图，在矩形中，，，点从点出发沿着方向运动，当点到达点A时停止运动．设点运动的路程为，的面积为． (1)直接写出与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出一条该函数图象的性质： ． (3)根据函数图象，直接写出当的面积大于的面积时，的取值范围： ． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或． 【分析】（1）先求出，再分点P位于线段上和点P位于线段上两种情况表示出的高，根据面积公式即可列出函数解析式； （2）根据解析式即可画出函数图象，根据图象即可写出函数性质； （3）先求出，再分别把代入和求出和，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴． 如图1，当点P位于线段上时， 由题意得． ∴， 根据三角形面积公式得； 如图2，点P位于线段上时，过点P作，分别交于点M、N， 由题意得． ∵，, ∴四边形为矩形， ∴，分别为，的高，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴与之间的函数表达式为； （2）解： 列表得 x 0 3 8 y 10 4 10 描点，连线， 的图象如图所示； ； 图象性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大； （3）解：由题意得， 把代入得，解得， 把代入得，解得． 由题意得当时，或． 【点睛】本题为一次函数与几何图形综合题，考查了求分段函数解析式，一次函数与不等式的关系，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，本题要注意分类讨论，从而列出分段函数解析式． 14．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，，．点是的中点，动点从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，设点运动的路程为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，动点问题的函数图象： （1）先利用勾股定理求出，则，，再分点P在和上两种情况，过点P作于E，解直角三角形求出，进而根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可； （3）根据（2）所求进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴； 当，即点P在上时，过点P作于E， 由题意得：， ∴， ∴； 当，即点P在上时，过点P作于E， ∴ ∴， ∴； 综上所述，； （2）解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，当时，y有最大值12； （3）解：当时，， 由函数图象可知，当时，． 15．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，，，动点在对角线上运动（点不与、重合），设的长度为，的面积为，的面积为，请解答下列问题： (1)请直接写出，与的函数关系式及的取值范围，并在平面直角坐标系中画出，的函数图象； (2)结合函数的图象，写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)；；图象见解析 (2)当时，随的增大而增大 (3) 【分析】（1）如图1，作于，于，由勾股定理得，，由，可求，同理，则，；，；然后作函数图象即可； （2）根据图象作答即可； （3）由题意知，时，，可求，当时，的取值范围为直线的图象在直线图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】（1）解：如图1，作于，于， 由勾股定理得，， ∴，即， 解得，， 同理， ∴，即； ，即； 作图象如下； （2）解：由图象可知，当时，随的增大而增大； （3）解：由题意知，时，， 解得，， ∴当时，的取值范围为直线的图象在直线图象上方部分所对应的的取值范围， 由图象可得． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数的应用，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，一次函数的应用，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式是解题的关键． 16．（22-23八年级下·重庆南川·期末）如图，中，，，，动点P从点A出发，沿着折线匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，的面积为y（动点P在点A和点C时，的面积记为0）．    (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2)详见解析，当时，随着的增大而增大 (3)和 【分析】（1）根据题意分类讨论：当点P在边上运动时，当点P在边上运动时； （2）根据函数解析式描点作出函数图象，再写出一条性质即可； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 当点P在边上运动时，（）， （）； 当点P在边上运动时，（）， ，（）； 综上，． （2）解：见下图；    性质：当时，y随着x的增大而增大．（任写一条性质即可） （3）解：由图象可得， 当时，可得一元一次不等式组，解得和． 【点睛】本题考查三角形综合应用、一次函数图象和性质，读懂题意，应用分类讨论思想写出函数关系式是解题的关键． 17．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）如图，四边形中，，，，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿的路径运动（不含起点和终点），到点停止．设点的运动路程为，的面积为． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出面积不大于3时x的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)图见解析，当时，随的增大而增大； (3)或． 【分析】本题是四边形综合题，考查了一次函数在动点面积问题中的应用，一次函数的性质，能画出图象，根据图象写出性质，解题的关键是分类讨论． （1）分类讨论：①当在边上时，②当在边上时，③当在边上时，由三角形的面积分别求解即可； （2）画出图象，根据图象写出性质即可求解； （3）根据图象即可求解； 【详解】（1）解：过点作于点， ， 四边形为矩形， ， 又， ， ， ①当点在上时，即， 则， ， ②当点在上时，即， 则，， ， ③当点在上时，即， 则， ， 综上，； （2）解：根据关于的函数关系式表格如图， x 0 2 4 6 10 11 12 y 0 6 12 10 6 3 0 图象如图： 该函数的一条性质：当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而减小； （3）解：面积不大于3， 即， 根据图象，可得或． 18．（23-24九年级下·重庆江北·阶段练习）如图，中，，点D为上一点，且，动点E从D点出发，E沿折线运动，当E点到达B点时停止运动，设点E运动路程为x，的面积为y，    (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积不小于4的x的取值范围． 【答案】(1)； (2)图象见解析，函数的性质：当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；（答案不唯一） (3) 【分析】此题考查了一次函数和几何综合题，用到了列函数解析式、一次函数的图象和性质、利用图象解不等式，数形结合是解题的关键． （1）用勾股定理求出，得到，分和两种情况利用三角形面积公式列出函数解析式； （2）利用描点法画出函数图象，根据图象写出函数的性质即可； （3）求出当时的自变量的取值，根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：中，， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积为， 当时，的面积为， y关于x的函数表达式为； （2）当时，， 当时，， 当时，， 描出点，连接后即可得到函数的图象如图，    函数的性质：当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；（答案不唯一） （3）当时，，解得， 当时，，解得， ∴结合函数图象， 则的面积不小于4的x的取值范围是． 命题角度四：速度与面积 19．（2024·重庆大渡口·一模）如图，在中，，，，动点D以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点D运动到点C时停止运动.设运动时间为t秒，的面积为y. (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出的面积为4时t的值. 【答案】(1)y关于t的函数关系式为 (2)图象见解析，在时，y随t的增大而增大 (3)6或 【分析】本题考查了三角形的面积，直角三角形的性质，一次函数的性质． （1）分两种情况，当点D在上，，当点D在上时，，由三角形面积公式可得出答案； （2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论； （3）由（2）中的图象及一次函数图象上点的坐标特征可得出答案． 【详解】（1）解：当点D在上，， ∵， ∴， 设边上的高为，则有：， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D在上时，，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴ 综上所述，y关于t的函数关系式为； （2）解：如图， 该函数的一条性质为：在时，y随t的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：由图象可知时，． ∴的面积为4时t的值为6或． 20．（2024·重庆·一模）如图，在中，为的中点，为的中点，动点从点出发，沿着→→方向运动到点处停止．连接，，设点的运动路程为，的面积为． (1)直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)请在图中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)与的函数表达式为； (2)见解析； (3)当或时，． 【分析】（1）分当点在和上运动两种情况讨论，利用三角形的面积公式及三角函数求解即可； （2）画出函数图像，可得结论； （3）画出的图象，构建方程组求得、的交点，结合图象，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴即， ∴ ∴ 为中点，为的中点， ， ①当点在上运动即时，如图，过点作于点，   ， ， 此时， ②当点在上运动即时，如图，则，    ∵ ∴ ， 此时， 综上，与的函数表达式为； （2）解：当时，，当时，，当时，， 函数图象如图所示：    函数的性质：函数有最大值，最大值为（答案不唯一）， 故答案为：函数有最大值，最大值为（答案不唯一）； （3）解：当时，，当时，， 如图，    由，解得， 由，解得， 观察图象可知，当或时，． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题． 21．（23-24九年级下·重庆·期中）如图1，在等腰中，，于点D，，．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线方向运动，到点A处停止；动点Q从点C出发，以同样的速度沿着折线方向运动，到点A处停止．令，运动时间记为x秒，请回答下列问题： (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围； (2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并根据图象写出一条性质； (3)根据图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析，的最大值为8 (3) 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，一次函数的性质，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键． （1）分两种情况讨论：①当点，点在线段时，②点，点在线段上时，分别进行求解即可； （2）根据题意画出函数的图象，再写其中一条性质即可； （3）把代入得，，把代入得，，于是得到结论． 【详解】（1），， ， ①当点，点在线段时，， ②点，点在线段上， 如图， 根据题意得，点，点线段上重合，此时，， ， 综上所述，； （2）如图所示， 从图像可以得出，的最大值为8； （3）把代入得，，把代入得，， 当时，x的取值范围是． 22．（2023·重庆·二模）如图1，在矩形中，，．动点P从B出发以的速度向C运动，动点Q从C出发以的速度向B运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，．运动过程中的面积记为，且，的长度记为．    (1)求出、的函数关系式，并写出的取值范围． (2)在图2的平面直角坐标系中，画出、的函数图象，并写出函数图象的一条性质： ． (3)结合图象，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，y随x的增大而减小（当时，y随x的增大而增大）．图见解析 (3) 【分析】 （1）由两个动点的移动速度可知，，点P与点Q相遇前，点P与点Q相遇后，，由此可得的函数关系式；过点E作于点F，根据证明，推出，可得； （2）根据（1）中所求函数关系式，在坐标系内描点连线即可； （3）根据（2）中所画图象，找出图象在图象上方部分对应的t的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 当点P与点Q相遇时，， 当点Q到达点B时，两点停止运动，此时， 当点P与点Q相遇前，， 当点P与点Q相遇后，， ； 如图1，过点E作于点F，    由旋转得，， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上可知，，； （2）解：、的函数图象如下图所示，图象的性质为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．    （3）解：由（2）可知，当时，、的图象有交点， 解方程组，得， 、的图象的交点坐标为， 结合函数图象可知，当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，一次函数图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两条直线交点与二元一次方程组的关系等，解题的关键是求出、的函数关系式． 23．（2024·重庆渝中·二模）如图，在矩形中 ，和交于点O，，点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→C→A 方向运动，到达A点停止运动，设运动时间为t 秒，的面积为y．    (1)请直接写出y 关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y的一条性质；    (3)结合函数图象，写出时，自变量t的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过）． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小 (3)自变量 t 的取值范围为 【分析】本题考查矩形的性质、一次函数的图象与性质： （1）分、两种情况，根据矩形性质和和三角形的面积公式求解即； （2）根据（1）中表达式画出函数图象，根据图象写出函数的性质即可； （3）先求得时对应的自变量值，结合图象求解即可． 理解动点问题是解答的关键． 【详解】（1）四边形是矩形，且，， ，， 在中，，， ， 当时， ， 当时， 如图：过点作于，   ， ，即：， 解得：， ， 综上所述：． （2）如图所示：    当 时，y随t的增大而增大； 当 时，y随t的增大而减小． （3）由图得： 当时， ，即：， ，即：， 时，自变量t的取值范围． 24．（2023·重庆大渡口·二模）在中，，点P，Q分别从点A，点B同时出发，点P沿以每秒1个单位长度速度运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿运动，点P到达点B时点Q同时停止运动．点P的运动时间为t秒，的面积记为，面积的记为，回答下列问题： (1)求出与t之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)当时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2)图见解析，性质见解析 (3)或 【分析】（1）分两种情形：当时，当时，求出，再求出边上的高，求出即可； （2）画出函数图象，可得结论； （3）构建方程组求出交点坐标，可得结论． 【详解】（1）当时，； 当时，， 综上所述．， 过点作于点． ，，， ， ， ， ． （2）函数图象如图所示： 函数的性质：函数有最大值，最大值为6． （3）由，解得， 由，解得， 观察图象可知，当或时，． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 25．（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，在矩形中，点E为边的中点，动点P从D点以每秒1个单位长度的速度出发，沿着折线D→C→B方向运动，当点P到达B点时停止运动．若，，设动点P的运动时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)如图直线l为函数的图象，结合函数图象，请直接写出满足的x的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析；函数的一条性质为：当时，y随x的增大而减小；当时y随x的增大而增大，函数在自变量取值范围内有最大值，当时，y取得最大值，最大值为6 (3)或 【分析】 （1）分两种情况：当点P在边上运动时，当点P在边上运动时，分别表示的面积即可； （2）结合（1）画出函数的图象，进而写出该函数的性质即可； （3）分别联立和，求出交点坐标，结合（2）的函数图象，即可写出满足的x的取值范围． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵动点P从D点以每秒1个单位长度的速度出发， （秒）， ∵时，点C和点P重合，不能构成三角形， ∴当点P在边上运动时，， ∴， ∴的面积为； 当点P在边上运动时，（秒） 点E为边的中点， ， 由题意可知：， ∴的面积为； 综上所述：y关于x的函数表达式为：； （2）解：由（1）知 ， 令，则，令，则， 连接点即为的函数图象； 令，则， 连接点即为的函数图象； 如图所示： 函数的一条性质为：当时，y随x的增大而减小；当时y随x的增大而增大，函数在自变量取值范围内有最大值，当时，y取得最大值，最大值为6； （3）解：联立，解得：， 由图象可得：当时，； 联立，解得：， 由图象可得：当时，； 综上，满足的x的取值范围是或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，动点问题，解决本题的关键是掌握一次函数的性质． 26．（2024·重庆九龙坡·三模）如图1，在等腰中，，，于点，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿折线运动，到达点停止运动．设点的运动时间为秒，连接，设，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出的图象，并写出该函数的一条性质； (3)已知直线的图象如图2所示，结合函数图象，直接写出当时的取值范围．（结果精确到，误差） 【答案】(1) (2)画图和性质见解析 (3)或 【分析】本题考查动点问题的函数图象，涉及等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，函数图象与不等式的关系，能正确分段讨论是解题的关键． （1）分段讨论：点在上运动时，点在点时（不存在），点在上运动时，再结合几何性质求解即可； （2）根据图象画图，注意不存在的点用空心点，再根据图象写性质即可； （3）利用函数图象与不等式的关系即可得出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 当点在上运动时，即时，如图， ∵， ∴， ∴； 当点在点时，不存在； 当点在上运动时，即时，如图， 过点作于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述，； （2）画图如下： 该函数的性质不唯一，如： 增减性：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大； 最值：当时，有最大值；无最小值； （3）当时，即的图象在的图象下方时， 根据图象直接可得或时，． 27．（2024·重庆·一模）如图1，在菱形中，．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线方向运动，到点A处停止，过点P作交菱形一边于点Q，设点P运动时间为x秒，线段的长度为y，请回答下列问题： (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围； (2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并根据图象写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见详解；函数的性质有：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小 (3)的取值范围为： 【分析】此题是一次函数的综合题，考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质和一次函数的图象与性质，关键是根据菱形的性质和相似三角形的判定与性质得出比例解答． （1）根据菱形的性质得出，进而利用相似三角形的判定与性质得出比例，进而得出一次函数的解析式解答； （2）根据一次函数的解析式画出图象解答即可； （3）根据一次函数的图象得出取值范围解答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点运动时间为秒，线段的长度为，当点在之间时， 可得：， ∴， 当点在之间时， ∵， ∴ ∴， 设点运动时间为秒，线段的长度为， 可得：， ∴， 综上所述，； （2）图象如下： 函数的性质有：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； （3）结合图象可知， 当时，可得：， 解得：． 即的取值范围为：． 28．（23-24九年级下·重庆江津·期中）如图，在矩形中，，，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时从点和点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当点到达点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出当的面积不小于6且不大于11时的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，有最大值12（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）分、两种情况，根据矩形性质和和三角形的面积公式求解即； （2）根据（1）中表达式画出函数图象，根据图象写出函数的性质即可； （3）先求得和对应的自变量值，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， 当时，点在上，点在上，如图1.1， 则； 当时，点在上，点在上，如图1.2， ， 关于的函数表达式为； （2）解：由（1）知， 描点法作出函数图象，如图所示： 当时，， 性质：当时，有最大值12．（答案不唯一）； （3）解：由（1）知， 当时， 由，解得；由，解得； 当时， 由，解得；由，解得； 如图所示： 当或时，的面积不小于6且不大于11． 【点睛】本题考查矩形的性质、一次函数的图象与性质、三角形的面积公式，理解动点问题的解法是解答本题的关键． 29．（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图，四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心，动点P从点A出发沿折线A→B→C方向运动，到达C点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，的面积为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为3时t的值． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，y随t的增大而减小； (3)或 【分析】 本题考查了一次函数在实际问题中的应用，掌握函数的解析式求解、函数图象、数形结合的数学思想是解题关键． （1）分类讨论、两种情况，画出对应的图形即可求解； （2）描点、连线即可完成作图； （3）作出直线，确定其与函数图象的交点横坐标即可求解． 【详解】（1）解：①当时，动点P在上运动， 作，如图所示：    ∵， ∴ ∵O是正方形的中心， ∴ ∴； ②当时，动点P在上运动， 作，如图所示：    此时， ∵O是正方形的中心， ∴ ∴； 综上所述： （2）：如图所示：      当时，y随t的增大而减小 （3）解：作出直线，如图所示：；    可知直线与函数的图象的交点横坐标为和 ∴的面积为3时，或 30．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，．点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位长度运动，运动到点处停止．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积超过3时，直接写出的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)见解析，当时，随的增大而减小 (3)或 【分析】（1）由勾股定理得，，当时，在上，，则，；当时，在上，，如图1，过作于，则，证明，可求， ，然后作答即可； （2）根据解析式画函数图象即可，结合图象写性质即可； （3）由题意知，令，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由勾股定理得，， 当时，在上，，则， ∴； 当时，在上，， 如图1，过作于，则， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 综上，； （2）解：作函数图象，如图2， 由图象可知，当时，随的增大而减小； （3）解：由题意知，令， 解得，， ∴此时； 令， 解得，， ∴此时； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用，一次函数图象，一元一次不等式的应用．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用，一次函数图象，一元一次不等式的应用是解题的关键． 31．（2024·重庆·模拟预测）如图，四边形是边长为的菱形，，动点分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动时间为秒，点两点间的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点相距个单位长度时的值．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小 (3)秒或秒 【分析】（1）由四边形是菱形，可得，，由题意知，当时， 在上运动，且是等边三角形，则；当时， 在上运动，且是等边三角形，则；进而可得关于的函数表达式； （2）作一次函数图象即可；然后根据图象作答即可； （3）当时，或，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， 由题意知，当时， 在上运动，如图1，且是等边三角形，            图1 ∴； 当时， 在上运动，如图2，且是等边三角形，             图2 ∴； 综上所述，； （2）解：函数图象如下； 由图象可得，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （3）解：当时，或， 解得，或， ∴点相距个单位长度时的值为秒或秒． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，一次函数的应用，一次函数的图象与性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，一次函数的应用，一次函数的图象与性质是解题的关键． 32．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，动点和分别以每秒3和4个单位长度的速度同时从点出发，点沿方向运动，到达点即停止运动，点沿方向运动，到达点即停止运动．设运动时间为秒，，．    (1)请直接写出和关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数和的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的值，保留1位小数，误差小于． 【答案】(1)，， (2)作图见详解，在时，的函数图象关于轴对称 (3)时，， 【分析】本题主要考查了求解一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的图象与性质； （1）根据运动的特点有：，，且，问题随之得解； （2）由题意画出图象，由二次函数的性质可得出结论； （3）由（2）中的图象及一次函数与二次函数的交点可得出答案． 【详解】（1）根据运动的特点有：，，且， ∵在中，，，， ∴，， ，； （2）如图，    函数的一条性质为：在时，函数图象关于轴对称； （3）由图象可知：时，，． 33．（23-24九年级下·重庆巴南·阶段练习）已知矩形，，，点Q在的中点，点P沿着运动，到点C停止，运动速度为每秒一个单位长度，的面积为y，运动时间为，． (1)请直接写出y与t之间的函数表达式，并写出t对应的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出y与t的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合图像，当时，直接写出t的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)图见解析；当时，y随t的增大而减小（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）分点P在上运动和点P在上运动两种情况求解即可； （2）用描点法画出函数图象，然后结合图象写出函数的一条性质即可； （3）根据图象解答即可． 【详解】（1）∵矩形，， ∴，． ∵点Q在的中点， ∴． 秒，秒． 当时， ． 当时， ． ∴； （2）当时，； 当时，； 当时，． 如图， 由图象可知，当时，y随t的增大而减小（答案不唯一）； （3）由图象可知，当时，或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． 命题角度五：交点个数 34．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，点E在边上，且满足，，点P从点A出发，沿着折线运动，到达点C后停止运动．设点P运动的路程为x，的面积为y．    (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并写出对应自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若与y的函数图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析，图象有最大值为12 (3)，或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数的图象，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，可求，分两种情况讨论，由面积的和差关系可求解； （2）根据题意画出图象即可； （3）结合图象，取特殊位置可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在上时，即，， 当点P在上时，即；； 综上所述：； （2）解：画函数的图象： 列表： ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 4 6 8 10 12 ⋯ 描点，连线，得：如下图：    画的图象： 列表： ⋯ 5 6 7 8 9 ⋯ ⋯ 10 8 6 4 2 ⋯ 描点，连线，得：如上图： 图象的性质：图象有最大值为12； （3）解：由图象可得：∵与y的函数图象有且只有一个交点， ∴当时，， 当时，， 当，时，， ∴或． 35．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是等边三角形，，中，，且，动点从点出发，沿折线方向以每秒个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线方向以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒，、两点间的距离为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析；当时，取得最小值， (3) 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了等边三角形的性质，勾股定理、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （1）根据题意得出，进而分当时，当时，分别求得的长，即可求解； （2）根据一次函数的性质画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：中，，且， ∴，则 ∴ 当时，， ∴， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 当时，， ∵ 设交于点，则 ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：如图所示， 当时，取得最小值， （3）解：如图所示， 当经过点 ∴ 观察函数图形可得当时，直线与该函数图象有两个交点， 36．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在四边形中，，，点F从B点出发，沿着折线运动，点F的速度始终为每秒1个单位长度，设运动时间为x秒，的面积记为y，请解答下列问题： (1)请直接写出y关于x的函数解析式，并注明x的取值范围． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出函数的其中一条性质：__________． (3)若与y的图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围______． 【答案】(1) (2)当时，y取得最大值，最大值为12 (3)或 【分析】（1）过点A作于点E，根据矩形的判定与性质得到，，再根据等腰直角三角形的性质可得，求得，分两种情况讨论：当点F在线段上时；当点F在线段上时，分别求解即可； （2）由（1）中函数解析式画出图象，再结合图象求解即可； （3）把，，分别代入求解即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，点F在线段上时，此时， ， 当时，当点F在线段上时，如图，此时， ， 综上所述，y关于x的函数解析式为； （2）解：当时，；当时，；当时，， 描点画出函数图象如下： 当时，y取得最大值，最大值为12（答案不唯一）， 故答案为：当时，y取得最大值，最大值为12； （3）解：若经过点， ∴， ∴， 若经过原点，，， ∴当时，与y的图象有且只有一个交点； 若经过点，， ∴， ∴时，与y的图象有且只有一个交点， 综上所述，当或时，与y的图象有且只有一个交点． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质、三角形面积公式及梯形的面积公式、平行线的性质，利用数形结合的思想，正确作出辅助线是解题的关键． 37．（2024·重庆九龙坡·二模）如图1，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，到达时停止运动，运动时间为秒，的面积为，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有且只有两个交点，则的取值范围为______． 【答案】(1) (2)详见解析，性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了一次函数中的分段函数的图象和性质，三角函数的应用等知识点， （1）过点过点P作于点H，分点P在上运动和点P在上运动，分别求出y与t的函数关系式，最后写成分段函数的形式即可； （2）利用描点法画出函数图象，根据图象写出它的一条性质即可； （3）根据函数图象，数形结合求解； 熟练掌握数形结合的数学思想是解决此题的关键． 【详解】（1）在中，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 如图，当点P在上运动时，则， 如图，当点P在上运动时，过点P作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：y与t的函数关系式为：； （2）当时，，当时，，当时，，将上述3个点描点连线绘制函数图象如下： 从图象看，当时，y随t的增大而增大，当 时，y随t的增大而减小（答案不唯一）； （3）如图，当直线在m、n的位置时，为直线与该函数图象有且只有2个交点的临界点， 将点代入得：，则， 将点代入得：，则， ∴k的取值范围为：， 故答案为：． 38．（2024·重庆·二模）如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段BC运动．当点到达点时，P，Q停止运动．设点运动的时间为的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________； (3)若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____________． 【答案】(1) (2)当时，为最大值（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合． （1）分两种情况分别计算即可； （2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质； （3）平移，找到与的函数图象有两个交点的范围即可． 【详解】（1）当点在线段上时，， 此时，， ∴； 当点在线段上时，， 此时，， ∴， ∴； 综上所述， （2）函数图象如下： 根据函数图象可得，当时，为最大值（答案不唯一）； （3）平移，如图所示： 当过时，有两个交点，此时函数解析式为，， 当过时，有一个交点，此时函数解析式为，， ∴若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是， 故答案为：． 39．（2024·重庆·三模）如图1，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度沿的路径运动，动点以每秒2个单位长度的速度沿的路径运动，当点到达点时，两者都停止运动．设运动时间为秒，点、的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当函数与上述函数的图像有两个交点时的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质：当，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质： （1）当点P在上，点Q在上时，即时，证明，，即可求解；当时，利用可以求解； （2）根据解析式可画出函数图象，并得到图象的性质； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴，， ∴，，即 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，点P，Q在BD上移动，这时； ∴关于的函数表达式为； （2）函数的图象如图所示， 当，y随x的增大而减小； （3）结合图像可得当直线在两条虚线之间时，与图象有两个交点， 当过时，，解得：； 当过时，，解得：； ∴结合函数图象，当函数与上述函数的图像有两个交点时的取值范围为． 40．（2024·重庆·二模）如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有1个公共点时的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，有最小值为3； (3) 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了平行四边形的性质，含的直角三角形的性质、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （1）分点P在和上讨论即可； （2）根据一次函数的性质画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形中，，，， 如图，过点A作交的延长线于点H， ∵，， ∴， ∵，， 当时，，， ∴； 当时，如图，， ∵，， ∴ ∴， ∴； （2）解：画图，如下： 由图象可知，当时，有最小值为3； （3）解：把代入，得， 把代入，得， 如图所示， 观察函数图形可得当时，的图象与的图象有1个公共点. 41．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图1，中，，，是边上的高，点E是的中点，连接．，若动点P分别以每秒2单位长度的速度从点B（含端点出发，沿折线B→E→A→C方向运动，当点P运动到点C（含端点）时停止运动．设运动时间为x秒，点P到的距离为y． (1)直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质： ； (3)若一次函数与y的函数图象有两个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小 (3) 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，含的直角三角形的性质： （1）当点P在上，点P在上，点P在上移动时，分别求出函数关系式即可； （2）根据函数关系式即可画出函数图象，进而求解； （3）根据平移可得计算当过点和时的b值，然后结合图像求出取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵是的中点， ∴， 又∵， ∴, 当时，点P在上时，， 又∵， ∴； 当时，点P在上时，； 当时，点P在上时，； 故； （2）画函数图象为： 性质：当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小； （3）解：当一次函数过点时，即，解得：； 当一次函数过点时，即，解得：； ∵一次函数在平移过程中，与y的函数图象有两个交点，则的取值范围为． 42．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线B→A→D运动，在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动时间为x秒，点P到直线BC的距离与点P到点A的距离之和记为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有两个公共点时m的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，有最小值为2 (3) 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了平行四边形的性质，含的直角三角形的性质、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （1）分点P在和上讨论即可； （2）根据一次函数的性质画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形中，，，， ∴，，， 当时，，， ∴， ∴； 当时， 过点A作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：画图，如下： 由图象可知，当时，有最小值为2； （3）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， 把代入，得， 如图所示， 观察函数图形可得当时，的图象与的图象有两个公共点. 43．（22-23九年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，点D为中点，点P 从点 D出发，沿D→C→A方向以每秒1个单位的速度匀速运动到点A．设点P 的运动时间为x秒，的面积为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)画出y的函数图像，观察y的函数图像，并写出一条该函数的性质； (3)观察图像，直接写出函数与y只有一个交点时k的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质见解析 (3)或 【分析】（1）分点P在上和上分别讨论即可； （2）用描点法画出函数图象，然后根据图象写出一条性质即可； （3）由可知过定点，求出直线过点M，N时k的值，结合图象即可求解． 【详解】（1）∵，点D为中点， ∴，， 在中， ∵， ∴． ∵点P以每秒1的速度匀速运动到点A，运动时间为x秒， ∴点P运动的路程为x， ①当点P在上，即当时， ∵， ∴， ②当点P在上时，即当时， ， 过点P作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式为：． （2）列表如下： x 0 3 8 y 0 6 0 函数图象如下： 答案不唯一，比如： ①当时，y随x的增大而增大， ②当时，y随x的增大而减小； （只要写出一条即可）； （3）过定点， 当直线过点时，，． 当直线过点时，，． 结合图象可知，当或时，函数与y只有一个交点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，画函数图象，分段函数，以及一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． 44．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图1，在中，，，，点，分别在，上，且满足，，点从出发，沿着折线运动，到达点时停止运动．设点运动的路程为，连接，记的面积为，请解答下列问题： (1)请直接写出关于的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，若直线与函数图象只有一个交点，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，一次函数的性质； （1）证明，得出，进而得出，分在，上时，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （2）根据一次函数的性质画出函数图象，根据函数图象写出一条性质，即可求解； （3）根据函数图象，找到临界点即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 当在上时，即，如图所示，过点作于点， ∴ ∴； 当在上时，即时，, ∴ 综上所述， （2）解：当时，；时， 如图所示， 当时，函数的最大值为； （3）解：当经过点时， ∴， 解得：, 当经过时，，解得： 结合函数图象，直线与函数图象只有一个交点，则， 综上所述，或， 故答案为：或． 45．（23-24九年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，矩形中，，，点E为边的中点，点F为边上的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动.点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为y.      (1)请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出当直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围. 【答案】(1) (2)图象见解析；当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；（答案不唯一） (3) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键. （1）分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）分别求出直线经过点和点时b的值，结合图像写出答案即可. 【详解】（1）在矩形中，，， ∵点E为边的中点，点F为边上的三等分点， ∴，， 当点P在上时，则则，即， 此时， ∴的面积 ； 当点P在上时，即时，如图， 则， ∴的面积 ； ∴ （2）函数图象如图所示， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）当直线经过点时，，则， 当直线经过点时，，则， 结合图象可知，直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是. 46．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接、．设的面积为y． (1)求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象； (2)根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有两个交点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)由图象可知，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； (3) 【分析】此题考查了动点问题，画函数图象，求一次函数的解析式，正确理解动点问题求出函数解析式是解题的关键： （1）由题意知，当时，，则；当时，，则；然后作图象即可； （2）根据图象作答即可； （3）将；分别代入，求出m的值，结合图象进而可得取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴； 作图如图2； （2）解：由图象可知，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）当时，， 将代入，得，解得； 将代入，得，解得； ∴时，直线与该函数图象有两个交点 命题角度六：反比例函数与二次函数 47．（2023·重庆南岸·一模）如图1，已知四边形是平行四边形，，，，点从点出发，沿方向移动到点停止．过点作的垂线，垂足为点，设的长为，的长为．请解答下列问题： (1)写出与之间的函数关系式； (2)通过取点，画图，测量得到了与的几组值，如下表： 3 4 5 6 7 8 4 4 请直接写出m和n的值； (3)如图2，请在平面直角坐标系中画出该函数的图像； (4)请直接写出y的最小值． 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)、的值分别为，2； (3)见解析； (4)． 【分析】 （1）根据点在上运动与点在上运动两种情况，分类求解与之间函数关系式即可； （2）先根据函数关系式即可求出，、的值； （3）利用描点法画出函数图像即可； （4）根据图形即可求得的最小值． 【详解】（1）解：当点在上运动，即时，如下图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴与重合， ∴，即， 当点在上运动，即时，过点、分别作，延长线于点、，如下图，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，，当时，， ∴、的值分别为，； （3）解：在直角坐标系中作的图像如下， （4）解：∵当时，，当，，且随的增大而减小， ∴当时，取最小值，． 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、平行四边形的性质、反比例函数的图像及性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数的图像及性质是解题的关键． 48．（2024·重庆·一模）如图，在中，，， ，点为的中点，于点，点从点出发沿折线运动（含、两点），当动点在上运动时，速度为每秒个单位，当动点在上运动时，速度变为每秒个单位，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，线段的长度记为     (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)若函数，在给定的平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接估计时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)详见解析 性质：当时，随的增大而增大 (3)或 【分析】本题考查了勾股定理，动点函数图象，利用图象法求函数自变量取值范围．利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）分两种情况，即在上还是上，利用勾股定理求得的长，即可解答； （2）根据描点法画出图象即可，再根据图象写出的一条性质； （3）根据图象得到的解析式，根据题意列方程即可解答． 【详解】（1）解：当在上运动时，， ， ， ， 在中，， ， 即， 当在上运动时， ，， ， ， ， ， ，即， ； （2）如图， 性质：当时，随的增大而增大 （3）， 的函数图像在图像的下面， 则根据图像即可得到或． 49．（2024·重庆·一模）如图，在 中， ， ，， 点 D为的中点， 过点D作交于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线(含端点) 运动，到达E点停止运动，过点P作交于点Q． 设点P的运动时间为x秒，的长度为，请解答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)的函数图象如图所示，当时，请直接写出x的取值范围．(结果保留一位小数，误差不超过) 【答案】(1) (2)图见解析，性质：当时，有最大值，最大值为4(答案不唯一) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，描点法画函数图象，通过图象观察函数的性质，根据图象求不等式的解集等知识，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）先运用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出、和，再分①当点P在线段上时，②当点P在线段上，不含点D时，两种情况讨论分别求出对应函数关系式，即可得解． （2）运用描点法画函数图象，并观察图象得出性质即可； （3）根据图象得出交点横坐标的近似值，再根据图象写出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵在 中， ， ，， ∴， 又∵点 D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ①当点P在线段上时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ②当点P在线段上，不含点D时，， ∴， 此时点E即为点Q， ∴， 即， ∴关于x的函数关系式是： （2）列表格得： x 0 5 9 0 4 0 画出函数图象如下图所示：图中折线即为所求作函数图象． 其性质可以为：当时，有最大值，最大值为4(答案不唯一)； （3）由图象可知两函数图象交点的横坐标约为：，， ∴当时， x的取值范围是． 50．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在梯形中，其中底边，，连接对角线，为等边三角形，动点P从C点出发，沿折线方向以1个单位长度每秒匀速运动，同时Q点从B点出发，沿折线方向以1个单位长度每秒匀速运动，当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．设运动时间为x秒，P、Q两点间的距离为y； (1)请直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)已知图象如图所示，若时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)画出的图象见解析；当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分两种情况考虑：点P在边上运动时，易得是等边三角形，则可求得的长；点P在边上运动时，设交于点E，利用三角函数知识即可求得；最后确定函数式； （2）由函数式即可画出函数图象，根据图象即可写出一条性质； （3）求出两个函数图象的交点，借助图象即可得x的取值范围． 【详解】（1）解：当点P在边上运动时，则； 由题意知：； 为等边三角形， ，； ， 是等边三角形， ， ； 当点P在边上运动时，设交于点E，如图， ， ， ； ， ； ，， ； ， ， ， ， 即； 综上，； （2）解：画出的函数图象如下： （3）解：当时，，整理得， 解得：， 故当时，． 【点睛】本题是几何与函数的综合，考查了一次函数图象与性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角函数等知识，分类讨论与数形结合是关键． 51．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，，，．若动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为．      (1)直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围； (2)若函数，请在给定的平面直角坐标系中画出和的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接估计时，的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小 (3) 【分析】本题考查了含直角三角形的性质、一次函数的应用、画函数图象、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，分两种情况：当点在上，即时，；当点在上运动时，即，作于；分别根据三角形面积公式计算即可得出答案； （2）根据解析式画出函数图象，再根据函数图象写出性质即可； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒， 当点在上，即时，， 的面积为， 当点在上运动时，即，作于， 此时， ， ， ，， ， 的面积为， 综上所述，； （2）解：画出和的函数图象，如图所示， 由图可得：当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （3）解：由图象可得，时，的取值范围为． 52．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在等腰中，，，，动点P从B点出发，沿运动（包含端点），点P运动到点C时停止运动，过点P作交于点Q，记，点的运动路程为x．    (1)直接写出y关于x的函数关系式，注明x的取值范围，并在下面的平面直角坐标系中直接画出y的函数图象；    (2)根据所画的函数图象，写出该函数的一条性质_______； (3)在射线上有一动点M，始终满足，结合函数图象：当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，画图见解析 (2)函数当时，函数取最大值． (3)x的取值范围为：． 【分析】（1）过点A作于点D，根据面积求出，根据勾股定理求出，再进行分类讨论①当点P在上时，；②当点P在上时，，根据相似三角形对应边成比例即可解答； （2）根据图象分析其最值，即可解答； （3）根据（1）中得出的关于x的表达式，结合，列出方程结合图象求解即可． 【详解】（1）解：过点A作于点D，    ∵，， ∴，解得：． ∵，，， ∴， 根据勾股定理可得：， 则， ①当点P在上时，， ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， 整理得：，， ∴； ②当点P在上时，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 综上：， 画出图形如下：   ； （2）解：由图可知，该函数当时，函数取最大值． （3）解：如图，画出函数在上的图象得：    当时， ∴， ∵， ∴； 结合图象可得：时， x的取值范围为：． 【点睛】本题为三角形综合题，考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，反比例函数的应用，图象法解一元二次不等式等知识，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 53．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图1，菱形中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿折线运动（含端点），到达A点停止运动．过点E作，交一边于点F，并过点F作垂直于直线于点G．设点E的运动时间为x秒，，请解答下列问题： (1)直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)若函数在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)； (2)图见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大； (3)． 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，利用等边三角形的性质结合含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）利用描点法作出图象，再根据函数图象写出性质即可； （3）解方程和，再根据图象写出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴， ∴和是等边三角形， 当时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，    同理可得：，， ； 综上，； （2）解：列表， 0 1 3 6 12 9 0 9 9 3 描点，连线，画出图象如图： 性质：当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大； （3）解：解方程和得， 或， 由图象可得当时，． 【点睛】本题考查分段函数，求函数解析式，画函数图象，函数的性质，利用函数图象求不等式解集，含30度角的直角三角形和勾股定理，等边三角形的判定和性质，求出函数解析式是解题的关键． 54．（2024·重庆·三模）如图1，中，，，．在线段上，且．动点从点出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动．动点从点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿折线运动，点、同时从点出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点、的距离为．    (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)若函数，请在图2的平面直角坐标系中分别画出函数、的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接估计当时的取值．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)图象见解析，函数的性质：当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小（不唯一） (3)或 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的综合应用，相似三角形的判定及性质，熟练掌握分段函数的表示方法是关键． （1）根据题意，分两种情况分析当时，当时，写出分段函数解析式即可； （2）描点画出两个函数图象即可； （3）根据两个函数图象的交点，直接估计当时的取值即可． 【详解】（1）解：∵中，，，． ∴， ∵，则， ∴，即当点运动到点时，点运动到点， 当时，， 当时，，， ，， ∴，    ∵， ∴ ∴，即，整理得：． 综上分析，关于的函数表达式为； （2）作图如下： 函数的性质：当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小． （3）由图象可知，当时，或． 55．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，在等腰中，，，点D，E分别在边上，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线方向运动，到达点E时停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积记为． (1)请直接写出关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)若函数，在给定的平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时对应的t的取值． 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，随t的增大而增大，当时，随t的增大而减小； (3)或6 【分析】本题考查三角形的面积，等腰直角三角形的性质，一次函数的图象性质： （1）分两种情况，当点P在线段上时和点P在线段上，分别过点P作边上的垂线，根据等腰直角三角形的性质求出边上的高即可解答； （2）根据函数解析式画图即可； （3）找出与的交点即可解答． 【详解】（1）解：当点P在线段上时，即， 过点P作，如图， ∵， ∴， ∴， 由题意得，则， ∴， ∴， 当点P在线段上，即， 过点P作，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示： 当时，随t的增大而增大，当时，随t的增大而减小； （3）解：由图象可知，当出时，或6． 56．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，点D为斜边的中点，连接，动点E从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒个单位长度，到达B点停止运动，过点E作，垂足为点F，点G、H分别是射线，上的两个动点，的长度等于点E运动的路程，，设点E的运动时间为，的长度为，BH的长度为．    (1)直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质： (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围：__________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)作图见解析，当时，有最大值为8（答案不唯一）； (3)或 【分析】 （1）分，，两种情况讨论求关于t的函数关系式，根据三角形面积公式求关于t的函数关系式即可； （2）利用描点法化函数图象，结合图象写出函数的一条性质即可； （3）看在哪些区间的函数的图象在函数图象的下方即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时， 过D作于点G，    ∵点D是的中点， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 根据题意，得， ∵，，， ∴， ∴ （2）解：画图如下：    根据图象，知：当时，有最大值为8（答案不唯一）； （3）解：令，可得：（舍去负值），或 根据图象知：当或时，． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数与一次函数的交点问题等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决自变量的取值范围问题，属于中考常考题型． 57．（2024·重庆·二模）如图，在矩形中，，对角线交于点O，动点Р以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿运动，点F是线段上一点，满足．设点P、Q运动的时间都为，点Р到的距离与点Р到的距离的和为，点F到的距离为． (1)直接写出，关于x的函数关系式并写出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图形估计并直接写出当时x的取值范围.（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)，； (2)图象见解析，在时，函数随着x的增大而减小， (3) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质、解直角三角形、反比例函数的图象和性质等知识，数形结合正确列出函数解析式是解题的关键. （1）分和两种情况分别求出函数关于x的函数关系式及自变量的取值范围，根据三角形面积公式得到，即可得到关于x的函数关系式及自变量的取值范围即可； （2）根据自变量的取值范围画出函数图象即可，并写出的一条性质即可； （3）根据函数图象的交点横坐标及函数图象即可得到答案. 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， ∴， 当时，如图，作，，垂足分别为点E和点G， 则， ∴，， 即， ∴，， ∴当时，， 当时，如图，作，，垂足分别为点N和点M， 则， ∴，， 即， ∴，， ∴当时，， ∴； ∵．点F到的距离为． ∴ ∴； （2）函数图象如图所示，在时，函数随着x的增大而减小， （3）根据图象估计当时x的取值范围是 58．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，中，，，，动点、分别以每秒3个单位长度、4个单位长度的速度同时从出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，点到达点后，点、点的运动速度均变为每秒1个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点、的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)若函数，在给定的平面直角坐标系中分别画出和的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接估计当时的取值范围．（保留1位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，画一次函数图象与反比例函数图象，勾股定理等等： （1）先求解，当时，表示，利用勾股定理求出；当时，表示出即可； （2）根据函数解析式，再描点画图，再根据函数图象写出对应的性质即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方或二者交点处时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解；在中，，，， ∴， 当时，点M在上，点N在上，此时， ∴， 当时，点M和点N都在上，此时； 综上所述， （2）解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，当时，有最大值10； （3）解：当时，解得负值舍去，当时，解得或舍， ∴由函数图象可知，当时，或． 59．（2024·重庆·模拟预测）如图矩形中，，点为边上的三等分点（），动点从点出发，沿折线运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为．      (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)若函数，请在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的取值范围? 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用描点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）结合图象写出答案即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵点为边上的三等分点（）， ∴，， 分两种情况：①当时，即点P在边上，则 ； ②当时，即点P在边上，则 ∴ ； 综上，关于的函数解析式为：； （2）解：用描点法作出函数图象即可， 当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一） （3）解：由图象可得，当时的取值范围为； 【点睛】此题考查了求函数解析式，一次函数的图象和性质，矩形的性质，画一次函数图象和反比例函数图象，矩形的性质，三角形面积，图象法求不等式解集．数形结合和分类讨论是解题的关键． 60．（2023·重庆九龙坡·二模）如图1．在四边形中， ，， ，，点P在四边形的边上，且沿着点B→C→D→A运动．设点P的运动路程为x，记围成的图形面积为S，    (1)请直接写出与x的函数关系式，并写出x的取值范围 (2)如图2，平面直角坐标系中已画出函数的图像，请在同一坐标系中画出函数的图像； (3)结合y1与y2的函数图像，直接写出当时，x的取值范围．(结果取精确值) 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）分“点P在上运动，点P在上运动，点P在上运动”三种情况，利用三角形面积公式分别计算即可； （2）根据（1）中所求关系式描点、连线即可； （3）求出两个函数图象的交点的横坐标，结合函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知：当时，点P在上运动，如图，过点P作于点H，过点C作于点N，          由题意得：， 则， ， ； 当时，点P在上运动，如图，过点P作于点T，    则； 当时，点P在上运动， 同理可得， 综上可得：； （2）解：函数的图象如图所示．    （3）解：将与联立，得， 解得或（舍去）； 将与联立，得， 解得或（舍去）； 由图可知，当时，x的取值范围是． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，三角形面积公式，画一次函数图象，一次函数与反比例函数的交点问题等，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 61．（23-24九年级上·重庆南川·期末）如图，矩形中，，．动点P从点A出发，沿着折线方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x（其中），连接，记的面积为y，请解答下列问题： 图1                             图2 (1)直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，请直接估计当时x的取值：____________（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 【答案】(1) (2)见解析； (3)， 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，确定一次函数的表达式是解题的关键． （1）当点在上运动时，此时，，即可求解；当点在上运动时，同理可解； （2）取点绘制图象，再观察函数图象即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：，， 当点在上运动时，此时， 当点在上运动时，此时，， 故答案为：； （2）解： 该函数在自变量的取值范围内，有最大值，无最小值，当时，函数取得最大值． （3）解：联立和 解得：， 联立和 解得：， 62．（23-24九年级下·重庆·期中）如图1，在中，，，，，若动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数图像，并写出函数的一条性质； (3)若函数如图2，结合函数图像，请直接估计时，的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)见详解，当时，随着x的增大而增大；当时，随着的增大而减小 (3) 【分析】（1）分两种情况讨论：当点在线段上时，可有，由三角形面积公式可得，此阶段；当点在线段上时，过点作于点，则有，证明，由相似三角形的性质可得，由三角形面积公式可得，此阶段．即可获得答案； （2）结合（1）所得关于的函数关系式，画出函数图像；结合图像，写出函数的一条性质即可； （3）当时，联立函数解析式与函数解析式，可求得点的横坐标为1.0；当时，联立函数解析式与函数解析式，可解得点的横坐标为7.8．结合图像即可求得当时，的取值范围． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， 当点在线段上时，如下图， 此时， ∴， 此阶段； 当点在线段上时，如下图，过点作于点， 则有， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 此阶段． 综上所述，； （2）结合（1）所得关于的函数关系式，画出函数图像如下图所示， 结合图像，可知随着x的增大而增大；当时，随着的增大而减小； （3）当时，联立函数解析式与函数解析式， 可得，整理可得， 解得或（舍去）， 即点的横坐标为1.0， 当时，联立函数解析式与函数解析式， 可得，整理可得， 解得或（舍去）， 即点的横坐标为7.8， 结合图像可知，当时，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、一次函数应用、绘制一次函数图像、反比例函数与一次函数交点问题等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 63．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图1，在四边形中，，，，，点在四边形的边上，且沿着点运动．设点的运动路程为，记围成的面积为，，． (1)请直接写出与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)如图2，平面直角坐标系中已画出函数的图象，请在同一坐标系中画出函数的图象，并根据函数图象，写出函数的一条性质； (3)结合与的函数图象，直接写出当时，的取值范围．（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 【答案】(1) (2)作图见解析；①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而不变，当时，随的增大而减小； (3) 【分析】本题考查动点问题的函数图象，三角形面积公式，画一次函数图象，一次函数与反比例函数的交点问题等，解题的关键是熟练运用数形结合思想． （1）分“点P在上运动，点P在上运动，点P在上运动”三种情况，利用三角形面积公式分别计算即可； （2）根据（1）中所求关系式描点、连线即可； （3）求出两个函数图象的交点的横坐标，结合函数图象即可得出答案． 【详解】（1）当点在上运动时，如图， 过点作于点，过点作于点， 由题意得：，则， 则，则； 当点在上运动时，过点作于点， 则；当点在上运动时， 同理可得，，故； （2）解：函数图象如下所示： ∴①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而不变，当时，随的增大而减小； （3）解：解：将与联立，得， 解得或（舍去）； 将与联立，得， 解得或（舍去）； 由图可知，当时，x的取值范围是． 64．（2024·重庆·一模）如图1，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； (3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时，的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查三角形的面积，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质， （1）分两种情况，当点P在线段上时和点P在线段上，分别过点P作边和边上的垂线，根据相似三角形的判定与性质求出的长，运用三角形的面积公式即可解答； （2）根据函数解析式画图，结合图象写出一条性质即可； （3）结合函数图象，直接写出时，的取值范围．． 【详解】（1）解：过点D作于点，如图1， 则 ∴ ∴， ∵为的中点， ∴ ∴ ∴ 当时， ∴； 当时，过点D作于点，如图2， 同理可得，， 又 ∴ ； ∴关于的函数表达式为： （2）解：如图所示： 性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 （3）解：当时，的取值范围为： 65．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，中，，，点M、N以每秒1个单位长度从中点D点出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线方向运动，点M达点B后动点M、N的速度分别变为每秒3个单位长度、4个单位长度，设运动时间为t秒，点M、N的距离为． (1)请直接写出关于t的函数表达式并直接写出自变量t的取值范围； (2)已知，请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： (3)若，请根据所画图象直接写出t的范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)图象见解析，，随着的增大而增大，，随着的增大而减小； (3)当， t的范围为：． 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数图象与反比例函数的交点问题，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题中等量关系找一次函数的关系式即可； （2）当时，，当时，，分两种情况讨论即可求解； （3）由图象及其性质即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 由题意知，， ∴当时，， ∵点M达点B后动点M、N的速度分别变为每秒3个单位长度、4个单位长度， ∴当M、N在A点相遇时， ，， ∴当时，， 即当时，， ∴． （2）解：图象如图： 由图象可知，，随着的增大而增大，，随着的增大而减小． （3）解：联立， 解得：（负值已舍去）， 联立， 解得：（舍去），， ∴当， t的范围为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$