精品解析：河南省信阳市浉河中学2022-2023学年九年级上学期开学数学试题

2022-2023学年河南省信阳市浉河中学九年级（上）开学数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 已知关于的一元二次方程有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2－2 D. y＝(x＋1)2－2 6. 如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AED．若，，则∠EAC的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 2021年7月教育部出台“双减”政策后，安溪县基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，平均工作时长为48.4小时，设这两周工作时长的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，某同学得出了以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大，其中结论正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一个由等边三角形和以为直径的半圆组成的“冰淇淋”形图案，且点A，B在x轴上，点C在y轴上，，过点A作交半圆于点D，将该“冰淇淋”形图案绕点C逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 12. 抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是 _____． 13. 抛物线与坐标轴交点的个数为______． 14. 是关于的二次函数，当的取值范围是时，只在时取得最大值，则实数的取值范围是_________________． 15. 如图所示，在矩形中，，，是边上的一个动点，将沿折叠得分别连接、，若为等腰三角形，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：．其中x为的根． 18. 为增强学生的防疫意识，某校进行了防疫知识宣传教育活动，为了了解活动效果，组织了测试．现从该校七、八年级学生中分别任意抽取了10名学生的测试成绩（测试满分为100分，七、八年级的学生总人数分别为240人和300人）如下： 七年级：96，85，90，86，93，92，95，81，75，81． 八年级：81，80，82，85，90，88，95，86，95，92． 经分析、整理获得如下不完整的数据分析表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87.4 88 a 43.44 八年级 87.4 b 95 27.64 （1）填空：________，________； （2）若成绩85分（含85）以上为良好，请估计该校七、八年级成绩为良好的学生人数； （3）根据以上信息，判断哪个年级的成绩较好，并说明理由．（仅需要从一个角度说明判断的合理性） 19. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于原点的中心对称图形； （2）请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根大于3，求的取值范围． 21. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过点，点是直线上的动点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）当点位于直线上方且面积最大时，求的坐标； （3）将点向右平移个单位长度得到点，当线段与抛物线只有一个交点时，请直接写出点横坐标的取值范围_______． 23. 已知是的角平分线，． （1）观察猜想 如图1，当时，过点作交于点，连接，则的度数是______，线段与的数量关系是______． （2）探究证明 如图2，若，点是上任一点（不与点，重合），过点作交于点，过点作交于点，连接，请写出的度数及线段与的数量关系，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转得到，当点，在同一直线上，时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年河南省信阳市浉河中学九年级（上）开学数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由轴对称图形的定义与中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】A．既是轴对称图形，又是中心对称图形； B．是轴对称图形，不是中心对称图形； C．是中心对称图形，不是轴对称图形； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 故选：A． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的定义与中心对称图形的定义，掌握定义是解题的关键． 2. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，据此即可得答案． 【详解】解：A.是一元一次方程，故该选项不符合题意； B.含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C. 是一元二次方程，故该选项符合题意； D. 不是整式方程，故不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出方程根的判别式，再根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 4. 已知关于的一元二次方程有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义以及△的意义得到k-1≠0且△≥0，即4+4（k-1）≥0，然后解不等式组即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴k-1≠0且△≥0， 即k-1≠0且4+4（k-1）≥0， 解得且k≠1． 故选D 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义． 5. 将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. y＝(x－1)2＋2 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2－2 D. y＝(x＋1)2－2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案． 【详解】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2， 故选：A． 【点睛】考点：二次函数图象与几何变换． 6. 如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AED．若，，则∠EAC的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如详解图，由旋转的性质可得，，由三角形内角和定理可得的度数，再由平行线的性质得，最后由角的和即可求解． 【详解】解：设AE与BC交于O点， 将绕点逆时针旋转得， ，， ， ∵， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握旋转的性质是解本题的关键． 7. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数图象、二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键． 分两种情况讨论，当时和当时，结合一次函数与二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过一、二、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，且一次函数与二次函数交于点，符合条件的为选项C； 当时，一次函数的图象经过一、二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，且一次函数与二次函数交于点，没有符合条件的选项； 故选：C． 8. 2021年7月教育部出台“双减”政策后，安溪县基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，平均工作时长为48.4小时，设这两周工作时长的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这几周工作时间的增长率为x，利用第三周教师周工作时间=第一周教师周工作时间×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设这几周工作时间的增长率为x， 依题意得：40（1+x）2=48.4， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，某同学得出了以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大，其中结论正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴的位置，抛物线与轴的交点位置，进行判断即可；②根据抛物线与轴的交点个数，进行判断即可；③利用抛物线的对称性，得到与的函数值相同，进行判断即可；④根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：①∵抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴；故①错误； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴；故②正确； ③当时，，由图可知：抛物线关于对称， ∴与的函数值相同， 即：；故③错误； ④由图可知：当时，随的增大而增大；故④正确； 综上：正确的是②④，共个； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与二次函数的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 10. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一个由等边三角形和以为直径的半圆组成的“冰淇淋”形图案，且点A，B在x轴上，点C在y轴上，，过点A作交半圆于点D，将该“冰淇淋”形图案绕点C逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用旋转变换设计图案，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第98次旋转结束时点的位置与第二次点的位置相同，如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的位置即为98次旋转结束时点的位置．利用全等三角形的性质以及解直角三角形的知识，求出，可得结论． 【详解】解：∵， ∴每旋转8次一个循环， ， ∴第98次旋转结束时点的位置与第二次点的位置相同， 如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的位置即为98次旋转结束时点的位置． 分别过点作轴于点轴于点，则， 连接，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）． 12. 抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】把二次函数化简成顶点式，对称轴，在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，由此判断，，的大小． 【详解】， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的对称性和增减性，熟练掌握有关性质是解题关键． 13. 抛物线与坐标轴交点的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴交点、二次函数图象上点的坐标特征，根据，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴没有交点，来解决此题． 【详解】解：，，， ， 抛物线与轴交点的个数为， 当时，， 抛物线与轴交点的个数为， 抛物线与坐标轴交点的个数为； 故答案为：3． 14. 是关于的二次函数，当的取值范围是时，只在时取得最大值，则实数的取值范围是_________________． 【答案】a＞3 【解析】 【分析】根据二次函数的增减性利用对称轴列出不等式求解即可． 【详解】解：∵-1≤x≤3时，y只在x=-1时取得最大值， ∴， 解得a＞3． 故答案为：a＞3． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键． 15. 如图所示，在矩形中，，，是边上的一个动点，将沿折叠得分别连接、，若为等腰三角形，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质的应用、轨迹的应用、等腰三角形的性质等，关键是分类讨论的应用．根据，可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆，分三种情况讨论：当时，当时，时，分别求出结果即可． 【详解】解：∵， 可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 当时，则在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴此时点M在上， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； ③∵矩形的对角线长为：， 又∵点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； ∴的最小值为， 不能等于； 综上分析可知：的长度为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 所以，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 17. 先化简，再求值：．其中x为的根． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则运算即可化简．根据分式有意义的条件可求出x的取值范围．最后求出一元二次方程的根，可确定x的值，再代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴且， ∴可将x=4代入化简后的式子，即原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件，解一元二次方程．掌握分式的混合运算法则，分式的分母不能为0和解一元二次方程的方法是解题关键． 18. 为增强学生的防疫意识，某校进行了防疫知识宣传教育活动，为了了解活动效果，组织了测试．现从该校七、八年级学生中分别任意抽取了10名学生的测试成绩（测试满分为100分，七、八年级的学生总人数分别为240人和300人）如下： 七年级：96，85，90，86，93，92，95，81，75，81． 八年级：81，80，82，85，90，88，95，86，95，92． 经分析、整理获得如下不完整的数据分析表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87.4 88 a 43.44 八年级 87.4 b 95 27.64 （1）填空：________，________； （2）若成绩85分（含85）以上为良好，请估计该校七、八年级成绩为良好的学生人数； （3）根据以上信息，判断哪个年级的成绩较好，并说明理由．（仅需要从一个角度说明判断的合理性） 【答案】（1）81，87； （2）估计该校七、八年级成绩为良好的学生有378人； （3）八年级的成绩较好，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由众数的定义求出a的值，由中位数的定义求出b的值； （2）利用样本估计总体的思想计算即可； （3）可根据方差的意义进行判断． 【小问1详解】 解：七年级抽取的学生成绩中得81分的人数有2个，人数最多， 则七年级的众数a＝81（分）， 把八年级的测试成绩排序为：80，81，82，85，86，88，90，92，95，95， 则八年级的中位数b＝（分）， 故答案为：81，87； 【小问2详解】 解：240×＋300×＝378（人）， 答：估计该校七、八年级成绩为良好的学生有378人； 【小问3详解】 解：八年级的成绩较好， 理由：八年级的方差较小，成绩比较稳定，故八年级的成绩较好． 【点睛】此题考查了众数、中位数的定义，用样本估计总体，方差的意义，众数是数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 19. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于原点的中心对称图形； （2）请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 【答案】（1）答案见解析 （2）、、 【解析】 【分析】（1）分别画出、、关于原点的对称点、、，连接即可； （2）分别以、、为平行四边形的对角线即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示， 当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点； 当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点； 当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点； 故所求的点的坐标为、、． 【点睛】本题主要考查中心对称变换的作图和平行四边形，熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根大于3，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）a>4 【解析】 【分析】（1）先计算根的判别式得到Δ=(a-2)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用公式法解方程得到x1=1，x2=a-1，根据题意得a-1＞3，然后解不等式即可． 【小问1详解】 证明：∵Δ=(-a)2-4(a-1) =a2-4a+4 =(a-2)2≥0， ∴此方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：x2-ax+a-1=0， x=， ∴x1=1，x2=a-1， ∵方程有一实数根大于3， ∴a-1>3， 解得a>4， 即a的取值范围为a>4． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根． 21. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式； 利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 设每天的销售量件与每件售价元函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 ， ，且为整数， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为． 答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系列出函数关系式． 22. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过点，点是直线上的动点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）当点位于直线上方且面积最大时，求的坐标； （3）将点向右平移个单位长度得到点，当线段与抛物线只有一个交点时，请直接写出点横坐标的取值范围_______． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，再由待定系数法求函数解析式即可； （2）设点的坐标，根据的面积列出函数解析式，再根据函数最大值求出坐标； （3）用表示出点的坐标，根据与抛物线有一个交点，进而可以得出取值范围． 【小问1详解】 解：∵将代入 ∴ 解得 ∴ 令，则 ∴ 将代入 ∴ 解得 ∴ 令，则 解得或 ∴ 故答案为：， 【小问2详解】 解：设，则 ∴ ∴ ∴当时，面积最大， 此时； 故答案为： 【小问3详解】 解：∵ ∴抛物线的顶点 ∵点横坐标， ∴则 如图1，当经过抛物线的顶点时 解得 此时线段与抛物线有一个交点； 如图2，当点与点重合时，， 解得 当点与点重合时， ∴时，此时线段与抛物线有一个交点； 综上所述：或时，此时线段与抛物线有一个交点， 故答案为：或 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质，用待定系数法求函数的解析，数形结合是解题的关键． 23. 已知是的角平分线，． （1）观察猜想 如图1，当时，过点作交于点，连接，则的度数是______，线段与的数量关系是______． （2）探究证明 如图2，若，点是上任一点（不与点，重合），过点作交于点，过点作交于点，连接，请写出的度数及线段与的数量关系，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转得到，当点，在同一直线上，时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）120°；BD=OD； （2）∠EPD=120°；DE=PD；理由见解析； （3）+3或3-； 【解析】 【分析】(1）先证明△ABC是等边三角形，再利用“三线合一”和证明△OCD是等边三角形，最后利用特殊角的三角函数即可得出结论； (2）证明△EMP≌△AMD ，得出∠EPM=∠ADM，最后利用特殊角的三角函数即可得出结论； (3）分两种情况： ①当点E在点D上方时，先求出AE的长，进而求出AD的长，再根据勾股定理求出ED的长， P 的长即可得出结论； ②当点E在点D下方时，同①的方法即可得出结论． 【小问1详解】 ∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°， ∵OA平分∠BAC， ∴∠BAO=∠CAO=30°，AO⊥BC， BO=CO=BC(三线合一)， ∵OD∥AB， ∴∠BOD=180°-∠ABO=180°-60°=120°，∠BAO=∠AOD=30°，∠DOC=∠ABC=60°， ∴∠DAO=∠AOD， ∴AD =OD， ∵∠DOC=∠C=60°， ∴OD=CD=AD，△OCD为等边三角形， ∴OD =CO=BO=BC， ∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°， ∴tan∠ABD=， ∴BD=AD， ∴BD=OD． 故答案为：120°；BD=OD． 【小问2详解】 ∠EPD=120°，DE=PD， 理由如下： 如图所示， 设ED与AO相交于点M， ∵AO平分∠BAC， ∴∠BAO=∠CAO=30°， ∵DE⊥AC， ∴∠EDA=∠EDC=90°， ∴∠AED=180°-∠EDA-∠EAD=180°-90°-60°=30°， ∵PD//AB， ∴∠AED=∠PDE=∠EAP=∠APD=∠PAD=30°， ∴ME=AM，PM=DM，AD=DP， 在△EMP和△AMD中， ， ∴△EMP≌△AMD(SAS)， ∴∠EPM=∠ADM=90°， ∴∠EPD=∠EPM+∠DPM=90°+30°=120°， ∵tan∠AED=， ∴DE= AD， ∴DE=PD． 【小问3详解】 分两种情况 如图所示 由(2)得∠APE=90°，∠EAP=30°， ∴cos∠EAP=， ∴AE=， ∵∠ADE=90°，∠AED=30°， ∴AD=AE=， ED==3， 由旋转可知：AD=A=，DE= =3， ∠ADE=∠A=90°， 在Rt△AP中，根据勾股定理得： P=， ∴.P=P+=+3； 如图所示 由①得：=3，P=， ∴P=-P=3-， 综上所述，P的长为+3或3-． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练运用这些基本性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $