2.3函数的单调性和最值第1课时同步练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§3　函数的单调性和最值 第1课时　函数的单调性 一、必备知识基础练 1.[探究点一](多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.y=2x+1 B.y=x2+7 C.y=3-x D.y=x2+2x+1 2.[探究点一·2024陕西咸阳高一期末]函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间是(　　) A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0)和(2,+∞) D.(2,+∞) 3.[探究点三]若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.-,+∞ B.-∞,- C.(3,+∞) D.(-∞,-3] 4.[探究点三]已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)<f(1-a),则实数a的取值范围是(　　) A.,+∞ B.,1 C.(0,2) D.(0,+∞) 5.[探究点一]函数y=f(x)(x∈[-4,4])的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为(　　) A.[-4,-2] B.[-2,1] C.[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4] 6.[探究点一]若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上(　　) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 7.[探究点二]求函数f(x)=x+(x>0)的单调区间. 二、关键能力提升练 8.下列有关函数单调性的说法不正确的是(　　) A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数 B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数 C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数 D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数 9.已知函数f(x)=若f(4-a)>f(a),则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-2,+∞) 10.若函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列选项正确的是(　　) A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 11.若函数f(x)=是定义域上的减函数,则实数a的取值范围为　　　　　.  12.已知函数f(x)=mx+(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=. (1)求m,n的值; (2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明; (3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围. 三、学科素养创新练 13.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.若对于∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则函数y=f(x)在R上是增函数 B.若对于∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有>-1,则函数y=f(x)+x在R上是增函数 C.若对于∀x∈R,都有f(x+1)>f(x)成立,则函数y=f(x)在R上是增函数 D.函数y=f(x),y=g(x)在R上都是增函数,则函数y=f(x)·g(x)在R上也是增函数 14.设f(x)是定义在R上的函数,对任意m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0<f(x)<1.求证: (1)f(0)=1; (2)当x∈R时,恒有f(x)>0; (3)f(x)在R上是减函数. 参考答案 1.ABD　函数y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减. 2.C　由于f(x)=(x-4)·|x|=作出函数f(x)的图象如图所示, 结合图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞).故选C. 3.B　函数y=x2+(2a-1)x+1的图象开口向上,对称轴为直线x=,∵函数在区间(-∞,2]上单调递减,故2,解得a≤- 4.B　因为函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)<f(1-a),所以解得<a<1,所以实数a的取值范围是,1.故选B. 5.B 6.B　由于函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)上都单调递减,所以a<0,b<0.因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-<0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上单调递减. 7.解 设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2+=(x1-x2)- ∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0. 当x1,x2∈(0,3]时,有x1x2-9<0,即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),∴f(x)在区间(0,3]上单调递减; 当x1,x2∈[3,+∞)时,x1x2-9>0,即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间[3,+∞)上单调递增. 综上可知,函数f(x)=x+(x>0)的单调递减区间是(0,3],单调递增区间是[3,+∞). 8.C　根据增函数、减函数的定义,知两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B正确;对于D,g(x)为增函数,则-g(x)为减函数,f(x)为减函数,f(x)+(-g(x))为减函数,选项D正确;对于C,若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的单调性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-x时,f(x)+g(x)=+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数,故不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C. 9.A　画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增,故f(4-a)>f(a)⇔4-a>a,解得a<2. 10.D　因为a+b≤0,所以a≤-b,b≤-a,又函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 11.[-3,-1]　由题意可得解得-3≤a≤-1,则实数a的取值范围是[-3,-1]. 12.解(1)∵f(1)=m+=2,f(2)=2m+, (2)f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.证明如下, 由(1)得f(x)=x+ 任取1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+=(x1-x2)=(x1-x2) ∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,∴2x1x2-1>1, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在区间[1,+∞)上单调递增. (3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3, ∴只需1+2x2>x2-2x+4, ∴x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1. 即实数x的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞). 13.AB　x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)化简为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故函数f(x)在R上是增函数,故A正确;>-1>0,则函数y=f(x)+x在R上是增函数,故B正确;C选项中,令f(x)=[x],[x]表示不超过x的最大的整数,满足f(x+1)>f(x),但f(x)在R上不是增函数,如f(1.2)=f(1.5),故C错误;D选项中,令f(x)=g(x)=x,函数y=f(x)·g(x)=x2在R上不单调,故D错误.故选AB. 14.证明(1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),∵f(n)≠0,∴f(0)=1. (2)由题意知,当x>0时,0<f(x)<1; 当x=0时,f(0)=1>0; 当x<0时,-x>0,∴0<f(-x)<1. ∵f(0)=f(x+(-x))=f(x)·f(-x)=1, ∴f(x)=>0.故x∈R时,恒有f(x)>0. (3)任取x1,x2∈R,且x1>x2, 则f(x1)=f(x2+(x1-x2)). ∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1]. 由(2)知,f(x2)>0. ∵x1-x2>0,∴0<f(x1-x2)<1, ∴f(x1-x2)-1<0,∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是减函数. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$