湖北省武汉市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数

湖北省武汉市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数 一．选择题（共8小题） 1．（2024•江汉区二模）正弦函数在﹣π＜x＜π的图象如图所示，若点P（m，n）在该函数图象上，且mn＝k（k是常数，k＞0），则满足条件的点P的个数最多是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024•江汉区二模）函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y＝y1+y2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•江汉区二模）已知点A（x1，y1）在抛物线y1＝nx2﹣2nx+n上，点B（x2，y2）在直线y2＝﹣nx+n，当n＞0时，下列判断正确的是（　　） A．当x1＝x2＜1时，y1＜y2 B．当x1＝x2＞1时，y1＜y2 C．当y1＝y2＞n时，x1＞x2 D．当y1＝y2＜n时，x1＞x2 4．（2024•江岸区二模）《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长六寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？（大意是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长6寸，地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇），如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：尺）关于生长时间（单位：天）的函数图象，则由图可知瓜蔓与瓠蔓相遇的时间是第（　　）天（注：1尺＝10寸） A．3 B． C． D． 5．（2024•江岸区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝kx有3个不相等的实数根，则k的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．﹣4﹣2或﹣4+2 6．（2024•洪山区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式的解集为0＜x＜2．其中正确结论的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 7．（2024•洪山区二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB∥y轴，交x轴于点C，连结OA，取OA的中点D，连结BD，则△ADB（阴影部分）的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 8．（2024•江汉区二模）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象必经过点（1，2） B．在每个象限内，y随x的增大而减小 C．图象在第二、四象限内 D．图象与坐标轴没有交点 二．填空题（共8小题） 9．（2024•江汉区二模）已知反比例函数的图象过经点（3，﹣1），则k的值是 　 　． 10．（2024•江汉区二模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a，k为常数）的x与y的部分对应值如表所示： x ﹣2 1 4 5 t y m n p q m 下列四个结论： ①t＝6； ②若ak＞0，则该抛物线与x轴没有交点； ③若n＞p，则m＞q； ④若n•p＝0，则m•q＞0， 其中正确的结论是 　 　（填写序号）． 11．（2024•江岸区二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）交x轴于点（﹣1，0），且2a+b＝0．下列4个结论：①b＞0；②抛物线过点（3，0）；③a+c＞0；④抛物线上有点A（x1，y1），B（x1+4，y2），当y1＞0时，y2＜0．其中结论正确的是 　 　（填写序号）． 12．（2024•江汉区二模）写出一个在每个象限内，y随x的增大而增大的反比例函数：　 　． 13．（2024•江汉区二模）已知抛物线y＝x2+bx+c中b，c满足b﹣2c＝2．下列四个结论： ①若c＝0，则当x＜0时，y都随x的增大而减小； ②该抛物线与x轴一定有两个交点； ③当0≤x≤3时，y的最小值为﹣3，则b＝﹣2； ④点A（n﹣2，a），B（4，t），C（n，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜t＜c．则n的取值范围是3＜n＜4． 其中正确的结论是 　 　（填写序号）． 14．（2024•江汉区二模）在一次体育课上进行跳绳测试，小明的跳绳平均成绩为每分钟100个，小强的跳绳平均成绩为每分钟150个（单位：个），小明先跳150个，然后小强再跳，如图是小明、小强跳绳的个数关于小强的跳绳时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 　 　． 15．（2024•江汉区二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）经过（1，1），（m，0），（m+2，0），三点，给出下列四个结论： ①a＜0； ②若时，y随x增加而减少，则； ③若（m+1，t）在抛物线上，则t＞1； ④b2﹣4ac＝4a2； 其中正确的结论是 　 　．（填写序号） 16．（2024•江岸区二模）写一个当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解析式　 　． 三．解答题（共8小题） 17．（2024•江汉区二模）如图1，是矩形电子屏中某光点P的运动轨迹示意图，光点从屏边缘点A处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到底部的竖直高度记为y，光点运行的水平距离记为x，测得如下数据： 水平距离x 0 1 2 4 竖直高度y 2 3 3 0 （1）观察表格，直接写出抛物线的顶点坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）如图2，电子屏一边OB＝6，中间位置CD为一挡板，挡板高为2.5，当光点既能跨过挡板，又能击中边OB上任意一点时，挡板CD就会发光．为了使挡板发光，请计算光点P的初始高度OA的取值范围．（说明：电子屏足够高，能够保证光点P始终保持抛物线运动） 18．（2024•江岸区二模）某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径CD＝8m，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． （1）求图1中右边抛物线的解析式； （2）计划在图1中的线段OD上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段OB的取值范围； （3）圆形水池的直径为12m，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 19．（2024•江岸区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴正半轴交于点C． （1）直接写出抛物线的解析式为：　 　； （2）如图1，连接AC，D为x轴上方抛物线上的点，且满足S△ACD＝6，求D点坐标； （3）如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接AM、MN、AN，且∠NMA＝2∠MAB，抛物线对称轴为直线l，线段AM、MN与直线l分别交于点P、Q，延长NA交直线l于点R，若满足3PQ＝2PR，求直线AM的解析式． 20．（2024•江汉区二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌MN的距离MP＝a．现以点M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（dm）表示球与点M之间的水平距离，y（dm）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，PB段抛物线可以看作是由PA段抛物线向左平移得到． （1）当a＝4时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； （2）已知BC段抛物线的最大高度为，且它的形状与PA段抛物线相同．若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 21．（2024•江汉区二模）抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）交x轴于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）直接写出b，c的值和A点的坐标； （2）如图（1），点D是第四象限抛物线上一点，连接CD，BC，若∠OCD+∠ABC＝180°，求D点的坐标； （3）如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点M，N是平移后抛物线上两点，且∠MON＝90°，作OH⊥MN于点H，求当∠HCO最大时，H点的坐标． 22．（2024•洪山区二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为y轴上的一个动点，连接PB，则PC+PB的最小值为　 　； （3）连结BC，M是抛物线上的一点，且满足∠MAB＝2∠OCB，求点M的坐标． 23．（2024•江汉区二模）公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）直接写出s关于t的函数关系式 　 　和v关于t的函数关系式 　 　（不要求写出t的取值范围） （2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 24．（2024•江汉区二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，D（0，﹣3），抛物线y＝﹣2x2+6x+8与y轴交于C点，交x轴于A、B两点（A在B的左边），E为抛物线第一象限上一动点． （1）直接写出A，B两点坐标； （2）连接BD，过E作EF⊥x轴交BD于F，当DF＝CE时，求点E的横坐标； （3）连接ED，平移至MN，使M，E对应，使M，N分别与D，E对应，且M，N均落在抛物线上，连接EM，判断并证明直线EM是否经过一个定点． 湖北省武汉市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•江汉区二模）正弦函数在﹣π＜x＜π的图象如图所示，若点P（m，n）在该函数图象上，且mn＝k（k是常数，k＞0），则满足条件的点P的个数最多是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：因为点P坐标为（m，n），且mn＝k（k是常数，k＞0）， 所以点P在函数y的图象上． 如图所示， 函数y（k＞0）的图象与正弦函数的图象最多有4个交点． 故选：C． 2．（2024•江汉区二模）函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y＝y1+y2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设y1＝a1x2+b1x+c1，y2＝a2x2+b2x+c2， 由图象知，a1＞0，b1＜0，c1＞0，a2＞0，b2＜0，c2＜0，|c2|＞|c1|， ∴a1+a2＞0，b1+b2＜0，c1+c2＜0， ∵y＝y1+y2＝（a1+a2）x2+（b1+b2）x+（c1+c2），0， ∴函数y＝y1+y2的图象开口向上，对称轴也在y轴的右侧，开口比函数y1、y2的开口都小，与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴只有选项A符合题意， 故选：A． 3．（2024•江汉区二模）已知点A（x1，y1）在抛物线y1＝nx2﹣2nx+n上，点B（x2，y2）在直线y2＝﹣nx+n，当n＞0时，下列判断正确的是（　　） A．当x1＝x2＜1时，y1＜y2 B．当x1＝x2＞1时，y1＜y2 C．当y1＝y2＞n时，x1＞x2 D．当y1＝y2＜n时，x1＞x2 【解答】解：∵y1＝nx2﹣2nx+n＝n（x2﹣2x+1）＝n（x﹣1）2，y2＝﹣nx+n＝﹣n（x﹣1）， ∴抛物线y1＝nx2﹣2nx+n与直线y2＝﹣nx+n都恒过定点（1，0），与y轴的交点都为（0，n）． 画出大致图象如下： 由图可知，当x1＝x2＜0时，y1＞y2，当0＜x1＝x2＜1时，y1＜y2，当x1＝x2＞1时，y1＞y2，当y1＝y2＞n时，x1＞x2， 当y1＝y2＜n时，若x1＜1，则x1＜x2；若x1＞1，则x1＞x2． 故C选项正确，符合题意． 故选：C． 4．（2024•江岸区二模）《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长六寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？（大意是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长6寸，地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇），如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：尺）关于生长时间（单位：天）的函数图象，则由图可知瓜蔓与瓠蔓相遇的时间是第（　　）天（注：1尺＝10寸） A．3 B． C． D． 【解答】解：设瓜蔓与瓠蔓相遇的时间是t天， 则6t+10t＝90， 解得：t＝5， 故选：D． 5．（2024•江岸区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝kx有3个不相等的实数根，则k的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．﹣4﹣2或﹣4+2 【解答】解：由函数y＝x2﹣4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如图所示： 当k＞0时，x2+4x+3＝kx，即x2+（4﹣k）x+3＝0， 当直线y＝kx与函数y＝x2﹣4|x|+3的图象有三个交点时， ∴Δ＝（4﹣k）2﹣12＝0， ∴k＝4﹣2或k＝4+2（不符合题意，舍去）， ∴k＝4﹣2． 当k＜0时，x2﹣4x+3＝kx，即x2﹣（4+k）x+3＝0， 当直线y＝kx与函数y＝x2﹣4|x|+3的图象有三个交点时， ∴Δ＝（4+k）2﹣12＝0， ∴k＝﹣4+2或k＝﹣4﹣2（不符合题意，舍去）， ∴k＝﹣4+2． 综上所述，关于x的方程x2﹣4|x|+3＝kx有3个不相等的实数根，则k的值为4﹣2或﹣4+2． 故选：C． 6．（2024•洪山区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式的解集为0＜x＜2．其中正确结论的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 【解答】解：由题意可得，a＞0，c＞0，， ∴b＜0， ∴abc＜0， 故结论①正确，符合题意； 由图可知，当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， 故结论②不正确，不符合题意； 将（2，0）代入y＝ax2+bx+c， 得4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣2ac，a， ∵a+b+c＜0， ∴a﹣2ac+c＜0， ∴2a﹣c＞0， ∴2（）﹣c＞0， ∴﹣b0， 即2b+3c＜0， 故结论③正确，符合题意； 设y1＝ax2+bx+c，y2， 可知y1＝ax2+bx+c与y2的图象都过点（0，c），（2，0），如图， 由图可知，y1＜y2时，0＜x＜2， ∴不等式的解集为0＜x＜2， 故结论④正确，符合题意． 综上所述，正确结论的是①③④． 故选：C． 7．（2024•洪山区二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB∥y轴，交x轴于点C，连结OA，取OA的中点D，连结BD，则△ADB（阴影部分）的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上， ∴S△AOC， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴S△BOC2， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝6﹣2＝4， ∵D是OA的中点， ∴S阴影S△AOB2． 故选：D． 8．（2024•江汉区二模）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象必经过点（1，2） B．在每个象限内，y随x的增大而减小 C．图象在第二、四象限内 D．图象与坐标轴没有交点 【解答】解：A、∵当x＝1时，y＝2， ∴函数图象必经过点（1，2），故不符合题意； B、∵k＝2＞0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意； C、∵k＝2＞0， ∴图象在第一、三象限内，符合题意； D、图象与坐标轴没有交点，不符合题意． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 9．（2024•江汉区二模）已知反比例函数的图象过经点（3，﹣1），则k的值是 　﹣3　． 【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点（3，﹣1）， ∴﹣1， 解得，k＝﹣3， 故答案为：﹣3． 10．（2024•江汉区二模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a，k为常数）的x与y的部分对应值如表所示： x ﹣2 1 4 5 t y m n p q m 下列四个结论： ①t＝6； ②若ak＞0，则该抛物线与x轴没有交点； ③若n＞p，则m＞q； ④若n•p＝0，则m•q＞0， 其中正确的结论是 　①②④　（填写序号）． 【解答】解：①由表可知，抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵x＝1和x＝5时对应的函数值相等， ∴x＝5和x＝t时对应的函数值相等， ∴t＝6，故①正确； ②∵a＞0， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线 x＝2， ∴．当x＝2时，函数的最小值为k， ∴ak＞0， ∴该抛物线与x轴没有交点，故②正确； ③∵n＞p， ∴x＝3时对应的函数值大于x＝4时对应的函数值， ∴x＝1时对应的函数值大于x＝5时对应的函数值， ∴m＞q，故③正确； ④∵n•p＝0， ∴n＝0或p＝0， ∴x＝3或x＝4时对应的函数值为0， ∴．x＝1或x＝5时对应的函数值大于0，或x＝1或x＝5时对应的函数值小于0， ∴m＞0或m＜0，q＞0或 q＜0， ∴m•q＞0或m•q＜0，故④错误． 综上所述，正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 11．（2024•江岸区二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）交x轴于点（﹣1，0），且2a+b＝0．下列4个结论：①b＞0；②抛物线过点（3，0）；③a+c＞0；④抛物线上有点A（x1，y1），B（x1+4，y2），当y1＞0时，y2＜0．其中结论正确的是 　①②③④　（填写序号）． 【解答】解：①∵2a+b＝0， ∴b＝﹣2a， ∵a＜0， ∴b＞0． ∴①的结论正确； ②2a+b＝0， ∴b＝﹣2a， ∴抛物线的对称轴为直线x1， ∵抛物线关于直线x＝1对称， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）交x轴于点（﹣1，0），（﹣1，0）与（3，0）关于x＝1对称， ∴抛物线过点（3，0）． ∴②的结论正确； ③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）交x轴于点（﹣1，0），且2a+b＝0， ∴， ∴3a+c＝0， ∵a＜0， ∴3a＜a， ∴a+c＞0． ∴③的结论正确； ④∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）交x轴于点（﹣1，0），（3，0）， ∴当﹣1＜x＜3时，y＞0， ∵抛物线上有A（x1，y1），y1＞0， ∴﹣1＜x1＜3． ∴3＜x1+4＜7， ∴点B（x1+4，y2）在点（3，0）的右侧， ∴点B（x1+4，y2）在x轴的下方， ∴y2＜0． ∴④的结论正确． 综上，结论正确的是：①②③④． 故答案为：①②③④． 12．（2024•江汉区二模）写出一个在每个象限内，y随x的增大而增大的反比例函数：　y（答案不唯一）　． 【解答】解：只要使反比例系数小于0即可．如y，答案不唯一． 故答案为：y（答案不唯一） 13．（2024•江汉区二模）已知抛物线y＝x2+bx+c中b，c满足b﹣2c＝2．下列四个结论： ①若c＝0，则当x＜0时，y都随x的增大而减小； ②该抛物线与x轴一定有两个交点； ③当0≤x≤3时，y的最小值为﹣3，则b＝﹣2； ④点A（n﹣2，a），B（4，t），C（n，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜t＜c．则n的取值范围是3＜n＜4． 其中正确的结论是 　②③　（填写序号）． 【解答】解：由题意，若c＝0， ∴b＝2． ∴抛物线的对称轴是直线x1． 又∵抛物线开口向上， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故①错误； ∵b﹣2c＝2， ∴b＝2c+2． ∴Δ＝b2﹣4c＝（2c+2）2﹣4c ＝4c2+8c+4﹣4c ＝4c2+4c+4 ＝4（c）2+3， 又对于任意的实数c，（c）2+3≥3， ∴Δ＝b2﹣4c＝4（c）2+3≥3＞0， ∴抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确； ∵抛物线为y＝x2+bx+c＝x2+bxc＝（x）2c， 又b＝2c+2， ∴y＝（x+c+1）2﹣c2﹣c﹣1． 又当0≤x≤3时，y的最小值为﹣3， ∴分以下三种情形． ①当x＝0时，y取最小值为c＝﹣3， ∴y＝（x﹣2）2﹣7，故此时当x＝2时取最小值﹣7，这与最小值﹣3矛盾， ∴不合题意； ②当x＝3时，y的最小值＝9+3b+c＝9+3（2c+2）+c＝﹣3， ∴c． ∴y＝（x）2，故此时当x时取最小值，这与最小值﹣3矛盾， ∴不合题意； ③当x＝﹣c﹣1时，y取最小值＝﹣c2﹣c﹣1＝﹣3． ∴c＝1或﹣2． ∴若c＝1，则y＝（x+2）2﹣3， 又当0≤x≤3时， ∴当x＝0时，y取最小值为1，不合题意； 若c＝﹣2，则y＝（x﹣1）2﹣3． 又当0≤x≤3时， ∴当x＝1时，y取最小值为﹣3，符合题意； 综上，c＝﹣2，b＝2c+2＝﹣2． ∴当0≤x≤3时，y的最小值为﹣3，则b＝﹣2，故③正确； ∵点A（n﹣2，a），C（n，a）都在这个二次函数的图象上， ∴抛物线为y＝（x+c+1）2﹣c2﹣c﹣1的对称轴是直线xn﹣1＝﹣c﹣1． ∴c＝﹣n． ∴b＝2c+2＝﹣2n+2． ∴抛物线为y＝x2+（﹣2n+2）x﹣n． 又B（4，t）在抛物线上， ∴t＝42+4（﹣2n+2）﹣n． ∴t＝24﹣9n． 由题意，a＝（n﹣2）2+（n﹣2）（﹣2n+2）﹣n＝﹣n2+n， a＝n2+n（﹣2n+2）﹣n＝﹣n2+n， 又a＜t＜c， ∴﹣n2+n＜24﹣9n＜﹣n． ∴3＜n＜4或n＞6，故④错误． 综上，正确的有②③． 14．（2024•江汉区二模）在一次体育课上进行跳绳测试，小明的跳绳平均成绩为每分钟100个，小强的跳绳平均成绩为每分钟150个（单位：个），小明先跳150个，然后小强再跳，如图是小明、小强跳绳的个数关于小强的跳绳时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 　450　． 【解答】解：由题意知，小明跳绳个数y小明与小强的跳绳时间t的函数解析式为y小明＝150+100t， 小强跳绳个数y小强与小强的跳绳时间t的函数解析式为y小强＝150t， 联立方程组， 解得， ∴P（3，450）， ∴点P的纵坐标是450， 故答案为：450． 15．（2024•江汉区二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）经过（1，1），（m，0），（m+2，0），三点，给出下列四个结论： ①a＜0； ②若时，y随x增加而减少，则； ③若（m+1，t）在抛物线上，则t＞1； ④b2﹣4ac＝4a2； 其中正确的结论是 　④　．（填写序号） 【解答】解：①当m＞1时， ∵抛物线经过（1，1）， ∴抛物线开口向上， ∴a＞0， 故①不符合题意． ②当x时， （m+m+2）， ∴m， 故②不符合题意． ③∵抛物线对称轴为直线x（m+m+2）＝m+1， 当m＞1时， t＜1， 故③不符合题意． ④把（1，1），（m，0），（m+2，0）代入得： ， ③﹣②得：b＝﹣2a（m+1）④， ②﹣①得：a（m2﹣1）+b（m﹣1）＝0⑤， ④代入⑤得：a， ∴b， c， ∵b2﹣4ac＝（）2﹣4， 4a2＝4×（）2， ∴b2﹣4ac＝4a2； 故答案为：④． 16．（2024•江岸区二模）写一个当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解析式　y＝x或y或y＝x2等　． 【解答】解：若为一次函数，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴k＞0，如y＝x； 若为反比例函数，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴k＜0，如y； 若为二次函数，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴a＞0，对称轴y0，如y＝x2； ∴当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解析式为y＝x或y或y＝x2等（此题答案不唯一）． 三．解答题（共8小题） 17．（2024•江汉区二模）如图1，是矩形电子屏中某光点P的运动轨迹示意图，光点从屏边缘点A处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到底部的竖直高度记为y，光点运行的水平距离记为x，测得如下数据： 水平距离x 0 1 2 4 竖直高度y 2 3 3 0 （1）观察表格，直接写出抛物线的顶点坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）如图2，电子屏一边OB＝6，中间位置CD为一挡板，挡板高为2.5，当光点既能跨过挡板，又能击中边OB上任意一点时，挡板CD就会发光．为了使挡板发光，请计算光点P的初始高度OA的取值范围．（说明：电子屏足够高，能够保证光点P始终保持抛物线运动） 【解答】解：（1）观察表格数据，可知当x＝1和x＝2时，函数值相等， ∴对称轴为直线x， ∴抛物线的顶点坐标为（，）； （2）设抛物线解析式为y＝a（x）2， 将（0，2）代入得，2＝a•（）2， 解得：a， ∴抛物线解析式为y（x）2x2x+2； （3）当光点恰好经过点D时，设抛物线的解析式为y（x）2h， 此时，D（3，2.5）， 当x＝3时，y（x）2h＝2.5，解得h＝0.5， ∴抛物线的解析式为y（x）20.5x2x， ∴初始高度OA； 当光点恰好经过点B时，设抛物线的解析式为y（x）2h， 此时，B（6，0）， 同理可得：当x＝6时，h＝7， ∴抛物线的解析式为yx2x+9， ∴初始高度OA＝9； ∴OA的取值范围为OA≤9． 18．（2024•江岸区二模）某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径CD＝8m，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． （1）求图1中右边抛物线的解析式； （2）计划在图1中的线段OD上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段OB的取值范围； （3）圆形水池的直径为12m，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（，）， ∴可设抛物线为y＝a（x）2． 又抛物线过（4，0）， ∴a（4）20． ∴a． ∴右边抛物线的解析式为y（x）2． （2）由题意，∵BE， ∴当y时，（x）2． ∴x1，x2， ∵0， ∴当x时，y， 即当0＜x时，雕像不碰到水柱， ∴线段OB的取值范围为0＜x． （3）水柱会喷到圆形水池之外，理由： ∵水柱最大高度为m，右侧抛物线顶点始终在直线yx上， ∴x． 解得x＝3， ∴水柱达到最大高度时抛物线的对称轴为直线x＝3， ∵抛物线过点A（0，2）， ∴点A关于直线x＝3的对称点为（6，2）在抛物线上， ∴当x＝6时，y＝2＞0， ∵水池的半径为6m， ∴水柱会喷到圆形水池之外． 19．（2024•江岸区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴正半轴交于点C． （1）直接写出抛物线的解析式为：　y＝x2﹣4x+3　； （2）如图1，连接AC，D为x轴上方抛物线上的点，且满足S△ACD＝6，求D点坐标； （3）如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接AM、MN、AN，且∠NMA＝2∠MAB，抛物线对称轴为直线l，线段AM、MN与直线l分别交于点P、Q，延长NA交直线l于点R，若满足3PQ＝2PR，求直线AM的解析式． 【解答】解：（1）把A（1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx+3， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3， 故答案为：y＝x2﹣4x+3； （2）设D（m，m2﹣4m+3）， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3， 当m＞3时，如图， ∵S△ACD＝S△OCD+S△OAD﹣S△OAC， ∴， 解得m＝4或m＝﹣3（舍）， ∴m2﹣4m+3＝3， ∴D（4，3）， 当m＜0时，如图， ∵S△ACD＝S△OAD﹣S△OCD﹣S△OAC， ∴， 解得m＝4（舍）或m＝﹣3， ∴m2﹣4m+3＝24， ∴D（﹣3，24）， 综上所述，D（4，3）或D（﹣3，24）； （3）延长NM交x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，如图， ∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3， ∴对称轴为直线x＝2， 设直线AM的直线解析式为y＝kx+b， 把A（1，0）代入y＝kx+b， 得b＝﹣k， ∴直线AM的直线解析式为y＝kx﹣k， 当x＝2时，y＝2k﹣k＝k， ∴P（2，k）， 联立， 得kx﹣k＝x2﹣4x+3， 即（x﹣1）（k﹣x+3）＝0， 解得x1＝1，x2＝k+3， 当x＝k+3 时，y＝k（k+3）﹣k＝k2+2k， ∴M（k+3，k2+2k）， ∵∠NMA＝2∠MAB， ∴∠MEA＝∠MAB， ∴ME＝MA， ∴MF⊥x， ∴AF＝EF，F（k+3，0）， ∴E（2k+5，0）， 设直线MQ的解析式为y＝k1x+b1， 把E（2k+5，0），M（k+3，k2+2k）， 代入得， 解得， ∴直线MQ的解析式为y＝﹣kx+2k2+5k， 当x＝2时，y＝﹣2k+2k2+5k＝2k2+3k， ∴Q（2，2k2+3k）， ∴PQ＝2k2+3k﹣k＝2k2+2k， 联立， 得﹣kx+2k2+5k＝x2﹣4x+3， 即（x+2k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0， 解得x1＝﹣2k+1，x2＝k+3， 当x＝﹣2k+1时，y＝﹣k（﹣2k+1）+2k2+5k＝4k2+4k， ∴N（﹣2k+1，4k2+4k）， 设直线AN的解析式为y＝k2x+b2， 把N（﹣2k+1，4k2+4k），A（1，0）代入， 得， 解得， 直线AN解析式为y＝（﹣2k﹣2）x+2k+2， 当x＝2时，y＝﹣2k﹣2， ∴R（2，﹣2k﹣2）， ∴PR＝k﹣（﹣2k﹣2）＝3k+2， ∵3PQ＝2PR， ∴3（2k2+2k）＝2（3k+2）， 解得或， ∵M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点， ∴k＞0， ∴， ∴直线AM的解析式为． 20．（2024•江汉区二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌MN的距离MP＝a．现以点M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（dm）表示球与点M之间的水平距离，y（dm）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，PB段抛物线可以看作是由PA段抛物线向左平移得到． （1）当a＝4时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； （2）已知BC段抛物线的最大高度为，且它的形状与PA段抛物线相同．若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 【解答】解：（1）①由题意，当a＝4时， ∴P（0，4）． 将P代入y（x﹣10）2+b中得， 4（0﹣10）2+b， ∴b＝6． ②由①得“直发式”模式下函数解析式为y（x﹣10）2+6， ∴令y＝0，则0（x﹣10）2+6， ∴x＝10+10． ∴A（10+10，0）． 又由题意可得“间发式”模式的解析式为y（x﹣10+m）2+6（m＞0）， 同样过P（0，4）， ∴4（0﹣10+m）2+6． ∴m＝20． ∴“间发式”模式的解析式为y（x+10）2+6． ∴令y＝0，则0（x+10）2+6， ∴x＝﹣10+10． ∴B（﹣10+10，0）． ∴AB＝10+10（﹣10+10）＝20（dm）． 答：点A，B之间的距离20dm． （2）由题意，∵抛物线为y（x﹣10）2+b， ∴对称轴是直线x＝10． ∴点P（0，a）关于对称轴对称的点为（20，a）． ∴AB＝PQ＝20． 设B（m，0）， 又∵A、C重合， ∴C（m+20，0）． 故可设BC段抛物线为y（x﹣m）（x﹣m﹣20）， 又抛物线在线段BC的中点时有最高点，此时BC的中点横坐标为m+10， ∴y最大值为（m+10﹣m）（m+10﹣m﹣20）． ∴b＝4． ∴PA段解析式为y（x﹣10）2+4． 令x＝0， ∴y＝2，即PM＝2． ∴a＝2． 21．（2024•江汉区二模）抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）交x轴于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）直接写出b，c的值和A点的坐标； （2）如图（1），点D是第四象限抛物线上一点，连接CD，BC，若∠OCD+∠ABC＝180°，求D点的坐标； （3）如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点M，N是平移后抛物线上两点，且∠MON＝90°，作OH⊥MN于点H，求当∠HCO最大时，H点的坐标． 【解答】解：（1）将B、C点代入y＝x2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2x﹣2； 当y＝0时，x2x﹣2＝0， 解得x或x＝4， ∴A（，0）； （2）过点D作DE⊥y轴交于E点，设D（t，t2t﹣2）， ∵∠OCD+∠ABC＝180°，∠OCD+∠CDE＝180°， ∴∠ABC＝∠CDE， ∴tan∠ABC＝tan∠DCE，即， 解得t， ∴D（，﹣5）； （3）由平移可知平移后的函数解析式为y＝x2， 设直线MN的解析式为y＝kx+m， 当kx+m＝x2时，xM+xN＝k，xM•xN＝﹣m， 过M点作MG⊥x轴交于G点，过N作NF⊥x轴交于F点， ∵∠MON＝90°， ∴△OMG∽△NOF， ∴， ∴﹣xM•xN＝yM•yN， ∴xM•xN＝﹣1， ∴m＝1， ∴直线MN的解析式为y＝kx+1， ∵OH⊥MN， ∴点H在以I 为圆心， 为半径的圆上， 当IH⊥CH 时，∠HCO 最大， ∵HI，CI， ∴HC， ∵sin∠HCI， ∴xH， ∴H（，）； 根据对称性可知（，）也符合题意； 综上所述：H点的坐标为 ． 22．（2024•洪山区二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为y轴上的一个动点，连接PB，则PC+PB的最小值为　2　； （3）连结BC，M是抛物线上的一点，且满足∠MAB＝2∠OCB，求点M的坐标． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC， 则点C（0，3）， 则，解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由点A、C的坐标知，∠ACO＝∠CAO＝45°， 过点P作PH⊥AC于点H，则PHPC， 故当B、P、H共线时，PC+PB＝PB+PH＝BH最小， 此时BH＝AB•sin∠CAO＝42， 故答案为：2； （3）取点N（﹣1，0），连接CN，过点B作BT⊥CN于点T，连接BC， 则∠MAB＝2∠OCB＝∠BCN， 由点B、C、N的坐标得，BN＝2，BCCT， 则S△BCNCO×BNCN×BT， 即3×2BT，则BT， 则sin∠BCNsin∠MAB， 则tan∠MAB， 则直线AM的表达式为：y＝±（x+3）， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2﹣2x+3（x+3）或﹣x2﹣2x+3（x+3）， 解得：x＝﹣3（舍去）或或， 则点M的坐标为：（，）或（，）． 23．（2024•江汉区二模）公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）直接写出s关于t的函数关系式 　st2+16t　和v关于t的函数关系式 　v＝﹣t+16　（不要求写出t的取值范围） （2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点， 设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c， ∵二次函数经过（2，30），（4，56）， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为st2+16t． ∵一次函数经过（0，16），（8，8）， ∴，解得：， ∴一次函数表达式为v＝﹣t+16． 故答案为：st2+16t，v＝﹣t+16； （2）∵v＝﹣t+16， ∴当 v ＝9时， ﹣t+16＝9，解得 t ＝7， ∵st2+16t， ∴当 t ＝7时， s×72+16×7＝87.5， ∴当甲车减速至9 m / s 时，它行驶的路程是87.5 m ； （3）∵当 t ＝0时，甲车的速度为16 m / s ， ∴当0＜ v ＜10时，两车之间的距离逐渐变大， 当10＜ v ＜16时，两车之间的距离逐渐变小， ∴当 v ＝10 m / s 时，两车之间距离最小， 将 v ＝10代入v＝﹣t+16中，得 t ＝6， 将 t ＝6代入st2+16t中，得s＝78， 此时两车之间的距离为：10×6+20﹣78＝2（m）， ∴6秒时两车相距最近，最近距离是2m． 24．（2024•江汉区二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，D（0，﹣3），抛物线y＝﹣2x2+6x+8与y轴交于C点，交x轴于A、B两点（A在B的左边），E为抛物线第一象限上一动点． （1）直接写出A，B两点坐标； （2）连接BD，过E作EF⊥x轴交BD于F，当DF＝CE时，求点E的横坐标； （3）连接ED，平移至MN，使M，E对应，使M，N分别与D，E对应，且M，N均落在抛物线上，连接EM，判断并证明直线EM是否经过一个定点． 【解答】解：（1）当y＝0时，＝﹣2x2+6x+8＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（4，0）； （2）当x＝0时，y＝8， ∴C（0，8）， ∵D（0，﹣3）， 设直线BD的解析式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴BD的解析式为：yx﹣3， 设点E的横坐标为x，则点E的坐标为（x，﹣2x2+6x+8）， ∵EF⊥x轴， ∴F（x，x﹣3）， ∵CE＝DF， ∴CE2＝DF2， ∴（x﹣0）2+（﹣2x2+6x+8﹣8）2＝（x﹣0）2+（x﹣3+3）2， 解得：x1＝0（舍），x2，x3， ∴点E的横坐标是或； （3）直线EM经过一个定点（0，2.5），理由如下： 设点M的坐标为（a，﹣2a2+6a+8），点E的坐标为（t，﹣2t2+6t+8）， 由平移得：DE∥MN，DE＝MN， ∵D（0，﹣3）， ∴N（a+t，﹣2a2+6a+8+3﹣2t2+6t+8）， 即点N的坐标为（a+t，﹣2a2+6a+19﹣2t2+6t）， ∵点N在抛物线上， ∴﹣2a2+6a+19﹣2t2+6t＝﹣2（a+t）2+6（a+t）+8， ∴at， 设直线EM的解析式为：y＝k1x+b1， ， ②﹣①得：（a﹣t）k1＝﹣2a2+6a+8+2t2﹣6t﹣8， （a﹣t）k1＝2（t﹣a）（t+a）+6（a﹣t）， ∵a≠t， ∴k1＝﹣2t﹣2a+6③， 把③代入①得：（﹣2t﹣2a+6）t+b1＝﹣2t2+6t+8， ∴b1＝2.5， ∴直线EM的解析式为：y＝（﹣2t﹣2a+6）x+2.5， ∴直线EM经过一个定点（0，2.5）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/8 14:51:17；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$