精品解析：河南省开封市五校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题

开封五校2023~2024学年下学期期中联考 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 展开式中的常数项为（ ） A. -20 B. -15 C. 15 D. 20 3. 从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（ ） A. 16个 B. 20个 C. 12个 D. 15个 4. 将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（ ） A. 504 B. 126 C. 112 D. 56 5. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 7. 两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为.已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若且，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为 C. 当二面角的余弦值为时， D. 若二面角的大小为，且时，直线PB与AC所成角的余弦值最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______. 13. 一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为______． 14. 在某市举办的城市运动会的跳高比赛中，甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，若甲、乙各试跳两次，两人中恰有一人第二次才成功的概率为_______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有3名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： （1）2名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）2名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 16. 某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． （1）估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； （2）若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 17. 已知椭圆的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为. （1）求椭圆的离心率； （2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线分别与直线交于点为坐标原点，求. 18. 在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置4道面试题目，每道题5分.已知某学生对于前3道题，每道题答对的概率均为；对于第4道题，答对的概率为.记该学生的总得分为. （1）求该学生前3道题至少答对2道题的概率； （2）求的分布列及数学期望. 19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数. （1）当时，试求的对称中心. （2）讨论的单调性； （3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封五校2023~2024学年下学期期中联考 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】集合，则. 故选：D. 2. 展开式中的常数项为（ ） A. -20 B. -15 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】写出二项展开通项，再令的指数为0，得到相应的项数，从而算出常数项. 【详解】因为的展开式通项公式为， 令，得，所以，即展开式的常数项为15. 故选：C. 3. 从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（ ） A. 16个 B. 20个 C. 12个 D. 15个 【答案】A 【解析】 【分析】由虚数的概念以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】若复数为虚数，则任意，由题意， 从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有个. 故选：A. 4. 将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（ ） A. 504 B. 126 C. 112 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用隔板法列式计算得解. 【详解】取9个小球排成一排形成8个空档，在8个空档中放入3个挡板，把9个小球分成4部分， 每一部分的小球个数即为分配到4个班的名额数， 所以不同的分配方法的种数为. 故选：D 5. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件概率计算公式直接计算即可. 【详解】，. 故选：D. 6. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 【答案】C 【解析】 【分析】对其余位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得. 【详解】依题意其余位主播有两种情况： ①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点； 所以不同游玩方法（种）. 故选：C 7. 两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得. 【详解】由题意可知：服从二项分布，所以. 同理：服从二项分布，所以. 因为，所以，所以. 对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递增， 所以当时，有，即. 故选：C 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义，结合二项式定理可知，再确定中被7整除余3的数，即可得解. 【详解】由二项式定理，得 ， 因为能够被7整除， 被7除余3，则， 又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3， 所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的公式及性质逐项判断即可. 【详解】由组合数的性质知，故A错误； 因为，，故，故B正确； 由，得，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 10. 若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，将式子化成，然后利用赋值法分别求出选项对应的系数 【详解】令，则， 令，可得，即，故A正确； 令，可得，又， 所以，故B正确； 令，所以， 所以，所以，故C错误； 由题可知1798，故D正确. 故选:ABD. 11. 如图，在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为 C. 当二面角的余弦值为时， D. 若二面角的大小为，且时，直线PB与AC所成角的余弦值最大为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，利用线面垂直的判断判断A；确定三棱锥体积最大时图形位置，并求出球半径计算判断B；利用空间向量数量积判断C；求出异面直线夹角余弦的函数关系求解判断D作答. 【详解】在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形， 取的中点，连接，如图，则， 又平面，则平面，又平面，所以，A正确； 平面，则有平面平面，又平面平面， 于是点在平面上的射影在直线上，点到平面的距离， 当且仅当时取等号，而面积为定值，即最大时三棱锥的体积最大， 此时平面平面，且平面，平面，令的中心分别为， 三棱锥外接球球心为，则平面，平面，于是， 四边形是矩形，，， 因此三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的体积，B错误； 由选项A知，为二面角的平面角，即， 因为，所以 ，因此，C正确； 二面角的大小为，即，于是 ，记直线与所成角的大小为， 则，当 时, ，， 因此，则，所以的最大值为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】. 故答案为: . 13. 一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得，由方差性质即可求解. 【详解】由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2， 则，，， ，， 所以． 故答案为： 14. 在某市举办的城市运动会的跳高比赛中，甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，若甲、乙各试跳两次，两人中恰有一人第二次才成功的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 记“甲第i次试跳成功”为事件，“乙第i次试跳成功“为事件，依题意得，，且，相互独立，由此能求出两人中恰有一人第二次才成功的概率． 【详解】解：记“甲第i次试跳成功”为事件，“乙第i次试跳成功“为事件， 依题意得，，且，相互独立． “甲第二次试跳才成功”为事件，且两次试跳相互独立，， 故甲第二次试跳才成功的概率为0.21， 同理，可求得乙第二次试跳才成功的概率为， 故两人中恰有一人第二次才成功的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有3名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： （1）2名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）2名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 【答案】（1）48 （2）72 【解析】 【分析】（1）捆绑法结合分步计数原理即可； （2）插空法结合分步计数原理即可； 【小问1详解】 根据题意，先将2名女教师排在一起，有种坐法， 将排好的女教师视为一个整体，与3名男教师进行排列，共有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有种坐法． 【小问2详解】 根据题意，先将3名男教师排好，有种坐法， 再在这3名男教师之间及两头的4个空位中插入2名女教师，有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有种坐法． 16. 某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． （1）估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； （2）若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】（1） （2）人 【解析】 【分析】（1）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可求出结果； （2）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可得到答案. 【小问1详解】 设学生的物理得分为随机变量， 则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为． 【小问2详解】 由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人． 17. 已知椭圆的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为. （1）求椭圆的离心率； （2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线分别与直线交于点为坐标原点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得，即可求出离心率； （2）设出点坐标，写出直线和的方程求出交点坐标，利用化简的表达式即可求得结果. 【小问1详解】 根据题意可得椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为， 由题意可知，即， 又，所以，即， 可得椭圆的离心率. 【小问2详解】 由，得，即， 所以椭圆的方程为. 如图所示： 设，则，即， 又，则直线的方程为， 直线的方程为； 因为直线分别与直线交于点， 可得， 所以. 即. 18. 在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置4道面试题目，每道题5分.已知某学生对于前3道题，每道题答对的概率均为；对于第4道题，答对的概率为.记该学生的总得分为. （1）求该学生前3道题至少答对2道题的概率； （2）求的分布列及数学期望. 【答案】（1）； （2）的分布列为： 0 5 10 15 20 数学期望14.5.【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的加法公式计算即得. （2）求出的可能值及各个值相应的概率值，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 记该学生前3道题答对道为事件，前3题中至少答对2道题为事件， 则， ，， 所以. 【小问2详解】 依题意，的取值可能为， ，， ， ，. 所以的分布列为： 0 5 10 15 20 数学期望. 19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数. （1）当时，试求的对称中心. （2）讨论的单调性； （3）当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）求导得到导函数，再求导取为0，计算得到对称中心. （2）求导得到导函数，考虑，，三种情况，分类讨论得到答案. （3）确定函数对称中心，根据对称性和常数项得到，，计算，得到答案. 【小问1详解】 ，，， 令，，， 故的对称中心为. 【小问2详解】 ， 令，则，， 当时，，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，所以函数在上单调递减； 当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，函数在上单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 ，， 令，，，所以对称中心为， 当和时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； ； ， 要使得有三个解，故，， 且，，是方程的根， 由于对称性，为了简化研究，只研究的情况， ， 根据常数项知：，根据对称性知：， ，且， 故，即， . 当时，取得最大值，此时. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导数求函数的单调性，参数范围问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据对称性将，转为为的函数关系，再根据二次函数性质求解是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $