第一章 数列（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第一册）

第一章 数列（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）在等差数列中，，则（    ） A．16 B．24 C．60 D．72 【答案】C 【解析】．故选：C 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，当时，，故D错误.故选：B. 3．（23-24高二上·江苏南京·月考）若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】数列中，由，知，则， 又，于是， 而，所以.故选：A 4．（23-24高二上·甘肃定西·月考）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 【答案】C 【解析】因为等差数列和的前项和分别为和，且， 所以.故选：C 5．（23-24高二下·广东珠海·月考）若数列满足（且），则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因为且， 所以， 所以数列具有周期性，且，所以.故选：A. 6．（23-24高二下·辽宁·月考）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解析】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项.故选：D. 7．（23-24高二下·四川成都·月考）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则可推测（    ） A．271 B．331 C．1531 D．3067 【答案】A 【解析】由题意，，，， ，， 累加可得， 所以，故选：A 8．（23-24高二上·山东烟台·月考）等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 对于选项A：因为，且，所以，故A正确； 对于选项C：因为， 若，则； 若，则，即，， 所以； 若，则，即，， 所以； 若，则，即，， 所以； 综上所述：，故C正确； 对于选项BD：例如，则，符合题意， 但，故BD错误；故选：AC. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·四川南充·月考）满足下列条件的数列是递增数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确.故选：BD. 10．（23-24高二下·山西长治·期末）已知数列，满足，且，则（    ） A． B．当时，是等比数列 C．当时，是等差数列 D．当时，是递增数列 【答案】BCD 【解析】对于A，由已知有，故A错误； 对于B，当时，由于，且，故是等比数列，故B正确； 对于C，当时，由，归纳即知. 所以，从而，故是等差数列，故C正确； 对于D，当时，由于，故. 所以， 从而是递增数列，故D正确.故选：BCD. 11．（22-23高三上·山东临沂·期中）公差为的等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．中最大 D． 【答案】CD 【解析】A：由，得， 由，得，所以，所以，故A错误； B：由选项A的分析知，，故B错误； C：因为，，，所以数列是递减数列， 其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确； D：由选项A的分析知，，，， 所以，且，即，所以，故D正确.故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·广东佛山·月考）在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为 ． 【答案】27 【解析】令插入的3个数依次为，即成等差数列， 因此，解得， 所以插入的3个数之和为． 13．（23-24高二下·安徽合肥·月考）在等比数列中，前项和为，，，则 . 【答案】1270 【解析】由题意得成等比数列， 故成等比数列， 从而，解得， 同理可得，解得， ，解得， ，解得， ，解得. 14．（23-24高二下·陕西西安·月考）已知数列满足，，则 ． 【答案】 【解析】由数列满足，， 可得， 又由，所以 因为，可得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二下·吉林白城·月考）已知数列的通项公式为. (1)判断是不是数列中的项； (2)试判断数列中的项是否都在区间内． 【答案】(1)不是数列中的项；(2)数列中的项都在区间内 【解析】（1）， 由，解得， 又因为，所以不是数列中的项； （2）， 因为，所以，所以， 所以， 所以数列中的项都在区间内. 16．（15分）（23-24高二上·甘肃定西·月考）已知等差数列的前项和为，与的等差中项为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意可知，，， 所以，解得：，， 所以； （2）由（1）可知，，，当时，， 所以当时， ， 当时， ， ， ， 所以. 17．（15分）（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为d的等差数列，令，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）由，得， 整得，得， 又，所以， 故，． 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 故，从而． （2）依题意，得 所以 从而 . 18．（17分）（23-24高二下·四川眉山·月考）在数列{an}中，． (1)求出，猜想的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想． (2)令，为数列的前n项和，求． 【答案】(1)，，，证明见解析；(2) 【解析】（1）∵， ∴ 因此可猜想: ； 当时，，等式成立， 假设时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立， 综上所述，对任意自然数，. （2）， ① ② 由①-②得： 19．（17分）（22-23高二下·广西柳州·月考）已知等差数列的前项和为，，.数列满足，为数列的前项和 (1)求的通项公式； (2)求证 (3)是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在，. 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得，， 所以. （3）由（2）知，，， 若存在正整数，使得成立，则，解得， 所以存在正整数，使得成立，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数列（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）在等差数列中，，则（    ） A．16 B．24 C．60 D．72 2．（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南京·月考）若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（23-24高二上·甘肃定西·月考）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 5．（23-24高二下·广东珠海·月考）若数列满足（且），则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 6．（23-24高二下·辽宁·月考）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 7．（23-24高二下·四川成都·月考）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则可推测（    ） A．271 B．331 C．1531 D．3067 8．（23-24高二上·山东烟台·月考）等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·四川南充·月考）满足下列条件的数列是递增数列的有（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·山西长治·期末）已知数列，满足，且，则（    ） A． B．当时，是等比数列 C．当时，是等差数列 D．当时，是递增数列 11．（22-23高三上·山东临沂·期中）公差为的等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．中最大 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·广东佛山·月考）在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为 ． 13．（23-24高二下·安徽合肥·月考）在等比数列中，前项和为，，，则 . 14．（23-24高二下·陕西西安·月考）已知数列满足，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二下·吉林白城·月考）已知数列的通项公式为. (1)判断是不是数列中的项； (2)试判断数列中的项是否都在区间内． 16．（15分）（23-24高二上·甘肃定西·月考）已知等差数列的前项和为，与的等差中项为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 17．（15分）（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为d的等差数列，令，求数列的前n项和. 18．（17分）（23-24高二下·四川眉山·月考）在数列{an}中，． (1)求出，猜想的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想． (2)令，为数列的前n项和，求． 19．（17分）（22-23高二下·广西柳州·月考）已知等差数列的前项和为，，.数列满足，为数列的前项和 (1)求的通项公式； (2)求证 (3)是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$