2024年亚太地区数学奥林匹克竞赛试题

2024年亚太地区数学奥林匹克 1.如图，在锐角△ABC中，D,E分别为边AB,AC上的点，满足BC‖ DE.设X是四边形BCED内的一点，射线DX,EX分别交边BC于点P,Q. 设△BQX,△CPX的外接圆交于另一点Y,求证：A,X,Y三点共线， D B 2.在一个100×100的方格表中，用(a,b)表示第a行第b列的格.对整 数51≤k≤99，一个k-马一次沿水平或竖直方向移动1格且沿另一个方 向移动k格.k-马初始时位于格(1,1)，一个移动序列是指格的序列(xo,o)= (1,1),(x1,1),·,(xn,n),满足对i=1,2,·,n,1≤x,≤100，且k-马能 由(x-1,-1)移动至(，).格(x,)都称是可到达的.对每个k,求可到达的 格的个数L() 3.设n是正整数，a1,a2,·,an是正实数.求证： ()≥1+。 1 2n 1 4.求证：对任意正整数t,存在0,1，·，t-1的唯一排列a0,a1,·,a4-1,满 足对任意0≤i≤t-1,C4:是奇数且2a,≠t+i. 5.如图，在圆内接四边形ABCD中，直线1与边BC,AD分别交于内点R,S, 且与DC的延长线交于点Q,与BA的延长线交于点P.设△QCR,△QDS的外 接圆交于另一点N,△PAS,△PBR的外接圆交于另一点M.直线MP,NQ交于 点X,直线AB,CD交于点K,直线BC,AD交于点L.求证：X在直线KL上 B D 2