精品解析：上海市杨浦区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年上海市杨浦区高一年级下学期 期中数学试卷 2024.4 一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题每个空格填对得3分，否则一律得0分. 1. 函数的最小正周期是______. 2. 已知，则的值是______. 3. 若，则的值是______. 4. 若，则的值是______. 5. 函数的定义域是______. 6. 已知扇形的圆心角为，半径长为6，扇形的面积______. 7. 若，则__________． 8. 已知，则的值是______. 9. 函数的值域是______. 10. 关于x的方程的解集是__________． 11. 甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价5%，例如：甲店这款减价服装第1天售价为480元，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完，则从第______天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店. 12. 定义集合且，设全集为，集合满足，则下列结论正确的是______（填序号） ①；②；③；④；⑤ 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设为实数，则下列命题为真命题的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 15. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 16. 对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①正确②正确 D. ①错误②错误 三、解答题 (本大题满分50分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围 （2）若，求实数的值 18. 解下列不等式： （1） （2） 19. 是否存在正数，使是偶函数，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 20. 某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． （1）小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． （2）小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 21. 若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P （1）判断函数是否具有性质P，并说明理由； （2）若函数具有性质P，求出和的值 （3）若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年上海市杨浦区高一年级下学期 期中数学试卷 2024.4 一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题每个空格填对得3分，否则一律得0分. 1. 函数的最小正周期是______. 【答案】 【解析】 【分析】直接用正弦函数的周期性回答即可. 【详解】由正弦函数的周期性知：的最小正周期是. 故答案为：. 2. 已知，则的值是______. 【答案】12 【解析】 【分析】根据指数幂的运算，即可得答案. 【详解】由题意得， 故答案为：12 3. 若，则的值是______. 【答案】16 【解析】 【分析】将对数式化为指数式可得. 【详解】由可得， 所以. 故答案为：16 4. 若，则的值是______. 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用诱导公式计算即可. 【详解】根据诱导公式知：. 故答案为：2. 5. 函数的定义域是______. 【答案】. 【解析】 【分析】化分数指数幂为根式，再由分母不为0即可求得定义域. 【详解】因为函数，所以其定义域为. 故答案为：. 6. 已知扇形的圆心角为，半径长为6，扇形的面积______. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形面积公式求解. 【详解】因为扇形的圆心角为，半径长为6， 所以扇形的面积是， 故答案为： 7. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算. 【详解】. 故答案为：. 8. 已知，则的值是______. 【答案】-1 【解析】 【分析】由余切公式及两角和的正切公式求解． 【详解】， 故答案为：-1 9. 函数的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用整体思想先求真数的范围，再根据对数函数的单调性计算即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递增， 所以. 故答案为：. 10. 关于x的方程的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用零点分段法，去绝对值解方程. 【详解】当时，恒成立， 当时，，解得：不成立， 当时，，解得：，不成立， 当时，恒成立， 综上可知方程的解集是. 故答案为： 11. 甲乙两家服装店同时对一款原价500元的服装减价促销，甲店每天比前一天减价20元，乙店每天比前一天减价5%，例如：甲店这款减价服装第1天售价为480元，乙店的第1天售价475元，假设甲乙两店的这款减价服装在20天内均没有售完，则从第______天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店. 【答案】11 【解析】 【分析】设从第天起，由题设条件列出不等式，再借助计算器计算即得. 【详解】假设从第天起，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店， 则，整理得， 由计算器计算， 当时，， 当时，， 所以从第11天开始，甲店这款减价服装的售价开始低于乙店. 故答案为：11 12. 定义集合且，设全集为，集合满足，则下列结论正确的是______（填序号） ①；②；③；④；⑤ 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】依题意可得且，再一一判断即可. 【详解】因为且，且， 且， 所以且，故③，⑤正确，①错误， 所以，，则，，故②正确，④错误. 故答案为：②③⑤ 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设为实数，则下列命题为真命题的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式的性质举反例进行判断即可． 【详解】对于A项，显然正确； 对于B项，当时，有，故B项错误； 对于C项，当时，满足，但此时，故C项错误； 对于D项，当时，满足，但此时，故D项错误， 故选：A 14. 已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用单调性的定义及充分、必要条件的定义即可. 【详解】显然由推不出函数单调，个别情况推不出整体的单调性，不满足充分性； 反之函数在区间是严格增函数，可知，满足必要性. 即“”是“函数在区间是严格增函数”的必要不充分条件. 故选:B 15. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合函数情况，即可得答案. 【详解】令函数，其定义域为R，满足 即为奇函数，故排除A，C 当时，，当时，，， 可知D中图象符合题意， 故选：D 16. 对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①正确②正确 D. ①错误②错误 【答案】A 【解析】 【分析】利用的关系，换元化简不等式左侧为，根据二次函数的性质得出不等式左侧的值域，再利用简易逻辑用语及不等式的恒能成立一一判定结论即可. 【详解】记 ， 令，则， 因为，所以，， 所以， 令，上式化为，， 易知对称轴，由二次函数的性质易知时单调递增， 即，， 所以. 显然恒成立，即当时，恒成立， 故①正确； 显然当时，， 不存在使得成立，故②错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先利用同角三角函数的和积关系化简不等式左侧，再利用换元法转化为求二次函数定区间的值域，结论①②分别对应恒能成立问题，结合集合包含关系判定即可. 三、解答题 (本大题满分50分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围 （2）若，求实数的值 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【小问1详解】 若，则， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 若，则 即实数的值为2. 18. 解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接去绝对值符号解一元一次不等式即可； （2）移项化简分式不等式计算即可. 【小问1详解】 由， 整理得，即； 【小问2详解】 由， 整理得，即. 19. 是否存在正数，使是偶函数，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】存在，，理由：函数的定义域为，要使是偶函数，则， 即，则，所以，解得：， 所以当时，是偶函数. 【解析】 【分析】利用偶函数的定义求解即可. 【详解】略 20. 某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． （1）小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． （2）小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 【答案】（1）10米 （2）ND为米 【解析】 【分析】（1）先得到，，由正弦定理求出，求出； （2）设，则，，利用正切差角公式表达出，由基本不等式求出最值，得到答案. 【小问1详解】 由题意知，⊥，由勾股定理得， 且可知， ， 由正弦定理可得， 则体育馆的高度为10米. 【小问2详解】 设，则，， ， 当且仅当时，取到最大值，即米时，观看效果最佳． 21. 若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P （1）判断函数是否具有性质P，并说明理由； （2）若函数具有性质P，求出和的值 （3）若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 【答案】（1）不具有，理由见解析； （2）； （3）2个 【解析】 【分析】（1）由新定义知识判断即可； （2）结合新定义及取特殊值求解即可； （3）当时，，再结合函数的图象进行求解． 【小问1详解】 令， 故， 则不具有性质P． 【小问2详解】 若函数具有性质P， 则， 又，则取，有， ， 则有， 即， ， 又． 【小问3详解】 当时， 具体如图所示 则方程的解的个数为2个． 【点睛】关键点点睛：第三问中，要求出当时函数解析式，并画出函数的图象进行求解，要充分利用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $