江苏省泰州市姜堰励才实验学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

江苏省泰州市姜堰励才实验学校2023-2024学年八年级下学期期末 数学试题 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）以3，4为两实数根的一元二次方程为（　　） A．x2+7x+12＝0 B．x2﹣7x+12＝0 C．x2﹣7x﹣12＝0 D．x2+7x﹣12＝0 2．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝4，那么AP的长是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 4．（2分）某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产该产品450台，设二、三月平均每月增长率为x，根据题意列出方程是（　　） A．150（1+x）2＝450 B．150（1+x）+150（1+x）2＝450 C．150（1+2x）2＝450 D．150（1+x）2＝600 5．（2分）下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 6．（2分）下列条件：①∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A'＝45°，A'B'＝16，A'C'＝20；②∠A＝47°，AB＝1.5，AC＝2，∠B'＝47°，A′B′＝2.8，B'C'＝2.1；③AB＝BC＝2，AC＝3，A'B'＝B'C'＝4，A'C'＝6，其中能判定△ABC与△A'B'C'相似的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.） 7．（2分）若，则＝　 　． 8．（2分）如图，△ABC∽△AED，∠AED＝40°，∠A＝60°，则∠C＝　 　． 9．（2分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为　 　． 10．（2分）如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，则AC＝　 　． 11．（2分）如图，DE∥AB，FD∥BC，＝，AB＝18cm，BC＝12cm，则平行四边形BEDF的周长是 　 　cm． 12．（2分）如图，已知△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．当t为 　 　时，△APQ和△ABC相似． 三、解答题（本大题共6小题，共36分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+1＝0． （1）有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）如果方程的两根之和等于两根之积，求k的值． 14．（5分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且CD2＝AD•BD． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的大小． 15．（5分）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 16．（5分）如图，已知＝＝，试说明：∠ABD＝∠EBC． 17．（6分）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE．过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ． （1）求证：△PBE∽△QAB； （2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由． 18．（10分）综合与探究 【知识回顾】 在锐角△ABC中，点D是AB上的一点． （1）如图1，点E是AC边上的一点，且DE∥BC，证明：； 【逆向思考】 （2）如图2，请用尺规作图在AC边上找一点E，使得； 【深入研究】 （3）若点E是AC边上的一点，且，则DE∥BC是否一定成立？如不一定，请添加一个条件：△ABC中满足 　 　时，结论一定成立． （4）在（3）成立的条件下，请证明DE∥BC． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）以3，4为两实数根的一元二次方程为（　　） A．x2+7x+12＝0 B．x2﹣7x+12＝0 C．x2﹣7x﹣12＝0 D．x2+7x﹣12＝0 【解答】解：以3，4为两实数根的一元二次方程为x2﹣7x+12＝0． 故选：B． 2．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝4，那么AP的长是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点， 且AP是较长线段； 则AP＝4×＝2﹣2． 故选：A． 3．（2分）已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1． ∴＝＝﹣2 故选：D． 4．（2分）某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产该产品450台，设二、三月平均每月增长率为x，根据题意列出方程是（　　） A．150（1+x）2＝450 B．150（1+x）+150（1+x）2＝450 C．150（1+2x）2＝450 D．150（1+x）2＝600 【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：150（1+x）， 三月份生产机器为：150（1+x）2； 又知二、三月份共生产450台； 所以，可列方程：150（1+x）+150（1+x）2＝450． 故选：B． 5．（2分）下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，． A、三角形三边分别是2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误； C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成比例，故D选项正确． 故选：D． 6．（2分）下列条件：①∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A'＝45°，A'B'＝16，A'C'＝20；②∠A＝47°，AB＝1.5，AC＝2，∠B'＝47°，A′B′＝2.8，B'C'＝2.1；③AB＝BC＝2，AC＝3，A'B'＝B'C'＝4，A'C'＝6，其中能判定△ABC与△A'B'C'相似的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：①由∠A＝∠A′，＝＝，判定△ABC∽△A'B'C'相似，故①符合题意； ②由∠A＝∠B′，＝＝，判定△ABC∽△B′C′A′，故②符合题意； ③由＝＝＝，判定△ABC∽△A'B'C'相似，故③符合题意． ∴能判定△ABC与△A'B'C'相似的有3个． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.） 7．（2分）若，则＝　　． 【解答】解：∵， ∴＝＝． 故答案为：． 8．（2分）如图，△ABC∽△AED，∠AED＝40°，∠A＝60°，则∠C＝　80°　． 【解答】解：∵∠AED＝40°，∠A＝60°，∠A+∠ADE+∠AED＝180°， ∴∠ADE＝80°， ∵△ABC∽△AED， ∴∠C＝∠ADE＝80°， 故答案为：80°． 9．（2分）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为　（100﹣x）（80﹣x）＝7644　． 【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有 （100﹣x）（80﹣x）＝7644， 故答案为：（100﹣x）（80﹣x）＝7644． 10．（2分）如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，则AC＝　15　． 【解答】解：∵：l1∥l2∥l3， ∴＝， ∵AB＝6，DE＝5，EF＝7.5， ∴BC＝9， ∴AC＝AB+BC＝15， 故答案为：15． 11．（2分）如图，DE∥AB，FD∥BC，＝，AB＝18cm，BC＝12cm，则平行四边形BEDF的周长是 　28　cm． 【解答】解：∵DF∥BC， ∴， ∴， ∴DF＝8cm， ∵DE∥AB， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴DE＝6cm， ∴平行四边形BEDF的周长＝（8+6）×2＝28（cm）． 故答案为：28． 12．（2分）如图，已知△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．当t为 　s或s　时，△APQ和△ABC相似． 【解答】解：由题意得：BP＝2t cm，AP＝（10﹣2t）cm，AQ＝2t cm， ∵82+62＝102， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB是直角三角形，∠C＝90°， ∵△APQ和△ABC有公共角∠A， ∴只要∠AQP或APQ等于∠C，△APQ和△ABC就相似， （1）当∠AQP＝∠C＝90°时，△APQ∽△ABC， ∴＝， 即＝， 解得：t＝； （2）当∠APQ＝∠C＝90°时，△APQ∽△ACB， ∴＝，即＝， 解得：t＝； 综上所述，t为s或s时，△APQ和△ABC相似， 故答案为：s或s． 三、解答题（本大题共6小题，共36分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+1＝0． （1）有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）如果方程的两根之和等于两根之积，求k的值． 【解答】解：（1）因为方程有两个不相等的实数根， 所以Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＞0， 解得k＜， 所以k的取值范围是． （2）由题知， 该方程的两根之和为﹣2k+1，两根之积为k2+1． 因为方程的两根之和等于两根之积， 所以﹣2k+1＝k2+1， 解得k1＝0，k2＝﹣2． 因为k≤时方程有实数根， 所以k＝0舍去， 所以k＝﹣2． 14．（5分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且CD2＝AD•BD． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的大小． 【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， 又CD2＝AD•BD，即＝， ∴△ACD∽△CBD； （2）解：∵△ACD∽△CBD， ∴∠A＝∠BCD， 在△ACD中，∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， 即∠ACB＝90°． 15．（5分）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 【解答】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元． 根据题意，得[（3﹣2）﹣x]（200+）﹣24＝200． 方程可化为：50x2﹣25x+3＝0， 解这个方程，得x1＝0.2，x2＝0.3． 为了促销，x＝0.3， 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元． 16．（5分）如图，已知＝＝，试说明：∠ABD＝∠EBC． 【解答】证明：∵＝＝， ∴△ABC∽△DBE（三边对应相等的两个三角形相似）， ∴∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式的基本性质）， ∴∠ABD＝∠EBC． 17．（6分）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE．过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ． （1）求证：△PBE∽△QAB； （2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵∠PBE+∠ABQ＝90°，∠PBE+∠PEB＝90°， ∴∠ABQ＝∠PEB． 在△PBE与△QAB中， ∵∠ABQ＝∠PEB，∠BPE＝∠AQB＝90°， ∴△PBE∽△QAB． （2）解：△PBE和△BAE相似． ∵△PBE∽△QAB， ∴＝． ∵BQ＝PB， ∴＝． 又∵∠EPB＝∠EBA＝90°， ∴△PBE∽△BAE． 18．（10分）综合与探究 【知识回顾】 在锐角△ABC中，点D是AB上的一点． （1）如图1，点E是AC边上的一点，且DE∥BC，证明：； 【逆向思考】 （2）如图2，请用尺规作图在AC边上找一点E，使得； 【深入研究】 （3）若点E是AC边上的一点，且，则DE∥BC是否一定成立？如不一定，请添加一个条件：△ABC中满足 　AB＝BC　时，结论一定成立． （4）在（3）成立的条件下，请证明DE∥BC． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴； （2）解：如图所示，点E为所求解； （3）解：不一定成立，当AB＝BC时，结论一定成立， 故答案为：AB＝BC； （4）证明：∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∵， ∴AD＝DE， ∴∠A＝∠AED， ∴∠C＝∠AED， ∴DE∥BC． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/8 12:15:32；用户：19944531502；邮箱：19944531502；学号：54883509 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$