精品解析：2024届江苏省南京东山外国语学校高考二模数学试卷

2023-2024学年高三下学期南京市东山外国语4月二模数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 曲线在原点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（ ） A. B. 2 C. D. 6. 遗忘曲线由德国心理学家研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力.该曲线对人类记忆认知产生了重大影响.设初次记忆后经过了小时，那么记忆率近似的满足.则记忆率为时，所经过的时间约为（ ） (参考数据:) A. 2小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 7. 设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，且，为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩分为四组，分别为，得到频率分布直方图如图所示，则（ ） A. B. 这组样本数据的分位数为88 C. 若从这100名学生成绩不低于80分的学生中，随机抽取3人，则此3人的分数都不低于90分的概率为 D. 若用样本的频率估计总体，从该校高中学生中随机抽199人，记“抽取199人中成绩不低于90的人数为”的事件为，则最大时，. 10. 若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 11. 在棱长为1的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则三棱锥外接球的表面积为 B. 若，则异面直线与所成角的余弦值为 C. 若，则面积的最小值为 D. 若存在实数使得，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有8道单选题（每题都是四个选择），某学生对其中6道有思路，2道题完全没有思路.假设有思路的题都能做对，没有思路的题仅能随机猜，那么从8题中随机选择1题，此学生能够做对的概率为________. 13. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过原点O的直线l：与C交于A，B两点，O为坐标原点.若，则的面积为______. 14. 已知函数在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，为的导函数. （1）若，求证：； （2）若对任意，，求的取值范围. 16. 在中，内角的对边分别为，，且， （1）求； （2）线段上一点，满足，求边的长. 17. 如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 18. 在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. （1）求抛物线的方程； （2）若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 19. 设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项和为，已知对任意整数属于，当时，都成立. （1）设，，求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高三下学期南京市东山外国语4月二模数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出全集，再应用补集及并集定义计算即可. 【详解】由题意，，故. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件定义判断即可. 【详解】由题意，但不能得出, 是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法运算求得，结合复数模长公式即可求解. 【详解】由题意，，，故. 故选：B. 4. 曲线在原点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意原点在题述曲线上，故只需求得即可得解. 【详解】由题意，令，，则， 又，故切线方程为. 故选：D. 5. 分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】由题意，， 易知为的中位线，且，所以的边长为2， 结合投影可知，，故. 故选:D. 6. 遗忘曲线由德国心理学家研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力.该曲线对人类记忆认知产生了重大影响.设初次记忆后经过了小时，那么记忆率近似的满足.则记忆率为时，所经过的时间约为（ ） (参考数据:) A. 2小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】C 【解析】 【分析】令，代入函数，结合指数对数的运算求解即可. 【详解】由题意，当时，，，. 故选：C. 7. 设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，利用勾股定理可以求出的长度，进而通过，可以得到的长度，再次应用勾股定理，求出的长度，最后根据为椭圆上一点，运用椭圆的定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】由题意，，， 因为直线与以为圆心、为半径的圆切， 所以， 因此由勾股定理可知， 又，所以，因此， 由勾股定理可得， 根据椭圆定义，， . 故选：B 8. 已知实数，且，为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增，且，因为 所以，所以，即， 又，所以，所以，即，综上，. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩分为四组，分别为，得到频率分布直方图如图所示，则（ ） A. B. 这组样本数据的分位数为88 C. 若从这100名学生成绩不低于80分的学生中，随机抽取3人，则此3人的分数都不低于90分的概率为 D. 若用样本的频率估计总体，从该校高中学生中随机抽199人，记“抽取199人中成绩不低于90的人数为”的事件为，则最大时，. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由频率之和为1结合频率分布直方图数据即可求解；对于B，先求出成绩在和内的频率，进而判断分位数的范围即可根据百分位数的定义直接进行求解；对于C，分别求出成绩不低于80分和不低于90分的人数，即可求解概率；对于D，先由频率分布直方图得成绩不低于90分的概率，接着由二项分布概率公式求出，再令即可求解. 【详解】对于A，由频率分布直方图得，故A对； 对于B，由频率分布直方图结合选项A可知： 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 所以分位数在80到90分之间，故分位数为，故B对； 对于C，成绩不低于80分的共有人，不低于90分的共有人， 则随机抽取3人，则此3人的分数都不低于90分的概率，故C错； 对于D，由频率分布直方图可知，成绩不低于90分的概率， 由题意，由题意， 令即， 所以即， 解得，故为29或30，故D错. 故选：AB. 10. 若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，令即可验算；对于B，令即可判断；对于C，令，得，进一步结合奇函数的定义即可求解；对于D，首先说明4是的周期，故只需求出的值即可验算. 【详解】A中：令，得，又，所以，故A不选； B中：令得，，所以，而的定义域是全体实数，所以为偶函数，故B选； C中：令，得，所以， 又，而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C选； D中：,所以，所以， 故4是的周期，又，所以，故D选. 故选：BCD. 11. 在棱长为1的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则三棱锥外接球的表面积为 B. 若，则异面直线与所成角的余弦值为 C. 若，则面积的最小值为 D. 若存在实数使得，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据长方体的外接球即可求解A，建立空间直角坐标系，即可根据向量的坐标运算，结合模长公式以及夹角公式即可求解BD，根据线面垂直的性质可得在线段上运动，，即可根据面积公式求解. 【详解】A：由题意，与重合， 故三棱锥的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同， 故半径，表面积为，故对； B：以为原点建系，，，，，， 由，所以， ，，，故B错； C：由得，在线段上运动，设在底面的投影为，连接， 由于，所以，故， 连接相交于，连接， ，当重合时取等号，故C错； D：由 得，，，， 由可得， 所以，，， 当时，，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有8道单选题（每题都是四个选择），某学生对其中6道有思路，2道题完全没有思路.假设有思路的题都能做对，没有思路的题仅能随机猜，那么从8题中随机选择1题，此学生能够做对的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求解. 【详解】， 故答案为：. 13. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过原点O的直线l：与C交于A，B两点，O为坐标原点.若，则的面积为______. 【答案】2 【解析】 【分析】先得到平行四边形为矩形，设，则，由勾股定理得到方程，从而求出三角形的面积. 【详解】由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 因为，所以平行四边形为矩形， 故，， 不妨设点A在C的右支上，，则， 所以，得， 所以. 故答案为：2 14. 已知函数在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数单调区间以及零点个数求出周期的范围，即可解得的取值范围. 【详解】不妨设函数的周期为， 因为在区间上单调，可得，解得； 又，可得且，解得； 又在区间上恰有5个零点，所以，解得 综上可得，所以， 解得，即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，为的导函数. （1）若，求证：； （2）若对任意，，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由可求得，再根据基本不等式即可得出证明； （2）对函数求导并对参数进行分类讨论得出在上的单调性，得出其在上的最小值，解不等式即可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 此时，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立； 即 【小问2详解】 易知, ①因为，若或，则，，所以在上单调递增， 所以，所以或； ②若，则由，得，列表： 0 所以，所以； ③若，则，，所以在上递减， 所以，此时无解； 综上，的取值范围为. 16. 在中，内角的对边分别为，，且， （1）求； （2）线段上一点，满足，求边的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得.方法1：利用三角恒等变换可得，即可得结果；方法2：利用倍角公式可得，即可得结果； （2）方法1：利用向量可得，再根据数量积整理可得，结合余弦定理运算求解；方法2：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合解得，即可得结果. 【小问1详解】 因为，可化为， 方法1：因为，则，整理可得， 又因为，则，可得，解得； 方法2：因为，，则，，可得， 则，即， 又由，得，则，即. 【小问2详解】 方法1：因为线段上一点，，，则， 即，可得， 两边平方得， 又因为，则，可得①， 在中，由余弦定理得，可得②， 由①②消去常数项得，，代入②得； 方法2：在中，因为，则，可得，， 在和中，由正弦定理得， 则，整理可得， 代入，解得(舍去)或， 所以. 17. 如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据线面平行，面面平行定理即可证明； (2)建立合适坐标系，将各个点用坐标表示出来，再根据向量垂直列出方程式，求解即可 【小问1详解】 因为，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，， 所以平面平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点，因为， 所以，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为，故可建立如图所示的空间直角坐标系. 在四边形中，因为，，，， 所以，所以， 因为，所以， 所以，，，，，，， ，， 设，则， 设为平面的法向量， 则，即，故取， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 两边同时平方得 所以，解得，或（舍去）， 所以，所以. 【点睛】关键点点睛：需要构造合适的坐标系，根据各个边的长度确定其各个点坐标，用坐标表示向量，设出平面的法向量，代入可解得. 18. 在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. （1）求抛物线的方程； （2）若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 【答案】（1）或 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分类讨论焦点所在位置，结合抛物线的标准方程运算求解； （2）根据题意可得.①求得，进而可得直线，联立求点得坐标，即可得方程；②联立方程，利用韦达定理可证直线经过定点，即可得结果. 【小问1详解】 若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 综上所述：抛物线的方程为或. 【小问2详解】 因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为， 且,， ①当经过抛物线的焦点时，令，得， 在中，令，得， 又因为，则，可得直线， 由，解得或，即， 所以直线，即； ②设，，， 由，消去整理得， 所以，，， 且，即， 则， 令，得 ， 所以直线经过定点， 所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 19. 设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项和为，已知对任意整数属于，当时，都成立. （1）设，，求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列定义可得答案； （2）方法1：利用递推得是公差为等差数列，求出；方法2：利用递推得是公差为等差数列，求出； 【小问1详解】 因为，所以时，， 又，所以时，， 即，又，所以为公差为4等差数列， 所以，所以时，， 所以； 【小问2详解】 方法1： ，所以时，， 即①， 所以时，②， 所以时，由得，③， 同理，时，④， 由③得，时，， 所以时，两式相加得， 即，结合④得，时，， 即， 所以时，， 设，则时，， 由得，时，， 所以， ， 所以时，， 所以是公差为等差数列，所以时，， 又由①得，所以， 又，， 所以，所以，又，所以，， 所以时，符合此式， 所以. 方法2： ，所以时，， 即①， 所以时，②， 所以时由得，③， 同理，时，④， 由③得，成等差数列，设公差为, 成等差数列，设公差为； 由④得，成等差数列，公差为， 成等差数列，设公差为； 成等差数列，设公差为； 所以，， ， ，所以， 又由①得，所以⑤， 同理 ， 所以，与⑤联立解得， 所以， 故，， 所以时，符合此式， 所以. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是要求，得求出的递推关系式，而由求出的递推关系式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $