精品解析：山东省烟台招远市（五四制）2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末考试初三数学试题 说明：1. 考试时间120分钟，满分120分． 2. 考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 某零件长 60 厘米，若该零件在设计图上的长是4 毫米，则这幅图的比例尺是（ ） A. 1：15 B. 1：150 C. 150：1 D. 1：1500 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺，先分别确定图上距离和实际距离，再求出比例尺即可． 【详解】由， 所以这幅图的比例尺为． 故选：B． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：， 或 ∴，， 故选：． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．根据比例的性质，由，得，则设，得到，，然后把，，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，得到，， ∴， 故选：A． 4. 一元二次方程 的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出，然后根据的值即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ， 一元二次方程没有实数根， 故选D． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是由根的判别式的正负判断一元二次方程根的情况． 5. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ） A. 0.8 B. 0.72 C. 1.8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键．由，可得出进而得出解出即可得出结论． 【详解】解： ， ， ， 故选：B 6. 若成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，以及解一元一次不等式，掌握二次根式有意义的基本条件是解题关键．根据二次根式的定义分别列出不等式，求解即可． 【详解】解：成立， ，， 解得：， 故选：C． 7. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，，，，可得，，即可证得；再根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，即可求解． 【详解】解：甲：根据题意得，，，， ∴，， ∴， ∴甲说法正确； 乙：根据题意得，，，则，， ∴，， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴乙说法不正确； 故选：A． 8. 观察下表，一元二次方程 的解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据图表数据找出一元二次方程等于时，未知数的值的范围，即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据图表可知：当时，， 当时，， ∴的解的范围是， 故选：． 9. 如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ） A. 第5条 B. 第6条 C. 第7条 D. 第8条 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的线段长，再根据矩形的宽求解即可． 【详解】解：如图，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边长为，即，过点A作于点G，交于点F， 由题意得，，， ∴设从顶点到这个正方形的线段长为， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴则这张正方形纸条是第7条， 故选：C． 10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（ ）步． A. 300 B. 250 C. 225 D. 150 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 能说明“不成立”的a的值是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据“当时，，当时，，”进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 13. 若a、b是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元二次方程的解，求代数式的值，运用了整体代入的思想．先根据一元二次方程根的定义得到，则化为，再利用根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 14. 如图，在中，D是边中点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N； ②以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点； ④过点作射线交于点 E： 若四边形的面积是60，则的面积为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角，相似三角形的性质和判定．根据尺规作图的步骤可得：，从而得出，进而判定，得出，即可求出，最后根据四边形的面积是60，求出结果即可． 【详解】解：∵D是边中点， ∴， 根据尺规作图的步骤可得：， ∴， ， ∴， ∴， ∵四边形的面积是60， ∴． 故答案为：20． 15. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n 行有n个点…，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和．则三角点阵中前________行的点数和是 325． 【答案】25 【解析】 【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，则前五行共有个点，前10行共有个点，前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，则，然后解方程，求的值即可．此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解题的关键是对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 【详解】解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 则前五行共有个点， 前10行共有个点， ， 前行共有个点， 然后求它们的和， 前行共有个点， 由题意可得：， 整理得， ， ，， 为正整数， ． 是前25行的点数之和； 故答案为：25 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，_____． 【答案】或5． 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，只能是∠EB′C为直角，即可求解；当点B′落在AD边上时，根据此时四边形ABEB′为正方形解答． 【详解】①AB=5，BC=12，则AC=13， 当△CEB′为直角三角形时，只能是∠EB′C为直角， 即A、B′、C三点共线， 设：BE=a=BE′，则CE=12-a，AB=AB′=5， B′C=AC-AB′=13-5=8， 由勾股定理得：（12-a）2=a2+82， 解得：a=， 故答案为． ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示． 此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=5． 综上所述，BE的长为或5． 【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题关键是确定当△CEB′为直角三角形时，只能是∠EB′C为直角，进而求解． 三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.） 17. （1）计算：． （2）解方程：（请用配方法解方程） 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、配方法解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）先根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质和完全平方公式计算，然后合并即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，． 18. 在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示． （1）将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ． （2）将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析，与位似，位似中心为原点，相似比为 【解析】 【分析】本题考查的是画旋转图形，位似图形的含义； （1）分别确定绕点O顺时针旋转 后的对应点，再顺次连接即可；再根据的位置可得其坐标； （2）先将的三个顶点坐标分别乘以，描出对应的点、、，再顺次连接，结合位似图形的含义可得答案； 【小问1详解】 解：如图，即为所求做的三角形； ∴ 【小问2详解】 解：由题意得：， 如图，即为所要求做的三角形． 与位似，位似中心为原点，相似比为． 19. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； （3）若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，解不等式即可得出答案； （2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可； （3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合题意求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得； 【小问2详解】 解：∵是符合条件的最大整数， ∴的值为6， ∴方程变形为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴， ∴的值为． 【小问3详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴的值为． 20. 如图，和相交于点，为上一点，连接、、．其中． （1）请根据题意从图中找到一对相似三角形，并给予证明； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据三角形相似的判定证明即可； （2）由（1）可得 ，从而得出，代入数据计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：或；（找到一对证明即可） 理由：∵， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得 ； ∴， ∴， ∴． 21. 某商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出2件． （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？ 【答案】（1）42； （2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润2100元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键． （1）先求出多售出的件数，再加上30件可得销售量； （2）设商品降价x元，再根据销售量乘以单间利润等于2100列出方程，求出解即可． 【小问1详解】 解：（件）． 故答案为：42； 【小问2详解】 解：设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为2100，根据题意，得 ， 解得，， ∵，， ∴， 即当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润2100元． 22. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 因为；所以， 所以，；所以， 所以． 请你根据小明的分析和解答过程，解决如下问题： （1）化简：（结果的分母中不含根号）； （2）若，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，代数式求值，对于（1），分子和分母都乘以，再计算化简即可； 对于（2），先化简求出a，进而得出，然后平方化简得，最后整体代入求值即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，即，所以， 所以． 23. 如图①，在中，.求作菱形，使点D在边上，点E、F在边上，点G在边上．小明的作法如下： 1.如图②，在边上取一点D，过点D作交于点G． 2.以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E． 3.在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形． 请结合小明的作法，解决以下问题： （1）证明小明所作的四边形是菱形． （2）若小明所作的四边形恰好是正方形，你能求出线段的长吗？ 【答案】（1） 证明：， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可； （2）设正方形的边长为，分别表示出，再根据计算即可； 本题考查菱形的判定和性质，正方形的性质，复杂作图等知识． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，当四边形是正方形时，设正方形的边长为． ， ， ∴， ∴ 在中，， ， ∴， ∴ 同理可求得： ， ∴ ∴， ∴， ∴线段的长为时，四边形恰好是正方形． 24. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： （1）方程的倒方程是 ． （2）若是的倒方程的解，求出c的值； （3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【小问1详解】 解：方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ 【小问3详解】 由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 25. 【基础巩固】 （1）如图 1，和是直角三角形，一锐角顶点重合于点 A，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在和中，直角顶点重合于点C，，点D在上，，且，连接，若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，点D为边上一点，，E为延长线上一点，，过点A作，交的延长线于点Q．请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，综合性强，难度大，属于压轴题．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形． （1）先由已知条件证明，由相似三角形的性质得出，，进一步可得出，，即可证明． （2）先由已知条件证明，由相似三角形的性质得出，进一步可得出，，即可证明．再由相似三角形的性质得出，设，，由勾股定理求出，代入即可得出答案． （3）在上截取，连接，由已知条件得出，由含直角三角形的性质可求，，再判定是等边三角形，由等边三角形的判定以及性质得出，再求出，通过证明，可求的长，即可求解． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴设，， 在中，由勾股定理得∶， 即 ∴， ∴ ∴ （3）解：如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 26. 已知关于 x，y 的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据原方程组变形得，，可得，即可求解． 【详解】解：把变形得，， ∵关于 x，y 的方程组的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 27. 如图，在正方形中，点E、F分别为对角线、的三等分点，连接并延长交于点G，连接，．若．则用含的代数式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，掌握性质与判定方法是解题的关键. 先证明 得出再证明得出由此推出 ，得到据此求解即可. 【详解】解：设与的交点为， ∵正方形中， 点E， F分别为对角线，的三等分点， ，， ， ， ， ， ∵点分别为对角线的三等分点， ， ∵正方形， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 28. 如图，在中，，，，点、分别是，上动点，且，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，取，连接，在上取，连接，过点作，取，连接，证明，得出，证明，得出，说明，得出当最小时，最小，根据当、、三点共线时，最小，且最小值为，求出最小值即可． 【详解】解：延长，取，连接，在上取，连接，过点作，取，连接，如图所示： ，，， ， 又，， 垂直平分， ， ， 又，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当最小时，最小， 当、、三点共线时，最小，且最小值为， 的最小值为： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质与判定，垂直平分线的性质等知识点，作出恰当的辅助线，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期末考试初三数学试题 说明：1. 考试时间120分钟，满分120分． 2. 考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 某零件长 60 厘米，若该零件在设计图上的长是4 毫米，则这幅图的比例尺是（ ） A. 1：15 B. 1：150 C. 150：1 D. 1：1500 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 19 4. 一元二次方程 的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ） A. 0.8 B. 0.72 C. 1.8 D. 2 6. 若成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 8. 观察下表，一元二次方程 的解的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ） A. 第5条 B. 第6条 C. 第7条 D. 第8条 10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（ ）步． A. 300 B. 250 C. 225 D. 150 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 能说明“不成立”的a的值是______．（写出一个即可） 12. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 13. 若a、b是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 14. 如图，在中，D是边中点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N； ②以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点； ④过点作射线交于点 E： 若四边形的面积是60，则的面积为________． 15. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n 行有n个点…，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和．则三角点阵中前________行的点数和是 325． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，_____． 三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.） 17. （1）计算：． （2）解方程：（请用配方法解方程） 18. 在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示． （1）将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ． （2）将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比． 19. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； （3）若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 20. 如图，和相交于点，为上一点，连接、、．其中． （1）请根据题意从图中找到一对相似三角形，并给予证明； （2）若，，求线段的长． 21. 某商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出2件． （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？ 22. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 因为；所以， 所以，；所以， 所以． 请你根据小明的分析和解答过程，解决如下问题： （1）化简：（结果的分母中不含根号）； （2）若，求的值 23. 如图①，在中，.求作菱形，使点D在边上，点E、F在边上，点G在边上．小明的作法如下： 1.如图②，在边上取一点D，过点D作交于点G． 2.以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E． 3.在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形． 请结合小明的作法，解决以下问题： （1）证明小明所作的四边形是菱形． （2）若小明所作的四边形恰好是正方形，你能求出线段的长吗？ 24. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： （1）方程的倒方程是 ． （2）若是的倒方程的解，求出c的值； （3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 25. 【基础巩固】 （1）如图 1，和是直角三角形，一锐角顶点重合于点 A，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在和中，直角顶点重合于点C，，点D在上，，且，连接，若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，点D为边上一点，，E为延长线上一点，，过点A作，交的延长线于点Q．请直接写出的值． 26. 已知关于 x，y 的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 27. 如图，在正方形中，点E、F分别为对角线、的三等分点，连接并延长交于点G，连接，．若．则用含的代数式表示为________． 28. 如图，在中，，，，点、分别是，上动点，且，连接，，则的最小值是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $