精品解析：2024届江苏省南京田家炳高级中学高考考前模拟数学试卷

2023-2024学年度高三下学期田家炳高中考前模拟数学试卷 一、单项选择题 1. 已知，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知、均为单位向量，且，则与的夹角大小为（ ） A. B. C. D. 4. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 5. 的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为（ ） A. B. 46 C. 61 D. 190 6. 已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. 8. 不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知复数z的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 一定是实数 C. 若复数，满足．则 D. 若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位数为18 B. 若随机变量，且，则． C. 袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球，记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则 D. 设随机事件A，B，已知，，，则． 11. 设O为坐标原点， F为抛物线C：的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线C交于M，N两点（点M在第二象限），当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. △MON的面积的最小值为 C. 存在直线，使得 D. 分别过点M，N且与抛物线相切的两条直线互相垂直 三、填空题 12. 若曲线与轴相切，则实数的值是______. 13. 设数列的前项和为，则满足的数列的一个通项______.（写出一个正确的答案即可，不必考虑所有情况） 14. 中，角A，B，C满足，则的最小值为______． 四、解答题 15. 在凸四边形中，已知 （1）若，求的值； （2）求四边形面积的最大值. 16. 如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. （1）若为的中点，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 17. 设函数，曲线在原点处的切线为x轴， （1）求a的值； （2）求方程的解； （3）证明： 18. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得分，出现两次音乐获得分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得分，设备次击鼓出现音乐的概率为.且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点； （2）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.设每盘游戏的得分为随机变量；请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 19. 已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为.当与轴垂直时， （1）求双曲线的标准方程； （2）若交轴于点，，. ①求证：为定值； ②若，当时，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度高三下学期田家炳高中考前模拟数学试卷 一、单项选择题 1. 已知，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算可求得实数的值，再利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得，所以，， 所以，，故， 因此，. 故选：A. 3. 已知、均为单位向量，且，则与的夹角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由模长公式求出，，进而由夹角公式求解即可. 【详解】因为，所以，即. ， 则， 因为，所以与的夹角大小为. 故选：C 4. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】由线面关系逐一判断即可. 【详解】对于A：由，，，可知、可能平行或相交，A错误； 对于B：由，，，则由线面平行的性质定理得，B正确； 对于C：由，，，，可知、可能平行或相交，C错误； 对于D：由，，可知或，D错误． 故选：B 5. 的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为（ ） A. B. 46 C. 61 D. 190 【答案】A 【解析】 【分析】令，由求得a，再利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】令，则，解得. 所以展开式中的系数是： . 故选：A. 6. 已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列．若存在两项使得，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件及等差中项的性质可得，结合可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题设，即，又为正项等比数列， 所以，， 由，则，即， 所以， 则， 当且仅当时等号成立，满足， 所以的最小值为2. 故选：B 7. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得,再利用正弦定理得关系，即得离心率. 【详解】因为为等腰三角形，，所以, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 8. 不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，通过导数判断的单调性，结合直线恒过定点，得到两函数的图象，结合题意得不等式组，解出即可. 【详解】由题意可知，， 设，. 由. 可知在上为减函数，在上为增函数， 的图象恒过点，在同一坐标系中作出，的图象如下， 若有且只有两个整数，，使得，且，则， 即，解得，故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题． 二、多项选择题 9. 已知复数z的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 一定是实数 C. 若复数，满足．则 D. 若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数与共轭复数的概念、复数的运算逐项判断即可. 【详解】当复数时，，，故A错； 设（a，），则，所以，故B对； 设（，），（，）， 由可得， 所以， 而，不一定为0，故C错； 设（a，），则为纯虚数． 所以，则，故D对． 故选：BD． 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位数为18 B. 若随机变量，且，则． C. 袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球，记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则 D. 设随机事件A，B，已知，，，则． 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可判断选项A；根据正态分布的性质计算即可判断选项B；根据条件概率的计算方法求解即可判断选项C；根据条件概率与对立事件的计算公式计算即可判断选项D. 【详解】对于A，共有10个数，， 所以数据的第80百分位数为16和20的平均数，即为18，故A正确． 对于B，因为，且， 所以， 则，故B正确． 对于C，因为， 所以，则，故C错误． 对于D，因为，， 所以， 又因为，所以， 则， 所以，故D正确． 故选：ABD. 11. 设O为坐标原点， F为抛物线C：的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线C交于M，N两点（点M在第二象限），当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. △MON的面积的最小值为 C. 存在直线，使得 D. 分别过点M，N且与抛物线相切的两条直线互相垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线定义结合三角函数可求，通过设直线的方程为，与抛物线联立则得到韦达定理式，而面积表达式，韦达定理式代入上式即可求出面积最值，求出则可判断C，利用导数的几何意义即可得到两切线斜率之积为，则可判断D. 【详解】作出如图所示图形： 对A，由抛物线定义及题意得， 即，解得，故A正确； 对B，，则，当直线的斜率不存在时，显然不合题意， 设 设直线的方程为，联立抛物线得 ，则， ， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对C， ， 故为钝角，则不存在直线，使得，故C错误； 对D，，即，故， 故在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为, 故斜率之积为，故相切的两条直线互相垂直，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 若曲线与轴相切，则实数的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，根据导数的几何意义列出方程组，求解即可. 【详解】令， 由题意知，切点为，则① 因为曲线与轴相切，所以② 联立①②可得，. 故答案为： 13. 设数列的前项和为，则满足的数列的一个通项______.（写出一个正确的答案即可，不必考虑所有情况） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】不妨设，根据等差数列求和公式进行验证即可. 【详解】不妨设，则， 故答案为：（答案不唯一） 14. 中，角A，B，C满足，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，利用三角函数的最值的求法求得的最小值. 【详解】依题意，， ， ，由正弦定理得， 所以，所以为锐角，且. ，由于且， 所以且， 所以， 所以，当，是等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】利用正弦定理或余弦定理来求角时，要注意角的范围，如，则可能是或.求解含角的表达式的最值或范围时，首先将表达转化为一个角的形式，如转化为等形式，再根据的范围求得的范围. 四、解答题 15. 在凸四边形中，已知 （1）若，求的值； （2）求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两次余弦定理得出，进而由和角公式得出的值； （2）由余弦定理得出，再由三角形面积公式结合三角恒等变换以及三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理可得， ， 则. 【小问2详解】 由余弦定理可得，且 ， 当，即时，四边形的面积取最大值. 且为 16. 如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. （1）若为的中点，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明：由已知得，取的中点T，连接， 由N为的中点知， ．又，故，且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形为平行四边形，有，再由线面平行的判定定理，得证； （2）取的中点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，建立如图所示的空间坐标系． ， 不妨设， 则， 设平面的一个法向量为， ， 取，则. 设直线与平面所成角为 . 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 17. 设函数，曲线在原点处的切线为x轴， （1）求a的值； （2）求方程的解； （3）证明： 【答案】（1）1 （2）0 （3） 要证，即证，即证 下证， 由（2）中单调递增且，得， 所以； 故可得证. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知在处的导数值为0，解方程即可； （2）构造函数，利用导数证明其单调性，再通过观察法得是的零点，从而得解； （3）利用（2）中结论证明，由此得证. 【小问1详解】 因为，所以， 因为曲线在原点处的切线为轴，所以，即. 【小问2详解】 由（1）知 所以方程可化为， 令，则， 所以在上单调递增，又，所以在上有唯一零点， 所以方程有唯一解. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是熟记两个常用重要的放缩不等式：（1），（2）. 18. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得分，出现两次音乐获得分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得分，设备次击鼓出现音乐的概率为.且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点； （2）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.设每盘游戏的得分为随机变量；请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【答案】（1） （2） 由题可设每盘游戏的得分为随机变量，则的可能值为， ， ， 所以， 令，则， 所以在单调递增； ∴，故有， 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知： 许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少. 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式求得，利用导数求得. （2）先求得的分布列，由此求得，利用导数求得. 【小问1详解】 由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为 ， ，由得，或(舍)， 当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最大值，即的最大值点； 【小问2详解】 略 19. 已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为.当与轴垂直时， （1）求双曲线的标准方程； （2）若交轴于点，，. ①求证：为定值； ②若，当时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再由结合三角形面积公式可求得，由此可得双曲线E的标准方程； （2）①由向量的坐标表示求得，代入双曲线方程得，同理可得，再由韦达定理即可得到，得证； ②由得到，结合①中结论可将式子化简为，再利用换元法与双勾函数的单调性即可求得m的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，， 则当l与x轴垂直时，不妨设， 由，得， 将代入方程，得，解得， 所以双曲线E的方程为． 【小问2详解】 ①设，，， 由与，得， 即，，将代入E的方程得：， 整理得：①， 同理由可得②． 由①②知，，是方程的两个不等实根． 由韦达定理知，所以为定值． ②又，即， 整理得：， 又，且，所以，则， 整理得，又，故， 而由①知，，故， 代入， 令，得， 由双勾函数在上单调递增，得， 所以m的取值范围为． 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $