精品解析：山东滨州惠民县2023-2024学年高一下学期期中阶段性质量检测数学试题

2023—2024学年第二学期阶段性质量检测 高一数学学科 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，那么向量可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，向量，，，则向量可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点A∈直线l，又A∈平面，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 的斜二测直观图如图所示，则的面积是（ ） A. B. C. D. 4 7. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 某圆柱的轴截面是面积为12的正方形，为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，过的面截球的截面圆周长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，，.则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 在复数范围内，为方程的根 10. 已知正方体，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点，使平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与直线的夹角为定角 D. 平面截正方体所得的截面是有一组对边平行的四边形 11. a、b、c为ABC的三边，下列条件能判定ABC为等腰直角三角形为（ ） A. 且 B. C. 且 D. :sinB:sinC=：： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度来判断降雨程度，其中小雨､中雨､大雨､暴雨，勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？__________. 13. 已知向量，其中，且，则向量与的夹角等于____； 14. 如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设， 则当时，函数的值域__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 16. 如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. （1）若，则的值 （2）若为中点，连接，交于点，求证. 17. 在锐角中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且的外接圆半径为． （1）求角C； （2）求AB边上的高h． 18. （1）已知直线a，b，平面满足：，，，求证： （2）已知直线a，b，平面，满足：，，，求证： （3）如图1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平面图形，其中，将图形沿AB、CD折起使得点E、F重合于点P，如图 利用（1）（2）问的结论判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由． 19. 在中，向量等式或，沟通了几何与代数的联系，利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量法的特性. （1）如图，的三个角角所对的边分别为，，，设为所在平面的一个单位向量，记向量与的夹角为.现构造等式，请你探究及时得到的结论； （2）已知是的平分线，请你用向量法证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期阶段性质量检测 高一数学学科 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算化简，然后由复数的几何意义判断即可. 【详解】，则其在复平面内对应点的坐标为，位于第三象限. 故选:C. 2. 已知向量，，那么向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的充要条件计算即可判断. 【详解】向量，，则存在，使得 故只有向量符合. 故选：A. 3. 如图，向量，，，则向量可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】由题图可知，. 故选：C. 4. 已知点A∈直线l，又A∈平面，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系判断． 【详解】点A∈直线l，又A∈平面，则与平面至少有一个公共点，所以或． 故选：D． 5. 如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可 【详解】因为，故，由正弦定理，，故m 故选：D 6. 的斜二测直观图如图所示，则的面积是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则，求出的底边及这边上的高即可计算得解. 【详解】依题意，由斜二测画法规则知，的底边，边上的高， 所以的面积是. 故选：D 7. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面， 所以①正确； 对于②中，由平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，所以②正确； 对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确； 对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面， 若平面平面，且平面平面，可得平面， 又因为平面，所以， 因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误. 故选：C. 8. 某圆柱的轴截面是面积为12的正方形，为圆柱底面圆弧的中点，在圆柱内放置一个球，则当球的体积最大时，过的面截球的截面圆周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件知当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切，作出图形后，计算求解截面圆的直径即可. 【详解】由题意知，当球的体积最大时，球与圆柱的上下底面及母线均相切， 因为正方形的面积为12，所以， 如图1，记所在底面的圆心为所在底面的圆心为， 平面与球的交线为圆形，如图即为截面圆的直径， 易知， 易知， 故，所以， 所以截面圆周长为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，，.则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 在复数范围内，为方程的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合复数模、共轭复数及复数的乘法逐项计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，都是虚数，不能比较大小，C错误； 对于D，由，得在复数范围内，为方程的根，D正确. 故选：ABD 10. 已知正方体，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点，使平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与直线的夹角为定角 D. 平面截正方体所得的截面是有一组对边平行的四边形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面平行、锥体体积、线线角、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，连接，则是的中点，连接交内切圆于， 由于平面，平面， 所以平面，也即平面，所以A选项错误. B选项，由于三角形的面积为定值，到平面的距离是定值， 也即到平面的距离为定值，所以为定值，B选项正确. C选项，设正方形的中心为，则平面， 由于平面，所以， 所以在以为轴，为母线的圆锥的底面圆的圆上， 所以与所成角为定值，也即直线与直线的夹角为定角，C选项正确. D选项，由于平面平面， 平面平面，设平面平面， 根据面面平行的性质定理可知，所以D选项正确. 故选：BCD 11. a、b、c为ABC的三边，下列条件能判定ABC为等腰直角三角形为（ ） A. 且 B. C. 且 D. :sinB:sinC=：： 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项通过向量的平行四边形法则以及向量垂直即可判断；B、C、D选项借助正弦定理以及三角恒等变换进行判断. 【详解】A选项：分别为方向上的单位向量，设为的角平分线，按照平行四边形法则知与共线，又，说明，即的角平分线与垂直，故ABC为等腰三角形，又，两边平方得，即，故，即ABC为等腰直角三角形，A正确； B选项：，由正弦定理得，即，可得或，即ABC为等腰或直角三角形，B错误； C选项：，由正弦定理得，即，可得，，又，即，，由正弦定理得，即，故，即ABC为等腰直角三角形， C正确； D选项：由正弦定理得，可得，即ABC为等腰直角三角形，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度来判断降雨程度，其中小雨､中雨､大雨､暴雨，勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？__________. 【答案】中雨 【解析】 【分析】先利用圆锥的体积公式求得水的体积，再利用圆柱的体积公式求得高即可. 【详解】解：由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥， 积水厚度， 这天降雨属于中雨. 故答案为：中雨. 13. 已知向量，其中，且，则向量与的夹角等于____； 【答案】##120° 【解析】 【分析】利用夹角公式求出向量与的夹角. 【详解】因为，所以，即， 所以，所以. 而，所以， 因为，所以. 故答案为： 14. 如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设， 则当时，函数的值域__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，所得截面可能是三角形，也可能是六边形，分别求出三角形与六边形周长的取值情况，即可得到函数的值域. 【详解】如图： ∵正方体的棱长为， ∴正方体的对角线长为6， ∵ （i）当或时，三角形的周长最小. 设截面正三角形的边长为，由等体积法得： ∴ ∴， （ii）或时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为， ∴ （iii）当时，截面六边形的周长都为 ∴ ∴当时，函数的值域为. 【点睛】本题考查多面体表面的截面问题和线面垂直，关键在于结合图形分析截面的三种情况，进而得出与截面边长的关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得. （2）利用复数除法及复数的分类求出即得. 【小问1详解】 由，得，而是实数， 于是，解得， 所以． 【小问2详解】 依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以． 16. 如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. （1）若，则的值 （2）若为中点，连接，交于点，求证. 【答案】（1）； （2） 易知，设， 易知三点共线，可得，即， 可得，即， 又三点共线，且， 所以，解得，则， 所以，，易知； 即可得. 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系利用向量的坐标表示联立方程组解得； （2）利用三点共线求出，即得. 【小问1详解】 如下图，以点为坐标原点，分别以方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则， 则， 由可得， 即，解得， 因此； 【小问2详解】 略 17. 在锐角中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且的外接圆半径为． （1）求角C； （2）求AB边上的高h． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦二倍角公式化简即可求解结果； （2）由正弦定理解得，再由余弦定理得，结合面积公式即可求解高h． 【小问1详解】 由得 则，因为，则，； 【小问2详解】 由正弦定理得，所以 由余弦定理得，又，所以； 由，得． 18. （1）已知直线a，b，平面满足：，，，求证： （2）已知直线a，b，平面，满足：，，，求证： （3）如图1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平面图形，其中，将图形沿AB、CD折起使得点E、F重合于点P，如图 利用（1）（2）问的结论判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图所示， （反证法）假设直线a与平面不平行， 由于，则a与相交，设， 若点上，则，这与矛盾， 若点上，则a与b是异面直线，这与相矛盾， 故假设不成立，原命题正确， 即 （2）证明：，，即， 与b没有公共点， 又，， 与b是同一个平面内没有公共点的两条直线， （3）平面PAB和平面PCD的交线平面ABCD，理由如下． 如图， ，平面PCD，平面PCD， 平面PCD， 平面PAB，平面平面， ， 平面ABCD，平面ABCD， 平面 【解析】 【分析】（1）由题意利用反证法，假设直线a与平面不平行，由此进行证明假设不成立，即可得到 （2）利用直线与平面平行的定义证明a与b没有公共点，利用直线与直线平行的定义证明a与b是同一个平面内没有公共点的两条直线，由此即可得到 （3）利用直线与平面平行的判定证明平面PCD，利用直线与平面平行的性质证明平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD平行． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 19. 在中，向量等式或，沟通了几何与代数的联系，利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量法的特性. （1）如图，的三个角角所对的边分别为，，，设为所在平面的一个单位向量，记向量与的夹角为.现构造等式，请你探究及时得到的结论； （2）已知是的平分线，请你用向量法证明：. 【答案】（1）；； （2） 设，如图，设,则 所以，设， 所以. 【解析】 【分析】（1）时，由数量积的定义和运算性质计算即得； 当时，，代入条件由数量积的定义和运算性质可得答案. （2）设，可得出，再由，从而得证 【小问1详解】 当时，，，同理， 由，得，即， 所以； 当时，，由，得，即 则或 因此，即. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $