精品解析：福建省龙岩市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

福建省龙岩市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第二册第六章至第八章8.5.2直线与平面平行. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （ ） A. B. C. D. 2. 复数的实部和虚部分别是（ ） A. 1，1 B. 1， C. ， D. ， 3. 下列结论正确的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C. 有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D. 棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 4. 是在斜二测画法下直观图，其中，则的面积是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 5. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定的 6. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定处，测得米，，则该河流的宽度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 在正四棱台中，，点为棱上动点（含端点），则的最小值是（ ） A. 6 B. C. 8 D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 用一个平面去截一个几何体，截面是四边形，则这个几何体可能是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 11. 对任意两个非零的平面向量和，定义：：；.若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能是（ ） A. 1 B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个棱台至少有______个面． 13. 在中，分别在边上，且，若，则______，线段与交于点，则______． 14. 如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是______． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. 如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积. 17. 在中，角，，的对边分别是，，，且，． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 18. 如图.正四棱台中，分别在棱上，且. （1）证明：平面. （2）证明：直线交于同一点. 19. 平面直角坐标系中，已知点． （1）①证明：． ②证明存在点，使得，并求出的坐标． （2）若点在四边形的四条边上运动，且将四边形分成周长相等的两部分，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省龙岩市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第二册第六章至第八章8.5.2直线与平面平行. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加减运算法则计算即可得答案. 【详解】易知. 故选：B 2. 复数的实部和虚部分别是（ ） A. 1，1 B. 1， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由复数代数形式的运算化简即可. 【详解】， 所以数的实部和虚部分别是1,1， 故选：A. 3. 下列结论正确的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C. 有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D. 棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥的定义即可判断A，举反例即可判断BC，根据棱台特点即可判断D. 【详解】对于A，底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才是正四棱锥，故A错误； 对于B，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误； 对于C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台， C错误； 对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D. 4. 是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法作出的图象再求解即可. 【详解】由题意，作出的图象可得，且，故. 故选：C 5. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算判断即得. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 令，由余弦定理得， 因此角为钝角，是钝角三角形. 故选：C 6. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面位置关系，逐项判断即得. 【详解】对于A，，则或，A错误； 对于B，，则或，B错误； 对于C，，则直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，C错误； 对于D，由线面平行的性质知，D正确. 故选：D 7. 如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定处，测得米，，则该河流的宽度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，再求出边上的高即可. 【详解】在中，由，得， ， 由正弦定理得，即， 因此边上的高为， 所以该河流的宽度是米. 故选：A 8. 在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数乘法可得，再结合共轭复数以及复数模长公式逐项分析判断. 【详解】因为， 所以，故AC错误，BD正确. 故选：BD. 10. 用一个平面去截一个几何体，截面是四边形，则这个几何体可能是（ ） A 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据各几何体的特征及截面的可能情况逐一判断即可. 【详解】对于A，用一个平面去截一个圆锥，截面不可能是四边形，则A不满足条件， 对于B，圆柱的轴截面是四边形，则满足条件． 对于C，用平行于一个侧面的平面去截三棱柱，截面是四边形，则满足条件． 对于，在三棱锥中，分别是棱的中点，所以，，所以，所以四边形是平行四边形，所以截面是四边形，则满足条件． 故选：BCD. 11. 对任意两个非零的平面向量和，定义：：；.若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得，，从而得，，分和分别求解即可. 【详解】因为，设向量和的夹角为， 则，由，得， 则，因此， 则， 当时，，又，则， 此时，， 当时，，又，则， 此时，， 所以或． 故选：AB 【点睛】关键点睛：对于新概念题，理解定义是关键，解答本题的关键是理解和的运算法则及基本不等式的应用. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个棱台至少有______个面． 【答案】5 【解析】 【分析】根据面数最少的棱台是三棱台，即可求解. 【详解】由题意，面数最少的棱台是三棱台，其中三棱台有个面． 故答案为：. 13. 在中，分别在边上，且，若，则______，线段与交于点，则______． 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】根据线性运算用表示出，对比已知即可得；设，用表示出，记，根据平面向量基本定理列方程组即可求得，然后得解. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则，故． 因为三点共线，所以． 因为，所以，所以． 因为三点共线，所以设，所以， 则解得，则． 故答案为：；9. 14. 如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用平行四边形性质，结合勾股定理求出周长函数关系，再求出函数的值域即可. 【详解】设，则，由，得，显然， 连接，由，，得， ， 因此的周长 显然，当，即时，，而时，， 所以的周长的取值范围是. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解； （2）由实部小于0与虚部大于得到不等式组，求出的取值范围． 【小问1详解】 是纯虚数， 故，解得. 【小问2详解】 因为在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得， 故的取值范围为． 16. 如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高.结合球的表面积公式与圆的面积公式，矩形的面积公式可求该几何体的表面积. （2）利用球的体积公式与圆柱的体积公式可求几何体的体积. 【小问1详解】 由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高. 由球的表面积公式可得半球的曲面面积， 由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积， 由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积， 故该几何体的表面积. 【小问2详解】 由球的体积公式可得半球的体积. 由圆柱的体积公式可得圆柱的体积. 故该几何体的体积. 17. 在中，角，，的对边分别是，，，且，． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论求出c，再利用余弦定理及三角形面积公式求解即得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得， 于是，而，即，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由余弦定理，得， 整理得，而，解得， 所以的面积. 18. 如图.在正四棱台中，分别在棱上，且. （1）证明：平面. （2）证明：直线交于同一点. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接，连接，利用面面平行的性质，线面平行的判定推理即得. （2）结合（1）中信息，利用平面的基本事实推理即得. 【小问1详解】 在正四棱台中，连接，连接， 平面平面，平面平面，平面平面， 则，而，又，则， 因此四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接，依题意，，则，且， 于是四边形是梯形，交于一点，令交点为， 则，而平面，平面， 因此平面，平面，又平面平面， 所以，即直线交于同一点. 19. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）①证明：． ②证明存在点，使得，并求出的坐标． （2）若点在四边形的四条边上运动，且将四边形分成周长相等的两部分，求点的坐标． 【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）①分别求出，，，，利用向量夹角公式可得； ②由条件知点为四边形外接圆的圆心，由，,可得，，所以四边形外接圆的圆心为的中点，从而求出点的坐标； （2）求出四边形各边长，由将四边形分成周长相等的两部分，可知，从而可得点的坐标. 【小问1详解】 ①因为， 所以，，，， 得， ， 所以． ②由知，点为四边形外接圆的圆心． 因为，， 所以， 所以，，四边形外接圆的圆心为的中点， 所以点的坐标为，得证． 【小问2详解】 易得，，． 因为将四边形分成周长相等的两部分，则点在上，且． 设点坐标为，则， 所以，则 故点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$