第07讲 直线与圆锥曲线的位置关系（5考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第07讲 直线与圆锥曲线位置关系 课程标准 学习目标 1 了解直线与圆锥曲线的交点问题； 2 会求直线与圆锥曲线相交时弦长问题和中点弦问题； 3 培养观察、分析和计算的能力． 1. 通过类比直线与圆的位置关系，会判断直线与圆锥曲线的位置关系，培养数学抽象、直观想象核心素养； 2. 会求直线圆锥曲线相交时弦长、弦的中点及相关综合问题，提升数学运算、逻辑推理核心素养； 知识点一、直线与圆锥曲线的交点 直线与圆锥曲线的交点个数体现了直线与圆锥曲线的位置关系，判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程与曲线C的方程联立，消去变量y(或x)，得到一个关于变量x(或y)的方程，再根据此方程进行判断. 下面以消去变量y得到方程ax2+bx+c=0为例进行说明： (1)当a≠0时，若Δ>0，则直线l与曲线C相交；若Δ=0，则直线l与曲线C相切；若Δ<0，则直线l与曲线C相离. (2)当a=0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行或重合于抛物线的对称轴. (3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与曲线(双曲线或抛物线)可能相交，也可能相切. 知识点二、弦长公式 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 知识点三、直线与圆锥曲线的相交弦问题 1. 直线与圆锥曲线相交所得弦的长 解决相交弦的长度问题，有两种方法： (1)求出直线与圆锥曲线的两个交点坐标，用两点间的距离公式求弦长； (2)根据“设而不求”的思想，通过一元二次方程根与系数的关系，并借助弦长公式求解. 2. 直线与圆锥曲线相交弦的中点问题 直线与圆锥曲线相交弦的中点问题即中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差 法”求解. (1)利用根与系数的关系：将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地,设A(x1，y1)，B(x2，y2),代入圆锥曲线方程，通过作差，构造关于x1+x2，y1+y2，x1-x2，y1-y2的式子，从而建立中点坐标和斜率的关系. 知识点四、圆锥曲线中的最值与范围问题 解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种途径：一是利用代数方法，即把要求的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(或解析式)，常用的代数方法有：判别式法、不等式法、函数最值法. 二是从几何角度考虑，利用圆锥曲线的定义、几何性质以及图形的几何性质求解. 知识点五、圆锥曲线中的探索性问题 圆锥曲线中的探索性问题主要包括定值、定点等存在性问题. 解决方法如下： (1)从特殊情况入手，探索定值、定点，再推理论证该定值、定点与变量无关. (2)直接推理计算，并在计算推理过程中消去参数，或求出参数的值，从而得到定值、定点. 题型01 直线与圆锥曲线的交点及弦长公式 1．已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 2．已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 3．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线 的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为 （    ）    A． B． C． D． 4.已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5.已知标准椭圆上P，Q两点的切线方程分别为，，则直线PQ的斜率为（    ） A． B． C．2 D． 6.双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点. (1)求弦长； (2)若点是双曲线左支上的点，且，求点到轴的距离. 7.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知点，直线与双曲线交于两点，求直线与直线的斜率之积． 题型02 中点弦-点差法 1．已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 2．已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 3．椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则 ． 4.已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（    ） A． B． C． D． 5.（多选）已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的斜率是 C．直线的斜率是 D．椭圆的离心率为 6．（多选）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A、B两点，M为线段AB的中点．下列结论中正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为，则直线方程为 C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若直线方程为，则 题型03 圆锥曲线中最值问题 1.已知抛物线：的焦点为，过点作两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，若直线与的斜率之积为，则的最小值为 . 2．已知椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B，点P在线段AB上（不包括端点），O为坐标原点，直线OP与椭圆相交于M，N两点，点M在第一象限，则的最大值为 ． 3.已知某椭圆的焦点是，，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点A、C满足条件：，，成等差数列，则弦AC中点的横坐标是 ，设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围是 ． 4.已知点为坐标原点，点是拋物线的焦点，点分别位于轴的两侧且都在抛物线上，记的面积为的面积为，若，则的最小值为 ． 5.已知直线：交椭圆：于A，B两点，为椭圆上一点． (1)证明； (2)求的最大值． 6.已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，． (1)求的方程； (2)过的另一条直线交于两点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的最大值． 题型04 三角形和面积问题 1．（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（A在第一象限），点在上，以为直径的圆过点，且，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的面积的最小值为 D．的面积大于 2.已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，连接并交椭圆于另一点，若的面积为，求直线的方程. 3.已知点，，，均在抛物线：上，，关于轴对称，直线，关于直线对称，点在直线的上方，直线交轴于点，直线斜率小于2. (1)求面积的最大值； (2)记四边形的面积为，的面积为，若，求. 4.已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线于P，Q两点（不与A，B重合），直线，分别与y轴交于M，N两点． (1)记直线，的斜率分别为，，求； (2)记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程． 5.已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 题型05 圆锥曲线中定点、定值问题 1.如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. (1)当直线倾斜角为时，求直线的方程； (2)求证：的面积为定值. 2.已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标. 3.已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 4.已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长的菱形． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，是否存在两定点，使得点满足恒为定值？若存在，请求出定点的坐标若不存在，请说明理由． (3)对于第（2）问，如果推广到一般的椭圆．求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ 5.已知直线：与抛物线Γ：交于点A，B． (1)若直线的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线的方程； (2)若，且，证明：直线l过定点． 6.已知双曲线的焦点为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率分别为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 1.已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 2.已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)证明：三点共线； (2)若，求直线的方程. 3.在平面直角坐标系中，点F(0，1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记Р的轨迹为. (1)求Р的方程； (2)设M为直线上的动点，过M的直线与Р相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求面积的最小值．  4.已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 5．已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，且点在以为直径的圆上．证明：直线过定点，并求出该定点坐标． 6.已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 7.双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 8.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且，过点且与x轴不重合的直线与椭圆C交于P，Q两点，已知的周长为8． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作直线与直线垂直，且与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 直线与圆锥曲线位置关系 课程标准 学习目标 1 了解直线与圆锥曲线的交点问题； 2 会求直线与圆锥曲线相交时弦长问题和中点弦问题； 3 培养观察、分析和计算的能力． 1. 通过类比直线与圆的位置关系，会判断直线与圆锥曲线的位置关系，培养数学抽象、直观想象核心素养； 2. 会求直线圆锥曲线相交时弦长、弦的中点及相关综合问题，提升数学运算、逻辑推理核心素养； 知识点一、直线与圆锥曲线的交点 直线与圆锥曲线的交点个数体现了直线与圆锥曲线的位置关系，判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程与曲线C的方程联立，消去变量y(或x)，得到一个关于变量x(或y)的方程，再根据此方程进行判断. 下面以消去变量y得到方程ax2+bx+c=0为例进行说明： (1)当a≠0时，若Δ>0，则直线l与曲线C相交；若Δ=0，则直线l与曲线C相切；若Δ<0，则直线l与曲线C相离. (2)当a=0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行或重合于抛物线的对称轴. (3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与曲线(双曲线或抛物线)可能相交，也可能相切. 知识点二、弦长公式 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 知识点三、直线与圆锥曲线的相交弦问题 1. 直线与圆锥曲线相交所得弦的长 解决相交弦的长度问题，有两种方法： (1)求出直线与圆锥曲线的两个交点坐标，用两点间的距离公式求弦长； (2)根据“设而不求”的思想，通过一元二次方程根与系数的关系，并借助弦长公式求解. 2. 直线与圆锥曲线相交弦的中点问题 直线与圆锥曲线相交弦的中点问题即中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差 法”求解. (1)利用根与系数的关系：将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地,设A(x1，y1)，B(x2，y2),代入圆锥曲线方程，通过作差，构造关于x1+x2，y1+y2，x1-x2，y1-y2的式子，从而建立中点坐标和斜率的关系. 知识点四、圆锥曲线中的最值与范围问题 解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种途径：一是利用代数方法，即把要求的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(或解析式)，常用的代数方法有：判别式法、不等式法、函数最值法. 二是从几何角度考虑，利用圆锥曲线的定义、几何性质以及图形的几何性质求解. 知识点五、圆锥曲线中的探索性问题 圆锥曲线中的探索性问题主要包括定值、定点等存在性问题. 解决方法如下： (1)从特殊情况入手，探索定值、定点，再推理论证该定值、定点与变量无关. (2)直接推理计算，并在计算推理过程中消去参数，或求出参数的值，从而得到定值、定点. 题型01 直线与圆锥曲线的交点及弦长公式 1．已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】将与抛物线联立得， 设， 显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点， 则. 故选：B. 2．已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】 由可得.根据对称性，不妨设过点的直线为， 联立可得. 设，则.① 由，则，又所以.② 由①②可得，所以， 解得或（舍），， 所以. 故选：D. 3．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线 的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为 （    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线方程为. 故抛物线的焦点为， 又因为反射光线经过点及焦点， 所以反射光线的方程为， 联立抛物线方程得，解得或， 故反射光线与抛物线的交点为， 由两点距离公式得. 所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为. 故选：C.    4.已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】 如图，，直线的方程为：代入中，消去，可整理得，， 显然设，由韦达定理可得：（*） 因，由， 将（*）代入可得，，解得. 故选：D. 5.已知标准椭圆上P，Q两点的切线方程分别为，，则直线PQ的斜率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设椭圆方程为，， 联立消去得①， 则②， 联立消去得③， 则④， 联立②④解得， 代入①得，解得，所以， 代入③得，解得，所以， 所以. 故选：D 6.双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点. (1)求弦长； (2)若点是双曲线左支上的点，且，求点到轴的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线的左、右焦点分别为，所以， 过右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 设，， 联立方程与，可得：， 所以，， 所以. （2）点是双曲线左支上的点，所以 设，， 由双曲线定义可知，所以，由， 所以，所以，可得， 所以由余弦定理得， 所以，设点到轴的距离为，所以， 所以，解得， 所以点到轴的距离为. 7.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知点，直线与双曲线交于两点，求直线与直线的斜率之积． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）依题意知的方程经过点， 可知焦点在轴，且双曲线的实半轴， 故可设双曲线方程为， 因为经过点，代入解得， 故的方程为； （2）    由（1）知曲线，联立直线与曲线方程， 有则，于是， 设点，点，显然直线斜率存在， 则， 所以直线与直线斜率之积为． 题型02 中点弦-点差法 1．已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】设点，点为弦的中点，有， 将两点代入椭圆方程，得， 两式作差得，整理得 得直线的斜率为，直线的方程为，即. 经检验符合题意.A 故答案为：. 2．已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】设，则两式相减得， 即，所以 因为为线段的中点， 所以， 所以，即 由点斜式方程可得直线的方程为：， 即，经检验适合题意. 故答案为： 3．椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则 ． 【答案】6 【详解】联立可得． 设弦的两个端点为，，则由根与系数的关系可得，， 由中点坐标公式可得，，解得. 故答案为：6． 4.已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设,则，相减得， 由于,所以， 所以,将其代入中可得， 所以 ,故, 故选：C 5.（多选）已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的斜率是 C．直线的斜率是 D．椭圆的离心率为 【答案】AD 【详解】设，则， 将的坐标代入椭圆的方程，得 两式相减得， 所以， 因为直线的斜率为，所以的斜率为，A正确； 所以. 如图，设为椭圆的左顶点，连接，则， 所以. 解得或（舍去），直线的斜率为，B错误，C错误； 所以， 所以， 故，D正确. 故选：AD. 6．（多选）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A、B两点，M为线段AB的中点．下列结论中正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为，则直线方程为 C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若直线方程为，则 【答案】BD 【详解】由题意可知：， 对于选项A：设， 则，且， 因为A、B两点在椭圆上，则，相减可得， 整理可得，即， 所以直线AB与OM不相互垂直，故 A错误； 对于选项B：因为， 若点M坐标为，则，可得， 所以直线方程为，即，故B正确； 对于选项C：若直线方程为，点，则， 可得，所以C错误； 对于选项D：若直线方程为， 联立方程，消去y整理得：，解得， 所以，故D正确； 故选：BD． 题型03 圆锥曲线中最值问题 1.已知抛物线：的焦点为，过点作两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，若直线与的斜率之积为，则的最小值为 . 【答案】144 【详解】由题意得两直线的斜率存在且不为零，设直线：， 联立方程，消去得. 设，，，， 则. 直线与的斜率之积为，直线的斜率为. 同理可得. ， 当且仅当时取等号， 的最小值为144. 故答案为：144 2．已知椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B，点P在线段AB上（不包括端点），O为坐标原点，直线OP与椭圆相交于M，N两点，点M在第一象限，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】 设 直线的斜率为，则直线的方程为：， 联立方程得， 则，所以， 因为椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B， 所以，则直线的方程为， 因为点P在线段AB上，直线OP与椭圆相交于M，N两点，所以， 因为点M在第一象限，所以，，，则 所以，， ， 由，整理得，， 当时， 故答案为： 3.已知某椭圆的焦点是，，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点A、C满足条件：，，成等差数列，则弦AC中点的横坐标是 ，设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围是 ． 【答案】 4 【详解】由椭圆的定义及条件知，，得，又， 所以， 得椭圆的方程为， 由点在椭圆上，得， 因为椭圆的右准线方程为：，离心率为：， 设 根据椭圆性质，有， 由成等差数列，得， 由此得出， 设弦的中点为， 则； 由在椭圆上，得，两式相减得，， 得， 将代入上式，得， 得（当时也成立）， 由点在弦的垂直平分线上，得， 所以， 由在线段（与关于轴对称）的内部，得， 得． 故答案为： 4.已知点为坐标原点，点是拋物线的焦点，点分别位于轴的两侧且都在抛物线上，记的面积为的面积为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因分别位于轴的两侧且都在抛物线上，则可设，，且，如图所示： 由得， 则有的面积， 的面积， 所以，当且仅当时，取等号． 故答案为： 5.已知直线：交椭圆：于A，B两点，为椭圆上一点． (1)证明； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 ；(2)32． 【详解】（1） 联立直线与椭圆方程，，得， 设，，∴，， ∵ ， ∴ （2）设为点到直线的距离，则， 由弦长公式得 ． 由三角形面积得， 设，则， 由于， ∴，当，即时，等号成立， ∴的最大值为32． 6.已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，． (1)求的方程； (2)过的另一条直线交于两点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设焦距为，当时，将代入椭圆方程可得， ，解得， 所以，又，解得， 所以的方程为； （2）设直线， 与椭圆线方程联立可得，， 由韦达定理，， 所以 ， 同理可得，， ，因为，所以， 故 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． 题型04 三角形和面积问题 1．（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（A在第一象限），点在上，以为直径的圆过点，且，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的面积的最小值为 D．的面积大于 【答案】ABD 【详解】设在上的投影为与轴交于点，因为两点在上，则， 又，则，得，A正确； 设A在上的投影为，则，所以， 又，则， 即，为等边三角形， 则，，B正确； 若在第四象限，设，则， ，令， 则， 则，当且仅当时取最小值，易知错误； 易知，所以，当且仅当轴时取等号， 由C知，此时，故，D正确. 故选：ABD      2.已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，连接并交椭圆于另一点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）联立得，由题意得，所以. 因为椭圆的离心率，所以. 因为，所以， 故椭圆的方程为. （2）由题意知，直线不垂直于轴. 设直线的方程为， 联立方程组，消去并整理得， 所以， 所以 因为点到直线的距离，且是线段的中点， 所以点到直线的距离为， 所以. 由，解得或（舍去）， 所以， 故直线的方程为，即或. 3.已知点，，，均在抛物线：上，，关于轴对称，直线，关于直线对称，点在直线的上方，直线交轴于点，直线斜率小于2. (1)求面积的最大值； (2)记四边形的面积为，的面积为，若，求. 【答案】(1)16 (2) 【详解】（1）由题意，解得，所以抛物线：， 因为，关于轴对称，直线，关于直线对称， 所以斜率互为相反数，不妨设， 则， 设与轴交于点，而直线交轴于点， 所以， 联立与抛物线：，化简并整理得， ， 设， 则， 设面积为， 则 ，等号成立当且仅当， 所以面积的最大值为16； （2） 由（1）可知，解得， 设点的坐标为，同理可得， 所以， 设的面积为，而四边形的面积为，的面积为， 由题意，所以， 而， 而，所以，即，解得， 由题意轴，且，设， 所以， 所以. 4.已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线于P，Q两点（不与A，B重合），直线，分别与y轴交于M，N两点． (1)记直线，的斜率分别为，，求； (2)记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【详解】（1）由题意知，，， 设直线的方程为，,,， 联立，得， ，，， ， 直线的斜率，直线的斜率， ，为定值． （2）设,则，, 由于,得， 设直线，可得， 设直线，可得， 所以 ， 所以由得， 当时，则，解得，此时直线方程为 当时，则，解得，此时直线方程为 故直线方程为或或 5.已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）因为椭圆离心率为，则， 点在椭圆上，点代入椭圆方程，有，则， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设直线l的方程为，由， 消去y，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 设，所以，    因为直线和直线关于对称，轴， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. （ⅱ）由题意知l斜率不可能为0,设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 解得， 则， 由题意可知同号，不妨设， 所以， 所以 令 则，当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 题型05 圆锥曲线中定点、定值问题 1.如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. (1)当直线倾斜角为时，求直线的方程； (2)求证：的面积为定值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【详解】（1）因为直线倾斜角为，直线为，因为椭圆， 直线与椭圆只有一个公共点，联立方程，得， ，所以直线为或 （2）因为直线与椭圆只有一个公共点，设直线为由，得 , 又因为直线与椭圆交于两点，得 所以，因为直线与轴交于点，所以 所以 . 2.已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【详解】（1）由已知得，解得， 椭圆的标准方程， （2） 设，则， 可设的直线方程为， 联立方程，整理得， ， ， ， 整理得，， ，解得， 的直线方程为：， 直线恒过定点. 3.已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)(2)，；(3)证明见解析，定点 【详解】（1）由直线与圆的位置关系可知，， 所以点； （2）由题意可知，设动圆半径为，，，， 即， 所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则， 所以曲线的方程为，； （3）当直线的斜率不存在时，，， 直线，当，得，即，直线， 此时直线过点， 当直线的斜率存在时，设直线，，， 直线，当时，， ， 联立，得， ，，， 下面证明直线经过点，即证，， 把，代入整理得， 即， 所以直线经过点， 综上可知，直线经过定点，定点坐标为. 4.已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长的菱形． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，是否存在两定点，使得点满足恒为定值？若存在，请求出定点的坐标若不存在，请说明理由． (3)对于第（2）问，如果推广到一般的椭圆．求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ 【答案】(1) (2)存在， (3)，是以焦点，长轴长为的椭圆 【详解】（1）由题意，， 解得，椭圆E的标准方程. （2）设，联立，消y得， 由，得：①， 所以， 直线的方程为： 令，得，令，得 的坐标满足②，③ 又， 所以的轨迹方程为， 由椭圆定义，知存在定点，使得. 方法二：的坐标满足②，③ 解得：，代入①得 所以，的轨迹方程为.    （3）设，联立，消y得：， ，得：，④ 由④式得： 直线的方程为： 令，得，令，得 的坐标满足⑤，⑥ 解得：，代入④得． 的轨迹方程为 所以，点的轨迹是以焦点，长轴长为的椭圆. 5.已知直线：与抛物线Γ：交于点A，B． (1)若直线的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线的方程； (2)若，且，证明：直线l过定点． 【答案】(1)； (2)直线l过定点，证明见解析. 【详解】（1）焦点F(2,0)，斜率，故直线的方程为； （2）设，，联立消去x， 整理得，由可知且， 根据韦达定理可知，， 由，即，得， 即，直线：， 故直线过定点. 6.已知双曲线的焦点为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率分别为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点， 【详解】（1）由题意知， 解得， 所以双曲线的方程是； （2）直线的方程为，设． 由，得， 所以， 所以，所以， 所以， 同理可得， 因为，所以，即， 当且时，， 所以直线的方程为， ， ， ， ， 所以， 所以直线过定点； 当或时，直线的方程为，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 1.已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解， 则，解得， 故答案为：． 2.已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)证明：三点共线； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1） 证明：拋物线的焦点坐标为， 设直线的方程为，点， 联立，消去得，则， 所以，因为，所以， 又，所以， 即，所以三点共线. （2）因为，所以，于是，即， 由（1）知， 所以直线的方程为. 3.在平面直角坐标系中，点F(0，1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记Р的轨迹为. (1)求Р的方程； (2)设M为直线上的动点，过M的直线与Р相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)16 【详解】（1）设，则线段FP的中点坐标为，因为以PF为直径的圆与x轴相切， ∴，化简得，所以的方程为； （2）设A，由，，则点A处的切线斜率为， 所以直线MA方程为，整理为， 令，则，所以M，易知直线AB斜率为， 所以直线AB：，整理为， 与联立可得， 有，解得， 即B的横坐标为， 所以， ， 所以△MAB面积为 ，又，当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为    4.已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线定义结合已知，其中为点的横坐标， 解得，即点P的横坐标为3； （2） 因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为， 设， 联立抛物线方程得， ，由，解得， 所以，所以， 所以点M的轨迹方程为. 5．已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，且点在以为直径的圆上．证明：直线过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)(2)证明见解析，直线过定点或 【详解】（1）由题意得，得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意设直线为，设， 由，得， 由，得， ， 因为点在以为直径的圆上， 所以， 因为， 所以， 所以 ， 所以， 所以， 所以， 化简整理得，解得或， 所以直线为，或， 所以直线过定点或. 6.已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【答案】(1)，； (2)1. 【详解】（1）由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. （2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， 7.双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1），，∴． ∴，∴； （2）设．由题意，，，， 因为是等边三角形，所以，即， 解得．故双曲线的渐近线方程为； （3）由已知，，． 设，，直线l：．显然． 由，得． 因为l与双曲线交于两点，所以，且． 设AB的中点为． 由 即，知，故． 而，，， 所以，得，故l的斜率为． 8.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且，过点且与x轴不重合的直线与椭圆C交于P，Q两点，已知的周长为8． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作直线与直线垂直，且与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，故， 的周长为， 故，， 故椭圆C的方程为； （2）    ①当的斜率不存在时，则的斜率为0， 设P的坐标为，Q的坐标为，代入方程， 解得，同理可得，所以，AB为长轴， ∴； ②当的斜率存在时且不为0，则的斜率存在且不为0，设，， 设直线的方程为，则直线的方程为， 将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得： ，， ∴，， ∴， 同理，， ∴， 令，则， ∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴，即. 综上①②可知，的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$