第一章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·四川成都·期中）给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 4．（23-24高二下·江苏常州·期中）若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 5．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 8．（21-22高二上·浙江金华·期末）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．共面 10．（23-24高二下·江苏南京·期中）平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） A．直线AB的一个方向向量为 B．线段AB的长度为3 C．平面α的法向量中 D．向量与向量夹角的余弦值为 11．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）． A．不存在点，使得 B．过三点的正方体的截面面积为 C．若则点在正方形内运动轨迹长为 D．点在棱上，且，若，则点的轨迹是圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知空间向量，若与垂直，则 . 13．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ． 14．（23-24高二上·陕西·阶段练习）在正四棱台中，，，，，，若平面，则 ．    四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知向量，向量， (1)求向量，，的坐标； (2)求与所成角的余弦值. 16．（15分）（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 17．（15分）（24-25高三上·广东·开学考试）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 18．（17分）（23-24高二下·河南安阳·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)若为棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 19．（17分）（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)． (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·四川成都·期中）给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误； 对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误； 对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误； 对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确. 故选：B. 2．（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助空间向量的线性运算计算即可得. 【详解】 ，故A、B错误； ，故C错误、D正确. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 【答案】A 【分析】利用空间向量共线定理求解即可. 【详解】因为A、B、D三点共线，所以使得 又，，， 所以 则 则解得： 故选：A. 4．（23-24高二下·江苏常州·期中）若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，求出、的坐标，再利用空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】因为，所以，，则; 故选：D 5．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 6．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 7．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】因为，所以的方向向量与平面的法向量垂直，再根据基本不等式，利用常数代换求解. 【详解】依题意，，即， 所以， 又，所以，，所以， 当且仅当时，即时，取到等号， 所以，故A，B，D错误. 故选：C. 8．（21-22高二上·浙江金华·期末）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离d，再根据等体积法计算d 【详解】因为， 由空间向量的共面定理可知，点四点共面， 即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d， 由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形， 则，， 由等体积法得，，所以， 所以的最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．共面 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由选项BC知，向量两两垂直，则不共面，D错误. 故选：BC 10．（23-24高二下·江苏南京·期中）平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） A．直线AB的一个方向向量为 B．线段AB的长度为3 C．平面α的法向量中 D．向量与向量夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】根据方向向量、向量模长、法向量，向量的数量积运算可逐一判断． 【详解】因为平面经过三点，，， 则，则，故直线的一个方向向量为，故A正确； 线段的长度为，故B错； 又向量是平面的法向量，， 则，解得，则，故C正确； 又,1,， 则向量与向量夹角的余弦值为，故D正确． 故选：ACD． 11．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）． A．不存在点，使得 B．过三点的正方体的截面面积为 C．若则点在正方形内运动轨迹长为 D．点在棱上，且，若，则点的轨迹是圆 【答案】AB 【分析】对于A，利用空间向量分析判断，对于B，取中点，连接，可得四点共面，然后求出其面积判断，对于C，利用空间向量可得点在正方形内运动轨迹为线段，对于D，利用空间向量得轨迹为圆：被四边形ABCD截得的4段圆弧. 【详解】对于A，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 若，则，即，与题意矛盾，所以A正确； 对于B，取中点，连接， 因为，所以可得四点共面， 所以过三点的正方体的截面为以为底的等腰梯形，过点作， 所以，所以梯形的高为， 所以，所以B正确， 对于C，设，则， 所以， 因为所以，即， 所以点在正方形内运动轨迹为线段，其长为，所以C错误， 对于D，， 即，可得轨迹为圆：， 所以圆心， 又，所以轨迹为圆：被四边形ABCD截得的4段圆弧，所以D错误. 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：解题的关键是利用空间向量求出点的轨迹方程，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知空间向量，若与垂直，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为与垂直，可得， 解得. 故答案为：. 13．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出，，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又，所以， 可得，，两两垂直，所以以为坐标原点， ，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ， 所以， 又异面直线所成角的取值范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 14．（23-24高二上·陕西·阶段练习）在正四棱台中，，，，，，若平面，则 ．    【答案】/0.75 【分析】画出图形，由题意平面，可以推理得出，再根据题目条件分别把这两个向量表示为，，由向量共线的条件即可求解. 【详解】如图所示：    连接，设，平面平面， 因为平面，且平面， 所以； 因为四棱台底面为正方形，且，， 所以，， 从而， 又因为，， 所以， ， 因为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知向量，向量， (1)求向量，，的坐标； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直、平行的条件即可求解； （2）利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为向量，所以，解得：，， 则，， 又因为，则，解得， 所以 （2）由（1）知， 所以，， 则，，， 即与所成角的余弦值 16．（15分）（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解； （2）由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）解：由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 17．（15分）（24-25高三上·广东·开学考试）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在内任取点，作，交于点，作，交于点，利用面面垂直推得平面，即得，同理，再由线线垂直证得线面垂直即得； （2）根据题设条件建系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【详解】（1）如图1，取为内一点，        图1 作，交于点，作，交于点， 因为平面平面且平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理，因为，且平面，所以平面. （2）          图2 因为两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图2所示. 依题意. 则. 设平面的法向量为，则， 令，则，所以. 设直线与平面所成的角为，则. 因，故，故直线与平面所成角的余弦值为. 18．（17分）（23-24高二下·河南安阳·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)若为棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由给定条件证得，再利用线面垂直的性质、判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 在矩形中，为边的中点，， 则，，即有， 而平面，所以平面. （2）显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值. 19．（17分）（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)． (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可建立适当空间直角坐标系，得到、后借助空间向量共线定理即可得证； （2）求出平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得点具体位置，再借助点到平面距离公式求解即可得. 【详解】（1）因为底面，且底面为正方形，且、底面， 所以，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，有，故； （2），因为点满足，点是棱上的一个点（包括端点）， 所以，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，得，，则， 由题可得轴平面，则平面的一个法向量为， 因为二面角角的余弦值为， 所以， 解得或（舍去），所以， 因为，所以点到平面的距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$