专题05 三角板拼接型-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型 7：三角板拼接型 类型 含45°的直角板 含30°,60°的直角板 图示 常见角度拼接模型 1. 找模型 当题中含三角板时，根据条件判断三角板的形状 2. 用模型 根据三角板的形状，标注直角(90°)及特殊角(30°,45°,60°),判断拼接后角的度数 巧学巧记：一副三角板拼接出的角度的和差均为15°的整数倍. 满分技法：考试常出现利用三角板本身的内外边或直尺的两条边作为平行线,如图,∠1=∠2. 常见 的直 尺与 三角 板拼 接模 型 ∠1+∠2=90° ∠1+∠2=90° ∠1+∠2=90° ∠1=∠2=75° ∠1=105° 例1 一把直尺与一块含45°角的直角三角板按如图方式摆放，平行线 标注特殊角若∠1=88°,则∠2的度数为 ( ) A. 40° B. 43° C. 45° D. 47° 思路点拨：利用直尺两边平行，同位角相等，得到∠1 的同位角，再结合三角形的内外角关系求解. 例2 将一副直角三角板按如图所示方式叠放，现将含 30°角的三角板固定不 把含45°角的三角板绕O 点按每秒15°的速度沿逆时针方向匀速旋转一周， 两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转的时间为 ( ) A. 5秒 B. 7秒 C. 5或17秒 D. 7 或19秒 思路点拨：利用三角板的特点和平行线的性质可得旋转角的度数，进而根据旋转速度即可求出旋转时间. 例3 将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的隐含 30°,45°60°,90°角 平行线的性质大小为 ( ) A. 135° B. 145° C. 150° D. 155° 思路点拨：观察∠1无法直接得到，考虑将∠1 放在其所在的四边形中(或将∠1 作为三角 形的外角)求解 针对训练 1. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，点D在AC上,若EF∥AB,则∠CD的度数为 ( ) A. 15° B. 18° C. 26° D. 30° 2. 一直尺和一个含30°角的三角板按如图所示的位置放置,若∠ABC=60°,则∠DEF 的度数为 ( ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 3. 把一副三角板按如图所示的位置叠放在一起，则∠1的度数为 . 4. 如图，一副三角尺△ABC与△ADE的两条斜边在一条直线上，直尺的一边 GF∥AC，则∠DFG的度数为 . 5. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板(△ABC)的长直角边与含45°角的三角板(△ACD)的斜边恰好重合.已知AC=3，P是AC上的一个动点. (1)当点 P 运动到∠ABC的平分线上时，连接DP,求DP的长; (2)当点P在运动过程中出现 PD=BC时，求此时∠PDA 的度数. 课后练习 一、单选题 1．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，必有，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．一副三角尺按如图方式摆放，点D在直线上，且，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ）度． A．45 B．60 C．75 D．105 4．如图，将等腰直角三角板放在两条平行线上，若，则等于（    ）      A． B． C． D． 5．将一个含有角的直角三角板按如图所示的方式放置，其中一个角的顶点落在直线a上，含角的顶点落在直线b上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知直线，把三角尺的顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 三、解答题 8．如图所示的是由一块三角板和一个长方形拼成的图形，在三角板中，，，与相交于点与相交于点N． (1)如图1，当时，求和的度数． (2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由． 9．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，使顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，请求出与之间的关系式． 10．综合与实践 【问题情境】数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交与点E 【操作探究】（1）乐学小组的同学发现，如图1，若，则______； （2）奋进小组的同学将三角尺绕点旋转至图2时，若，求的度数； 【深入探究】（3）博学小组继续探究，如图，如果不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于，旋转三角尺，当点旋转到平行线之间，如果直线与直线相交于点，设，请直接写出的度数（用含有的代数式表示，写出其中一种情况即可） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型 7：三角板拼接型 类型 含45°的直角板 含30°,60°的直角板 图示 常见角度拼接模型 1. 找模型 当题中含三角板时，根据条件判断三角板的形状 2. 用模型 根据三角板的形状，标注直角(90°)及特殊角(30°,45°,60°),判断拼接后角的度数 巧学巧记：一副三角板拼接出的角度的和差均为15°的整数倍. 满分技法：考试常出现利用三角板本身的内外边或直尺的两条边作为平行线,如图,∠1=∠2. 常见 的直 尺与 三角 板拼 接模 型 ∠1+∠2=90° ∠1+∠2=90° ∠1+∠2=90° ∠1=∠2=75° ∠1=105° 例1 一把直尺与一块含45°角的直角三角板按如图方式摆放，平行线 标注特殊角若∠1=88°,则∠2的度数为 ( ) A. 40° B. 43° C. 45° D. 47° 思路点拨：利用直尺两边平行，同位角相等，得到∠1 的同位角，再结合三角形的内外角关系求解. 例2 将一副直角三角板按如图所示方式叠放，现将含 30°角的三角板固定不 把含45°角的三角板绕O 点按每秒15°的速度沿逆时针方向匀速旋转一周， 两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转的时间为 ( ) A. 5秒 B. 7秒 C. 5或17秒 D. 7 或19秒 思路点拨：利用三角板的特点和平行线的性质可得旋转角的度数，进而根据旋转速度即可求出旋转时间. 例3 将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的隐含 30°,45°60°,90°角 平行线的性质大小为 ( ) A. 135° B. 145° C. 150° D. 155° 思路点拨：观察∠1无法直接得到，考虑将∠1 放在其所在的四边形中(或将∠1 作为三角 形的外角)求解 针对训练 1. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，点D在AC上,若EF∥AB,则∠CD的度数为 ( ) A. 15° B. 18° C. 26° D. 30° 1. A 【解析】∵EF∥AB,∴∠EDA=∠E+∠A=30°+45°=75°(“M”模型),∴∠CDF=180°-∠EDF-∠EDA=15°. 2. 一直尺和一个含30°角的三角板按如图所示的位置放置,若∠ABC=60°,则∠DEF 的度数为 ( ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 2. B 【解析】如解图,延长AD 交 EF 于点 G,∵ BC∥EF,∴∠AGE=∠ABC=60°.∵∠ADE=90°,∴∠DEF=90°-60°=30°. 3. 把一副三角板按如图所示的位置叠放在一起，则∠1的度数为 . 3. 75° 【解析】如解图,由三角板可知,∠CAB=90°,∠BAD =45°,∠ACB =60°,∴ ∠CAE =∠CAB-∠BAD=45°,∴∠1=180°-∠CAE- 4. 如图，一副三角尺△ABC与△ADE的两条斜边在一条直线上，直尺的一边 GF∥AC，则∠DFG的度数为 . 4. 105° 【解析】∵ GF∥AC,∴∠FGE=∠CAB=60°.∵ ∠AED = 45°,∴ ∠DFG = ∠AED + 5. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板(△ABC)的长直角边与含45°角的三角板(△ACD)的斜边恰好重合.已知AC=3，P是AC上的一个动点. (1)当点 P 运动到∠ABC的平分线上时，连接DP,求DP的长; (2)当点P在运动过程中出现 PD=BC时，求此时∠PDA 的度数. 5. 解:(1)在 Rt△ABC中,AC=3,∠BAC=30°, 如解图①,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F,在 Rt△ACD中,AD=CD, (直角三角形斜边的中线等于斜边的一半). ∵BP 平分∠ABC, ∴∠PBC=30°(角平分线的性质), ∴在Rt△DFP 中, (2)当P 点位置如解图②所示时， 由①可得， ∴∠PDF=30°, ∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°; 当P 点位置如解图③所示时，同理可得∠PDF=30°, ∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°. 综上所述，当点 P 在运动过程中出现 PD=BC时,此时∠PDA的度数为15°或75°. 针对训练 一、单选题 1．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，必有，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 1．A 【分析】本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．先根据余角的概念和同角的余角相等判断①；再根据平行线的判定定理判断②；最后根据平行线的判定与性质判断③． 【详解】解：，， ，故①正确； ， ， 又， ， ，故②正确； ， ， ， ，故③错误； 故选：A 2．一副三角尺按如图方式摆放，点D在直线上，且，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 2．D 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算，关键是由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 3．如图，将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ）度． A．45 B．60 C．75 D．105 3．C 【分析】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 首先计算的度数，再根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：如图所示，∵，， ， ， ， 故选：C． 4．如图，将等腰直角三角板放在两条平行线上，若，则等于（    ）      A． B． C． D． 4．A 【分析】本题主要考查三角板的角度计算，平行线的性质等知识点．根据题意先求，再根据平行线的性质即可求出． 【详解】解：根据题意得：， ， ∴ ∵， ∴， 故选：A． 5．将一个含有角的直角三角板按如图所示的方式放置，其中一个角的顶点落在直线a上，含角的顶点落在直线b上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．C 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 先根据得出的度数，再由平行线的性质求出的度数，进而得出结论． 【详解】解：如图， ， ， ∵， ， 故选：C． 6．如图，已知直线，把三角尺的顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．B 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据平行线的性质求出，再由平角的定义即可得出结论． 【详解】解：如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶B． 二、填空题 7．把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 7． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）根据平行线的性质可知，依据，可求出结果； （2）依据，可知，再根据，即可求出结果． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得， ； （2）， ， 即， 整理得， 故答案为：， 三、解答题 8．如图所示的是由一块三角板和一个长方形拼成的图形，在三角板中，，，与相交于点与相交于点N． (1)如图1，当时，求和的度数． (2)如图2，当与不垂直时，猜想与的数量关系，并说明理由． 8．(1)， (2) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）过点作，则有，从而得，，从而可以求得的度数； （2）过点作，得到，与转化到和中，从而发现与的数量关系． 【详解】（1）解：过点作，如图， ∵ ∴， 所以，， ， ． ， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作， ∴． ，， ， ， ， 即． 9．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，使顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，请求出与之间的关系式． 9．(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点B作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出； （3）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解∶ ， ， ， ， ， ； （2）解∶ ，理由如下： 如图2，过点B作， 则， ， ， ， ， 又， ； （3）解∶ ，理由如下： ， ， ，， ， ． 10．综合与实践 【问题情境】数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交与点E 【操作探究】（1）乐学小组的同学发现，如图1，若，则______； （2）奋进小组的同学将三角尺绕点旋转至图2时，若，求的度数； 【深入探究】（3）博学小组继续探究，如图，如果不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于，旋转三角尺，当点旋转到平行线之间，如果直线与直线相交于点，设，请直接写出的度数（用含有的代数式表示，写出其中一种情况即可） 10．（1）；（2）；（3）或或. 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的计算； （1）根据平行线的性质、对顶角相等以及三角形内角和定理求解即可； （2）过作，根据平行的性质，依次求出，，，即可； （3）根据的大小分类讨论，过作的平行线，根据平行线的性质求出即可． 【详解】（1）解： 和交于点， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴ （3）或或. 当点在上方时 ①当时，如图，延长交于，过点作. ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. ②当时，如图，延长交于，过点作. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在下方时 ③如图，延长交于，过点作， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$