专题06 一元二次不等式中的含参问题（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题06 一元二次不等式中的含参问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、按二次项系数的符号分类 2 题型二、按判别式的符号分类 3 题型三、按方程的根、的大小分类 3 题型四、分类综合问题 4 压轴能力测评（9题） 4 一、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论 常用的分类方法有以下三种： （1）按二次项系数的符号分类，即； （2）按判别式的符号分类，即； （3）按方程的根、的大小分类，即． 二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 【题型一 按二次项系数的符号分类】 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则a的取值范围为 ，此时关于x的不等式的解集是 ． 三、解答题 3．（2022高一·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为区间，求实数a的值； (2)当时，求关于x的不等式的解集． 5．（23-24高一上·山东临沂·期中）求关于x的不等式的解集. 6．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知. (1)若，求关于的不等式的解集； (2)若，求关于的不等式的解集. 【题型二 按判别式的符号分类】 一、解答题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围； （2）已知，解不等式． 2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数． (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)求关于x的不等式的解集． 3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． 5．（23-24高一上·重庆·期末）若函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，求的解集. 【题型三 按方程的根、的大小分类】 一、解答题 1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 3．（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式： (1)； (2). 【题型四 分类综合问题】 一、解答题 1．（22-23高一上·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 2．（23-24高一上·辽宁·期中）（1）若不等式的解集为或，求，的值； （2）求关于的一元二次不等式的解集． 3．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 4．（23-24高一上·安徽·阶段练习）解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示） 5．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)解不等式. 一、多选题 1．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知关于x的不等式，则（   ） A．若，该不等式的解集为 B．若，该不等式的解集为 C．若，该不等式的解集为或 D．若，该不等式的解集为R 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）整数使关于的不等式组解集中的整数只有，则由的值组成的集合为 ． 三、解答题 3．（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）（1）关于的不等式.若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式解集. 4．（23-24高一上·广东珠海·期中）求关于的不等式的解集. 5．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式：，其中是实数. 6．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知一元二次不等式的解集是. (1)求的值； (2)已知，求关于的不等式的解集. 7．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)已知，求不等式的解集. 8．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)解不等式. 9．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数； (1)若不等式的解集是且，求实数的值； (2)若，，解不等式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次不等式中的含参问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、按二次项系数的符号分类 2 题型二、按判别式的符号分类 5 题型三、按方程的根、的大小分类 9 题型四、分类综合问题 11 压轴能力测评（9题） 16 一、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论 常用的分类方法有以下三种： （1）按二次项系数的符号分类，即； （2）按判别式的符号分类，即； （3）按方程的根、的大小分类，即． 二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 【题型一 按二次项系数的符号分类】 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解法求解． 【详解】原不等式可化为，而，故， 图象开口向下， 故原不等式的解集为 故选：C 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则a的取值范围为 ，此时关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】第一空根据开口向上，与轴有两个交点即可取不等式的解集，第二空，根据第一空的范围，对不等式进行整理，比较大小得，再根据开口向上，利用法则取不等式的解集． 【详解】当，则， 不等式 可化简为， 因为，所以， 则， 故答案为：，． 三、解答题 3．（2022高一·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）、（2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】（1）依题意， ， 解得， 所以不等式的解集为. （2）依题意， ， 解得， 所以不等式的解集为. 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为区间，求实数a的值； (2)当时，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解集求参数； （2）解含参数的一元二次不等式即可. 【详解】（1）由可得，， 因为该不等式解集为， 所以，解得. （2）不等式可化为， 即，也即， 对应方程的两个根分别为，且， 所以不等式的解集为. 5．（23-24高一上·山东临沂·期中）求关于x的不等式的解集. 【答案】答案见解析 【分析】分、、三种情况求解即可. 【详解】当时，原不等式为，该不等式的解集为. 当时，，原不等式可化为. ①若，则，原不等式的解集为或； ②若，则，原不等式的解集为或. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 6．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知. (1)若，求关于的不等式的解集； (2)若，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）时，解一元二次不等式； （2）不等式，即，分类讨论解一元二次不等式. 【详解】（1）若，不等式，解得或， 即不等式的解集为. （2）若，不等式，即，可化为， 当，即时，解得或； 当，即时，不等式等价于，所以； 当，即时，解得或， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【题型二 按判别式的符号分类】 一、解答题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围； （2）已知，解不等式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）若关于的二次方程无实数解，则函数的图象与轴无交点，，解得实数的取值范围； （2）令，解出方程的根且判断大小，根据开口向上即可取不等式的解集． 【详解】（1）关于的二次方程无实数解， 函数的图象与轴无交点， ， 解得：， 实数的取值范围为； （2）令， 当时，， 解得：， 所以不等式的解集是． 2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数． (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据二次不等式的解法即得； （2）根据判别式，即可结合分类讨论求解. 【详解】（1）当时，得， 由于， 故的解集为； （2）由可得， 当时，解得， 此时不等式的解集为， 当时，解得或， 的两个实数根为， 此时不等式的解集为， 综上：或，不等式的解集为，，此时不等式的解集为， 3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令解出即可； （2）由判别式确定a的范围，分类再解不等式即可. 【详解】（1）由题意，可得， ； （2）①当时，即时， 原不等式的解集为； ②当时，即或时， 当时，， 原不等式的解集为， 当时，， 原不等式的解集为； ③时，即或时，， 解得或， 原不等式的解集为. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论的符号，结合二次函数解不等式. 【详解】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 5．（23-24高一上·重庆·期末）若函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，求的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据条件，利用韦达定理建立方程组，且，即可求出结果； （2）利用含参的一元二次不等式的解法，分，，和三种情况讨论，即可求出结果. 【详解】（1）因为的解集为， 所以且，解得. （2），，所以，即， 又， 当，即时，的解集为； 当，即时，若，解集为，若，解集为； 当，即或时，的两根为，，且有， 此时，的解集为或， 综上所述，当时，的解集为； 当，解集为，当，解集为； 当或时，的解集为或. 【题型三 按方程的根、的大小分类】 一、解答题 1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将代入解不等式即可； （2）因为对应方程的两个根为，分、、三种情况解不等式即可. 【详解】（1）由， 当时，可得解集为. （2）对应方程的两个根为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或， 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将原不等式等价转换为即可求解； （2）由一元二次不等式与一元二次方程根的关系，只需对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于，即，． ∵，∴原不等式的解集为． （2）∵的两根为，． ①当即时，，即； ②当即时，，即或； ③当即时，，即或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 3．（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）将不等式因式分解，即可分类讨论求解. 【详解】（1）由可得， 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或 （2）由可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【题型四 分类综合问题】 一、解答题 1．（22-23高一上·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理，即可求解； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根， 由根与系数的关系，得， 解得：，； （2）由（1）知不等式为， 即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为． 2．（23-24高一上·辽宁·期中）（1）若不等式的解集为或，求，的值； （2）求关于的一元二次不等式的解集． 【答案】（1） ；（2）答案见解析 ． 【分析】（1）依题意可得和为方程的两根且，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，首先判断，再分、两种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以和为方程的两根且， 所以，解得； （2）由，得，即， 因为是关于的一元二次不等式，所以， 当时，解得或，故不等式的解集为； 当时，不等式即为， ①时，即，不等式无解，故不等式的解集为； ②时，，解得，故不等式的解集为； ③时，，解得，故不等式的解集为； 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 3．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 【答案】(1),． (2)答案见解析. 【分析】（1）分离参数a，转化为函数最值问题求解； （2）分类讨论求解即可． 【详解】（1）不等式即为：， 当,时，可变形为：， 即, 又，当且仅当，即时，等号成立， ，即， 实数的取值范围是：,． （2）不等式， 即， 等价于， 即， 当时， 当时，因为，解不等式得：； 当时，因为，不等式的解集为； 当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 4．（23-24高一上·安徽·阶段练习）解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示） 【答案】答案见解析 【分析】对进行合理地分类讨论即可. 【详解】由已知，可得， （1）当时，方程有两实根， 不等式的解集为． （2）当时，方程的根的判别式． ①当时，，所求不等式的解集为； ②当时，，所求不等式的解集为； ③当时，，所求不等式的解集为或． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为或． 当时，解集为； 时，解集为. 5．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可； （2）分类讨论，分三种情况讨论求出解集. 【详解】（1）当时，． ∵，即， ∴. 设方程的两根分别为，，则， 解得，， ∴不等式的解为， ∴函数的解集为． （2）由题意，得， ①当时，不等式化为，解得； ②当时，开口向上，此时， （i），即时，方程无解，不等式解集为； （ii），即时，方程有唯一解， 不等式解集为； （iii），即时，方程有两解， ，，且， 则不等式解集为或． ③时，开口向下，此时， 显然，方程有两解， ，，且， 不等式解集为． 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 一、多选题 1．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知关于x的不等式，则（   ） A．若，该不等式的解集为 B．若，该不等式的解集为 C．若，该不等式的解集为或 D．若，该不等式的解集为R 【答案】BD 【分析】对于选项A，当时，该不等式为一元一次不等式，直接求解可判断选项A错误；对于选项B、C、D，该不等式为一元二次不等式，借助二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系可以求解判断. 【详解】对于选项A，当时，不等式为，解得， 所以不等式的解集为，故选项A错误； 对于选项B，当时，有， 方程的两个不相等实数根分别为，，且， 所以不等式的解集为，故选项B正确； 对于选项C，当时，有， 方程的两个不相等实数根分别为，，且， 所以不等式的解集为或，故选项C错误； 对于选项D，当时，有，所以不等式的解集为R，故选项D正确. 故选：BD. 二、填空题 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）整数使关于的不等式组解集中的整数只有，则由的值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的集合． 【详解】由， 得或， 由， 得， 当时，，无解，不合题意； 当时，，则原不等式组的解集中不包含，不合题意； 当时，， 因为原不等式组的解集中只有一个整数， 如图，结合数轴可知，，， 所以. 故答案为：. 三、解答题 3．（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）（1）关于的不等式.若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式解集. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）利用根与系数关系列方程组来求得. （2）先因式分解，然后对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）原不等式可化为， 由题知，是方程的两根， 由韦达定理得，解得. （2）当时，所以原不等式化为， 当时，即时，解原不等式可得或； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得或 综上所述，当时，解原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为； 当时，解得. 4．（23-24高一上·广东珠海·期中）求关于的不等式的解集. 【答案】答案见解析 【分析】原不等式可化为，分三种情况求解即可. 【详解】原不等式可化为， 当时，原不等式为，故原不等式的解集为， 当时，， 当时，则，原不等式的解集为或， 当时，则，原不等式的解集为或， 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或. 5．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式：，其中是实数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解集得的根为和2，然后利用韦达定理列式求解即可； （2）根据两根大小关系分类解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以的根为和2，且， 所以，解得； （2）原不等式即为， 也即， ①当，即时，原不等式的解集为； ②当，即时，原不等式的解集为； ③当，即时，原不等式的解集为. 6．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知一元二次不等式的解集是. (1)求的值； (2)已知，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）是方程的一个根，是方程的另外一个根，计算得到答案. （2）确定，考虑和两类情况，在时，还需根据根的大小进行讨论. 【详解】（1）由题知，是方程的一个根， 将代入方程，得. 是方程的另外一个根，由韦达定理得，解得. （2）把代入不等式，整理. 当时，不等式化为，解得. 当时，不等式可化为， 方程有两个根1和. ①当时，，解不等式得，或； ②当时，，不等式为，得； ③当时，，解不等式得：，或. 综上所述： 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是或； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是或. 7．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)已知，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据含参一元不等式在上恒成立，分类讨论即可得的取值范围； （2）分类讨论求解含参一元二次不等式，即可得解集. 【详解】（1）当时， 由在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，即不在上恒成立， 当时，所以，即，不等式在上恒成立. 综上，时，在上恒成立. （2）由题意知， 令，得 当，即时，不等式的解为； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，不等式的解为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 8．（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可； （2）分类讨论，分三种情况讨论求出解集. 【详解】（1）当时，． ∵，即， ∴. 设方程的两根分别为，，则， 解得，， ∴不等式的解为， ∴函数的解集为． （2）由题意，得， ①当时，不等式化为，解得； ②当时，开口向上，此时， （i），即时，方程无解，不等式解集为； （ii），即时，方程有唯一解， 不等式解集为； （iii），即时，方程有两解， ，，且， 则不等式解集为或． ③时，开口向下，此时， 显然，方程有两解， ，，且， 不等式解集为． 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 9．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知函数； (1)若不等式的解集是且，求实数的值； (2)若，，解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由不等式解集得方程的根，由韦达定理待定系数即可； （2）结合二次函数图象的开口方向、判别式的符号、以及根在不在区间内（即根的正负）进行分类讨论，最后整合结论即可. 【详解】（1）由得，， 因为不等式的解集是， 则是方程的两根， 所以有，解得. 则， 验证：由解得，或，满足题意. 故实数的值为. （2）若，则， 不等式即， 当时，恒成立，则，又已知，则； 当时，. ①当时，，且函数开口向下，过定点， 则方程有且只有一个正根， 设方程的两根为，由，则 ， 由不等式解得，又，所以； ②当时，，且函数开口向上， 则恒成立，则； ③当时，，不等式为， 解得，由，得，或； ④当时，，且函数开口向上， 设方程的两根为， 则由韦达定理知，，则方程两根均为正根， 且，， 故由不等式解得，或， 又，所以，或； 综上所述，若， 则当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$