精品解析：山东省济宁市育才中学2024-2025学年高一上学期7月月考数学试题

2024年07月高一数学月考试卷 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 已知集合或，则等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并运算求结果. 【详解】或或. 故选：D 2. 在下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只需判断各函数与题述函数对应法则以及定义域是否相同即可求解. 【详解】解：对于A，（），与（）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B，（），与（）的对应关系不同，不是同一函数； 对于C，（），与（）的定义域不同，不是同一函数； 对于D，（），与（）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D． 3. 已知，则x+y的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所有的最小值为8. 故选：D 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 4. 对于集合，定义，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果. 【详解】集合，， 则，， 由定义可得：且， 且， 所以，选项 ABD错误，选项C正确. 故选：C． 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由可得，或，所以可推出，即“”是“”的充分条件；由，不能够推出，故“”是“”的不必要条件； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 设，若恒成立，则k的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 7. 已知，则的最小值为（ ）. A. 9 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将所给的不等式进行恒等变形，然后结合均值不等式即可求得其最小值，注意等号成立的条件. 【详解】. ，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值2. 的最小值为. 故选B. 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，代数式的变形技巧，属于中等题. 8. 给出下列关系式:①;②;③;④，其中正确关系式的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，依次判断即可 【详解】对于①，为有理数，故，不正确； 对于②，由于，，空集为任何集合的子集 故，不正确; 对于③，点在二次函数图象上，故 ，正确； 对于④，，不正确； 所以正确的个数为个. 故选：B 二．多选题（共4小题，每题4分共计16分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为或 B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为R D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接解不等式即可. 【详解】对选项A：等式的解集为或，故A正确； 对选项B：不等式的解集为，故B正确； 对选项C：不等式的解集为，故C错误； 对选项D：不等式，即，解集为，故D正确； 故选：ABD 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. 的最大值是 B. ab的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是2 【答案】ABC 【解析】 【分析】A、B选项由基本不等式直接判断即可；C选项分别利用多变量变单变量法并结合二次函数性质即可判断；D选项利用乘“1”法即可判断. 【详解】由得，当且仅当时取等，A正确； 由得，当且仅当时取等，B正确； 对C，因为，a，b为正数，则， ，当时去等，故C正确； 对D，， 当且仅当时等号成立，故D错误， 故选：ABC. 11. 下列结论不正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “，”是假命题 C. 内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】BC 【解析】 【分析】 利用充分条件与必要条件的定义判断AC；利用特例法判断B；利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断D. 【详解】自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确； ，所以“，”是真命题，B错误； 由，可得，是直角三角形，但是是直角三角形不一定意味着，所以“”是“是直角三角形”的充分不必要条件，C错误； 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“，”的否定是“，”，D正确. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 12. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式解集为，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断. 【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以， 由于，所以. A，，当时等号成立，故A正确. B，，当且仅当时等号成立，故B正确. C，不等式的解集为，，故C错误. D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则， 则，，故D正确， 故选：ABD 三．填空题（共4小题，每题5分共计20分） 13. 已知集合则=________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】由题意可得，解方程可得，故． 故答案为： 14. 命题“，”为真命题，则实数a的取值范围__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】题意说明不等式有解，由判别式大于0可得参数范围． 【详解】由题意，解得或， 故答案为：或． 15. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】算得，直接由基本不等式即可求解. 【详解】依题意， 所以 当且仅当，时等号成立． 故答案为：12． 16. 设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】由条件等式结合基本不等式可求得取得最大值时所需满足的条件，进一步即可得解. 【详解】∵， ∴， ∵x，y，z均为正实数， ∴ 当且仅当，即，此时时取“=”， 故此时. 故答案为：3． 四．解答题（共8小题，共计90分） 17. 已知集合， （1）已知，求 （2）若,求实数取值范围. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】分析：（1）先求和Q，再求．（2）对a分类讨论，再根据子集的概念得到a的不等式，解不等式即得a的取值范围. 详解：（）当时，，或， ∵， ∴， ∴． （）∵， ∴， 当时，即时，成立， 当时，， ∵， 则， ∴， 综上的取值范围是． 点睛：（1）本题主要考查集合的交、并、补运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题是一道易错题，第2问容易漏掉，即漏掉集合 的情况.解答集合运算时，不要漏掉了空集的情况. 18. 已知集合，， （1）当时，求； （2）若，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题可得集合，然后利用交集的定义运算即得； （2）由题可得，然后分为空集与不为空集两种情况求出的范围即可． 【小问1详解】 当时，，又， 则； 【小问2详解】 因为p是q的充分不必要条件， 所以， ①若，则，解得； ②若，由得到，， 解得：， 综上：的取值范围是． 19. 已知，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用不等式即可得解；（2）根据“乘1法”并利用基本不等式即可得解． 【小问1详解】 我们首先来证明一个不等式：因为，所以， 所以不等式成立，当且仅当时，等号成立； 由题意，且，因此， 所以的最大值为，当且仅当，即时，等号成立. 【小问2详解】 因为，所以根据“乘1法”并利用基本不等式可得 ， 所以的最小值为，当且仅当时，等号成立. 20. 关于的不等式的解为. （1）求，的值； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知：，是方程的两根，由韦达定理可解得系数，的值； （2）根据分式不等式的解法进行求解即可. 【小问1详解】 ∵的不等式的解为， ∴，是方程的两根，且， 由韦达定理可得：，解得，； 【小问2详解】 ∵，.∴不等式等价为， 即，解得，即不等式的解集为. 21. （1）已知x，y均为正数，且，求的最小值． （2）若正实数x，y满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）最小值为18 【解析】 【分析】 （1）利用“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值. （2）利用换元法，结合基本不等式对原方程进行化简，解不等式求得的最小值. 【详解】（1）． 当且仅当且，即时取等号，∴． （2）设，由，得， 即，所以，即， 当且仅当，即时，等号成立．故的最小值为18． 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 22. （1）已知不等式的解集为，求m，n的值； （2）求关于x的不等式 （其中）的解集. 【答案】（1），；（2）时，不等式的解集为，时，解集为． 【解析】 【分析】（1）是相应方程的根，代入后求得，然后解不等式可得； （2）不等式左边因式分解后，分类讨论确定解集． 【详解】（1）由题意，， 不等式为，即，解得，所以； （2）不等式可化为， 时，或， 时，， 时，或． 综上，时，不等式的解集为，时，解集为． 23. 已知二次函数． （1）若点在该二次函数的图象上，求的解集； （2）若点在该二次函数的图象上，且，求的最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即，讨论，，，时，结合二次不等式解法，不等式的解集，可得所求解集； （2）依题意可得，，可得，运用基本不等式和讨论，，可得所求最小值． 小问1详解】 解：因为点在函数上， 所以，即， 所以不等式，即，即， ①当时，解得，即不等式的解集为； ②当时，原不等式即为，则不等式的解集为； ③当时，解得或，即不等式的解集为； ④当时，解得或，即不等式的解集为； 综上可得，当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为. 【小问2详解】 解：因为点在函数上， 所以，即， 因为，所以， 所以， 当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立； 当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立． 所以的最小值为． 24. 完成下列各题： （1）如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值． （2）如图（2），某学校要在长为8m，宽为6m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪．若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】（1）长与宽分别是6m和4m时，彩带总长最小，彩带总长的最小值为48m （2） 【解析】 【分析】（1）设每个区域的长与宽分别是和，由题意可得，结合基本不等式即可进一步求解； （2）设花卉带的宽度为，由题意列出一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 设每个区域的长与宽分别是和， 由题意可得，则彩带的总长， 当且仅当，即且时，彩带的总长最小． 所以每个区域的长与宽分别是6m和4m时，彩带总长最小，彩带总长的最小值为48m； 【小问2详解】 设花卉带的宽度为，由题意可得， 即，即有，解得或， 由实际意义可得，所以中间草坪的面积大于总面积的一半， 则花卉带的宽度x的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年07月高一数学月考试卷 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 已知集合或，则等于（ ） A 或 B. C. D. 或 2. 在下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则x+y的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 对于集合，定义，，设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，若恒成立，则k的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知，则的最小值为（ ）. A. 9 B. C. 5 D. 8. 给出下列关系式:①;②;③;④，其中正确关系式的个数是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共4小题，每题4分共计16分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为或 B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为R D. 不等式的解集为 10 已知正数a，b满足，则（ ） A. 的最大值是 B. ab的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是2 11. 下列结论不正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “，”是假命题 C. 内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 12. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A. B C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 三．填空题（共4小题，每题5分共计20分） 13. 已知集合则=________． 14. 命题“，”为真命题，则实数a的取值范围__________________． 15. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________． 16. 设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为________． 四．解答题（共8小题，共计90分） 17. 已知集合， （1）已知，求 （2）若,求实数的取值范围. 18. 已知集合，， （1）当时，求； （2）若，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 19. 已知，且． （1）求的最大值； （2）求最小值． 20. 关于的不等式的解为. （1）求，的值； （2）求关于的不等式的解集. 21. （1）已知x，y均为正数，且，求的最小值． （2）若正实数x，y满足，求的最小值． 22. （1）已知不等式的解集为，求m，n的值； （2）求关于x的不等式 （其中）的解集. 23. 已知二次函数． （1）若点在该二次函数的图象上，求的解集； （2）若点在该二次函数图象上，且，求的最小值． 24. 完成下列各题： （1）如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值． （2）如图（2），某学校要在长为8m，宽为6m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪．若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$