5.2 函数的基本性质（第1课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第五章 函数的概念、性质及应用 5.2 函数的基本性质（第1课时） 5.2.2-5.2.3 函数的单调性 函数的最值 思考：1.观察这些函数图象，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 2.它们分别反映了相应函数有什么变化规律？ 问题：如何描述二次函数f(x)=x2的单调性. 在初中我们利用函数图象探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，这性质叫做函数的单调性. 图象在区间(-∞,0]逐渐下降，y随x的增大而减小. 任意取x1,x2 ∈(-∞,0] ，得到 ， 有 . 函数 f(x)=x2 在区间(-∞,0]上是单调递减的. 同理，函数 f(x)=x2在[0,+∞)上是单调递增的. 如何从数学运算的角度说明f(x1)和f(x2)的大小关系？ 作差法： 定义:对于定义在D上的函数y=f(x),设区间I是 D的一个子集.对于区间I上的任意给定的两个自变量的值 x₁、x₂,当x₁<x2时，如果总成立f(x₁)<f(x₂),就称函数 y=f(x)在区间I上是严格增函数;而如果总成立f(x₁)>f(x₂),就称函数y=f(x)在 区间I上是严格减函数. 此外，如果总成立f(x₁)≤f(x₂),就称函数y=f(x)在 区间I上是增函数;而如果总成立 f(x₁)≥f(x₂),就称函数y=f(x)在区间I上是减函数 . “严格增”“严格减”“增”及“减”统称为函数的单调性. 例题 证明：函数f(x)=x²—2x在区间(-∞,1)上是严格减函数. 证明：设x₁、x2是区间(一0,1)上任意给定的两个实数，且 x₁<x₂,我们有 f(x₁)=x12-2x₁,f(x₂)=x2²-2x₂. 由于 f(x₁)—f(x₂)=(x12-2x₁)—(x2²-2x₂) =(x12—x2²)-2(x₁—x₂) =(x₁—x₂)(x₁+x₂-2), 又x₁—x₂<0,且x₁+x₂-2<1+1-2=0,故 f(x₁)-f(x₂)>0, 即f(x₁)>f(x2). 因此，函数f(x)=x²—2x在区间(-∞,1)上是严格减函数. 思考：对于一般的二次函数y=f(x),其中f(x)=ax²+bx+c（a≠0）在其定义域的单调性是怎样的？ 定义：如果函数y=f(x)在某个区间I上是增(减)函数，那么就称函数y=f(x)在区间I上是单调函数 ,并称区间I是函数y=f(x)的一个单调区间。 需要注意的是，函数的单调性是针对包含于定义域中的某个区间而言的.有些函数虽然在整个定义域上不是单调函数，但是在包含于定义域中的某些区间上却可以是单调的. 练一练 观察：这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？ O x0 x M y y x O x0 M 定义 函数y=f(x)在xo处的函数值是f(xo),如果对于定义域内任意给定的x,都成立不等式f(x)≥f(x₀), 那么f(xo)就叫做函数y=f(x)的最小值;相反，如果都成立不等式f(x)≤f(xo),那么f(xo)就叫做函数y=f(x)的最大值. 练习1 ．若x > 0 ，则 （     ） A ．最大值为−2 B ．最小值为−2 C ．最大值为 6 D ．最小值为 6 A 练习2 ．函数 的值域为 . 题型一 证明函数的单调性 反思感悟 定义法证明函数f(x)在区间D上单调递增(单调递减)的一般步骤: (1)取值:∀x1,x2∈D; (2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并利用因式分解、配方、通分、分子分母有理化等方法对差式进行变形; (3)定号:确定f(x1)-f(x2)的正负; (4)下结论:根据函数单调递增(单调递减)的定义得出结论. 【例2】 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=-2x+1; (2)f(x)=x2+4x-1; (3)f(x)=|x+1|+|x-2|. 题型二 求函数的单调区间 解:(1)函数f(x)的定义域为R,由函数图象(图略)可知,f(x)在R上单调递减,因此函数的单调递减区间是(-∞,+∞),无单调递增区间. (2)函数f(x)的定义域为R,其图象是开口向上的抛物线,抛物线的对称轴是直线x=-2,由图象(图略)可知,该函数的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2]. (3)函数f(x)的定义域为R, 该函数的大致图象如右: 由图象可知,该函数的单调递增区间是[2,+∞), 单调递减区间是(-∞,-1]. 将本例中的(2)改为:若函数f(x)=x2+ax-1在区间[2,+∞)内单调递增,试求实数a的取值范围. 反思感悟 求函数单调区间的基本方法 (1)熟记常见函数的单调区间: ①一次函数y=kx+b,当k>0时在R上单调递增,当k<0时在R上单调递减; ③反比例函数 ,当k>0时,在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递减;当k<0时,在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递增. (2)分段函数的单调区间,可以先画出函数的图象,再结合图象观察分析得到单调区间;含有绝对值的函数,通常可以转化为分段函数后再通过图象得到其单调区间. (3)已知二次函数在某一区间的单调性,求参数的取值范围时,通常根据图象的对称轴与区间端点的大小关系建立不等式求解. 题型三 利用函数的单调性求最值 反思感悟 利用函数的单调性求最值的方法步骤 (1)利用单调性的定义或图象或其他方法判断函数在相应区间上的单调性; (2)根据函数的单调性确定函数取得最值的点; (3)代入函数的解析式求得最值. 答案:3 课堂练习 28 29 30 31 32 33 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 函数f(x)=x2+4x-1的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质求解即可. 【详解】的对称轴为， 因为，所以的图象开口向上， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 2．函数的单调严格增区间为 ． 【答案】 和 【分析】首先去绝对值，画出函数的图象，由图象判断函数的增区间. 【详解】 ， 由图像知，    该函数的单调增区间为 和 ． 故答案为： 和 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 试卷第1 = 1 页，共3 = 3 页 【变式训练1】 试用函数单调性的定义证明:f(x)=在区 间(-1,+∞)内单调递增. $$