6.1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章　立体几何初步 1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.了解球、圆柱、圆锥、圆台的定义. 2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征,并能在几何体中进行相关的计算. 3.了解简单组合体的概念及结构特征. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　球 1.球的定义、相关概念、图形及表示 球及相关概念 图形及表示 定义 以　　　　　　　所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面.球面所围成的几何体称为球体,简称球  球面不能展开成平面图形 球用表示它球心的字母来表示   图中的球记作:　　　  相关概念 球心:半圆的　　　　;  半径:连接球心和球面上任意一点的线段; 直径:连接球面上两点并且过球心的线段 半圆的直径 圆心 球O 2.球的相关性质 (1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径; (2)用任何一个平面去截球面,得到的截面都是圆,其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大,等于球的半径. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(　　) (2)球面和球体是一样的.(　　) (3)连接球面上两点的线段为球的直径.(　　) (4)过球面上一点可以作出无数个大圆.(　　) 2.过球面上任意两点A,B作大圆,可能作大圆的个数是多少? × × × √ 提示 当过A,B的直线经过球心时,经过A,B的截面所得的圆都是球的大圆,这时过A,B作球的大圆有无数个;当直线AB不经过球心O时,经过A,B,O的截面就是一个大圆,这时只能作出一个大圆. 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征 1.定义 矩形的一边 直角三角形的一条直角边 直角梯形垂直于底边的腰 2.相关概念 (1)高:在　　　　　上的这条边的长度.  (2)底面:　　　　　　　　　　的边旋转而成的圆面.  　　　　 注意圆面与圆不同 (3)侧面:　　　　　　　　　　旋转而成的曲面.  (4)母线:绕轴旋转的边.  　　 　母线无数条且都相等 旋转轴 垂直于旋转轴　 不垂直于旋转轴的边 3.图形表示 名师点睛 四种常见简单旋转体的性质比较 类型 球 圆柱 圆锥 圆台 底面形状 无 两个底面是互相平行且半径相等的圆 圆 两个底面是互相平行且半径不相等的圆 母线 无 互相平行且长度相等 相交于顶点且长度相等 延长线交于一点且长度相等 平行于底面的 截面形状 无 与两个底面半径相等的圆 与底面半径不相等的圆 与两个底面半径不相等的圆 过轴的截 面的形状 圆 矩形 等腰三角形 等腰梯形 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(　　) (2)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(　　) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱.(　　) 2.圆锥的母线长和底面圆直径有何关系? × √ × 提示 圆锥的母线长与底面直径无一般性关系;但是圆锥的母线、圆锥的高、圆锥底面圆半径可以组成直角三角形. 3.矩形的两相邻边长分别为3 cm和4 cm,以一边所在的直线为轴旋转,则所形成的圆柱的底面积为多少? 提示 当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为 4 cm,底面积为16π cm2; 当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为3 cm,底面积为9π cm2. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　旋转体的结构特征 【例1】 判断下列各说法是否正确. (1)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和圆台; (2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周而形成的面所围成的几何体是 圆台; (3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形; (4)到定点的距离等于定长的点的集合是球. 解 (1)错.只有当平面平行于圆锥底面时,才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台. (2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示. (3)正确. (4)错.应为球面. 规律方法　准确理解旋转体的定义,在此基础上掌握各旋转体的性质,才能更好地把握它们的结构特征,以作出准确的判断. 变式训练1给出下列说法:①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;③圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线.其中说法正确的是　　　　　.(填序号)  ① 解析①正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;②不正确,圆台的母线延长后必相交于一点;③不正确,由圆柱母线的定义知,圆柱的母线应平行于轴. 探究点二　球的截面问题 【例2】 已知半径为25 cm的球的一个截面的面积是49π cm2,则球心到这个截面的距离为　　　　　.  24 cm 规律方法　设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形,解答球的截面问题时,常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解. 变式训练2半径是13 cm的球面上有A,B,C三点,并且AB=BC=CA=12 cm,试求球心到经过这三点的截面的距离. 解 设截面圆的圆心为O1,球的球心为O, 则OO1即为球心到截面的距离, 又O1是正三角形ABC的外心, 探究点三　圆柱、圆锥、圆台中的有关计算 【例3】 如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O'O的母线长. 解 设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm. 过轴SO作截面,如图. 则△SO'A'∽△SOA,SA'=3 cm, 解得l=9,故圆台O'O的母线长为9 cm. 变式探究本例中若圆台的上底面半径为1 cm,其他条件不变,试求圆台的高. 解 因为圆台的上底面半径为1 cm,所以下底面半径为4 cm.如图, 在Rt△A'HA中, 规律方法　用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程组而得解.这种立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法. 探究点四　旋转体中的最值问题 【例4】 一个圆锥的底面半径为2,高为6,且有一个高为x的内接圆柱. (1)用x表示出圆柱的轴截面面积S. (2)当x为何值时,S取得最大值? 规律方法　1.对于旋转体中截面积的最值问题,一般是将面积表示为某一变量的函数,转化为函数最值问题,还要注意变量的取值范围的限制; 2.对于旋转体侧面上两点间距离的最小值问题,常利用侧面展开图转化为平面上两点间线段最短问题. 变式训练3已知圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm,母线长 AB=20 cm,从圆台母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到点A,求: (1)绳子的最短长度; (2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离. (2)作OQ⊥AM于点Q,交弧BB'于点P, 则PQ为所求的最短距离. ∵OA×OM=AM×OQ,∴OQ=24 cm. 故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm), 即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)旋转体的概念; (2)球的结构特征; (3)圆柱、圆锥、圆台的结构特征. 2.方法归纳:分类讨论、转化与化归. 3.常见误区:(1)易忽视同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的;(2)球的截面问题易漏掉情况. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B.棱台的侧面都是等腰梯形 C.底面半径为r,母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形 D.棱柱的侧棱长都相等,但侧棱不一定都垂直于底面 CD 解析 圆锥是以直角三角形的某一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体,当绕斜边旋转时,不是棱锥,故A错误; 棱台的侧面都是梯形,但棱台的侧棱不一定都相等,故B错误; 圆锥的轴截面是等腰三角形,其腰长为2r,又底面半径为r,故等腰三角形的底边为2r,即该圆锥的轴截面为等边三角形,故C正确; 棱柱的侧面都为平行四边形,所以侧棱都相等,棱柱包含直棱柱与斜棱柱,故侧棱不一定都垂直于底面,故D正确. 故选CD. 1 2 3 4 1 2 3 4 2.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为　　　　.(只填写序号)  ①②③ 解析 当截面平行于正方体的一个侧面时得①图;当截面过正方体的体对角线时得③图;当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得②图. 1 2 3 4 3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 ,则这个圆锥的母线长为　　　　　.  2 1 2 3 4 4.某球类比赛的冠军奖杯如图所示,顶部的球通过三根竖直的支撑杆与水平放置的长方体底座相连.若球的半径为15 cm,三根支撑杆长度均为30 cm,粗细忽略不计,且任意两根支撑杆之间的距离均为12 cm,则球的最低点到底座上表面的距离为　　　　　cm.  24 1 2 3 4 以所在的直线为旋转轴, 将其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体分别称为圆柱、圆锥、圆台. 解析 设球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d.因为 S截=πr2=49π,所以r=7(cm),所以d==24(cm),即球心到这个截面的距离为24 cm. 所以O1A=×12×sin 60°=4(cm). 在Rt△OO1A中,由勾股定理得OO1==11(cm), 所以球心到经过A,B,C三点的截面的距离为11 cm. 所以,所以. A'H==6(cm),即圆台的高为6 cm. 解 作出圆锥和内接圆柱的轴截面,如图. 设圆柱的底面半径为r,则由三角形相似可得, 解得r=2-,x∈(0,6). (1)圆柱的轴截面面积S=2rx=2x2-=-x2+4x,x∈(0,6). (2)∵S=-x2+4x=-(x-3)2+6, ∴当x=3时,S取得最大值,最大值为6. 解 (1)如图所示,将侧面展开,绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度. 设OB'=L',则有θ=×360°,θ=×360°,则L'=20 cm, ∴θ=×360°=90°,OA=40 cm,OM=30 cm. ∴AM==50 cm.即绳子最短长度为50 cm. 解析 如图所示,设等边三角形ABC为圆锥的轴截面,由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长,且S△ABC=AB2,所以AB2,所以AB=2.故圆锥的母线长为2. 解析 设三根支撑杆与球的连接点分别为A,B,C,则依题意有,△ABC为边长为12 cm的正三角形,设△ABC的外接圆的半径为r,球的半径为R,由正弦定理可得2r==24,所以r=12 cm,所以球心到△ABC所在的平面的距离d==9,所以球心到底座上表面的距离为d+30=39(cm),所以球的最低点到底座的上表面的距离为39-15=24(cm). $$