6.6.2 柱、锥、台的体积课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章　立体几何初步 6.2　柱、锥、台的体积 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式及其三种几何体体积计算公式的内在联系. 2.会利用柱体、锥体、台体的体积计算公式求有关几何体的体积,并掌握求几何体体积的基本技巧. 基础落实·必备知识全过关 知识点　柱体、锥体、台体的体积公式 名称 体积(V)公式 备注 柱体 棱柱 V=　　　  h为棱柱的高 S为棱柱的底面面积 圆柱 V=πr2h=Sh r为圆柱的底面半径 h为圆柱的高 S为圆柱的底面面积 锥体 棱锥 V=　　　  S为棱锥的底面面积 h为棱锥的高 圆锥 r为圆锥的底面半径 h为圆锥的高 S为圆锥的底面面积 Sh 三棱锥的每个面都可以作为底面 名称 体积(V)公式 备注 台体 棱台 V=　　　 　  S上,S下分别为棱台上、下底面的面积 h为棱台的高 圆台 V= πh(r2+rr'+r'2) = (S上+S下+ )h r,r'分别为圆台上、下底面的半径 h为圆台的高,S上,S下分别为圆台上、下底面的面积 名师点睛 在台体的体积公式中,如果设S上=S下=S,就得到柱体的体积公式V柱体=Sh;如果设S上=0,S下=S,就得到锥体的体积公式V锥体= Sh.因此,柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为 由图可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)从同一顶点出发的长方体的三条棱长分别为a,b,c,则V长方体=abc.(　　) (2)同底面积等高的柱体的体积是锥体体积的3倍.(　　) (3)圆台上、下底面半径分别为2,6,母线长为6,则圆台的体积为48π.(　　) (4)若圆锥的高扩大为原来的2倍,底面半径缩短为原来的 ,则圆锥的体积变为原来的 .(　　) √ √ × √ 2.把一张长为6、宽为4的矩形纸片卷成一个圆柱形,使其对边恰好重合,所围圆柱的底面半径是多少?所得圆柱体积是多少? 3.求三棱锥的体积时有何技巧? 提示 因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥. 4.台体可以还原为锥体,那么台体的体积可以怎样求? 提示 台体是由锥体用平行于底面的平面截得的空间几何体,所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差.求解过程如下: 如图所示,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S',S,高是h,设截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是 h+x, 重难探究·能力素养全提升 探究点一　柱体体积的计算 【例1】 已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm,宽为6 cm的矩形,求此正三棱柱的体积. 解 设正三棱柱的高为h cm,底面等边三角形的边长为a cm. ①若正三棱柱的底面周长为9 cm,则高h=6 cm,3a=9 cm,∴a=3 cm, 规律方法　柱体体积的计算方法 (1)公式法. 求出底面积和高,运用公式求出体积. (2)记住特殊的柱体的体积公式. ①正方体的体积=棱长的立方; ②长方体的体积=长×宽×高. 变式训练1已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4,则该圆柱的体积为(　) A.2π B.4π C.8π D.16π D 解析 V圆柱=πr2h=π×(4÷2)2×4=16π. 探究点二　锥体体积的计算 【例2】 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1. (1)求V1,V2以及V1∶V2; (2)求点A到平面A1BD的距离d. (2)三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD 是同一个几何体. 在△A1BD中,A1B=BD=A1D= a, 取BD的中点H,连接A1H, 变式探究若本例中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论. 解 不会.证明如下,不妨设在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将长方体分为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,底面△ABD是两直角边分别为a,b的直角三角形,其面积S= ×AB×AD= ab.底面ABD上的高h=AA1=c, 所以V1∶V2=1∶5,故比值没发生变化. 规律方法　锥体体积的计算方法 (1)锥体的体积公式V= Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥. (2)三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等积法. (3)有些柱体还可以利用分割法或补形法进行求解.无论分割法还是补形法都是要将所给的几何体分割成或补成易求解的几何体,体现了间接思维和化归的数学思想. 探究点三　台体体积的计算 【例3】 圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么该圆台的表面积和体积分别是多少?(结果中保 留π) 解 如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180°, 所以c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40, 所以AB=SB-SA=20, 所以S表面积=S侧+S上+S下=π(10+20)×20+π×102+π×202 =1 100π(cm2).故圆台的表面积为1 100π cm2. 设圆台的高为h,上底面半径r1=10 cm,下底面半径r2=20 cm, 变式训练2体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是(　　) A.54 B.54π C.58 D.58π A 本节要点归纳 1.知识清单: (1)柱体、锥体、台体的体积公式及其内在联系; (2)利用公式求几何体体积. 2.方法归纳:等体积法、割补法. 3.常见误区:(1)由于锥体与柱体体积计算公式混淆而出现错误;(2)易忽视体积公式的使用条件. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.某圆锥的母线长为5 cm,底面半径长为3 cm,则该圆锥的体积为(　　) A.12π cm3 B.15π cm3 C.36π cm3 D.45π cm3 A 1 2 3 4 5 2.如图,在正方体中,S为平面A1B1C1D1上一点,则四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的(　　) B 解析 由于四棱锥S-ABCD的高与正方体的棱长相等,底面是正方形,根据柱体和锥体的体积公式,得四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的 ,故选B. 1 2 3 4 5 AB 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则该棱台的体积是　　　　　.  1 2 3 4 5 5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸时,则平地降雨量是　　　　　寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)  3 1 2 3 4 5 Sh (S上+S下+)h 提示 (1)当以长为6的边作为圆柱的高时,所得底面半径为r1=,此时体积为V1=Sh=π·h=π××6=; (2)当以宽为4的边作为圆柱的高时,所得底面半径为r2=,此时体积V2=Sh=πh=π××4=. 则V台体=V大锥体-V小锥体=S(h+x)-S'x=[Sh+(S-S')x],而, 所以.于是有x=,代入体积表达式, 得V台体=h(S++S'). ②若正三棱柱的底面周长为6 cm,则高h=9 cm,3a=6 cm,∴a=2 cm, ∴S底面=×2×2×(cm2), ∴V正三棱柱=Sh=×9=9(cm3), 故该正三棱柱的体积为 cm3或9 cm3. ∴S底面=×3×3×(cm2), ∴V正三棱柱=Sh=×6=(cm3). 解 (1)截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形,其面积S=×AB×AD=a2. 底面ABD上的高为h=AA1=a.所以其体积V1=Sh=a2×a=a3.正方体的体积V=a3,所以V2=V-V1=a3-a3=a3.所以V1∶V2=1∶5. 则A1H⊥BD,BH=HD=BD=a, 所以A1H=a. 其面积BD·A1H=a×a=a2. 因为,即a3=·d,所以a3=a2×d, 解得d=a,即点A到平面A1BD的距离d为a. 所以其体积V1=Sh=ab×c=abc.长方体的体积V=abc, 所以V2=V-V1=abc-abc=abc. 所以h==10, 所以V=πh(+r1r2+)=π×10×(102+10×20+202)=π(cm3),即圆台的体积为π cm3. 规律方法　求台体体积的一般方法是求出台体的上、下底面的面积和高,然后套用公式V=)h计算求解,要充分利用截面、轴截面、展开图等求出所需要的量,再代入公式计算. 解析 设上底面半径为r,则由题意得下底面半径为3r,设圆台高为h1,则52=πh1(r2+9r2+3r·r), 所以πr2h1=12.令原圆锥的高为h,由相似知识得,所以h=h1,所以V原圆锥=π(3r)2×h=3πr2×h1=×12=54. 解析 由题意得圆锥的高为h==4, 所以圆锥的体积为π×32×4=12π(cm3). A. B. C. D.不确定 3.(多选)正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2,则下列叙述正确的是(　　) A.正三棱锥高为3 B.正三棱锥的斜高为 C.正三棱锥的体积为 D.正三棱锥侧面积为 解析 取△ABC的中心为O,连接PO. 由题意得PO⊥平面ABC. 因为△ABC为等边三角形,所以AO=, 所以正三棱锥的高为PO==3, 所以S△ABC=×3×3sin 60°=,所以正三棱锥的体积为VP-ABC=S△ABCPO=. 作PD⊥AB交AB于D,因为PA=PB=2,AD=AB=,所以正三棱锥的斜高为PD=,所以正三棱锥的侧面积为 3S△PAB=3××PD×AB=3××3=.故选AB. 6+2 解析 V=(S上+S下+)h=×(2+4+)×3=6+2. 解析 由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸,因为积水深9寸,所以水面半径为×(14+6)=10(寸),则盆中水的体积为π×9×(62+102+6×10)=588π(立方寸),所以平地降雨量等于=3(寸). $$