6.6.3 球的表面积和体积 课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章　立体几何初步 6.3　球的表面积和体积 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.能运用球的表面积和体积公式灵活解决实际问题. 2.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”等几何问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　球的基本性质 1.球的截面 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的　　　　;被不经过球心的平面截得的圆称为球的　　　　.  2.球的切线 (1)当直线与球有唯一交点时,称直线与球　　　　,这一交点称为直线与球的　　　　.  (2)过球外一点的所有切线的切线长都　　　　,这些切点的集合是一个圆,该圆面及所有切线围成了一个圆锥.  大圆 小圆 相切 切点 相等 名师点睛 1.球的直径等于球的内接长方体的对角线长,即 (其中R为球的半径,a,b,c分别为长方体的长、宽、高). 2.球面被两个平行截面所截得的圆的圆心的连线垂直于这两个截面,且经过球心. 过关自诊 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)过球外一点有且只有一条切线与圆相切.(　　) (2)球面上的任意三点确定一个平面.(　　) (3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.(　　) × √ √ 知识点二　球的表面积与体积公式 条件 球的半径为R 表面积公式 S球面=4πR2 体积公式 V球= πR3 V球= S球面·R 名师点睛 1.球的表面是曲面,不能展开为平面图形(即球没有表面展开图),也不能用计算平面图形面积的方法去计算其准确面积; 2.用球的表面积公式求得的球的表面积是准确值,而不是近似值,球的体积和表面积公式以后可以证明. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)球的表面积等于它的大圆面积的2倍.(　　) (2)若球的直径为1,则球的体积为 .(　　) (3)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.(　　) (4)若球的半径变为原来的2倍,则球的表面积变为原来的2倍.(　　) (5)球的体积是关于球半径的一个函数.(　　) × √ × × √ 2.若球的体积与其表面积数值相等,球的半径为定值吗? 提示 是定值,说明如下:设球的半径为R,则4πR2= πR3,解得R=3. 3.已知A,B,C是球面上三点,且AB=AC=4,∠BAC=90°,若球心O到平面ABC的距离为2 ,则该球的表面积为　 .  64π 解析 因为AB=AC=4,∠BAC=90°, 所以BC为平面ABC截球所得小圆的直径, 重难探究·能力素养全提升 探究点一　球的表面积与体积 【例1】 (1)已知球的表面积为64π,求它的体积; (2)已知球的体积为 ,求它的表面积. 规律方法　1.球的基本量是球的半径,由半径可以求出球的表面积和体积,反过来,由表面积和体积也可以求出球的半径,进而解决其他问题. 2.球的表面积之比是半径比的平方,球的体积之比是半径比的立方. 变式训练1若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的 　　　　　倍,表面积变为原来的　　　　　倍.  8 4　 探究点二　球的截面 【例2】 在半径为R的球面上有A,B,C三点,且AB=BC=CA=3,球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积. 规律方法　1.有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题. 2.解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2. 变式训练2如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(　　) A 解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解. 如图,作出球的一个截面,则MC=8-6=2(cm), 设球的半径为R cm, 则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42, 解得R=5, 探究点三　与球有关的切、接问题 【例3】 一个高为16的圆锥外接一个体积为972π的球,在圆锥里又有一个内切球.求: (1)圆锥的侧面积; (2)圆锥内切球的体积. 解 (1)如图所示, 作出轴截面,则等腰三角形SAB外接圆O,而圆O1内切于△SAB. 设圆O的半径为R,则有 πR3=972π, ∴R3=729,R=9,∴SE=2R=18. ∵SD=16,∴ED=2. ∵SE是直径,∴SA⊥AE,∴SA2=SD×SE=16×18=288,AD2=SD×DE=16×2=32, 规律方法　1.处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如中心、对角线的中点等. 2.解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算. 变式训练3若一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上,则正方体的表面积为(　　) A 解析 ∵球的半径为1,且正方体内接于球, ∴球的直径即为正方体的对角线,即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a,则有3a2=4,即a2= ,∴正方体的表面积为6a2=6× =8. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)球的截面及性质; (2)与球有关的切、接问题; (3)球的表面积与体积. 2.方法归纳:转化与化归,数形结合. 3.常见误区:(1)不能定量地分析球的半径变化引起的表面积和体积的变化程度;(2)与球有关的切、接问题中关键要素及其数量关系容易把握不清. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 1.一个圆柱的底面直径与高相等,且该圆柱的表面积与球O表面积相等,则球O的半径与圆柱底面半径之比为(　　) A 解析 设圆柱的底面半径为r,则其高为2r,所以圆柱的表面积S1=2πr×2r+πr2+πr2=6πr2. 设球O的半径为R,则其表面积S2=4πR2. 1 2 3 4 2.(多选)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为 ,则此球的体积为(　　) BD 1 2 3 4 3.正方体的内切球与其外接球的体积之比为(　　) C 1 2 3 4 4.如图,边长为2的正方形ABCD中,以B为圆心的圆与AB,BC分别交于点E,F,若tan∠CDF= ,则阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体的体积等于　　　　.  6π　 1 2 3 4 解析 在Rt△DCF中,DC=2,CF=DCtan∠CDF=2× =1, 所以BF=BC-CF=2-1=1, 正方形ABCD绕直线BC旋转一周形成圆柱,圆柱的底面半径R=AB=2, 高h1=BC=2,其体积V1=πR2h1=π×22×2=8π; 直角三角形CDF绕直线BC旋转一周形成与圆柱同底的圆锥,所以圆锥的底面半径R1=2, 1 2 3 4 2R= 如图,设小圆的半径为r,得2r==4, 解得r=2,又球心O到平面ABC的距离d=2, 根据球的截面圆性质,得球的半径R==4, 所以球的表面积为S=4πR2=64π. 解 设球的半径为R,则4πR2=64π,解得R=4, 所以球的体积V=πR3=π·43=. 解 设球的半径为R,则πR3=,解得R=5, 所以球的表面积S=4πR2=4π×52=100π. 解析 球的半径为R时,球的体积为V1=πR3,表面积为S1=4πR2,半径增加为2R后,球的体积为V2=π(2R)3=πR3,表面积为S2=4π(2R)2=16πR2,所以=8,=4,即体积变为原来的8倍,表面积变为原来的4倍. 解 依题意知,△ABC是正三角形,△ABC的外接圆半径r=.由R2=()2+()2,得R=2. 所以球的表面积S=4πR2=16π. A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 所以V球=π×53=(cm3). BM=AB=×8=4(cm). ∴SA=12,AD=4, ∴S圆锥侧=×2π×AD×SA=π×4×12=96π. (2)设内切球的半径为r,即圆O1的半径为r. ∵△SAB的周长为2×(12+4)=32, ∴r×32×8×16,解得r=4, ∴圆锥内切球的体积V球=πr3=. A.8 B.8 C.8 D.4 A. B. C. D. 由S1=S2得6πr2=4πR2,所以. 解析 如图,设截面圆的圆心为O', M为截面圆上任一点,则OO'=,O'M=1, ∴OM=,即球的半径为, ∴V=π()3=4π. A.π B.4π C.4π D.6π A.1∶ B.1∶3 C.1∶3 D.1∶9 解析 设正方体的棱长为a,则其内切球的半径为, ∴V内=π3=. 正方体的外接球的半径为a,∴V外=π(a)3=,∴V内∶V外=1∶3. 高h2=CF=1,其体积V2=h2=π×22×1=; 扇形BEF是圆的,绕直线BC旋转一周形成一个半球,球的半径为r=BE=1, 故其体积V3=r3=×13=; 所以阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉上述的半球与圆锥,故其体积V=V1-V2-V3=8π-=6π. $$