6.1.1 构成空间几何体的基本元素 课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章　立体几何初步 1.1　构成空间几何体的基本元素 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.借助几何体,理解点、线、面是构成几何体的基本元素. 2.平面的特征性质及其表示. 3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　构成空间几何体的基本元素 空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和曲线)、面(平面和曲面)等.  　　 “点动成线,线动成面,面动成体” 名师点睛 1.我们所学的几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小,而不考虑其他因素. 2.以长方体为例:长方体由六个面围成,每个面都是矩形(包括它的内部);相邻两个面的公共边,叫作长方体的棱;棱和棱的公共点,叫作长方体的顶点.长方体有6个面、12条棱、8个顶点. 过关自诊 天空中飘浮的气球是空间几何体吗?它是否由点、线、面构成? 提示 气球的内部虽是空的,但气球仍占有一定的空间,具有大小和形状,因此气球是空间几何体,它也是由点、线、面构成的. 知识点二　平面 1.特征:平面是空间最基本的图形,平面是无限延展的. 2.画法:一般地,用　　 　　表示平面.当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成　　　　,横边长画成邻边长的　　　　.  3.命名:平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,也可以用表示平行四边形顶点的字母表示,还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示. 斜二测画法 平行四边形 45° 两倍 名师点睛 1.平面是只描述不定义的原始概念,它具有无限延展性,是理想的、处处平直的,因此它没有厚度、没有大小,也没有面积、体积、重量等,即平面在各个项目上都是不可度量的. 2.平面的无限延展性,使其能将空间一分为二,也正是由于它的无限延展性,可以根据我们的需要向四周延展. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)平面具有无限延展性.(　　) (2)两个平面比一个平面厚.(　　) (3)平行四边形就是一个平面.(　　) (4)用长方形表示水平放置的平面.(　　) 2.几何中的“平面”有边界吗?用什么图形表示平面? √ × × × 提示 没有边界;常用平行四边形表示平面. 知识点三　空间中直线、平面的位置关系 如图,直线AB和平面A1B1C1D1没有公共点,即直线AB与平面A1B1C1D1平行;直线AA1和平面ABCD 中的AD,AB均垂直,可以看作AA1垂直于平面ABCD;平面ABCD和平面A1B1C1D1没有公共点,我们说这两个平面是平行的;平面ABCD和平面A1ABB1反映了两个平面相交.  此时交线是直线AB 名师点睛 1.在学习立体几何的过程中,要注意与初中所学平面几何知识进行类比,不要照搬,因为平面几何中的一些结论不能推广到空间中. 2.当两个平面相交时,可以如图把被遮挡部分画成虚线或不画.这样,看起来立体感强一些. 过关自诊 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线BD1既不相交又不平行的棱有(　)　　　　　　　　　　　　　 A.3条 B.4条 C.6条 D.8条 C 2.下列关于长方体ABCD-A1B1C1D1中点、线、面位置关系的说法正确的是　　　　.(填序号)  ①直线AA1与直线BB1平行; ②直线AA1与平面C1D1DC相交; ③直线AA1与平面ABCD垂直 ①③ 重难探究·能力素养全提升 探究点一　构成几何体的基本元素 【例1】 试指出下图中组成各几何体的基本元素. 解 (1)中几何体有6个顶点、12条棱和8个面. (2)中几何体有12个顶点、18条棱和8个面. (3)中几何体有6个顶点、10条棱和6个面. 规律方法　点是最基本的元素,只有位置,没有大小;直线没有粗细,向两端无限延伸;平面没有厚度,向四周无限延展.要熟记这三种基本元素的特点.在现实生活中要多观察几何体,以加深对构成空间几何体的基本元素的认识. 变式训练1如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的有　　　　.(填序号)  ①长方体一共有8个顶点; ②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱; ③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面; ④长方体由六个平面围成. ① 探究点二　对于平面的理解 【例2】 判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)平面的形状是平行四边形; (2)圆和平面多边形都可以表示平面; (3)若S▱ABCD>S▱A'B'C'D',则平面ABCD大于平面A'B'C'D'. 解 (1)不正确.我们常用平行四边形表示平面,但不能说平面的形状是平行四边形,平面是无形状可言的. (2)正确.通常情况下我们利用平行四边形来表示平面,但有时根据需要也可以用圆或其他平面多边形来表示平面. (3)不正确.因为平面无大小可言. 规律方法　1.在空间几何体中,平面是无限延展的,是理想的、绝对平直的. 2.平面是抽象出来的,没有厚度、没有大小,因此无法度量.平面几何中的平面图形,如三角形、四边形等都是有大小的,可以度量的,它们本身不是平面. 3.任何一个平面都可以将空间分为两部分,如果想从平面的一侧到另一侧,那么必须穿过这个平面. 变式训练2下列说法正确的是(　　) A.生活中的几何体都是由平面组成的 B.曲面都是有一定大小的 C.直线是无限个点组成的,而线段是由有限个点组成的 D.平面图形是空间图形的重要组成部分 D 解析 组成几何体的面既可以是平面,也可以是曲面;曲面也可以是无限延展的;直线和线段都是由无数个点组成的.根据这些特点可以排除A,B,C. 探究点三　几何中基本元素的位置关系 【例3】 如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,在长方体的面与棱中, (1)与棱BC平行的棱是哪几条? (2)与棱BC平行的平面是哪几个? (3)与棱BC垂直的平面是哪几个? 解 在长方体的面与棱中, (1)与棱BC平行的棱有棱B1C1,棱A1D1,棱AD. (2)与棱BC平行的平面有平面A1C1,平面AD1. (3)与棱BC垂直的平面有平面AB1,平面DC1. 变式探究(1)本例中与棱A1D1相交的棱有哪几条?它们与棱A1D1所成的角的度数是多少? (2)在本例长方体的12条棱中,可以用来表示平面A1B与平面D1C之间距离的是哪些棱? 解 (1)与棱A1D1相交的棱有4条,分别是棱A1A,棱A1B1,棱D1D,棱D1C1.因为长方体六个面都是矩形,所以它们与棱A1D1所成的角的度数都是90°. (2)由长方体的性质知棱A1D1,棱B1C1,棱BC,棱AD的长都可以用来表示平面A1B与平面D1C之间的距离. 规律方法　通过本例可以得到如下规律: (1)平行关系 ①直线与直线的平行关系: 如图,在长方体的12条棱中,分成“长”“宽”“高”三组,其中“高”AA1,BB1,CC1,DD1相互平行;“长”AB,DC,A1B1,D1C1相互平行; “宽”AD,BC,A1D1,B1C1相互平行. ②直线与平面的平行关系: 在长方体的12条棱及表面中,若棱所在的直线与某一平面(棱不在该平面内)不相交,则二者平行. ③平面与平面的平行关系:长方体的对面相互平行. (2)垂直关系 ①直线与平面的垂直关系: 在长方体的棱所在直线与各表面中,若直线与平面有且只有一个公共点,则二者垂直. ②平面与平面的垂直关系: 在长方体的各表面中,若两平面有公共点,则二者垂直. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)构成空间几何体的基本元素; (2)对平面的理解及其画法; (3)点线面的位置关系的直观认识; (4)简单几何体的展开. 2.方法归纳:转化法、数形结合. 3.常见误区:(1)对于平面无限延展的理解;(2)简单几何体展开前后长度和角度的变化. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 A 级 必备知识基础练 1.下列说法正确的是(　　) A.生活中的几何体都是由平面组成的 B.曲面都是有一定大小的 C.直线是由无限个点组成的,而线段是由有限个点组成的 D.直线平移时不改变方向一定不可能形成曲面 D 1 2 3 4 5 6 7 2.(多选)下列关于长方体的叙述中正确的是(　　) A.将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体 B.长方体中相对的面互相平行 C.长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离 D.长方体中两相对面之间的棱互相平行且等长 BCD 解析 A选项中,若矩形斜放,则不会形成长方体,故A不正确;B,C,D三项由长方体性质可知均正确. 1 2 3 4 5 6 7 3.下列关于长方体的说法中,正确的是　 　　.  ①长方体中有3组对面互相平行; ②长方体可看成是由一个矩形平移形成的; ③长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1平行且相等. ①②③ 解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,故①正确; 这个长方体可看成由它的一个平面ABCD上各点沿竖直方向向下移动相同距离AA1所形成的几何体,故②正确;棱AA1,BB1,CC1,DD1的长度是长方体中平面ABCD和平面A1B1C1D1的距离,因此它们平行且相等,故③正确.故正确的是①②③. 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 4.如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,如果把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中: (1)与平面BC'平行的平面有哪几个? (2)与平面BC'垂直的平面有哪几个? (3)平面AC与平面A'C'间的距离可以用哪些线段来表示? 解(1)有平面ADD'A'. (2)有平面ABB'A'、平面CDD'C'、平面A'B'C'D'与平面ABCD. (3)可用线段AA',BB',CC',DD'来表示. 1 2 3 4 5 6 7 B 级 关键能力提升练 5.(多选)下面是长方体ABCD-A1B1C1D1的几条棱,其中符合条件“与直线A1D1既不相交也不平行”的是(　　) A.AB B.B1C1 C.B1B D.CD ACD 解析 如图所示,因为B1C1∥A1D1,所以B不符合,其他选项均符合,故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 6.如图是一个正方体的展开图,每一个面内都标注了字母,则展开前与B相对的是(　　) A.字母E B.字母C C.字母A D.字母D B 解析 正方体展开图有很多种,可以通过实物观察,选一个面作为底面,通过空间想象操作完成.不妨选字母D所在的面为底面,可以得到A,F是相对的面,E与D相对;若选F做底面,则仍然得到A,F是相对的面,E与D相对,则与B相对的是字母C. 1 2 3 4 5 6 7 C 级 学科素养创新练 7.如图是边长为1 m的正方体,有一蜘蛛潜伏在A处,B处有一小虫被蜘蛛网粘住,请制作出模型,描述蜘蛛爬行的最短路线. 1 2 3 4 5 6 7 解通过正方体的展开图(如图所示),可以发现,AB间的最短距离为A,B两点间的线段的长,为 (m).由展开图可以发现,C点为其中一条棱的中点. 1 2 3 4 5 6 7 爬行的最短路线如图①~⑥所示. $$