2025年九年级中考数学复习讲义　 第12讲 二次函数图象与性质　

第12讲 二次函数的图象与性质 目 录 学科网（北京）股份有限公司 一、考情分析 二、知识建构 考点一 二次函数的相关概念 题型01 判断函数类型 题型02 判断二次函数 题型03 已知二次函数的概念求参数值 题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式 类型一 一般式 类型二 顶点式 类型三 交点式 考点二 二次函数的图象与性质 题型01 根据二次函数解析式判断其性质 题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 题型03 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 题型04 利用五点法绘二次函数图象 题型05 二次函数平移变换问题 题型06 已知抛物线对称的两点求对称轴 题型07 根据二次函数的对称性求函数值 题型08 根据二次函数的性质求最值 题型09 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 题型10 根据二次函数的最值求字母的取值范围 题型11 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 题型12 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 题型01 根据二次函数图象判断式子符号 题型02 二次函数图象与各项系数符号 题型03 二次函数、一次函数综合 题型04 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合 题型05 两个二次函数图象综合 考点四 二次函数与方程、不等式 题型01 求二次函数与坐标轴交点坐标 题型02 求二次函数与坐标轴交点个数 题型03 抛物线与x轴交点问题 题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 题型06 求x轴与抛物线的截线长 题型07 图象法解一元二次不等式 题型08 根据交点确定不等式的解集 题型09 二次函数与斜三角形相结合的应用方法 学科网（北京）股份有限公司 考点一 二次函数的相关概念 二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 根据实际问题列二次函数关系式的方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式. 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 二次函数的特殊形式：1)当b＝0时， y＝ax²＋c（a） 2)当c＝0时， y＝ax²＋bx （a） 3)当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a） 题型01 判断二次函数 【例1】（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（    ） A． B． . C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，进行判断． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项错误； B、由得到，是一次函数，故本选项错误； C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误； D、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确． 应选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键． 【变式1-1】（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、二次项系数a不能确定是否为0，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义及条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2． 【变式1-2】（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0． 判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、合并同类项)后，能写成y=ax²+bx+c(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次函数. 题型02 已知二次函数的概念求参数值 【例2】（2022·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如的函数为二次函数． 【详解】解：是二次函数，则且 由可得或， 由可得，， 综上 故答案为：C 【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义． 题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式 类型一 一般式 【例3】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数（，，为常数，且）中与的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（    ） 0 1 3 3 5 3 ① ②当时，的值随值的增大而减小； ③4是方程的一个根； ④当时， A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】利用待定系数法先求解抛物线的解析式为：；可得，可判①；根据函数的对称轴为直线，函数图象开口向下，可得当时，的值随值的增大而减小；可得②不符合题意；由可化为，可判断③符合题意；由时，可得或，可得当时，；可得④符合题意；从而可得答案． 【详解】解：当时，，则； 当时，；当时，， 则有， ， ； ①，故①符合题意； ②函数的对称轴为直线，函数图象开口向下， ∴当时，的值随值的增大而减小；故②不符合题意； ③可化为， 或；故③符合题意； ④时， ∴或， 当时，；故④符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练的掌握二次函数的图象与性质进而作出准确的判断是解本题的关键． 【变式3-1】（2023·天津河北·统考三模）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：；②和是关于的方程的两个根，③其中，正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】①用待定系数法求出函数解析式，得出a、b、c的值，即可判定①； ②把，代入，看左右两边是否相等，可判定②； ③把，，，，代入，求出m、n值，可计算的值，即可判定③． 【详解】解：由表格可知：，，，，，， 分别代入，得 ，解得：， ∴， ， 故错误； 把代入方程， 左边，右边， ∴左边=右边 把代入方程， 左边，右边， ∴左边=右边 和是关于的方程的两个根； 故正确； 把，，代入，得 ， 把，，代入，得 ， 故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键． 【变式3-2】（2023·浙江·一模）已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9． C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是． 【答案】C 【分析】根据二次方程的两根为和5，求出，的值，从而得出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【详解】解：二次方程的两根为和5， ， 解得， 二次函数， ， 当时，有最小值，最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式． 类型二 顶点式 【例4】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）一个二次函数的图象与抛物线的形状相同，且顶点为，那么这个函数的关系式是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，可设该二次函数的解析式为，再结合其顶点为，计算即可得出答案． 【详解】解：∵一个二次函数的图象与抛物线的形状相同， ∴可设该二次函数的解析式为， ∵该二次函数的顶点为， ∴该二次函数的解析式为， ∴该二次函数的解析式为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，理解图象形状相同的两个二次函数其二次项系数的绝对值相等是解题关键． 【变式4-1】2023·上海·统考中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向上，即， ∵二次函数的顶点在y轴正半轴上， ∴，即，， ∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键． 类型三 交点式 【例5】（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ． 【答案】3 【分析】根据题意可得交点式，然后把代入求出a值，即可求出二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、 ∴抛物线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴函数的解析式为， 即， ∴当时，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 【变式5-1】（2022·安徽宿州·校考模拟预测）已知抛物线与轴交于点和，与y轴交于点C，且． （1）抛物线的顶点坐标为 ． （2）点M，N是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值，设h为点M，N的纵坐标之和的最大值，则h的最大值为 ． 【答案】 7.5/ 【分析】（1）先用待定系数法求得抛物线的解析式，然后化成顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标． （2）先设出点M、N的横坐标，然后表示出两点纵坐标之和，再求二次函数的最值，并结合s的取值范围即可确定h的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和 ∴设， 将点代入得： 解得： ∴函数的表达式是： 化为顶点式： ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为： （2）如图．    依据题意，点M、点N均在抛物线上， 故设点 则： 整理成关于t为自变量的二次函数得： 当时，h最大， ∵， ∴时， h最大，此时 此时，点 故答案为： 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、顶点坐标、最大值，解题的关键是熟练掌握二次函数的最大值求法． 求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 考点二 二次函数的图象与性质 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 题型01 根据二次函数解析式判断其性质 【例1】（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是(   ) A．点在该函数的图象上 B．当且时， C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， 当时：， ∵， ∴， 即：点不在该函数的图象上，故A选项错误； 当时，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ∴，故B选项错误； ∵， ∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确； 当时，抛物线的对称轴为：， ∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【变式1-1】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称轴为轴，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，等于，由解析式可知开口向上，则时，随的增大而减小，即可判断，，的大小关系． 【详解】解：由二次函数可得，对称轴为轴， 即时的函数值与时的函数值相等，等于， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1-2】（2023·四川成都·统考一模）下列关于抛物线的说法正确的是（    ） ①开口方向向上；②对称轴是直线；③当时，随的增大而减小；④当或时，． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】将解析式化为顶点式，进而判断①②③，令，得出与轴的交点，根据函数图象即可判断④，即可求解． 【详解】解：，， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小； 故①正确，②错误，③正确； 令，即， 解得：，， 抛物线开口向上，与轴交于，， 当或时，， 故④正确， 综上所述，正确的有：①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，抛物线与轴的交点，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式1-3】（2022·湖北武汉·校考三模）抛物线（a、h、k是常数，，）过点．下列四个结论：①；②该抛物线经过点；③一元二次方程的一个根在1和2之间；④点，在抛物线上，当实数时，．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】根据题意，画出二次函数的图象，采用数形结合思想求解． 【详解】解：根据题意，抛物线抛物线的图象如图示： 对称轴是直线，过点，    ①：根据图象可知：，所以①是错的； ②：根据抛物线的对称性可知，抛物线也过点，所以②是正确的； ③：一元二次方程的根就是抛物线与x轴的交点横坐标， 根据题意和图象可知，有一个交点在1和2之间．所以③是正确的； ④：根据图象可知，， ， 所以④是正确的． 故正确结论为：②③④． 【点睛】掌握二次函数的性质，结合数形结合思想是解题的关键． 【变式1-4】（2023·江苏南京·校考三模）已知整式，下列关于整式的值的结论： ①的值可能为； ②当时，的值随的增大而增大； ③当为小于的实数时，的值大于； ④不存在这样的实数，使得的值小于． 其中所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的知识，二次函数的图象和性质，依次判断，即可． 【详解】当， ∴， 解得：，， ∴的值可能为， ∴正确； 设函数的解析式为：，如图 ∴对称轴为：，函数图象的开口向上， ∴当，函数随的增大而增大， ∴正确； 同理，当，函数随的增大而减小， ∴当时，函数在轴是上方，即， ∴正确； 设函数的解析式为：，如图 ∴当时，函数有最小值，最小值为： ∴无论取任何数， ∴正确； 综上所述：正确的为： 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握解一元二次方程，二次函数图象和性质，实数的性质． 题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 【例2】（2022·广东湛江·统考一模）将二次函数化为的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，即得答案． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的一般式转化为顶点式，需注意的是：第一，提取二次项系数而不是两边同时除以二次项系数，第二，当二次项系数是负数时，括号内需注意符号的变化． 【变式2-1】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）关于二次函数的最值，说法正确的是（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】C 【分析】将二次函数解析式一般式化为顶点式即，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴， ∵， ∴有最大值为； 故选． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2-2】（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④ 【变式2-3】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线的顶点在轴的下方，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在轴下方，即可求出的范围． 【详解】解：， 化为顶点式为：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于时，顶点位于轴下方． 【变式2-4】（2024·上海杨浦·统考一模）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图像与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标； (2)． 【分析】（）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标； （）令求出与轴交点坐标，令求出与轴交点坐标，然后求面积即可； 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握配方法和顶点式的相关性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴对称轴为直线，顶点坐标； （2）根据题意画图， 令，则， ∴点，则， 令，则，解得，， ∴，， ∴， 由（）得：， ∴， ， ． 题型03 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【例3】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 【变式3-1】（2023·浙江·模拟预测）已知、为抛物线与x轴交点的横坐标，则的值是（    ） A． B． C．或 D．0 【答案】A 【分析】由题意可作二次函数图象，当时，，由图象可得，进而可化简绝对值． 【详解】解：由题意可作如图：    当时，， 由图可知：， 则， 则的值是， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、化简绝对值，根据题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【变式3-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知二次函数为常数，且，则下列说法错误的是（　　） A．当时，函数图象的对称轴是轴 B．当时，函数图象过原点 C．当时，函数有最小值 D．如果，当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】A、把代入解析式，判断即可；B、把代入解析式，判断即可；C、当时，开口向上，判断最值即可；D、当时，可知对称轴在y轴右侧，但与无法比较，即可判断． 【详解】解：A、时，，对称轴是轴，故A选项正确，不符合题意； B、时，，时，，所以过，故B选项正确，不符合题意； C、时，即二次函数开口向上，所以有最小值，故C选项正确，不符合题意； D、时，对称轴为直线，即对称轴在y轴右侧，但无法判断与的大小，故D选项不正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 【变式3-3】（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线经过不同的两点，，下列说法正确的是（　　） A．若时都有，则 B．若时都有，则 C．若时都有，则 D．若时都有，则 【答案】C 【分析】根据两点的纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴为直线，再由对称轴公式即可求得答案； 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线． 对于A选项，若时， ∴． 又， ∴此时，y随x的增大而减小． ∴抛物线开口向上． ∴，故A不符合题意； 对于B选项，若时， ∴． 此时关于对称轴对称的点为， 若， ∴或． ∴选项B不符合题意． 若时， ∴． 又， ∴此时，y随x的增大而减小． ∴抛物线开口向上． ∴，故C符合题意． 若时， ∴． 又， ∴此时，y随x的增大而增大． ∴抛物线开口向下． ∴，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时需要熟练掌握并灵活运用． 【变式3-4】（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 题型04 利用五点法绘二次函数图象 【例4】（2023·广东深圳·校考模拟预测）请结合图像完成下列问题： (1)请在图中画出函数：的图像；    (2)结合图像直接写出方程：的解为：_______； (3)在图中画出函数的图像，并结合图像直接写出方程：的解为： ．    【答案】(1)作图见解析 (2) (3)或或，作图见解析 【分析】（1）先列表、然后描点、再连线即可得出函数图象； （2）作出一次函数的函数图象，然后根据函数图象得出方程：的解即可； （3）先列表、然后描点、再连线即可得出函数图象；方程可以变为，作出函数的函数图象，最后找出两个函数图象的交点，即可得出的解． 【详解】（1）解：列表： x … 0 5 10 … … 14 9 4 9 14 … 描点，连线，如图所示：    （2）解：如图，一次函数与函数的交点的横坐标为， ∴方程的解为， 故答案为：．    （3）解：列表： x … 0 1 2 3 … … 7 4 3 4 3 4 7 … 描点，连线：    方程可以变为， 如图，函数的图象与函数的图象交点的横坐标为：，，， ∴方程的解为或或， 即方程的解为或或．    【点睛】本题主要考查了用描点法作函数图象，根据函数图象求方程的解，解题的关键是熟练掌握函数图象的作图方法，数形结合． 【变式4-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知，抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．    (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）采用“五点作图”法即可求解； （2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： 图象如图所示：    （2）解：将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 可得： 即： 【点睛】本题考查二次函数的图象及平移．掌握二次函数的平移规律是关键． 【变式4-2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答： (1)作图探究： ①下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 0 0 n 8 … ___________，___________； ②在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：    (2)深入思考： 根据所作图象，回答下列问题： ①方程的解是___________； ②如果的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是___________； (3)延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程． 【答案】(1)① ；3；②图见解析 (2)① 或或；②   (3)将函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到的图象 【分析】（1）①把与代入进行计算即可得到答案；② 先描点，再连线即可； （2）①根据函数图象与轴交点的横坐标即可得到答案；② 根据函数图象可得答案； （3）根据函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，可得答案. 【详解】（1）解：①当时，； 当时，； 答案为：；3； ②描点，连线，该函数的图象如图，    （2）①由函数图象可得方程的解是或或； ②根据的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是； 答案为：①或或；②； （3）根据函数图象的平移规则可得： 将函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到的图象； 【点睛】本题考查的是求解函数的函数值，画二次函数的图象，二次函数与轴的交点坐标，二次函数图象的平移，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 题型05 二次函数平移变换问题 【例5】（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 【变式5-1】（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 【变式5-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线顶点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线顶点坐标是， 将其向下平移2个单位，得到的抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴， 则， ， ∴平移后抛物线的顶点坐标是一定在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键． 【变式5-4】（2023·广西·统考中考真题）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 题型06 已知抛物线对称的两点求对称轴 【例6】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知二次函数，其图象过点，则h的值应该是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线由于A、B的纵坐标都是2，求得对称轴为直线，即可得出． 【详解】由解析式可知抛物线的对称轴为直线 ∵点，它们的纵坐标相同， ∴对称轴为直线， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解． 【变式6-1】（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）如果抛物线经过，那么抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】二次函数图象是轴对称图形，经过，为一对对称点，于是得对称轴． 【详解】解：由抛物线经过，得关于对称轴对称，即对称轴过的中点，， 故答案为：直线． 【点睛】本题考查二次函数图象的轴对称性质，中点坐标公式，理解二次函数的轴对称性是解题的关键． 【变式6-2】（2023·福建福州·校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数过点，，直线与抛物线交于，两点，取中点，则的横坐标为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，可得一次项系数，联立两个函数解析式得到一个一元二次方程，根据中点公式与根与系数的关系直接求解即可． 【详解】∵二次函数过点，， ∴对称轴， 解得，则， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴，得， ∵取中点， ∴的横坐标为． 故答案为： 【点睛】此题考查二次函数的性质和中点坐标公式以及一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是先通过对称性求出对称轴，然后通过联立两函数解析式求交点坐标，最终通过中点公式求出中点横坐标． 题型07 根据二次函数的对称性求函数值 【例7】（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵分别位于抛物线对称轴的两侧， 假设点在对称轴的右侧，则，解得， ∴ ∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧， ∴ 解得： 又∵， ∴ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式7-1】（2023·湖南衡阳·统考一模）如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，关于称轴是直线的对称点是， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 【变式7-2】（2023·江苏南通·统考一模）抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征得出的取值范围． 【详解】解：抛物线顶点坐标为， 抛物线对称轴为， 抛物线经过点和，， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，准确找到对称轴，利用对称轴表示出是解答本题的关键． 【变式7-3】（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最大值为， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线， 设的对称点为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小． 【变式7-4】（2023·浙江·统考二模）二次函数(，是常数，)的图象过点，下列选项正确的是(    ) A．若对称轴为直线，则 B．若对称轴为直线，则 C．若对称轴为直线，则 D．若对称轴为直线，则 【答案】C 【分析】先求得抛物线与轴交于，然后根据抛物线的对称轴求得对称点，根据抛物线对称轴的右侧的增减性即可求解． 【详解】解：由，当时，，即抛物线与轴交于 若对称轴为直线，则关于对称的点为， 又二次函数(，是常数，)的图象过点， 在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，故A错误 若对称轴为直线，则关于对称的点为， 又二次函数(，是常数，)的图象过点， 在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，故B错误 若对称轴为直线，则关于对称的点为， 又二次函数(，是常数，)的图象过点， 在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∴抛物线开口向下，即，故C正确 若对称轴为直线，则关于对称的点为， 又二次函数(，是常数，)的图象过点， 在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∴抛物线开口向下，即，故D错误 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型08 根据二次函数的性质求最值 【例8】（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， 当时，， ， 故A、B错误，不符合题意； 当时，， 由二次函数对称性可知，， 当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于， 故C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式8-1】（2023·河南周口·统考一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（        ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】将，代入，求出，利用海伦公式，得到，设 ，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：将，代入，得， ∴， ∴． 三角形的面积． 设 ， 它是a的二次函数，开口向下，当时，y取最大值1， 此时，面积S取最大值为． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解并掌握海伦公式，将面积的最大值转化为二次函数求最值． 【变式8-2】（2023·安徽六安·统考一模）若，，且，的最小值为m，最大值为n，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先用a表示b，然后代入中，利用配方法进行配方，再根据，确定a的取值范围，根据二次函数的增减性确定m，n的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， 设 ， ，， ， 解得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随a的增大而增大， 当时，y最小，即， 当时，y最大，即， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，用a表示b，转化为关于a的二次函数，根据a的取值范围确定最大值和最小值是解题的关键． 【变式8-3】（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 题型09 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 【例9】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）已知抛物线（c为常数）经过点、、，当时，m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求得抛物线的对称轴为直线，进而得到抛物线为，根据抛物线的对称性得出，即可得到，代入得到，根据图象上点的坐标特征即可求得． 【详解】解：抛物线为常数）经过点，， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线为， 抛物线为常数）经过点，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 【变式9-1】2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 题型10 根据二次函数的最值求字母的取值范围 【例10】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 【变式10-1】（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示： ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 【变式10-2】（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 题型11 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 【例11】（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 【变式11-1】（2023·浙江金华·统考一模）已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将点代入求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在时的最大值和最小值即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为：， ∴该函数的对称轴为直线， ∵， ∴该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴再之间，当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值， ∴当时，y的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小． 【变式11-2】（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵，， ∴， ∴； ∵，，，， ∴， ∵存在， ∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴，即，且， ∵，， ∴且， 解得， 故答案为：；． 题型12 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 【例12】（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：A． 【变式12-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出选项． 【详解】解： ∵图象与x轴有交点， ∴， 解得； ∵抛物线的对称轴为直线 抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴实数a的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 【变式12-2】（2023·四川资阳·统考二模）已知抛物线，当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①当时，抛物线开口向上， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得，， ∴； ②当时，抛物线开口向下， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得，， ∴, ∴符合题意, 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式12-3】（2023·山东济南·统考三模）若点在抛物线上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线的解析式确定其对称轴，结合抛物线的对称性，开口方向，函数的增减性和两个点的坐标即可确定的取值范围． 【详解】抛物线的对称轴是， 当点关于直线对称时， ， 解得． ∴当时，． ∵，抛物线开口向下，点在的右侧， ∴当时． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用抛物线的对称性和函数的增减性确定的取值范围是解题的难点． 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 题型01 根据二次函数图象判断式子符号 【例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B 【变式1-1】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②错误； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：B． 【变式1-2】（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点. 【变式1-3】（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④. 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 【变式1-4】（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且． ∴对称轴为直线， ， ∵， ∴，故①错误， ∵ ∴，即，两点之间的距离大于 又∵ ∴时， ∴若，则，故②正确； ③由①可得， ∴，即， 当时，抛物线解析式为 设顶点纵坐标为 ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴ ∴ ∴ ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为，而， ∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确； ④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有， 又， ∴点离较远， ∴对称轴 解得：，故④正确． 故答案为：②③④． 题型02 二次函数图象与各项系数符号 【例2】（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 【变式2-1】2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 【变式2-2】（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤； 【详解】解：①抛物线开口向上，，， ∴当时，，故①不符合题意； ②∵抛物线过点， ∴函数的最小值， ∴有两个不相等的实数根； ∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意； ③∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴，而， ∴， ∴，故③不符合题意； ④∵抛物线过点， ∴， ∵时，， 即， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤∵，， ∴， 由根与系数的关系可得：，， ∴ ∴， ∴，故⑤符合题意； 故选：C． 【变式2-3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键， 根据题意得到抛物线的解析式为，即可得到，，代入即可判断①；根据判断②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把，代入解方程求出m的值判断④． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， ∴，， ∴，故①正确； ∵点C的纵坐标在～之间， ∴，即， ∴，故②正确； ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故③错误； ∵令相等，则 ∴，解得（舍），， ∴，故④正确； 故选A． 【变式2-4】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：    ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确． 【详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 【变式2-5】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图象交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴； ∵、， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接，则，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 题型03 二次函数、一次函数综合 【例3】（2023·广东河源·统考二模）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】考查了抛物线和直线的图象，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线，可知图象开口向下，交轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过二，三，四象限，，故此选项不符合题意； B、由抛物线，可知图象开口向下，交轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，三象限，，，故此选项不符合题意； C、由抛物线，可知图象开口向上，交轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，四象限，，，故此选项符合题意； D、由抛物线，可知图象开口向上，交轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过一，三，四象限，，，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为 联立 解得：或 ∴， 由，则，对称轴为直线， 设，则点在上， ∵且， ∴点在点的左侧，即，， 当时， 对于，当，，此时， ∴， ∴ ∵对称轴为直线，则， ∴的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键． 35．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， 故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则 故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故选：B． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想． 【变式3-2】（2023·广东广州·统考二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　）   A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系以及一次函数与二次函数的图象的综合判断，通过分析二次函数图象得到的符号是解题关键． 【详解】解：根据已知二次函数图象，抛物线开口向下，则可知， 由抛物线对称轴在y轴右侧，则对称轴为直线， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故应选：C 题型04 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合 【例4】（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 【变式4-1】（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 【变式4-2】（2023·江西宜春·校考二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象可能是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象可得，根据反比例函数可得，据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、三、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握以上函数图象的性质是解题的关键． 【变式4-3】（2023·安徽·统考中考真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）        A．       B．   C．       D．       【答案】A 【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，        设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键． 考点四 二次函数与方程、不等式 一、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线. 3. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= . （原因：MN=| x1- x2|=） 题型01 求二次函数与坐标轴交点坐标 【例1】（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为，依题意，，根据题意抛物线开口向下，当时，，即可判断A选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选项，据此，即可求解． 【详解】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为 依题意， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，，即 ∴，故A选项正确，符合题意； 若对称轴为，即， 而，不能得出对称轴为直线， 故B选项不正确，不符合题意； ∵抛物线与坐标轴有2个交点， ∴方程有两个不等实数解，即，又 ∴，故C选项错误，不符合题意； 无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】（2023·湖南郴州·统考中考真题）抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】9 【分析】根据抛物线与轴只有一个交点，则判别式为0进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴ 解得c=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点，则判别式；抛物线与x轴有一个交点，则判别式；抛物线与x轴没有交点，则判别式． 【变式1-2】（（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】2 【分析】将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：点在上， ∴， ， 解得：(舍去) 故答案为：2． 【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意求解是解题关键． 【变式1-3】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 题型02 求二次函数与坐标轴交点个数 【例2】（2023·江苏无锡·校联考一模）抛物线与坐标轴的交点个数为 个． 【答案】2 【分析】当时，求出与轴交点的纵坐标；当时，求出关于的一元二次方程的解，即抛物线与轴的交点个数． 【详解】解：当时，，则抛物线与轴交点坐标为， 当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为， 所以抛物线与坐标轴有2个交点． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 【变式2-1】（2023·四川南充·统考中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴ 即 解得：或， 当时，如图所示，    依题意，当时，， 解得：， 当时，，解得， 即， 当时， 当时，， 解得： ∴    综上所述，或， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2-2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）关于抛物线下列说法正确的是（    ） ①开口向上；②与坐标轴有3个交点；③一定过点；④顶点一定不在第二象限 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据判断开口方向，根据根的判别式判断交点个数，令求出函数值，判断是否经过，再求出顶点坐标，判断所在象限． 【详解】解：在中， ，故开口向上，故①正确； ∵， ∴当时，抛物线与x轴有一个交点， 由于抛物线与y轴有一个交点，故与坐标轴有2个交点，故②错误； 令，则， 故一定过点，故③正确； ， 当时，， ∴顶点一定不在第二象限，故④正确； ∴正确的有①③④， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟知每个象限中点的坐标特征． 题型03 抛物线与x轴交点问题 【例3】（2023·安徽滁州·校考二模）若二次函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，方程只有一个实数根，再根据一元二次方程根的判断式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象与轴有且只有一个交点， ， 解得：, 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点和一元二次方程关系，一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握①，方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有2个交点；②，方程有两个相等的实数根，抛物线与轴有1个交点；③，方程没有实数根，抛物线与轴没有交点． 【变式3-1】（2023·辽宁鞍山·校考一模）函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分类讨论：①当，函数的图象和x轴有交点；②当，函数的图象和x轴有交点，即方程有实数根，由此即可求解． 【详解】分类两种情况讨论： ①当，函数，该函数的图象和x轴必有有交点； ②当，函数的图象和x轴有交点， 即方程有实数根， 则 ∴ ∴且 综上所述，k的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查了函数与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，运用分类讨论是解题的关键． 【变式3-2】（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）函数（a为常数）的图象与坐标轴只有两个交点，则 ． 【答案】0或或 【分析】当时，可知满足条件，当时，分当函数图象过原点时和不过原点，当过原点时，可知满足条件，当不过原点时，可知二次函数图象与轴只有一个交点，令，得到一个关于的一元二次方程，可知该方程有两个相等的实数根，由一元二次方程根的判别式等于0可求得的值． 【详解】解：当时，函数为，与坐标轴只有两个交点，满足条件； 当时，分两种情况： ①当函数图象过原点时，则有，解得，此时满足条件； ②当函数图象不过原点时，令可得， 因其与轴有一个交点，所以该方程有两个相等的实数根， ，即，整理可得， 解得， 综上可知的值为0或或． 故答案为：0或或． 【点睛】本题主要考查函数与坐标轴的交点，由条件得出函数图象与轴只有一个交点是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 【变式3-3】（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）已知抛物线． （1）若对称轴在直线处，则 ； （2）若顶点在y轴上，则 ； （3）若抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，则k的取值范围为 ； （4）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】（1）根据对称轴求解即可； （2）根据对称轴求解即可； （3）根据，求解即可； （4）根据且，求解即可． 【详解】解：（1）对称轴在直线处，即，解得； （2）抛物线的顶点在y轴上，即，解得：； （3）抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，即，解得； （4）抛物线与x轴有两个交点，则，且 解得，且． 故答案为：；；；且 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例4】（2022·河北邢台·校考三模）已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人关于的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（    ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】先把一元二次方程的根的情况转化为直线与抛物线的交点问题，再根据抛物线的最大值为，然后结合图形分类讨论即可． 【详解】解：， ， 由图象可知，的最大值为， 当时，， 直线与抛物线没有公共点， 方程无实数根，故甲说法正确； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故乙说法错误； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故丙说法正确； 说法正确的有甲、丙，共2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线与直线的交点问题，关键是把方程的解转化为抛物线与直线的交点问题． 【变式4-1】（2023·辽宁大连·统考二模）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．抛物线开口向上 B．方程的解为， C．抛物线对称轴为直线 D．抛物线与y轴交点坐标为 【答案】D 【分析】根据图象可得开口方向、与轴交点坐标、与轴的交点坐标，由此可求对称轴和对应方程的解． 【详解】A.由图象得：抛物线开口向上，故此结论正确； B.由图象得：与轴的交点坐标为，，所以方程的解为，，故此结论正确； C.，解得，所以抛物线对称轴为直线，故此结论正确； D.由图象得：顶点坐标为，可设，，解得， 抛物线与y轴交点坐标为，故此结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了由二次函数的图象获取开口方向、与坐标轴交点坐标和对称轴问题，正确获取信息，理解二次函数与坐标轴的交点坐标，与对应方程之间的关系，会求对称轴是解题的关键． 【变式4-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）数形结合是我们学习数学的一种重要思想方法，请运用数形结合的思想方法判断方程的根的情况是（    ） A．有3个实数根 B．有2个实数根 C．有1个实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】把原方程变形为，可得方程的根的个数为函数与函数的交点的个数，再画出两函数图象，结合图象，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴，即， ∴方程的根的个数为函数与函数的交点的个数， 画出两函数图象，如下：    观察图象得：函数与函数有1个交点， ∴方程有1个实数根． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数和二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 【例5】（2023·四川成都·校考三模）在探究关于x的二次三项式的值时，小明计算了如下四组值： 小明说，他通过这四组值能得到方程的一个近似根，这个近似根的个位是 ，十分位是 ． 【答案】 1 1 【分析】根据表格可得，则方程的一个近似根取值范围为：，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∴方程的一个近似根取值范围为：， ∴这个近似根的个位是1，十分为是1， 故答案为：1，1． 【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握正确理解表格中的数据，根据表格得出近似根的取值范围． 题型06 求x轴与抛物线的截线长 【例6】（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 【变式6-1】（2022·四川眉山·统考二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设A、B两点的横坐标为、，由题意知，，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：设A、B两点的横坐标为、， 由题意知：，，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，抛物线与x轴的截线长问题，解题的关键是熟练掌握韦达定理，以及抛物线与x轴的截线长等于，利用求解． 【变式6-2】（2021·河北·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，从而得，再根据线段上有且只有7个点的横坐标为整数，可得当时，，当时，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴． ∵线段上有且只有7个点的横坐标为整数， ∴这些整数为，，0，1，2，3，4. ∵， ∴当时，，当时，， ∴且， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据函数图像点的坐标特征，列出关于m的不等式组，是解题的关键． 【变式6-3】（2023·四川自贡·统考中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ∵抛物线经过两点 ∴， 即， ∴， ∵抛物线与轴有交点， ∴， 即， 即，即， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型07 图象法解一元二次不等式 【例7】（2023·山东济宁·统考一模）如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像解答即可． 【详解】解：由图象可知，当时，x的取值范围． 故选C． 【点睛】本题考查了利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键． 【变式7-1】（2022·江苏徐州·校考二模）二次函数的图像如图所示，则函数值时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，当或时，． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是关键． 【变式7-2】（2022·江苏苏州·统考二模）若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋b≥0的解集为（    ） A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2 【答案】A 【分析】先求出二次函数表达式，再求出与x轴的交点坐标的横坐标，画出图像，利用数形结合的思想解答即可． 【详解】解：将（0，4）代入y＝－x2＋b中得b=4， ∴y＝－x2＋4 设y＝－x2＋4与x轴交于A，B两点， 令y=0，即－x2＋4=0，解得 ∴A（2，0）B（-2，0） 图像如下： 由图像可得：当－x2＋4≥0时的解集为：－2≤x≤2， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 题型08 根据交点确定不等式的解集 【例8】（2023·山东威海·统考一模）如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】B 【分析】观察函数图象，找到抛物线在双曲线下方时的自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：观察函数图象，可知当时，或， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象的性质，数形结合是解题的关键． 【变式8-1】（2023·山东泰安·统考一模）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①  ②  ③  ④若m的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据图像，可直接判断的符号；根据二次函数和横轴的交点坐标可得对称轴；两个函数的交点可直接画出图像进行判断． 【详解】（1）由图可知，或，故错误； （2）由（1）可知，当；当；而，则或，故错误； （3）对称轴为，故正确； （4）如图， 当时，一次函数是直线；当时，一次函数是直线；由图可知，时，直线与的图象有4个公共点，故正确； 故选：C 【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是此题中的绝对值表示所有的函数值非负，即可画出图像，重难点是一次函数中m的取值范围影响一次函数和轴的交点位置，而交点个数看图直接判断即可． 【变式8-2】（2022上·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】由直线过定点，抛物线的对称轴为直线，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴直线过定点， 而抛物线的对称轴为直线， 如图，当时，    而直线与抛物线总有公共点， ∴， 解得：， ∴此时； 当时，如图，    而直线与抛物线总有公共点， ∴， 解得：； 综上：或． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合，将交点问题转化为不等式问题是求解本题的关键． 【变式8-3】（2023·湖南·统考中考真题）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点， ∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为， ∴分别是A、B、C、D的横坐标， ∴， 故选B．    【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 题型09 二次函数与几何的应用方法 【例9】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． ． 【变式9-1】（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 【变式9-2】（2023上·宁夏石嘴山·九年级校考期中）如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点，它的对称轴为直线，顶点为 (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)点的坐标为或，点的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是 （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据条件求出三点坐标，根据即可求解； （3）根据题意可知时，以为顶点的三角形与全等，设点，分两种情况：当点P在抛物线对称轴右侧时；当点P在抛物线对称轴左侧时分别求解． 【详解】（1）解：把和代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴，把代入得：， ∴， 令，解得：，∴， 令，则，解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与对称轴相交于点M，如图， 把代入直线的解析式为得：， ∴， ∴； （3）解： 由（2）得：，，，对称轴， ∴， 由题意得：， 则当时，以为顶点的三角形与全等， 设点， 当点P在抛物线对称轴右侧时，，解得， ∴， ∴点， ∴点或； 当点P在抛物线对称轴左侧时，由抛物线对称性可得，， 此时点或； 综上：点的坐标为或，点的坐标为或； 【变式9-3】（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）如图，二次函数经过点，点是轴正半轴上一个动点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．设点的横坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求的值． (3)点在线段上时， ①连接、，当的面积最大时，求点的坐标； ②若以、、为顶点的三角形与相似，求的值； 【答案】(1) (2) (3)①E（2，5）；②m的值是或． 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）先求得直线的解析式为，从而有，，根据为线段的中点时，得方程，解方程即可； （3）①设出，，列出与的函数关系式即可得解；②由，分当为直角时与为直角时两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把（，）、（，）代入 得，解得 ∴ （2）解：∵（，）、（，） ∴直线的解析式为 ∵，则， ∴， 当为线段的中点时，则有 即： 解得（三点重合，舍去）或 ∴ （3）解：①∵（，）， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴当时，的最大值为，此时（，） ②∵，，∴ 由（）可知：（，）、、 ∵ ∴以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论： ①当为直角时，则 ∴，即： ∴，即： 解得：（舍去）， ②当为直角时，则 ∴，即： ∴，即： 解得，（舍去） 综上所述，的值是或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数与一次函数，二次函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形以及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$第12讲 二次函数的图象与性质 目 录 学科网（北京）股份有限公司 一、考情分析 二、知识建构 考点一 二次函数的相关概念 题型01 判断函数类型 题型02 判断二次函数 题型03 已知二次函数的概念求参数值 题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式 类型一 一般式 类型二 顶点式 类型三 交点式 考点二 二次函数的图象与性质 题型01 根据二次函数解析式判断其性质 题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 题型03 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 题型04 利用五点法绘二次函数图象 题型05 二次函数平移变换问题 题型06 已知抛物线对称的两点求对称轴 题型07 根据二次函数的对称性求函数值 题型08 根据二次函数的性质求最值 题型09 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 题型10 根据二次函数的最值求字母的取值范围 题型11 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 题型12 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 题型01 根据二次函数图象判断式子符号 题型02 二次函数图象与各项系数符号 题型03 二次函数、一次函数综合 题型04 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合 题型05 两个二次函数图象综合 考点四 二次函数与方程、不等式 题型01 求二次函数与坐标轴交点坐标 题型02 求二次函数与坐标轴交点个数 题型03 抛物线与x轴交点问题 题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 题型06 求x轴与抛物线的截线长 题型07 图象法解一元二次不等式 题型08 根据交点确定不等式的解集 题型09 二次函数与斜三角形相结合的应用方法 学科网（北京）股份有限公司 考点一 二次函数的相关概念 二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 根据实际问题列二次函数关系式的方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式. 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 二次函数的特殊形式：1)当b＝0时， y＝ax²＋c（a） 2)当c＝0时， y＝ax²＋bx （a） 3)当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a） 题型01 判断二次函数 【例1】（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（    ） A． B． . C． D． 【变式1-1】（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、合并同类项)后，能写成y=ax²+bx+c(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次函数. 题型02 已知二次函数的概念求参数值 【例2】（2022·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（    ） A． B． C． D．或 题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式 类型一 一般式 【例3】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数（，，为常数，且）中与的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（    ） 0 1 3 3 5 3 ① ②当时，的值随值的增大而减小； ③4是方程的一个根； ④当时， A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-1】（2023·天津河北·统考三模）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：；②和是关于的方程的两个根，③其中，正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·浙江·一模）已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9． C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是． 类型二 顶点式 【例4】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）一个二次函数的图象与抛物线的形状相同，且顶点为，那么这个函数的关系式是 ． 【变式4-1】2023·上海·统考中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________． 类型三 交点式 【例5】（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ． 【变式5-1】（2022·安徽宿州·校考模拟预测）已知抛物线与轴交于点和，与y轴交于点C，且． （1）抛物线的顶点坐标为 ． （2）点M，N是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值，设h为点M，N的纵坐标之和的最大值，则h的最大值为 ． 求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 考点二 二次函数的图象与性质 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 题型01 根据二次函数解析式判断其性质 【例1】（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是(   ) A．点在该函数的图象上 B．当且时， C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧 【变式1-1】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·四川成都·统考一模）下列关于抛物线的说法正确的是（    ） ①开口方向向上；②对称轴是直线；③当时，随的增大而减小；④当或时，． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【变式1-3】（2022·湖北武汉·校考三模）抛物线（a、h、k是常数，，）过点．下列四个结论：①；②该抛物线经过点；③一元二次方程的一个根在1和2之间；④点，在抛物线上，当实数时，．其中正确的结论是 （填写序号）． 【变式1-4】（2023·江苏南京·校考三模）已知整式，下列关于整式的值的结论： ①的值可能为； ②当时，的值随的增大而增大； ③当为小于的实数时，的值大于； ④不存在这样的实数，使得的值小于． 其中所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 【例2】（2022·广东湛江·统考一模）将二次函数化为的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）关于二次函数的最值，说法正确的是（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【变式2-2】（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 【变式2-3】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线的顶点在轴的下方，则实数的取值范围是 ． 【变式2-4】（2024·上海杨浦·统考一模）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图像与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 题型03 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【例3】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·浙江·模拟预测）已知、为抛物线与x轴交点的横坐标，则的值是（    ） A． B． C．或 D．0 【变式3-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知二次函数为常数，且，则下列说法错误的是（　　） A．当时，函数图象的对称轴是轴 B．当时，函数图象过原点 C．当时，函数有最小值 D．如果，当时，随的增大而减小 【变式3-3】（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线经过不同的两点，，下列说法正确的是（　　） A．若时都有，则 B．若时都有，则 C．若时都有，则 D．若时都有，则 【变式3-4】（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 题型04 利用五点法绘二次函数图象 【例4】（2023·广东深圳·校考模拟预测）请结合图像完成下列问题： (1)请在图中画出函数：的图像；    (2)结合图像直接写出方程：的解为：_______； (3)在图中画出函数的图像，并结合图像直接写出方程：的解为： ．    【变式4-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知，抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．    (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式． 【变式4-2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答： (1)作图探究： ①下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 0 0 n 8 … ___________，___________； ②在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：    (2)深入思考： 根据所作图象，回答下列问题： ①方程的解是___________； ②如果的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是___________； (3)延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程． 题型05 二次函数平移变换问题 【例5】（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 【变式5-2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 【变式5-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线顶点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-4】（2023·广西·统考中考真题）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 题型06 已知抛物线对称的两点求对称轴 【例6】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知二次函数，其图象过点，则h的值应该是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式6-1】（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）如果抛物线经过，那么抛物线的对称轴是 ． 【变式6-2】（2023·福建福州·校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数过点，，直线与抛物线交于，两点，取中点，则的横坐标为 ． 题型07 根据二次函数的对称性求函数值 【例7】（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________． 【变式7-1】（2023·湖南衡阳·统考一模）如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是 ． 【变式7-2】（2023·江苏南通·统考一模）抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2023·浙江·统考二模）二次函数(，是常数，)的图象过点，下列选项正确的是(    ) A．若对称轴为直线，则 B．若对称轴为直线，则 C．若对称轴为直线，则 D．若对称轴为直线，则 题型08 根据二次函数的性质求最值 【例8】（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 【变式8-1】（2023·河南周口·统考一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（        ） A． B． C． D．5 【变式8-2】（2023·安徽六安·统考一模）若，，且，的最小值为m，最大值为n，则（   ） A． B． C． D．2 【变式8-3】（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 题型09 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 【例9】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）已知抛物线（c为常数）经过点、、，当时，m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 题型10 根据二次函数的最值求字母的取值范围 【例10】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 题型11 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 【例11】（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【变式11-1】（2023·浙江金华·统考一模）已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ． 题型12 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 【例12】（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2023·四川资阳·统考二模）已知抛物线，当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（2023·山东济南·统考三模）若点在抛物线上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 题型01 根据二次函数图象判断式子符号 【例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【变式1-4】（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 题型02 二次函数图象与各项系数符号 【例2】（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【变式2-1】2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【变式2-2】（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【变式2-4】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：    ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03 二次函数、一次函数综合 【例3】（2023·广东河源·统考二模）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式3-1】（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 【变式3-2】（2023·广东广州·统考二模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　）   A．  B．  C．  D．   题型04 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合 【例4】（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·江西宜春·校考二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象可能是（   ）   A． B． C． D． 【变式4-3】（2023·安徽·统考中考真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）        A．       B．   C．       D．       考点四 二次函数与方程、不等式 一、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线. 3. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= . （原因：MN=| x1- x2|=） 题型01 求二次函数与坐标轴交点坐标 【例1】（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·湖南郴州·统考中考真题）抛物线与轴只有一个交点，则________． 【变式1-2】（（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为________． 【变式1-3】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 题型02 求二次函数与坐标轴交点个数 【例2】（2023·江苏无锡·校联考一模）抛物线与坐标轴的交点个数为 个． 【变式2-1】（2023·四川南充·统考中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B．或 C． D．或 【变式2-2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）关于抛物线下列说法正确的是（    ） ①开口向上；②与坐标轴有3个交点；③一定过点；④顶点一定不在第二象限 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题型03 抛物线与x轴交点问题 【例3】（2023·安徽滁州·校考二模）若二次函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为 ． 【变式3-1】（2023·辽宁鞍山·校考一模）函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ． 【变式3-2】（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）函数（a为常数）的图象与坐标轴只有两个交点，则 ． 【变式3-3】（2023·湖北武汉·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考模拟预测）已知抛物线． （1）若对称轴在直线处，则 ； （2）若顶点在y轴上，则 ； （3）若抛物线与y轴交点在y轴负半轴上，则k的取值范围为 ； （4）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ． 题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例4】（2022·河北邢台·校考三模）已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人关于的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（    ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4-1】（2023·辽宁大连·统考二模）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．抛物线开口向上 B．方程的解为， C．抛物线对称轴为直线 D．抛物线与y轴交点坐标为 【变式4-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）数形结合是我们学习数学的一种重要思想方法，请运用数形结合的思想方法判断方程的根的情况是（    ） A．有3个实数根 B．有2个实数根 C．有1个实数根 D．无实数根 题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 【例5】（2023·四川成都·校考三模）在探究关于x的二次三项式的值时，小明计算了如下四组值： 小明说，他通过这四组值能得到方程的一个近似根，这个近似根的个位是 ，十分位是 ． 题型06 求x轴与抛物线的截线长 【例6】（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【变式6-1】（2022·四川眉山·统考二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-2】（2021·河北·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2023·四川自贡·统考中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 题型07 图象法解一元二次不等式 【例7】（2023·山东济宁·统考一模）如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2022·江苏徐州·校考二模）二次函数的图像如图所示，则函数值时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式7-2】（2022·江苏苏州·统考二模）若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋b≥0的解集为（    ） A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2 题型08 根据交点确定不等式的解集 【例8】（2023·山东威海·统考一模）如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或或 D．或或 【变式8-1】（2023·山东泰安·统考一模）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①  ②  ③  ④若m的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．③④ D．②③④ 【变式8-2】（2022上·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式8-3】（2023·湖南·统考中考真题）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 题型09 二次函数与几何的应用方法 【例9】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． ． 【变式9-1】（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式9-2】（2023上·宁夏石嘴山·九年级校考期中）如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点，它的对称轴为直线，顶点为 (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【变式9-3】（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）如图，二次函数经过点，点是轴正半轴上一个动点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．设点的横坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求的值． (3)点在线段上时， ①连接、，当的面积最大时，求点的坐标； ②若以、、为顶点的三角形与相似，求的值； 学科网（北京）股份有限公司 $$