精品解析：山东省临沂市兰陵县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度下学期期末质量检测试题 七年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在，，，3.14，，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个）这7个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 的平方根是（　　） A. 3 B. ±3 C. D. ± 3. 为了了解我县参加中考的名学生的体重情况，随机抽取了其中名学生的体重进行统计分析，下面叙述正确的是（ ） A. 总体是名学生 B. 样本是名学生 C. 样本容量是 D. 以上是全面调查 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 点在第二象限 B. 点到轴的距离为2 C. 若中，则点在轴上 D. 若在轴上，则 5. 数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　） A. Z（2，0） B. Z（2，﹣1） C. Z（2，1） D. Z（﹣1，2） 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为（　　） A B. C. D. 8. 如图，将ABC沿CB向左平移3cm得到DEF，AB，DF相交于点G，如果ABC的周长是12cm，那么ADG与GBF周长之和为（ ） A. 12cm B. 15cm C. 18cm D. 24cm 9. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的不等式组有以下说法： ①如果a＝﹣2，那么不等式组的解集是﹣2≤x＜1 ②如果不等式组的解集是﹣3≤x＜1，那么a＝﹣3 ③如果不等式组的整数解只有﹣2，﹣1，0，那么a＝﹣2 ④如果不等式组无解，那么a≥1 其中所有正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为_________． 12. 已知二元一次方程组，若，则的值是________． 13. 如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A 与数轴上表示1的点重合，将圆沿数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是_______ ． 14. 某班为奖励在数学竞赛中获奖的同学，花费32元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有____________种购买方案． 15. 如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为 ______ ． 16. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则__________． 三、解答题（共72分） 17. （1）计算： （2）解不等式：，并写出它的最大整数解． 18. （1）解方程组： （2）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 19. 某校七年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据回答下列问题： 组别 发言次数n A B C D E F （1）直接写出随机抽取学生的人数为______人； （2）直接补全频数直方图； （3）求扇形统计图中B部分所对应的百分比和F部分扇形圆心角的度数； （4）该校七年级共有学生1000人，请估计七年级学生这天在课堂上发言次数大于等于12次的人数． 20. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求度数． 21. 阳光大课间，运动健体魄．某校为丰富学生大课间活动，计划购置一些篮球、毽子、沙包．体育用品采购员刘老师负责在某文体用品店购买，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图． （1）请根据如图所示发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置毽子、沙包的数量及对应的金额． （2）若学校要对表现突出的同学给予奖励，打算再次购买毽子、沙包共100个，购买毽子的数量多于43个，且购买两种体育用品的总价不超过390元，请问有几种购买方案？最低费用为多少元？ 22. 在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞a（a>0）和|x|＜a（a>0）解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求|x|＞2和|x|＜2的解集．确定|x|＞2的解集过程如下： 先根据绝对值几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： 所以，|x|＞2的解集是x＞2或 ． 再来确定|x|＜2的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： 所以，|x|＜2的解集为： ． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式|x|＞a（a>0）的解集为 ，|x|＜a（a>0）的解集为 ． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： （1）请将小明的探究过程补充完整； （2）求绝对值不等式2|x+1|-3＜5的解集． 23. 【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，…… 如果我们将方程的解（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对， 例如是方程的一个解，用一个点来表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示． 【问题探究】 在平面直角坐标系中，方程的图象是图1中的直线m， （1）仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程的解（写出三对整数解）： ． ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个方程的图象，记为直线n，写出直线m与直线n的交点M的坐标 ；则方程组 的解是 ． ③过点且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B，写出的面积． 【拓展提高】 （2）已知关于，的二元一次方程组无解，则这两条直线 ．（填位置关系） （3）请在图2中画出（2）中符合题意的两条直线，设方程①图象与，轴的交点分别是C、D，方程②图象与，轴的交点分别是E、F，计算的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期期末质量检测试题 七年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在，，，3.14，，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个）这7个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的三种形式进行辨别，即可解答． 【详解】解：， 在，，，3.14，，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个）这7个数中， 无理数有：，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个），共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的知识，解答此题的关键是掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数、无限不循环小数、含有的数． 2. 的平方根是（　　） A. 3 B. ±3 C. D. ± 【答案】D 【解析】 【分析】先计算的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果． 【详解】解：∵=3， ∴的平方根是±． 故选：D． 【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，解决本题的关键是先求得的值. 3. 为了了解我县参加中考的名学生的体重情况，随机抽取了其中名学生的体重进行统计分析，下面叙述正确的是（ ） A. 总体是名学生 B. 样本是名学生 C. 样本容量是 D. 以上是全面调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抽样调查，解题的关键是根据总体、样本、样本容量、全面调查依次对各选项逐一分析作出判断即可． 【详解】解：A．总体是名学生的体重情况，故此选项不符合题意； B．样本是名学生的体重情况，故此选项不符合题意； C．样本容量是，故此选项符合题意； D．这次调查是抽样调查，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 点在第二象限 B. 点到轴的距离为2 C. 若中，则点在轴上 D. 若在轴上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标上点的特征．根据各象限的点的坐标特征，以及坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 点在第二象限，故该选项正确，不符合题意； B. 点到轴的距离为2，故该选项正确，不符合题意； C. 若中，则点在轴或轴上，故该选项不正确，符合题意； D. 若在轴上，则，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 5. 数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　） A. Z（2，0） B. Z（2，﹣1） C. Z（2，1） D. Z（﹣1，2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中新定义解答即可． 【详解】解：由题意，得z＝2−i可表示为Z（2，−1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标，弄清题中的新定义是解本题的关键． 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐一判断即可解答； 【详解】A、两边同时加上2得，，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意； B、两边同时乘以得，，不等号的方向改变，说法正确，故选项不符合题意； C、若，当时，，原说法不正确，故选项符合题意； D、，两边同时除以2，则，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意． 故选：C． 7. 绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，由可得出，再根据，可得出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，将ABC沿CB向左平移3cm得到DEF，AB，DF相交于点G，如果ABC的周长是12cm，那么ADG与GBF周长之和为（ ） A. 12cm B. 15cm C. 18cm D. 24cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，然后判断出与的周长之和，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵将△ABC向左平移3cm得到△DEF， ∴AD＝EB， ∴△ADG与△CEG的周长之和＝AD+DG+GF+AG+BG+BF＝EF+AB+DF＝BC+AB+AC＝12（cm）， 故选：A． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 9. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，找到关于x、y的两组等式关系，即可列出对应的二元一次方程组． 【详解】解：由每三人共乘一车，最终剩余2辆车可得：． 由每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘可得：． 该二元一次方程组为：． 故选：C． 【点睛】本题主要是考查了列二元一次方程组，熟练根据题意找到等式关系，这是求解该题的关键． 10. 已知关于x的不等式组有以下说法： ①如果a＝﹣2，那么不等式组的解集是﹣2≤x＜1 ②如果不等式组的解集是﹣3≤x＜1，那么a＝﹣3 ③如果不等式组的整数解只有﹣2，﹣1，0，那么a＝﹣2 ④如果不等式组无解，那么a≥1 其中所有正确说法的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再逐个分析即可得． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 如果，那么不等式组的解集是，即说法①正确； 如果不等式组的解集是，那么，即说法②正确； 如果不等式组的整数解只有，那么，则说法③错误； 如果不等式组无解，那么，即说法④正确； 综上，所有正确说法序号是①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根以及平方的非负性，已知字母的值求代数式的值，据此列式，算出的值，再代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 12. 已知二元一次方程组，若，则的值是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解： 得：， ∴， ∴， 故答案为：9． 13. 如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A 与数轴上表示1的点重合，将圆沿数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是_______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、圆的周长．求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系即可得到答案． 【详解】解：由题意得，圆的周长为，得到圆的周长为， ∴点B表示的数是， 故答案为：． 14. 某班为奖励在数学竞赛中获奖的同学，花费32元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有____________种购买方案． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买件甲种奖品，件乙种奖品，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出共有2种购买方案．找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ∴． 又∵，均为正整数， ∴或， ∴共有2种购买方案． 故答案为：2． 15. 如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，小长方形的宽为，根据图形列出方程组即可求解，根据图形正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，小长方形的宽为， 由题意得，， 解得， ∴阴影部分的总面积为， 故答案为：． 16. 如图a，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿折叠成图b，若，则__________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】根据平行线的性质、折叠的性质和角的和差解答即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和角的和差，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. （1）计算： （2）解不等式：，并写出它的最大整数解． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算， （1）根据立方根定义，算术平方根定义和绝对值的意义进行求解即可； （2）先求出不等式的解集，然后再求出最大整数解即可． 【详解】解： ； （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴最大整数解． 18. （1）解方程组： （2）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2）；数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：（1）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解为：； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 19. 某校七年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据回答下列问题： 组别 发言次数n A B C D E F （1）直接写出随机抽取学生的人数为______人； （2）直接补全频数直方图； （3）求扇形统计图中B部分所对应的百分比和F部分扇形圆心角的度数； （4）该校七年级共有学生1000人，请估计七年级学生这天在课堂上发言次数大于等于12次的人数． 【答案】（1）50；（2）补全频数直方图见解析；（3）B部分所对应的百分比；F部分扇形圆心角的度数为；（4）180人． 【解析】 【分析】（1）用A组频数除以频率，即可求得抽取人数为50人； （2）用50乘以C组所占百分比求出频数，用50减A、B、C、D、E组频数，即可求解，补全直方图即可； （3）用B组频数除以50，即可求解；用F组频数除以50再乘以360°即可求解； （4）用样本估计总体，用1000乘以样本中发言次数大于等于12的人数所占百分比，问题得解． 【详解】（1）3÷6%=50， 故答案为：50； （2）50×30%=15， 50-3-10-15-13-4=5，补全频数直方图如下； （3）B部分所对应的百分比， F部分扇形圆心角的度数为； （4）（人）， 答：估计该校七年级学生1000人中，这天在课堂上发言次数大于等于12次的人数为180人． 【点睛】本题考查了直方图，扇形图，用样本估计总体等知识，理解直方图、扇形图的意义，根据两种统计图中提供的公共信息求出样本容量是解题关键． 20. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结论； （2）根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 21. 阳光大课间，运动健体魄．某校为丰富学生大课间活动，计划购置一些篮球、毽子、沙包．体育用品采购员刘老师负责在某文体用品店购买，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图． （1）请根据如图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置毽子、沙包的数量及对应的金额． （2）若学校要对表现突出的同学给予奖励，打算再次购买毽子、沙包共100个，购买毽子的数量多于43个，且购买两种体育用品的总价不超过390元，请问有几种购买方案？最低费用为多少元？ 【答案】（1）购置毽子的数量为30，沙包的数量为20，毽子对应的金额为，沙包对应的金额为 （2）有2种购买方案，最低费用388元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用,解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程，根据不等关系，列出不等式． （1）设毽子数量为x个，沙包的数量为y个，根据表格中的相关信息，列出方程组，解方程组即可； （2）设再次购买毽子m个，则购买沙包个，根据题意列出不等式组，解不等式组，得出，再根据m为整数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设毽子数量为x个，沙包的数量为y个， 由题意，得：， 解得， ∴，． 答：购置毽子的数量为30，沙包的数量为20，毽子对应的金额为，沙包对应的金额为． 【小问2详解】 解：设再次购买毽子m个，则购买沙包个，由题意得： ， 解得：， 又∵m为整数， ∴，45 ， ∴或， 共两种方案：①买44个毽子56个沙包，共花费（元） ②买45个毽子55个沙包共花费（元） 答：有2种购买方案，最低费用388元． 22. 在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞a（a>0）和|x|＜a（a>0）的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求|x|＞2和|x|＜2的解集．确定|x|＞2的解集过程如下： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： 所以，|x|＞2的解集是x＞2或 ． 再来确定|x|＜2的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： 所以，|x|＜2的解集为： ． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式|x|＞a（a>0）的解集为 ，|x|＜a（a>0）的解集为 ． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： （1）请将小明的探究过程补充完整； （2）求绝对值不等式2|x+1|-3＜5的解集． 【答案】（1）见解析；（2）-5＜x＜3 【解析】 【分析】（1）根据题意即可得； （2）将2|x+1|的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【详解】（1）①|x|＞2的解集是x＞2或x＜-2 ②根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： 所以，|x|＜2的解集为：-2＜x＜2 |x|＞a（a>0）的解集为x＞a或x＜-a，|x|＜a（a>0）的解集为-a＜x＜a． （2）∵2|x+1|-3＜5 ∴2|x+1|＜8 ∴|x+1|＜4 ∴-4＜x+1＜4 ∴-5＜x＜3 ∴原绝对值不等式的解集是-5＜x＜3 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 23. 【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，…… 如果我们将方程的解（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对， 例如是方程的一个解，用一个点来表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示． 【问题探究】 在平面直角坐标系中，方程的图象是图1中的直线m， （1）仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程的解（写出三对整数解）： ． ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个方程的图象，记为直线n，写出直线m与直线n的交点M的坐标 ；则方程组 的解是 ． ③过点且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B，写出的面积． 【拓展提高】 （2）已知关于，的二元一次方程组无解，则这两条直线 ．（填位置关系） （3）请在图2中画出（2）中符合题意的两条直线，设方程①图象与，轴的交点分别是C、D，方程②图象与，轴的交点分别是E、F，计算的度数． 【答案】（1）①，，；（答案不唯一）②图象见解析；；；③；（2）平行；（3）见解析； 【解析】 【分析】（1）①根据题意写出二元一次方程的三对整数解即可； ②先描出三个点，然后再连接即可得出直线n，根据交点位置，得出交点坐标，即可得出方程组的解； ③先求出点A、B的坐标，再求出的面积即可； （2）根据两条直线的交点坐标即为方程组的解，要使方程组无解，即两条直线无交点，根据同一平面内，不相交的两条直线平行，即可得出答案； （3）先找出两个方程中的两对整数解，得出直线上的两个点，根据两点确定一条直线，画出两条直线即可；根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余得出答案即可． 【详解】解：（1）①二元一次方程的三对整数解为：，，；（答案不唯一） ②如图，直线n即为所求，根据图象可知：直线m与直线n的交点M的坐标；则方程组 的解是； ③把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：，解得：， ∴， ∴； （2）∵两条直线的交点坐标即为方程组的解， ∴要使方程组无解，则需要使两条直线无交点， ∵同一平面内，不相交的两条直线平行， ∴这两条直线平行； （3）方程的两组整数解为：，， ∴方程①图象经过点，； ∵是方程的一组解， ∴方程②图象平行于方程①图象，且经过点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，方程组的解，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握点的坐标与方程解的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$