第1章《一元二次方程》（章节培优检测卷）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册同步培优过关必刷卷

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优过关必刷章节卷 第1章《一元二次方程》 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.52（较难）题目来源：江苏省各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•江阴市校级月考）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（2分）（2022秋•钟楼区期中）两个连续奇数的积为323，求这两个数．若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2分）（2024•海门区一模）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（2分）（2024•梁溪区一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，承载屋面用的木构件），这批椽的总价钱为6210文．由于每株椽要另外支付3文运费，于是就少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费．设这批椽有株，则符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2022秋•秦淮区校级月考）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024•建邺区二模）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是　　 A． B． C． D． 7．（2分）（2023秋•扬州校级月考）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为　　 A．4 B．8 C．12 D．16 8．（2分）（2023秋•工业园区校级月考）对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则；其中正确的是　　 A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 9．（2分）（2024•玄武区校级模拟）已知、、为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 10．（2分）（2018秋•盱眙县期末）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•常州二模）已知为方程的一个根，则代数式的值是 　　． 12．（2分）（2024•高邮市二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的实数的值为 　　． 13．（2分）（2024•泰兴市二模）已知一元二次方程有两个实数根，两根之和为负数，则的值可以是 　　（填一个值即可） 14．（2分）（2024•建邺区一模）已知，是关于的方程的两个实数根，若，则　　． 15．（2分）（2022秋•海安市月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　　小分支． 16．（2分）（2024•南京二模）若关于的方程有一个根为2，则的值为 　　． 17．（2分）（2024•靖江市二模）若，则的最小值为 　　． 18．（2分）（2024•玄武区校级三模）一元二次方程配方为，则的值是 　　． 19．（2分）（2020秋•常州期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 20．（2分）（2023秋•宿城区期中）阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：．理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解． 解决问题：求方程的解为　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•宜兴市一模）（1）解方程：． （2） 解不等式组． 22．（6分）（2021秋•灌云县月考）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． （1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 23．（8分）（2023秋•江阴市校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 24．（8分）（2023春•东海县期末）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空） ①　　； ②若，则　　； （2）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为；则与的大小关系为：　　； （4）已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由． 25．（8分）（2024•姜堰区二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：亩）之间满足函数关系为：，乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： （1）若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； （2）如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 26．（8分）（2023秋•滨湖区校级期中）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率． （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 27．（8分）（2023秋•江阴市校级月考）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果、两点同时出发． ①经过几秒后的面积等于； ②的面积能否等于，并说明理由． 28．（8分）（2023秋•赣榆区校级月考）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果，分别从，同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以为圆心，为半径的圆正好经过点？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优过关必刷章节卷 第1章《一元二次方程》 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.52（较难）题目来源：江苏省各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•江阴市校级月考）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 解：△， 有两个不相等的实数根， 故选：． 2．（2分）（2022秋•钟楼区期中）两个连续奇数的积为323，求这两个数．若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是　　 A． B． C． D． 解：依题意得：较大的数为， 则有：． 故选：． 3．（2分）（2024•海门区一模）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 4．（2分）（2024•梁溪区一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，承载屋面用的木构件），这批椽的总价钱为6210文．由于每株椽要另外支付3文运费，于是就少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费．设这批椽有株，则符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 解：由题意得一株椽的价格：文，则： ． 故选：． 5．（2分）（2022秋•秦淮区校级月考）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为　　 A． B． C． D． 解：设人参加这次聚会，则每个人需握手：（次； 依题意，可列方程为：． 故选：． 6．（2分）（2024•建邺区二模）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是　　 A． B． C． D． 解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于的方程的两根为，， 则方程的两根为，， 关于的方程的两根之和为，两根之积为， ，， ． 故选：． 7．（2分）（2023秋•扬州校级月考）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为　　 A．4 B．8 C．12 D．16 解：一元二次方程的两根为，， ， ， 解得，， ． 故选：． 8．（2分）（2023秋•工业园区校级月考）对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则；其中正确的是　　 A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 解：若，则方程必有一个根为，故①错误； 若方程有两个不相等的实根，则， ， 方程必有两个不相等的实根，故②正确； 若是方程的一个根，则， 如果，那么，故③错误； 若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ， ，故④正确； 正确的有②④； 故选：． 9．（2分）（2024•玄武区校级模拟）已知、、为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 解：点在第四象限， ，， ， 方程的判别式△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 10．（2分）（2018秋•盱眙县期末）一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 解：， △， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•常州二模）已知为方程的一个根，则代数式的值是 　　． 解：为方程的一个根， ， ． 故答案为：． 12．（2分）（2024•高邮市二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的实数的值为 　2（答案不唯一）　． 解：由题意可知：△， ， 故答案为：2（答案不唯一）． 13．（2分）（2024•泰兴市二模）已知一元二次方程有两个实数根，两根之和为负数，则的值可以是 　1（答案不唯一）　（填一个值即可） 解：一元二次方程有两个实数根，两根之和为负数， △，， ， 的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 14．（2分）（2024•建邺区一模）已知，是关于的方程的两个实数根，若，则　　． 解：，是关于的方程的两个实数根， ， ， ， 故答案为：． 15．（2分）（2022秋•海安市月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　9个　小分支． 解：设每个支干长出个小分支，则， 解得：，（舍去）， 每个支干长出9个小分支． 故答案为：9个． 16．（2分）（2024•南京二模）若关于的方程有一个根为2，则的值为 　　． 解：把代入方程， 得：， 解得， 故答案为：． 17．（2分）（2024•靖江市二模）若，则的最小值为 　2　． 解：， 故答案为：2． 18．（2分）（2024•玄武区校级三模）一元二次方程配方为，则的值是 　1　． 解：， ， ， ， 一元二次方程配方为， ， 故答案为：1． 19．（2分）（2020秋•常州期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程以是倍根方程，则必有． 解：①解方程得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则，， 即，， ， ， ， ． 若时，则，， 即，则，， ， ， ， ， ． 故④正确， 故答案为：②③④ 20．（2分）（2023秋•宿城区期中）阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：．理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解． 解决问题：求方程的解为　，，　． 解：， ， ， ， ， ． 或． 解方程得． 解方程得 ，． 故答案为：，，． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•宜兴市一模）（1）解方程：． （2）解不等式组． 解：（1）， ， ， ， ， 所以，； （2）， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． 22．（6分）（2021秋•灌云县月考）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． （1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 解：（1）设每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得，（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率是； （2）假设下调个50元，依题意得：． 解得． 所以下调150元，因此定价为2750元． 23．（8分）（2023秋•江阴市校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 解：（1）关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 实数的取值范围为． （2），是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ， 或， 当时，方程变为，无解舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 24．（8分）（2023春•东海县期末）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空） ①　　； ②若，则　　； （2）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为；则与的大小关系为：　　； （4）已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由． 解：（1）① ， ； ②， ，， ， ； 故答案为：，； （2）， 理由如下： ， ， ， ； （3），， ， ， 故答案为：； （4）． 理由如下：，， ， ． 25．（8分）（2024•姜堰区二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：亩）之间满足函数关系为：，乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： （1）若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； （2）如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 解：（1）由题意得：， 解得：，符合题意， ， （元， 答：乙种蔬菜总种植成本为3000元； （2）由题意可知，甲种蔬菜种植面积为亩，则乙种蔬菜种植面积为亩， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，，不符合题意，舍去； 答：甲种蔬菜种植面积为28亩，乙种蔬菜种植面积为72亩，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元． 26．（8分）（2023秋•滨湖区校级期中）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率． （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 解：（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为； （2）设该款吉祥物降价元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， （不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 27．（8分）（2023秋•江阴市校级月考）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果、两点同时出发． ①经过几秒后的面积等于； ②的面积能否等于，并说明理由． 解：如图， ①过点作于，则． ， ． ． 设经过秒后的面积等于， 则，，． 根据题意，． ． ，． 当时，，，不合题意舍去，取． 答：经过2秒后的面积等于； ②当面积等于5时，． ． △， 方程没有实数根， 所以的面积不能等于， 28．（8分）（2023秋•赣榆区校级月考）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果，分别从，同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以为圆心，为半径的圆正好经过点？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 解：（1）设经过秒以后，面积为， 点的速度为，点的速度为， ，， ， 的面积， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）不存在这样的时刻，使以为圆心，为半径的圆正好经过点，理由如下： 设经过秒后，存在这样的时刻，使以为圆心，为半径的圆正好经过点， 点的速度为，点的速度为， ，， ， ， ， 以为圆心，为半径的圆正好经过点， ， ， ， ， △， ， 方程无解， 不存在这样的时刻，使以为圆心，为半径的圆正好经过点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$