第2章《对称图形—圆》章节复习讲义（知识精讲+易错点拨+十九大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练 第2章《对称图形—圆》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十九考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 2 新知精讲梳理 2 考点讲练1：圆的认识 7 考点讲练2：垂径定理 7 考点讲练3：垂径定理的应用 8 考点讲练4：圆心角、弧、弦的关系 9 考点讲练5：圆周角定理 10 考点讲练6：圆内接四边形的性质 11 考点讲练7：点与圆的位置关系 13 考点讲练8：确定圆的条件 13 考点讲练9：三角形的外接圆与外心 14 考点讲练10：直线与圆的位置关系 15 考点讲练11：切线的判定与性质 16 考点讲练12：弦切角定理 18 考点讲练13：切线长定理 19 考点讲练14：切割线定理 19 考点讲练15：三角形的内切圆与内心 20 考点讲练16：正多边形和圆 21 考点讲练17：弧长的计算 22 考点讲练18：扇形面积的计算 23 考点讲练19：圆锥的计算 24 中等题真题汇编练 25 培优题真题汇编练 30 导图指引 新知精讲梳理 知识点01：圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 　　(1) 旋转一周，另一个端点A所形成的 ，叫做圆. 　　(2)圆是 . 细节剖析： 　 ①圆心确定 ，半径确定 ；确定一个圆应先确定 ，再确定 ，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 　　(1)旋转不变性：圆是 ，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 图形，对称中心是 　　 　 在 中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 　　(2)轴对称：圆是 ，经过圆心的任一直线都是它的 . 　　(3)垂径定理及推论： 　　 　①垂直于弦的直径 这条弦，并且平分 　　 　②平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且平分弦所对的 . 　　 　③弦的 过圆心，且平分弦对的 　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧 . 细节剖析： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的 、平分弦所对的 在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“ ”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质 　　(1)两个圆是一个 ，对称轴是 . 　　(2)相交两圆的连心线 ，相切两圆的连心线经过 4．与圆有关的角 　　(1)圆心角： 叫圆心角. 　　 　圆心角的性质： . 　　(2)圆周角：顶点在 ， 叫做圆周角. 　　 　圆周角的性质： 　　 　①圆周角等于 　　 　② 所对的圆周角相等；在 中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③ 所对的弦为直径； 所对的圆周角为直角. 　　 　④如果 ，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的 . 细节剖析： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在 ；②角的两边都和圆 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在 中. 知识点02：与圆有关的位置关系 1．判定一个点P是否在⊙O上 　　设⊙O的半径为，OP=，则有 　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 细节剖析： 和 是相对应的，即知道 就可以确定 ；知道 也可以确定 . 2．判定几个点在同一个圆上的方法 　　当时，在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 　　设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. 　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. 　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. 　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 　　(1)切线的判定： 　　 　① 是圆的切线. 　　 　② 是圆的切线. 　　(2)切线的性质： 　　 　①圆的切线 过切点的半径. 　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过 　　 　 ③经过切点作切线的垂线经过 　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这 叫做切线长. 　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条 ，它们的切线长 ，这 两条切线的夹角. 5．圆和圆的位置关系 　　设的半径为，圆心距. 　　(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离 　　 　. 　　(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含 　　(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切. 　　(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切. 　　(5)和有两个公共点相交. 知识点03：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心、重心、垂心 　　(1)三角形的内心：是三角形 ，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. 　　(2)三角形的外心：是三角形 ，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. 　　(3)三角形重心：是 ，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. 　　(4)垂心：是 . 细节剖析： 　　(1) 任何一个三角形都 一个内切圆，但任意一个圆都有 个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 2．圆内接四边形和外切四边形 　　(1) 叫圆的内接四边形，圆内接四边形 ，外角等于 . 　　(2) 叫圆外切四边形，圆外切四边形 相等. 知识点04：圆中有关计算 1．圆中有关计算 　　圆的面积公式： ，周长. 　　圆心角为、半径为R的弧长. 　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　　圆柱的侧面图是一个 ，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为 . 　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 . 细节剖析： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即 ； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系： . 考点讲练1：圆的认识 【精讲题】（2022秋•启东市校级月考）下列说法中，不正确的是　　 A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等 C．周长相等的两个圆是等圆 D．直径是弦，半圆不是弧 【举一反三练1】（2023秋•宿迁期中）到点的距离等于4的点的集合是 　 　． 【举一反三练2】（2022秋•启东市校级月考）如图，是的直径，点在的延长线上，，交于点，且． （1）求的度数． （2）求的度数． 考点讲练2：垂径定理 【精讲题】（2023秋•沭阳县月考）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为　　 A．13 B．14 C．12 D．28 【举一反三练1】（2023•新北区校级二模）如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为　　． 【举一反三练2】（2021秋•丰县校级月考）如图，是的直径，是弦，点是的中点，交于点．连接，若，，求的长． 考点讲练3：垂径定理的应用 【精讲题】（2021秋•溧阳市期末）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长．”则　　 A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 【举一反三练1】（2024•惠山区校级一模）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为 　 寸． 【举一反三练2】（2023秋•梁溪区校级月考）如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中为中点，为拱门最高点，线段经过圆心，已知拱门的半径为，拱门最下端． （1）求拱门最高点到地面的距离； （2）现需要给房间内搬进一个长和宽为，高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据： 考点讲练4：圆心角、弧、弦的关系 【精讲题】（2024•南京模拟）如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是 　　． 【举一反三练1】（2023秋•玄武区校级月考）如图，在中，，截三边所得的弦长，则　 　度． 【举一反三练2】（2022秋•涟水县期中）如图，、、、是上的四点，．求证：． 考点讲练5：圆周角定理 【精讲题】（2024春•玄武区校级月考）如图，、是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2021秋•锡山区期中）如图，是的直径，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2023秋•邗江区校级期末）关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （3）如图，已知、是半径为8的的两条平行弦，，，且关于的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为 　 　． 考点讲练6：圆内接四边形的性质 【精讲题】（2023秋•如皋市期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024•宿城区模拟）如图，四边形内接于，、的延长线相交于点，、的延长线相交于点．若，，则　 ． 【举一反三练2】（2023秋•玄武区校级月考）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 考点讲练7：点与圆的位置关系 【精讲题】．（2023秋•东海县月考）如图，是半的直径，点在半上，，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为　　 A．1 B． C． D．3 【举一反三练1】（2022秋•邳州市期末）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三练2】（2024•宜兴市模拟）如图，在中，，．点是平面内的一点，．将线段绕点按顺时针方向旋转一周，连接，取的中点，连接，则的取值范围是 　　． 考点讲练8：确定圆的条件 【精讲题】（2021秋•江都区校级月考）下列说法正确的是　　 A．在同一平面内，三点确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．旋转会改变图形的形状和大小 D．平分弦的直径垂直于弦 【举一反三练1】（2022春•射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　　． 【举一反三练2】（2023秋•滨海县月考）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 考点讲练9：三角形的外接圆与外心 【精讲题】（2024•鼓楼区校级模拟）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练1】（2024•海陵区校级三模）如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是 　　． 【举一反三练2】（2024•徐州模拟）在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，点是的外接圆上一点，交线段于点，若，则点的坐标为　　． 考点讲练10：直线与圆的位置关系 【精讲题】（2023秋•梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆　　 A．与轴相离，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【举一反三练1】（2023秋•锡山区期中）如图，在中，，点是的中点，以为直径的与边交于点，连接． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【举一反三练2】（2023秋•高邮市期末）如图，在中，，平分交于点，点为边上一点，以为直径的圆恰好经过点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 考点讲练11：切线的判定与性质 【精讲题】（2021秋•广陵区校级期末）如图，，以为直径作，交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【举一反三练1】（2024•天宁区校级模拟）辘轳（图是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘轳”，说明早在公元前一千一百多年前中国已经发明了辘轳．如图2是从辘轳抽象出来的几何模型，在中，，是边上一点，以为半径的与相交于点，已知． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的半径． 【举一反三练2】．（2024•宿迁模拟）如图，以的边为直径作交于点，且为的中点，作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 考点讲练12：弦切角定理 【精讲题】（2022•江阴市校级一模）如图，是的直径，、分别切于点、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2021•江阴市校级三模）如图为和一圆的重迭情形，此圆与直线相切于点，且与交于另一点．若，，则的度数为何　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2017•宝应县一模）如图，已知半径为1的经过直角坐标系的原点，且与轴、轴分别交于点、，点的坐标为，，的切线与直线交于点．则　30　度． 考点讲练13：切线长定理 【精讲题】（2014秋•江阴市期中）如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为　　 A． B． C． D．随直线的变化而变化 【举一反三练1】（2023秋•江都区期中）如图，，分别切于点，，点是上一点，过作的切线，交，于点，，若，则的周长是　 ． 【举一反三练2】（2022秋•滨海县期中）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 　 ． 考点讲练14：切割线定理 【精讲题】（2022秋•东台市期中）如图，点是直径的延长线上一点，切于点，已知，．则等于　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三练1】（2020秋•崇川区月考）如图，是圆外的一点，点、在圆上，、分别交圆于点、，如果，，，那么　　． 【举一反三练2】（2011秋•吴江市校级期中）如图，过点作的两条割线分别交于点、和点、，已知，，则的长是 　． 考点讲练15：三角形的内切圆与内心 【精讲题】（2024•泗洪县一模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为6，则的半径为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•涟水县期中）如图，在中，，，为的内心，若的面积为20，则的面积为　　 A．20 B．15 C．18 D．12 【举一反三练2】（2024•泰兴市三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的内心，连结、、、．若，，那么四边形的周长　　． 考点讲练16：正多边形和圆 【精讲题】（2024•新吴区二模）如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数为　　 A．12 B．11 C．10 D．9 【举一反三练1】（2021•海陵区一模）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形的中心重合，且与边、相交于、（如图）．图中阴影部分的面积记为，三条线段、、的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，下列说法正确的是　　 A．变化，不变 B．不变，变化 C．变化，变化 D．与均不变 【举一反三练2】（2023秋•宿迁期末）如图，正六边形内接于，半径为4． （1）求正六边形的边心距； （2）求正六边形的面积． 考点讲练17：弧长的计算 【精讲题】（2024•宿迁模拟）如图，在半径为6的中，弦于点，若，则的长为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024•张家港市模拟）如图，在中，点、、在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2024•南京二模）如图，在半径为的中，是直径，点在上，且，弦（非直径）交于点． （1）如图①，若， （Ⅰ）连接，，求证：； （Ⅱ）的长为 　 　． （2） 如图②，若，求的长． 考点讲练18：扇形面积的计算 【精讲题】（2024•灌云县二模）如图，在扇形中，已知，，过点作于点，分别以，为边作矩形，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024•高新区二模）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2023秋•姜堰区期末）如图，在圆心角为的扇形中，半径，点、分别是半径、的中点，将沿对折，点落在处，为上一点． （1）若 　 　，求证：　　；（把“①、、在一直线上”，“② ”分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明） （2）在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积． 考点讲练19：圆锥的计算 【精讲题】（2016秋•崇安区期末）用一个半径为，面积为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 　　． 【举一反三练1】（2023秋•句容市期末）已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面圆的半径为 　． 【举一反三练2】（2023秋•射阳县期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点、、．（网格小正方形的边长为． （1）请在图中标出圆心点位置，点的坐标为 　　；的半径为 　　； （2）判断点与的位置关系； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 中等题真题汇编练 一．选择题 1．（2024•新吴区一模）如图，点、、、、在上，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2024•秦淮区二模）如图，半径为1的与正五边形相切于点、，则劣弧的长度为　　 A． B． C． D． 3．（2024•东海县校级模拟）如图，，是的两条弦，且，点，分别在，上．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•沭阳县校级月考）如图，正五边形边长为6，以为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 5．（2024•滨湖区校级二模）如图，是的直径，点、、都是上的点，则　　 A． B． C． D． 二．填空题 6．（2024•亭湖区一模）如图，一个正多边形被树叶遮掩了一部分，若直线，所夹锐角为，则这个正多边形的边数是 　　． 7．（2024•泰兴市三模）如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 　　． 8．（2024•海安市一模）如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了 　　．（结果保留 9．（2023秋•铜山区校级月考）如图，正六边形内接于．若的周长为，则该正六边形的边长是 　　． 10．（2024•建邺区一模）如图，，是正八边形的两条对角线，则　　． 三．解答题 11．（2023•锡山区模拟）如图，为的内接三角形，，垂足为，直径平分，交于点，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 12．（2021秋•惠山区校级期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线路线，以的速度匀速运动到点停止，动点从点出发，沿折线路线，以的速度匀速运动到点停止．点，点同时出发，运动时间为秒，以为直径作． （1）当点在边上运动，点在边上运动时，与相切，求的值； （2）当与相切时，求的值． 13．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在中，以为直径的交于点，与的延长线交于点，的切线与垂直，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 14．（2024•沛县校级二模）如图，直线与相切于点，点为直线上一点，直线交于点、，点在线段上，连接，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为，求图中阴影部分的面积． 15．（2024•高新区模拟）如图，在中，点为边上的一个动点，以为直径的交于点，过点作，交于点．连接、，若是的切线． （1）求证：； （2）若，，，求直径的长． 培优题真题汇编练 一．选择题 1．（2024•东海县模拟）下列语句中不正确的有　　 ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024•新北区一模）如图，与相切于点，连接交于点，弦，连接．若，的半径是9，则的长是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•沭阳县校级月考）如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，且，取的中点．连接，则的最小值为　　 A． B． C． D． 4．（2023•润州区二模）如图，的半径为1，是的直径，是弦，是劣弧上一点，将沿折叠，使得点的对应点是点，且弧与相切于点，设线段的长度为，弦的长度为，则　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•大丰区期中）如图，四边形，有，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点运动到点时，线段扫过的面积为　　 A． B． C． D． 二．填空题 6．（2024•六合区校级三模）如图，菱形的顶点，，在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为 　　． 7．（2024•海州区校级二模）如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　　（结果保留 8．（2024•建邺区一模）如图，，是正八边形的两条对角线，则　　． 9．（2023秋•宝应县期末）如图，直线与相切于点，点是上的一个动点，设，点到直线的距离为．若的半径为2，设，则的最大值是　　． 10．（2021秋•丰县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，，点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值为 　　，的最大值为 　　． 三．解答题 11．（2024•邗江区校级三模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，的延长线与的切线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 12．（2024•邗江区一模）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，则阴影部分的面积？ 13．（2024•高新区模拟）如图，在中，点为边上的一个动点，以为直径的交于点，过点作，交于点．连接、，若是的切线． （1）求证：； （2）若，，，求直径的长． 14．（2022•海门市校级模拟）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作的切线，交于点． （1）求证：； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积． 15．（2023秋•苏州期中）如图，直线经过上的一点，是的外接圆，是的直径，于点，点是的中点，．取的中点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练 第2章《对称图形—圆》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十九考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 2 新知精讲梳理 2 考点讲练1：圆的认识 7 考点讲练2：垂径定理 8 考点讲练3：垂径定理的应用 12 考点讲练4：圆心角、弧、弦的关系 15 考点讲练5：圆周角定理 18 考点讲练6：圆内接四边形的性质 22 考点讲练7：点与圆的位置关系 25 考点讲练8：确定圆的条件 27 考点讲练9：三角形的外接圆与外心 29 考点讲练10：直线与圆的位置关系 32 考点讲练11：切线的判定与性质 36 考点讲练12：弦切角定理 40 考点讲练13：切线长定理 43 考点讲练14：切割线定理 44 考点讲练15：三角形的内切圆与内心 46 考点讲练16：正多边形和圆 49 考点讲练17：弧长的计算 52 考点讲练18：扇形面积的计算 55 考点讲练19：圆锥的计算 58 中等题真题汇编练 60 培优题真题汇编练 75 导图指引 新知精讲梳理 知识点01：圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 　　(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. 　　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 细节剖析： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 　　 　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 　　(3)垂径定理及推论： 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧相等. 细节剖析： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质 　　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. 　　(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角 　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 　　 　圆周角的性质： 　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 细节剖析： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 知识点02：与圆有关的位置关系 1．判定一个点P是否在⊙O上 　　设⊙O的半径为，OP=，则有 　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 细节剖析： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点在同一个圆上的方法 　　当时，在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 　　设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. 　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. 　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. 　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 　　(1)切线的判定： 　　 　①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 　　 　②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. 　　(2)切线的性质： 　　 　①圆的切线垂直于过切点的半径. 　　 　②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 　　 　③经过切点作切线的垂线经过圆心. 　　(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. 　　(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 5．圆和圆的位置关系 　　设的半径为，圆心距. 　　(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离 　　 　. 　　(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含 　　(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切. 　　(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切. 　　(5)和有两个公共点相交. 知识点03：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心、重心、垂心 　　(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. 　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. 　　(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. 　　(4)垂心：是三角形三边高线的交点. 细节剖析： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 2．圆内接四边形和外切四边形 　　(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 　　(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 知识点04：圆中有关计算 1．圆中有关计算 　　圆的面积公式：，周长. 　　圆心角为、半径为R的弧长. 　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为. 　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 细节剖析： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 考点讲练1：圆的认识 【精讲题】（2022秋•启东市校级月考）下列说法中，不正确的是　　 A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等 C．周长相等的两个圆是等圆 D．直径是弦，半圆不是弧 【思路点拨】对于，直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，即可进行判断； 对于，能重合的弧叫等弧，即可进行判断； 对于和，分别根据等圆，直径，半圆的知识，也可进行判断． 【规范解答】解：．直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确； ．能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确； ．周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确． ．直径是弦，半圆是弧，故错误． 故选：． 【考点评析】本题考查圆的认识，解题的关键是掌握弦，弧等知识，灵活运用所学知识解决问题． 【举一反三练1】（2023秋•宿迁期中）到点的距离等于4的点的集合是 　以点为圆心，以4为半径的圆　． 【思路点拨】根据圆的定义即可解答． 【规范解答】解：到点的距离等于4的点的集合是：以点为圆心，以4为半径的圆． 故答案为：以点为圆心，以4为半径的圆． 【考点评析】本题考查了圆的定义：圆是到定点距离等于定长的点的集合． 【举一反三练2】（2022秋•启东市校级月考）如图，是的直径，点在的延长线上，，交于点，且． （1）求的度数． （2）求的度数． 【思路点拨】（1）由得到，则； （2），因此，即可求出． 【规范解答】解：（1）连，如图， ，， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质和三角形外角定理，解题的关键是能从图形中发现每个角之间的关系． 考点讲练2：垂径定理 【精讲题】（2023秋•沭阳县月考）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为　　 A．13 B．14 C．12 D．28 【思路点拨】由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得． 【规范解答】解：连接， ， ， 点、点关于原点对称， ， ， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点， 则、， ， 又， ， ； 故选：． 【考点评析】本题主要考查点与圆的位置关系，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置是解题的关键． 【举一反三练1】（2023•新北区校级二模）如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为　　． 【思路点拨】连接，先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，根据圆周角定理得到，由三角形中位线定理得到，然后在中由勾股定理可求出． 【规范解答】解：连接，如图所示： ，， ， 设的半径， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； ，， ， 是直径， ， 是的中位线， ， 在中，， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 【举一反三练2】（2021秋•丰县校级月考）如图，是的直径，是弦，点是的中点，交于点．连接，若，，求的长． 【思路点拨】连接，由垂径定理得出，．在直角三角形中，根据勾股定理可求出，进而求出长，再根据三角形中位线定理可得的长． 【规范解答】解：连接，如图所示． 点是的中点， ，，． ， ． 设的半径为，则． ， ． 即， ． ，，， ． 解得：． ． ，， 是的中位线， ． ． 【考点评析】本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出半径是解决问题的关键． 考点讲练3：垂径定理的应用 【精讲题】（2021秋•溧阳市期末）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长．”则　　 A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 【思路点拨】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求出方程的解即可得到的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【规范解答】解：连接，，且， ， 设圆的半径的长为寸，则寸， ， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 解得： 所以（寸． 故选：． 【考点评析】此题考查了垂径定理的应用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系． 【举一反三练1】（2024•惠山区校级一模）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为 　13　寸． 【思路点拨】设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，由题意知过点，且，，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【规范解答】解：设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，如图所示： 由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ， ， 解得：， 的半径为13寸， 故答案为：13． 【考点评析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•梁溪区校级月考）如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中为中点，为拱门最高点，线段经过圆心，已知拱门的半径为，拱门最下端． （1）求拱门最高点到地面的距离； （2）现需要给房间内搬进一个长和宽为，高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据： 【思路点拨】（1）如图②中，连接．利用勾股定理求出即可； （2）如图②，弦，且，连接．求出即可． 【规范解答】解：（1）如图②中，连接． ，经过圆心， ， ， ， 拱门最高点到地面的距离为； （2）如图②，弦，且，连接． ，经过圆心， ， ， ， ， 搬运该桌子时能够通过拱门． 【考点评析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 考点讲练4：圆心角、弧、弦的关系 【精讲题】（2024•南京模拟）如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是 　　． 【思路点拨】连接，交于，根据垂径定理的推论得出，，进而证得，根据三角形中位线定理求得，从而求得，利用勾股定理即可求得． 【规范解答】解：如图，连接，交于， 是的中点， ，， ， ，， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•玄武区校级月考）如图，在中，，截三边所得的弦长，则　125　度． 【思路点拨】过点作于，于，于，求出，求出点是的角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线定义得出，再根据三角形内角和定理求出答案即可． 【规范解答】解：过点作于，于，于，如图， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故答案为：125． 【考点评析】本题考查了角平分线定义和性质，三角形内角和定理和垂径定理等知识点，能熟记到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解此题的关键． 【举一反三练2】（2022秋•涟水县期中）如图，、、、是上的四点，．求证：． 【思路点拨】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【规范解答】证明：， ， ， ． 【考点评析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 考点讲练5：圆周角定理 【精讲题】（2024春•玄武区校级月考）如图，、是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可． 【规范解答】解：如图，连接， 是劣弧的中点， 即弧弧， ， ， ， ， ， 即． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 【举一反三练1】（2021秋•锡山区期中）如图，是的直径，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】如图，连接．求出即可解决问题． 【规范解答】解：如图，连接． 是直径， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【举一反三练2】（2023秋•邗江区校级期末）关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （3）如图，已知、是半径为8的的两条平行弦，，，且关于的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为 　45　． 【思路点拨】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义直接判断即可； （2）根据及根的判别式，再利用完全平方的非负性来判断即可； （3）连接，，作于，的延长线交于．关于的方程是“勾系一元二次方程”，则，再结合勾股定理，证明出，得出，从而得出，再利用圆周角定理求解即可． 【规范解答】解：（1）方程是“勾系一元二次方程”，理由如下： ， 由题意知：， 满足且， 故方程是“勾系一元二次方程”； （2）证明：是“勾系一元二次方程”， ， ， 必有实数根； （3）连接，，作于，的延长线交于． 关于的方程是“勾系一元二次方程”， ， ，， ， ， ，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：45． 【考点评析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 考点讲练6：圆内接四边形的性质 【精讲题】（2023秋•如皋市期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可． 【规范解答】解：四边形为的内接四边形， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 【举一反三练1】（2024•宿城区模拟）如图，四边形内接于，、的延长线相交于点，、的延长线相交于点．若，，则　35　． 【思路点拨】根据圆内接四边形的性质得到，，，根据三角形内角和定理计算即可． 【规范解答】解：四边形内接于， ，，， ，，， ， ， ， ， 故答案为：35． 【考点评析】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•玄武区校级月考）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 【思路点拨】（1）由圆周角定理得到，而，因此，得到平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出； （2）由垂径定理推出是等边三角形，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为是圆的直径，即可得到圆半径的长是4． 【规范解答】（1）证明：，， ， 平分， 平分， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 是圆的直径， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ，， ， 是圆的直径， 圆的半径长是4． 【考点评析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形． 考点讲练7：点与圆的位置关系 【精讲题】．（2023秋•东海县月考）如图，是半的直径，点在半上，，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为　　 A．1 B． C． D．3 【思路点拨】如图，连接、．在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，当、、共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【规范解答】解：如图，连接、． ， ， 在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中，，， ，， 在中，， ， 当、、共线时，的值最小，最小值为， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点的运动轨迹是在以为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题． 【举一反三练1】（2022秋•邳州市期末）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】由勾股定理求出的长度，再由点在内且点在外求解． 【规范解答】解：在中，由勾股定理得， 点在内且点在外， ， 故选：． 【考点评析】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理． 【举一反三练2】（2024•宜兴市模拟）如图，在中，，．点是平面内的一点，．将线段绕点按顺时针方向旋转一周，连接，取的中点，连接，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】取的中点，连接，，由直角三角形斜边中线的性质得到，由三角形中位线定理推出，由三角形三边关系定理得到，即可得到． 【规范解答】解：取的中点，连接，， ， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查三角形三边关系，直角三角形斜边中线，三角形中位线定理，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出的长，由三角形中位线定理得到的长，由三角形三边关系定理即可求解． 考点讲练8：确定圆的条件 【精讲题】（2021秋•江都区校级月考）下列说法正确的是　　 A．在同一平面内，三点确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．旋转会改变图形的形状和大小 D．平分弦的直径垂直于弦 【思路点拨】根据确定圆的条件即可判断选项；根据圆心角、弧、弦之间的关系即可判断选项；根据旋转的性质即可判断选项；根据垂径定理即可判断选项． 【规范解答】解：．在同一平面内，不在同一条直线上的三点才确定一个圆（在同一直线上的三点不能确定一个圆），故本选项不符合题意； ．等弧所对的圆心角相等，故本选项符合题意； ．旋转后的图形与原图形全等，即旋转不会改变图形的形状和大小，故本选项不符合题意； ．平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系和旋转的性质，能熟记确定圆的条件，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系和旋转的性质等知识点是解此题的关键． 【举一反三练1】（2022春•射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　　． 【思路点拨】根据图形得出、、的坐标，再连接，作线段和线段的垂直平分线、，两线交于，则是圆弧的圆心，最后求出点的坐标即可． 【规范解答】解：从图形可知：点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 连接，作线段和线段的垂直平分线、，两线交于，则是圆弧的圆心，如图， 点的坐标是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心的位置是解此题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•滨海县月考）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【思路点拨】求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 【规范解答】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 【考点评析】此题主要考查了确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等． 考点讲练9：三角形的外接圆与外心 【精讲题】（2024•鼓楼区校级模拟）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【规范解答】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）等弧所对的圆心角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：． 【考点评析】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识，经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 【举一反三练1】（2024•海陵区校级三模）如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是 　　． 【思路点拨】根据为的外心，可得，从而以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【规范解答】解：如图：连接，以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点， 由题意得：， 的长度是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【举一反三练2】（2024•徐州模拟）在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，点是的外接圆上一点，交线段于点，若，则点的坐标为　，　． 【思路点拨】连接，过作于，根据已知条件得到，，得到是等腰直角三角形，得到，根据圆周角定理得到，推出是等腰直角三角形，求得，根据全等三角形的性质得到，待定系数法得到直线的解析式为，于是得到结论． 【规范解答】解：连接，过作于， 点、、的坐标分别为、、， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在与中，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，， 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 考点讲练10：直线与圆的位置关系 【精讲题】（2023秋•梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆　　 A．与轴相离，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【思路点拨】由已知点可求该点到轴，轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设为直线与圆的距离，为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【规范解答】解：点到轴为4，大于半径3， 点到轴的距离为3，等于半径3， 故该圆与轴相离，与轴相切， 故选：． 【考点评析】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 【举一反三练1】（2023秋•锡山区期中）如图，在中，，点是的中点，以为直径的与边交于点，连接． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【规范解答】解：（1）相切， 理由：连接， ， ， 是的直径， ， 点是的中点， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）在中，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•高邮市期末）如图，在中，，平分交于点，点为边上一点，以为直径的圆恰好经过点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，根据平行线的性质得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】解：（1）直线与相切， 理由：连接，， ， 平分交于点， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地找出辅助线是解题的关键． 考点讲练11：切线的判定与性质 【精讲题】（2021秋•广陵区校级期末）如图，，以为直径作，交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【思路点拨】（1）连接．根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】解：（1）连接． ， ； ， ， ， ， ， ，且为半径； 是的切线； （2）， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即的半径为4． 【考点评析】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是灵活运用切线的判定解决问题． 【举一反三练1】（2024•天宁区校级模拟）辘轳（图是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘轳”，说明早在公元前一千一百多年前中国已经发明了辘轳．如图2是从辘轳抽象出来的几何模型，在中，，是边上一点，以为半径的与相交于点，已知． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的半径． 【思路点拨】（1）连接，根据可得，根据得，再证可得到即可的结论； （2）设的半径为，在中，根据勾股定理列方程，解方程即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 直线是的切线； （2）解：在中，，，， ，， 设的半径为，在中， ， 解得：， 的半径为3． 【考点评析】本题考查了切线的判定及勾股定理的应用，添加辅助线和利用方程完成图形计算是解决问题关键． 【举一反三练2】．（2024•宿迁模拟）如图，以的边为直径作交于点，且为的中点，作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）设，则，在中由勾股定理得求出，再利用相似三角形的性质求解． 【规范解答】（1）证明：连接， ，， 是的中位线， ，， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：设，则， 在中，，由勾股定理得， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查了切线的判定，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造中位线和相似三角形是解题的关键． 考点讲练12：弦切角定理 【精讲题】（2022•江阴市校级一模）如图，是的直径，、分别切于点、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】连接，由弦切角定理得，再由切线的性质求得，最后由切线长定理求得的度数． 【规范解答】 解：连接， 、分别切于点、， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 解法二：连接，． ，是的切线，，是切点， ，， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大． 【举一反三练1】（2021•江阴市校级三模）如图为和一圆的重迭情形，此圆与直线相切于点，且与交于另一点．若，，则的度数为何　　 A． B． C． D． 【思路点拨】本题首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半进行求解． 【规范解答】解：，， ． 此圆与直线相切于点， 的度数． 故选：． 【考点评析】此题综合考查了弦切角定理和三角形的内角和定理． 【举一反三练2】（2017•宝应县一模）如图，已知半径为1的经过直角坐标系的原点，且与轴、轴分别交于点、，点的坐标为，，的切线与直线交于点．则　30　度． 【思路点拨】在中，已知了直径和的长，即可求得、的度数；而由弦切角定理知，进而可由三角形的外角性质求出的度数． 【规范解答】解：，， ， ，； 是的切线， ， ． 故答案为：30． 【考点评析】此题主要考查了直角三角形的性质、弦切角定理以及三角形的外角性质，难度不大． 考点讲练13：切线长定理 【精讲题】（2014秋•江阴市期中）如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为　　 A． B． C． D．随直线的变化而变化 【思路点拨】利用切线长定理得出，，，进而得出答案． 【规范解答】解：是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，， 设、分别是的切点， 故，，， ． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了切线长定理，得出是解题关键． 【举一反三练1】（2023秋•江都区期中）如图，，分别切于点，，点是上一点，过作的切线，交，于点，，若，则的周长是　12　． 【思路点拨】根据切线长定理将的周长转化为切线长即可． 【规范解答】解：根据切线长定理得：，，，则的周长． 【考点评析】此题主要考查切线长定理的运用能力． 【举一反三练2】（2022秋•滨海县期中）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 　40　． 【思路点拨】根据圆外切四边形的对边之和相等求出，根据四边形的周长公式计算即可． 【规范解答】解：四边形是的外切四边形， ， 四边形的周长， 故答案为：40． 【考点评析】本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 考点讲练14：切割线定理 【精讲题】（2022秋•东台市期中）如图，点是直径的延长线上一点，切于点，已知，．则等于　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】根据题意可得出，再由，，则，代入可求出． 【规范解答】解：、分别为的切线和割线， ， ，， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了切割线定理，熟记切割线定理的公式． 【举一反三练1】（2020秋•崇川区月考）如图，是圆外的一点，点、在圆上，、分别交圆于点、，如果，，，那么　　． 【思路点拨】根据“从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等”得到：，即． 【规范解答】解：如图，，，， ，． 又， ， 则． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了切割线定理． （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 【举一反三练2】（2011秋•吴江市校级期中）如图，过点作的两条割线分别交于点、和点、，已知，，则的长是　7.5　． 【思路点拨】由割线定理得，代入直接求出即可． 【规范解答】解：，是圆的两条割线，， ，，， ． 故答案为7.5． 【考点评析】本题考查的是割线定理，是基础知识比较简单，要识记． 考点讲练15：三角形的内切圆与内心 【精讲题】（2024•泗洪县一模）如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为6，则的半径为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设与相切于点，设正方形的边长为．因为、、是切线，可得，，，设，，在中，以为，，，看到，推出，根据，构建方程求出即可解决问题． 【规范解答】解：设与相切于点，设正方形的边长为， 、、是切线， ，，，设，， 在中， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为， 故选：． 【考点评析】本题考查正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 【举一反三练1】（2023秋•涟水县期中）如图，在中，，，为的内心，若的面积为20，则的面积为　　 A．20 B．15 C．18 D．12 【思路点拨】由为的内心可得，点到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比． 【规范解答】解：为的内心， 点到，的距离相等， 、面积的比． 的面积为20， 的面积为15． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，熟练掌握角的三角形的内心到三边的距离相等是解答本题的关键． 【举一反三练2】（2024•泰兴市三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的内心，连结、、、．若，，那么四边形的周长　　． 【思路点拨】由矩形的性质得，，，求得，作的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、，可求得，则，，再证明四边形是正方形，则，求得，，同理可得，，即可求得四边形的周长，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 作的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， 同理可得，， 四边形的周长， 故答案为：． 【考点评析】此题重点考查矩形的性质、三角形的内切圆的定义和性质、切线的性质定理、切线长定理、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 考点讲练16：正多边形和圆 【精讲题】（2024•新吴区二模）如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数为　　 A．12 B．11 C．10 D．9 【思路点拨】根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【规范解答】解：连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：． 【考点评析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键． 【举一反三练1】（2021•海陵区一模）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形的中心重合，且与边、相交于、（如图）．图中阴影部分的面积记为，三条线段、、的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，下列说法正确的是　　 A．变化，不变 B．不变，变化 C．变化，变化 D．与均不变 【思路点拨】如图，连接，．证明，可得结论． 【规范解答】解：如图，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， 定值，定值， 故选：． 【考点评析】本题考查正多边形与圆，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【举一反三练2】（2023秋•宿迁期末）如图，正六边形内接于，半径为4． （1）求正六边形的边心距； （2）求正六边形的面积． 【思路点拨】（1）连接、，过点作于，证明等边三角形，利用三角函数即可求解； （2）根据正六边形的面积即可求解． 【规范解答】解：（1）连接、，过点作于，则， 六边形是正六边形， ， ，为等边三角形， ，， 圆心到的距离， 即正六边形的边心距为； （2）正六边形的面积． 【考点评析】本题考查了正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，三角函数，掌握正六边形的性质是解题的关键． 考点讲练17：弧长的计算 【精讲题】（2024•宿迁模拟）如图，在半径为6的中，弦于点，若，则的长为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】连接、，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算吗，得到答案． 【规范解答】解：连接、， ，， ， 由圆周角定理得：， 的长为：， 故选：． 【考点评析】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键． 【举一反三练1】（2024•张家港市模拟）如图，在中，点、、在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可． 【规范解答】解：， ， 的半径是2， 劣弧的长是． 故选：． 【考点评析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是掌握弧长公式． 【举一反三练2】（2024•南京二模）如图，在半径为的中，是直径，点在上，且，弦（非直径）交于点． （1）如图①，若， （Ⅰ）连接，，求证：； （Ⅱ）的长为 　1　． （2） 如图②，若，求的长． 【思路点拨】（1）（Ⅰ）根据垂径定理以及线段中垂线的性质即可得出结论； （Ⅱ）利用圆周角定理，直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）根据垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理进行计算即可． 【规范解答】证明：（1）（Ⅰ）连接， ，是的直径， ， 即是中垂线， ； （Ⅱ）连接， 是直径，点在上，且， ， ， ， 在中，，， ， 故答案为：1； （2）如图②，连接，，，过点作，垂足为， 由（1）可得，， 设， ，， ， ， 即， ， 在中，由勾股定理得，， ， 解得或舍去， ． 【考点评析】本题考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握垂径定理，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键． 考点讲练18：扇形面积的计算 【精讲题】（2024•灌云县二模）如图，在扇形中，已知，，过点作于点，分别以，为边作矩形，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意和题目中的数据，可以先计算出和的长，然后计算出的长，再根据，代入数据计算即可． 【规范解答】解：，，， ，，， ，， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查扇形面积的计算、矩形的面积、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【举一反三练1】（2024•高新区二模）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】假设左边空白部分的面积设为，右边空白部分的面积设为，根据对称性，上下两片阴影部分面积都设为，则扇形的面积，正方形面积一扇形面积，两个算式作差即为所求． 【规范解答】解：设左边空白部分的面积设为，右边空白部分的面积设为， 根据对称性，上下两片阴影部分面积设为， 则扇形的面积，正方形面积一扇形面积，两式作差： 扇形面积（正方形面积扇形面积）扇形面积正方形面积， 答：无阴影的两部分的面积之差为， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•姜堰区期末）如图，在圆心角为的扇形中，半径，点、分别是半径、的中点，将沿对折，点落在处，为上一点． （1）若 　①　，求证：　　；（把“①、、在一直线上”，“② ”分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明） （2）在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）连接，根据已知条件先得出，再根据对折的性质得出，根据边角关系进而得出，，最后即可得证； （2）在（1）的条件下，可求出扇形和的面积，从而得到阴影部分的面积． 【规范解答】解：（1）①；②；证明如下： 连接，如图： 在圆心角为的扇形中，半径， ， 点、分别是半径、的中点， ， ， ， 将沿对折，点落在处， ， ， 在中，， ， ， ”； 故答案为：①；②； （2）在（1）的条件下， ， ， ． 【考点评析】本题考查了圆心角和圆周角的性质以及不规则图形的面积的求法，熟练掌握圆心角的性质是解题的关键． 考点讲练19：圆锥的计算 【精讲题】（2016秋•崇安区期末）用一个半径为，面积为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 　　． 【思路点拨】先根据扇形的面积公式：为弧长，为扇形的半径）计算出扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径． 【规范解答】解：， ，解得， 设圆锥的底面半径为， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式：为弧长，为扇形的半径）． 【举一反三练1】（2023秋•句容市期末）已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面圆的半径为 　2　． 【思路点拨】设围成的圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【规范解答】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得，解得， 即围成的圆锥的底面圆的半径为． 故答案为2． 【考点评析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【举一反三练2】（2023秋•射阳县期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点、、．（网格小正方形的边长为． （1）请在图中标出圆心点位置，点的坐标为 　　；的半径为 　　； （2）判断点与的位置关系； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【思路点拨】（1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，再写出点坐标，然后计算长得到的半径； （2）利用两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解； （3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，设该圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，求出即可． 【规范解答】解：（1）如图，点为所作，点坐标为， ， 即的半径为； 故答案为：，； （2），， ， ， 的长小于圆的半径， 点在内； （3），， ， 为直角三角形，， 设该圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得． 【考点评析】本题考查了圆锥的计算，坐标与图形性质和垂径定理，正确记忆相关内容是解题关键 中等题真题汇编练 一．选择题 1．（2024•新吴区一模）如图，点、、、、在上，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：如图，连接， 四边形为的内接四边形， ， ， ， 的度数为， 故选：． 2．（2024•秦淮区二模）如图，半径为1的与正五边形相切于点、，则劣弧的长度为　　 A． B． C． D． 解：因为正五边形的内角和是， 则正五边形的一个内角； 连接、、， 圆与正五边形相切于点、， ， ， 所以劣弧的长度为． 故选：． 3．（2024•东海县校级模拟）如图，，是的两条弦，且，点，分别在，上．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：在圆内接四边形中，， ， 则的度数是， 又， 的度数的度数， 的度数是， ， 故选：． 4．（2023秋•沭阳县校级月考）如图，正五边形边长为6，以为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 解：正五边形的外角和为， 每一个外角的度数为， 正五边形的每个内角为， 正五边形的边长为6， ， 故选：． 5．（2024•滨湖区校级二模）如图，是的直径，点、、都是上的点，则　　 A． B． C． D． 解：连接，如图所示： 是的直径， ， 与是同弧所对的圆周角， ， ， 故选：． 二．填空题 6．（2024•亭湖区一模）如图，一个正多边形被树叶遮掩了一部分，若直线，所夹锐角为，则这个正多边形的边数是 　5　． 解：如图所示： 由题意得：， ， ， 正多边形每个外角都相等， ， 正多边形的外角和为， 它的边数为：， 这个正多边形的边数是5， 故答案为：5． 7．（2024•泰兴市三模）如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 　　． 解：正五边形的每一个内角的度数为：， 即阴影扇形的圆心角为， 的长为， 设围成圆锥体的底面半径为，由题意得， 解得， 故答案为：． 8．（2024•海安市一模）如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了 　　．（结果保留 解：砝码被提起了：． 故答案为：． 9．（2023秋•铜山区校级月考）如图，正六边形内接于．若的周长为，则该正六边形的边长是 　6　． 解：连接，， 正六边形内接于，的周长为， 的半径为6， ， 是等边三角形， ， 正六边形的边长为6， 故答案为：6． 10．（2024•建邺区一模）如图，，是正八边形的两条对角线，则　　． 解：设正八边形中心为，连接、，如图， 多边形为正八边形， 中心角， 设， ，， ． 故答案为：． 三．解答题 11．（2023•锡山区模拟）如图，为的内接三角形，，垂足为，直径平分，交于点，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． （1）证明：为的直径， ， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：如图，过点作于点．则， ，， ， ， ，， ， ， 即， 设，则， ， ， ， 解得， 即， 平分，， ． 12．（2021秋•惠山区校级期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线路线，以的速度匀速运动到点停止，动点从点出发，沿折线路线，以的速度匀速运动到点停止．点，点同时出发，运动时间为秒，以为直径作． （1）当点在边上运动，点在边上运动时，与相切，求的值； （2）当与相切时，求的值． 解：（1）如图1，与相切，则， ， ，，， ， ， ， ， ， 点在边上运动，点在边上运动， ，， ， 解得， 的值为1． （2）如图2，点在上，点在上，与相切，则， ， ， ， ， ， 解得； 如图3，点与点重合，点在上，与相切，则， 由得， ，， ， ， 点在上， ， ， 解得， ， 符合题意， 综上所述，的值为或． 13．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在中，以为直径的交于点，与的延长线交于点，的切线与垂直，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． （1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 的长． 14．（2024•沛县校级二模）如图，直线与相切于点，点为直线上一点，直线交于点、，点在线段上，连接，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为，求图中阴影部分的面积． 解：（1）直线是的切线， 理由：连接，， 直线与相切于点， ， 在和中， ， ， ， 为直径， 直线是的切线； （2）过点作于点， ， ， 即， 又，则， ， ，则， ， ，， ， ， ， ，则， 图中阴影部分的面积为：． 15．（2024•高新区模拟）如图，在中，点为边上的一个动点，以为直径的交于点，过点作，交于点．连接、，若是的切线． （1）求证：； （2）若，，，求直径的长． （1）证明：， ， ， ， 又， 是圆的直径， ， ， ； （2）连接，并延长和相交于， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， 又， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ，，， ， 在中，设， 则，，， ， ， ， 即． 培优题真题汇编练 一．选择题 1．（2024•东海县模拟）下列语句中不正确的有　　 ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①、要强调在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故错误． ②、平分弦的直径垂直于弦，其中被平分的弦不能是直径，若是直径则错误． ③、对称轴是直线，而直径是线段，故错误． ④、正确． 故选：． 2．（2024•新北区一模）如图，与相切于点，连接交于点，弦，连接．若，的半径是9，则的长是　　 A． B． C． D． 解：如图，连接，， 切于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的长； 故选：． 3．（2023秋•沭阳县校级月考）如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，且，取的中点．连接，则的最小值为　　 A． B． C． D． 解：取的中点，连接，． ， ，， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故选：． 4．（2023•润州区二模）如图，的半径为1，是的直径，是弦，是劣弧上一点，将沿折叠，使得点的对应点是点，且弧与相切于点，设线段的长度为，弦的长度为，则　　 A． B． C． D． 解：如图，设弧的圆心为，连接交于，连接，， 由折叠得，，的半径为1， ， ， ， 弧与相切于点， ， ， ， ， ， 故选：． 5．（2023秋•大丰区期中）如图，四边形，有，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点运动到点时，线段扫过的面积为　　 A． B． C． D． 解：如图，连接，，，交于点． 由题意，， ，都是等边三角形， ，， ，， ， 由题意，线段扫过的面积． 故选：． 二．填空题 6．（2024•六合区校级三模）如图，菱形的顶点，，在上，且与相切，若的半径为1，则菱形的周长为 　　． 解：连接， 与相切， ， ， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为1， ， ， 菱形的周长为， 故答案为：． 7．（2024•海州区校级二模）如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　　（结果保留 解：八边形是正八边形，六边形是正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 8．（2024•建邺区一模）如图，，是正八边形的两条对角线，则　　． 解：设正八边形中心为，连接、，如图， 多边形为正八边形， 中心角， 设， ，， ． 故答案为：． 9．（2023秋•宝应县期末）如图，直线与相切于点，点是上的一个动点，设，点到直线的距离为．若的半径为2，设，则的最大值是　1　． 解：如图，作直径，连接， ， 是切线， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 当时，有最大值是1， 故答案为：1． 10．（2021秋•丰县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，，点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值为 　4　，的最大值为 　　． 解：连接， 由题意，得：，， ， ， ， 要最大，就是点到上的一点的距离最大， 在的延长线上， ，， ， 的最小值是， 的最大值是， 故答案为：4；6． 三．解答题 11．（2024•邗江区校级三模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，的延长线与的切线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． （1）证明：如图，连接． 为的直径， ， ． 是的切线， ， 即． ． ，， ． ． 解法二：是切线， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）如图，连接， ． 设， ， ，，． 在中，．即， ， ， ，，． ， ， ． 12．（2024•邗江区一模）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，则阴影部分的面积？ （1）证明：连接，， 是的直径， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 阴影部分的面积的面积的面积扇形的面积． 13．（2024•高新区模拟）如图，在中，点为边上的一个动点，以为直径的交于点，过点作，交于点．连接、，若是的切线． （1）求证：； （2）若，，，求直径的长． （1）证明：， ， ， ， 又， 是圆的直径， ， ， ； （2）连接，并延长和相交于， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， 又， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ，，， ， 在中，设， 则，，， ， ， ， 即． 14．（2022•海门市校级模拟）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作的切线，交于点． （1）求证：； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积． （1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ． （2）解：连接， ，， ， ， ， ， 的半径为4， ，， ． 15．（2023秋•苏州期中）如图，直线经过上的一点，是的外接圆，是的直径，于点，点是的中点，．取的中点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 解：（1）证明：如图，连接， 为的直径． ， ，， ， 即， 为的切线； （2）如第（1）题图，连接、， ， ，， ． ， ，即， ， 点为的中点， ， ， 为中点， ， 为的直径． ， ， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$