专题4.2-4.3 等可能条件下的概率（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题4.2-4.3 等可能条件下的概率 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：概率 1 知识点梳理02：求概率的方法 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：概率的意义理解 3 考点2：判断几个事件概率的大小关系 4 考点3：根据概率公式计算概率 4 考点4：根据概率作判断 5 考点5：已知概率求数量 6 考点6：几何概率 7 考点7：列举法求概率 8 考点8：列表法或树状图法求概率 8 考点9：游戏的公平性 9 考点10：利用概率计算随机事件发生的平均次数 10 考点11：概率在转盘抽奖中的应用 11 考点12：概率在比赛中的应用 12 考点13：概率的其他应用 13 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 16 基础夯实 16 培优拔高 19 知识点梳理01：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 知识点梳理02：求概率的方法 （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 考点1：概率的意义理解 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北荆州·期末）下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷次图钉，钉尖向上的次数为次 C．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 D．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 【变式训练】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对九年级的学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其他项目（每名同学仅选一项）.根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图，如图 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 36 x 羽毛球 y 0.20 乒乓球 30 0.25 跳绳 18 z 其他 12 0.10 请根据以上图表信息解答下列问题： (1)频数分布表中的_________，_________，_________． (2)在扇形统计图中，“跳绳”所在的扇形的圆心角的度数为_________． (3)从被调查的学生中随机抽取1名学生，求该学生喜欢球类运动的概率． 考点2：判断几个事件概率的大小关系 【典例精讲】（21-22八年级下·江苏镇江·期末）下列说法正确的是（   ） A．小明投篮投中的概率是0.6，说明他投10次篮球一定能中6次 B．为了解全国中学生的节水意识，应采用普查的方式 C．为了解某校300名九年级学生的睡眠时间，从中抽取50名九年级学生进行调查，在这个事件中，样本容量是300 D．一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性比白球大 【变式训练】下列说法正确的是（    ）． A．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 B．天气预报“明天降水概率10％，是指明天有10％的时间会下雨” C．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖 D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 考点3：根据概率公式计算概率 【典例精讲】24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）龙眼南美食街是汕头美食网红打卡点之一，小云和小吉准备前去打卡品尝，她们决定在"A．潮汕生腌、B．腐乳鸡翅、C．手打牛肉丸、D．砂锅肠粉”这四种小吃中各自选择喜欢的美食进行品尝，假设选择每种小吃的可能性相同． (1)小云只选了一种，则她选择“A．潮汕生腌”的概率是________（直接填写答案） (2)若小吉选择了两种小吃，请用画树状图或列表的方法求出她选择的是“B．腐乳鸡翅”和“C．手打牛肉丸”的概率， 【变式训练】（2025·贵州铜仁·三模）2024年是澳门回归25周年．8月1日，我国首颗高精度地磁场探测卫星------澳门科学一号卫星科学数据正式面向全球开放，为国际科学界提供了宝贵的地球物理空间数据资源，展示了中国在航天科技领域的实力．某校为了解七年级500名学生对航天知识的掌握情况，在七年级进行了航天知识测试（满分100）后从七（1）、七（2）两个班级分别随机抽取了12名学生的成绩，进行整理，得到了如下信息： 七（1）班12名学生测试成绩统计如下：82，85，94，94，93，89，87，95，96，97，98，99． 七（2）班12名学生测试成绩统计如下：79，99，88，92，77，97，83，94，91，98，94，100． 根据以上信息，解答下列问题： (1)七（1）班12名学生成绩的中位数为____________，七（2）班12名学生成绩的众数为___________； (2)若本次抽到的24份成绩分别属于14名男生和10名女生，那么从这24名学生中随机抽取1名学生代表七年级参加全区的航天宣传演讲，恰好抽到女生的概率是_____________； (3)已知这24名同学中成绩在98分及以上的5位分别是2名女生和3名男生，若从中选择两名学生代表七年级参加学校航天知识宣讲比赛，请用树状图或列表的方式求出正好选中“一男一女”的概率． 考点4：根据概率作判断 【典例精讲】（23-24七年级下·广东深圳·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)从中任意摸出一个球，摸出 球的概率最小； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 【变式训练】（23-24七年级下·广东深圳·期末）小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题： (1)小深抽到“纸巾”的概率是 ； (2)小深中奖的概率是 ； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是 ，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 考点5：已知概率求数量 【典例精讲】（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数 10 20 50 100 200 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 4 7 10 28 50 127 196 252 744 摸到白球的频率 0．400 0．350 0．200 0．280 0．250 0．254 0．245 0．252 0．248 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____________（精确到0．01）； (2)试估算盒子里白球有_____________个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是___________（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【变式训练】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜色外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的试验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是试验的部分数据： 摸球次数 80 180 600 1000 1500 摸到白球次数 21 46 149 251 373 摸到白球的概率 0.2625 0.256 0.2483 0.251 0.249 (1)请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是_______（精确到0.01），黄球有_______个； (2)如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率． 考点6：几何概率 【典例精讲】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·陕西榆林·三模）如图所示，一个圆形转盘，它是由圆心角为的两个白色扇形和和一个黑色扇形组成的，转盘的圆心处有一个固定的指针．小王和小吴玩转盘游戏，他们让这个转盘自由转动两次，规定：若指针至少有一次落在黑色区域，则小王胜；若指针两次都落在白色区域，则小吴胜；若指针落在两个扇形的中缝处，则重新转动转盘．这个规则公平吗？请运用你学过的概率知识，通过画树状图或列表，计算说明你的理由． 考点7：列举法求概率 【典例精讲】（2025·安徽合肥·一模）将如图摆放的三个正方形，分别随机涂成黑色成白色，则相邻正方形（两个正方形有公共边），颜色不同的概率是 ． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏南京·期末）（1）不透明的袋子中装有个编号分别为，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，求它们编号之和是偶数的概率． （2）不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，它们编号之和是偶数的概率为______． 考点8：列表法或树状图法求概率 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）袋子里装有2个红球、1个蓝球，这些球除颜色外无其他差别． (1)若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，从袋中摸出一个蓝球的概率为，则后来放入袋中的蓝球为_______个． (2)一次性随机摸出两个球，请用画树状图或列表的方法，求摸到两个红球的概率． 【变式训练】（24-25九年级上·广东湛江·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； (2)从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 考点9：游戏的公平性 【典例精讲】（23-24九年级上·广东梅州·期中）小英、小康和小亮三位同学玩掷硬币游戏，规则如下：连续抛掷硬币三次，若三次都是正面朝上或三次都是反面朝上，则小英获胜；若两次正面朝上，一次反面朝上，则小康获胜；若两次反面朝上，一次正面朝上，则小亮获胜． (1)请用画树状图法表示三次抛掷硬币的所有情况． (2)求小英和小康获胜的概率． (3)这个规则对小英、小康和小亮三位同学是否公平？ 请说明理由． 【变式训练】（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 考点10：利用概率计算随机事件发生的平均次数 【典例精讲】（20-21九年级下·福建福州·阶段练习）计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 【变式训练】在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 考点11：概率在转盘抽奖中的应用 【典例精讲】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）综合与实践 （1）【问题再现】 有这样一道概率题：如图①，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少?请你解答． （2）【类比设计】 在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为，请你帮忙设计． （3）【拓展运用】 在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红1份，黄2份、绿4份区域，分别得奖金50元、30元、20元购物券，求转动1次所获购物券的平均金额 【变式训练】（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 考点12：概率在比赛中的应用 【典例精讲】在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． (1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　　； (2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率； (3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 【变式训练】2018（第七届）绵阳之春国际车展将于2018年4月18日-22日在绵阳国际会展中心盛大举行．某品牌汽车为了推广宣传，特举行“趣味答题闯关赢大奖”活动，参与者需连续闯过三关方能获得终极大奖．已知闯过第一关的概率为，连续闯过两关的概率为，连续闯过三关的概率为，已经连续闯过两关的参与者获得终极大奖的概率为 （  ） A． B． C． D． 考点13：概率的其他应用 【变式训练】（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 【典例精讲】（21-22七年级下·全国·单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．    (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少? (3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大? 1．（2025·四川凉山·中考真题）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： (1)本次调查的总人数是_______人； (2)补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为_______度； (3)现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 2．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： (1)这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． (2)若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 4．（2025·云南·中考真题）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． 5．（2025·山东烟台·中考真题）2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10． ②乙社团的平均成绩为（分）． ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： (1)将条形统计图补充完整； (2)成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）； (3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 基础夯实 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．则红色卡片的数量约为（   ） A．8张 B．4张 C．10张 D．12张 2．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）有5张背面完全相同的卡片，每张卡片正面上分别写有1，2，3，4，5．将卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）从“”中随机抽取一个字母，抽中字母“”的概率是 ． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1~10共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号题和7号题，则第3位选手抽中8号题的概率是 ． 7．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为 ． 8．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）现有四张卡片，每张卡片的正面各写有一个事件内容，卡片背面完全相同．四张卡片的内容分别为： ①过马路时恰好遇到红灯；②购买《我和我的家乡》电影票，座号是3的倍数；③13个学生中至少有两个人的生日在同一个月；④水中捞月． 小萌和小颖玩游戏，游戏规则是：将四张卡片背面朝上洗匀后，小萌随机抽取一张不放回，小颖再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若抽到两张卡片上的事件至少有一个是必然事件则小萌获胜；若抽到两张卡片上的事件都是随机事件则小颖获胜，请你通过计算判断这个游戏是否公平． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）铭记历史，缅怀先烈，珍爱和平．每年的12月13日是国家公祭日，我校为加强学生爱国主义教育，在11月下旬开展了以“以国家之名祭民族之魂”为主题的写作活动，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．通过评比，确定两名男生和两名女生的文章适合全校广播． (1)若从中随机选取一名学生的文章进行广播，则选中女生的文章的概率为______． (2)若从中随机选取一名学生的文章（不放回），再从中随机选取一名学生的文章，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的文章的概率． 10．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）某周末甲、乙两人外出参观游玩，各自随机选择到白城沙滩、厦门大学、山海步道、厦门方特四个地点中的一个地点参观游玩．假设这两人选择到哪个地点参观游玩不受任何因素影响，且上述四个地点中的每个被选到的可能性相同． (1)甲选择到厦门方特参观游玩的概率为_______． (2)用列表法或画树状图法，求甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的概率． 培优拔高 11．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）第一个盒中有2个白球、1个黄球、2个红球，第二个盒中有1个白球、1个黄球、2个红球，这些球除了颜色外无其他差别，分别从每个盒子中随机抽取1个球，下列说法正确的是（   ） A．取出的2个球都是黄球的概率为 B．取出的2个球中1个白球、1个红球的概率为 C．取出的2个球中1个白球、1个黄球的概率为 D．取出的2个球中1个黄球、1个红球的概率为 14．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）现有6张正面分别标有数字的不透明卡片，他们除数字不同外，其余都相同．现将他们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记该卡片上的数字为a，则使得关于x的分式方程 有整数解，且使关于y的一元二次方程 有实数根的概率为 ． 15．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献，某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，选择方案包含《算学启蒙》的概率是 ． 16．（2025·安徽阜阳·二模）五一期间，某商场举行一场游戏活动，有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个泰迪熊玩具．已知参加该游戏的人有人，商场发放泰迪熊玩具个．若要使摸到一个红球的概率和得到泰迪熊玩具的概率相同，则的值为 ． 17．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，有一旅游景区在原有布局结构不变的情况下，为了方便游客进出，在内道门处设有A，B两个出入口，外道门处设有C，D，E三个出入口，小宇同学游览结束后，要先随机经过内道门（A或B），再随机经过外道门（C或D或E）才能出去． (1)小宇经过内道门时，从B口出去的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法表示小宇经过内、外两道门走出景区的所有可能情况，并求小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率． 18．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了． (1)从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） (2)若随机取出2个球，第一次取出一个球记下颜色后放回搅匀，第二次再取出一个球，求两次取出的球的颜色相同的概率． 19．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转． (1)甲先单独转A转盘，转到4的概率_____； (2)请用树状图或列表法列出所有可能的结果； (3)若指针所指的两个数字都是方程的解时，则甲获性；若指针所指的两个数字都不是方程的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． 20．（2022·四川乐山·二模）某公司组织部分员工到一博览会的A、B、C、D、E五个展馆参观，公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示． 请根据统计图回答下列问题： (1)该公司组织参观博览会的员工共有___________名； (2)将条形统计图在图中补充完整； (3)若B馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若抽出的两次数字之积为偶数则小明获得门票，反之小华获得门票．”请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2-4.3 等可能条件下的概率 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：概率 1 知识点梳理02：求概率的方法 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：概率的意义理解 3 考点2：判断几个事件概率的大小关系 5 考点3：根据概率公式计算概率 6 考点4：根据概率作判断 8 考点5：已知概率求数量 10 考点6：几何概率 12 考点7：列举法求概率 14 考点8：列表法或树状图法求概率 15 考点9：游戏的公平性 17 考点10：利用概率计算随机事件发生的平均次数 19 考点11：概率在转盘抽奖中的应用 21 考点12：概率在比赛中的应用 24 考点13：概率的其他应用 26 中考真题 实战演练 28 难度分层 拔尖冲刺 35 基础夯实 35 培优拔高 41 知识点梳理01：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 知识点梳理02：求概率的方法 （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 考点1：概率的意义理解 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北荆州·期末）下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷次图钉，钉尖向上的次数为次 C．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 D．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 【答案】C 【思路引导】本题主要考查概率的意义、事件的分类等知识点，掌握概率的意义是解题的关键． 根据概率的意义、事件的分类逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A、“明天下雨的概率为”是说明天大约有可能下雨，原说法错误，不符合题意； B、抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数可能为40次，原说法错误，不符合题意； C、经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件，原说法正确，符合题意； D、汽车累积行驶没有出现故障，是随机事件，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对九年级的学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其他项目（每名同学仅选一项）.根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图，如图 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 36 x 羽毛球 y 0.20 乒乓球 30 0.25 跳绳 18 z 其他 12 0.10 请根据以上图表信息解答下列问题： (1)频数分布表中的_________，_________，_________． (2)在扇形统计图中，“跳绳”所在的扇形的圆心角的度数为_________． (3)从被调查的学生中随机抽取1名学生，求该学生喜欢球类运动的概率． 【答案】(1)，，. (2) (3) 【思路引导】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用． （1）根据乒乓球的频率和频数求出总人数，用篮球总人数总人数得到x的值，再用总人数乘以羽毛球的频率，求出的值；再用跳绳的人数除以总人数，再用跳绳的人数除以总人数，求出的值； （2）用乘以跳绳的频率即可求出对应的扇形圆心角的度数； （3）把所有球类的频率相加，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：因为（人）， 所以（人），，， 所以频数分布表中的，，． 故答案为：0.3；24；0.15 （2）因为， 所以在扇形统计图中，“跳绳”所在的扇形的圆心角的度数为． 故答案为： （3）因为从被调查的学生中随机抽取1名学生，而且每名学生被选中的可能性是相等的，记“该学生喜欢球类运动”为事件A， 所以． 考点2：判断几个事件概率的大小关系 【典例精讲】（21-22八年级下·江苏镇江·期末）下列说法正确的是（   ） A．小明投篮投中的概率是0.6，说明他投10次篮球一定能中6次 B．为了解全国中学生的节水意识，应采用普查的方式 C．为了解某校300名九年级学生的睡眠时间，从中抽取50名九年级学生进行调查，在这个事件中，样本容量是300 D．一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性比白球大 【答案】D 【思路引导】根据概率的意义、全面调查和抽样调查的概念以及实现的可能性、样本容量的概念逐项判断即可． 【规范解答】解：A. 小明投篮投中的概率是0.6，说明他投10次篮球不一定能中6次，A错误； B. 为了解全国中学生的节水意识，应采用抽样调查的方式，B错误； C. 为了解某校300名九年级学生的睡眠时间，从中抽取50名九年级学生进行调查，在这个事件中，样本容量是50，C错误； D. 一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性比白球大，D正确． 故答案为D． 【考点评析】本题主要考查了根据概率的意义、全面调查和抽样调查的概念以及实现的可能性、样本容量等知识点，灵活理解相关概念成为解答本题的关键． 【变式训练】下列说法正确的是（    ）． A．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 B．天气预报“明天降水概率10％，是指明天有10％的时间会下雨” C．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖 D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 【答案】D 【思路引导】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可． 【规范解答】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数不一定是500次，故A错误； B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故B错误； C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故C错误； D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故D正确． 故选：D． 【考点评析】本题考查的是概率的意义，熟知一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率是解答此题的关键． 考点3：根据概率公式计算概率 【典例精讲】24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）龙眼南美食街是汕头美食网红打卡点之一，小云和小吉准备前去打卡品尝，她们决定在"A．潮汕生腌、B．腐乳鸡翅、C．手打牛肉丸、D．砂锅肠粉”这四种小吃中各自选择喜欢的美食进行品尝，假设选择每种小吃的可能性相同． (1)小云只选了一种，则她选择“A．潮汕生腌”的概率是________（直接填写答案） (2)若小吉选择了两种小吃，请用画树状图或列表的方法求出她选择的是“B．腐乳鸡翅”和“C．手打牛肉丸”的概率， 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据简单地概率公式，解答即可． （2）根据画树状图法，求概率解答即可． 本题考查了简单地概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，得她选择“A．潮汕生腌”的概率是， 故答案为：． （2）解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中选择的是“B．腐乳鸡翅”和“C．手打牛肉丸”的有2种等可能性． 故选择的是“B．腐乳鸡翅”和“C．手打牛肉丸”的概率，． 【变式训练】（2025·贵州铜仁·三模）2024年是澳门回归25周年．8月1日，我国首颗高精度地磁场探测卫星------澳门科学一号卫星科学数据正式面向全球开放，为国际科学界提供了宝贵的地球物理空间数据资源，展示了中国在航天科技领域的实力．某校为了解七年级500名学生对航天知识的掌握情况，在七年级进行了航天知识测试（满分100）后从七（1）、七（2）两个班级分别随机抽取了12名学生的成绩，进行整理，得到了如下信息： 七（1）班12名学生测试成绩统计如下：82，85，94，94，93，89，87，95，96，97，98，99． 七（2）班12名学生测试成绩统计如下：79，99，88，92，77，97，83，94，91，98，94，100． 根据以上信息，解答下列问题： (1)七（1）班12名学生成绩的中位数为____________，七（2）班12名学生成绩的众数为___________； (2)若本次抽到的24份成绩分别属于14名男生和10名女生，那么从这24名学生中随机抽取1名学生代表七年级参加全区的航天宣传演讲，恰好抽到女生的概率是_____________； (3)已知这24名同学中成绩在98分及以上的5位分别是2名女生和3名男生，若从中选择两名学生代表七年级参加学校航天知识宣讲比赛，请用树状图或列表的方式求出正好选中“一男一女”的概率． 【答案】(1)94，94 (2) (3) 【思路引导】本题考查求中位数和众数，列表法求概率，熟练掌握中位数和众数的确定方法，列表法求概率，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）直接利用概率公式进行计算即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：将七（1）班抽取的12名学生的成绩按照从小到大的顺序排列： 82，85，87，89，93，94，94，95，96，97，98，99， 排在第6名和第7名的成绩均为94分． ∴七（1）班12名学生成绩的中位数为 ∵七（2）班12名学生成绩94分出现次数最多， 故众数为94， 故答案为94，94； （2）； 故答案为：； （3）列表如下： 女 女 男 男 男 女 （女，女） （女，男） （女，男） （女，男） 女 （女，女） （女，男） （女，男） （女，男） 男 （男，女） （男，女） （男，男） （男，男） 男 （男，女） （男，女） （男，男） （男，男） 男 （男，女） （男，女） （男，男） （男，男） 共有20种等可能的结果，其中正好选中“一男一女”的结果有12种， ∴正好选中“一男一女”的概率为． 考点4：根据概率作判断 【典例精讲】（23-24七年级下·广东深圳·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)从中任意摸出一个球，摸出 球的概率最小； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 【答案】(1)12个 (2)红 (3)能，将盒子中的黑球拿出5个 【思路引导】本题主要考查了概率公式，正确掌握概率的求法是解题的关键． （1）根据概率公式即可计算出黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【规范解答】（1）解：红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ， 故盒子中黑球的个数为：； （2）解：因为红球的数量最少，任意摸出一个球是红球的概率最小； 故答案为：红； （3）解：任意摸出一个球是红球的概率为， 可以将盒子中的黑球拿出5个，则任意摸出一个球是红球的概率为． 【变式训练】（23-24七年级下·广东深圳·期末）小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题： (1)小深抽到“纸巾”的概率是 ； (2)小深中奖的概率是 ； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是 ，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【答案】(1) (2) (3)4张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾1张、牙刷1张，谢谢参与3张（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量即可； （2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”、对应牌的数量和除以牌的总数量即可； （3）根据题意，可知本题答案不唯一，只要九张牌中有四张写着太阳伞，其他的五张包含纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与即可． 【规范解答】（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； （2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； （3）解：设计九张牌中有4张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾、牙刷，各1张，谢谢参与3张． 考点5：已知概率求数量 【典例精讲】（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数 10 20 50 100 200 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 4 7 10 28 50 127 196 252 744 摸到白球的频率 0．400 0．350 0．200 0．280 0．250 0．254 0．245 0．252 0．248 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____________（精确到0．01）； (2)试估算盒子里白球有_____________个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是___________（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【答案】(1) (2)5 (3)①④ 【思路引导】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案． 【规范解答】（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）根据题意得：个)， 故答案为：5； （3）①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 【考点评析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率． 【变式训练】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜色外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的试验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是试验的部分数据： 摸球次数 80 180 600 1000 1500 摸到白球次数 21 46 149 251 373 摸到白球的概率 0.2625 0.256 0.2483 0.251 0.249 (1)请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是_______（精确到0.01），黄球有_______个； (2)如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了估算概率和列表法或树状图求概率等知识点，熟知求概率的方法和公式是解答本题的关键． （1）根据用频率估计概率的方法即可得到摸出一个球恰好是白球的概率,再用白球的个数除以摸到白球的概率，然后减去白、红球的个数，由此得到答案； （2）列表得到所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解，得到答案． 【规范解答】（1）解：从表中可看出， 随着摸球次数的增加，摸到白球的概率越来越接近． 估计摸到白球的概率约为． 口袋中乒乓球总数为：． 黄球的个数为． 估计有个黄色的乒乓球． 故答案为：，； （2）解：列表如下： 白 红 黄1 黄2 白 （红，白） （黄1，白） （黄2，白） 红 （白，红） （黄1，红） （黄2，红） 黄1 （白，黄1） （红，黄1） （黄2，黄1） 黄2 （白，黄2） （红，黄2） （黄1，黄2） 同时摸出个球时，共有种等可能的结果，而“一红一黄”有种结果． （一红一黄）． 考点6：几何概率 【典例精讲】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了扇形的面积，几何概率的计算；熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先利用扇形的面积公式求出扇形和扇形的面积，再减去的面积即可得阴影部分的面积，再进一步利用概率公式计算即可． 【规范解答】解：是等腰直角三角形， ， ， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 ， ∴一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是： ， 故选：D． 【变式训练】（2025·陕西榆林·三模）如图所示，一个圆形转盘，它是由圆心角为的两个白色扇形和和一个黑色扇形组成的，转盘的圆心处有一个固定的指针．小王和小吴玩转盘游戏，他们让这个转盘自由转动两次，规定：若指针至少有一次落在黑色区域，则小王胜；若指针两次都落在白色区域，则小吴胜；若指针落在两个扇形的中缝处，则重新转动转盘．这个规则公平吗？请运用你学过的概率知识，通过画树状图或列表，计算说明你的理由． 【答案】不公平，理由见解析． 【思路引导】本题考查了列表法求概率，列表可知共有个等可能的结果，指针至少有一次落在黑色区域的情况有种，指针两次都落在白色区域的情况有种，再通过概率公式求出概率，最后比较即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：不公平，理由如下，列表如下： 第二次转第一次转                               由表可知，共有种等可能的结果，指针至少有一次落在黑色区域的情况有种，分别为，，，，， ∴小王胜的概率为， ∵指针两次都落在白色区域的情况有种，分别为，，，， ∴小吴胜的概率为， ∵， ∴这个规则不公平． 考点7：列举法求概率 【典例精讲】（2025·安徽合肥·一模）将如图摆放的三个正方形，分别随机涂成黑色成白色，则相邻正方形（两个正方形有公共边），颜色不同的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了利用概率公式求概率．设白色和黑色分别为和，得到所有可能的结果数和颜色不同的结果数，再利用概率公式即可求解． 【规范解答】解：设白色和黑色分别为和， 则共有，，，，，，，，共种等可能的结果数，其中相邻正方形（两个正方形有公共边），颜色不同的结果数有，，共种， 所求概率是， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏南京·期末）（1）不透明的袋子中装有个编号分别为，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，求它们编号之和是偶数的概率． （2）不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，它们编号之和是偶数的概率为______． 【答案】（1）；（2）． 【思路引导】本题主要考查用列表法进行求解概率． （1）根据列表法可进行求解概率； （2）分别列举出不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，共有等可能性情况，再根据概率公式求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意可列表如下： 1 2 3 1 3 4 2 3 5 3 4 5 ∴从袋子中随机摸出个球共有种，其中它们编号之和是偶数有种情况， ∴它们编号之和是偶数的概率为； （2）不透明的袋子中装有个编号分别为，，，，，，，，的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出个球，共有种等可能性情况，分别为，，，，，，，，其中它们编号之和是偶数的有5种，分别为，，，，， ∴它们编号之和是偶数的概率为． 考点8：列表法或树状图法求概率 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）袋子里装有2个红球、1个蓝球，这些球除颜色外无其他差别． (1)若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，从袋中摸出一个蓝球的概率为，则后来放入袋中的蓝球为_______个． (2)一次性随机摸出两个球，请用画树状图或列表的方法，求摸到两个红球的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了概率公式求数量，列表法求概率； （1）设后来放入的蓝球有个，根据摸出一个蓝球的概率为列出关于x的方程，解方程即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【规范解答】（1）设后来放入的蓝球有个， 根据题意，得：， 解得， 所以后来放入袋中的蓝球有9个． 故答案为：． （2）解：列表如下： 红 红 蓝 红 （红，红） （蓝，红） 红 （红，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （红，蓝） 由表知，共有6种等可能结果，其中两次摸到两个红球的有2种结果， 所以两次摸到两个红球的概率为 【变式训练】（24-25九年级上·广东湛江·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； (2)从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率． （）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种，利用概率公式可得答案； （）列表可得出所有等可能的结果数以及抽出的两张卡片均是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】（1）解：乙口袋中有张卡片，其中是物理变化，、是化学变化， 共有种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种， 从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是， 故答案为：； （2）解：甲口袋中是物理变化，是化学变化， 只有同时抽到和才符合要求， 根据题意，列表如下： 由表可知，所有等可能出现的结果共有种，其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有种， 抽出的两张卡片均是物理变化的概率为． 考点9：游戏的公平性 【典例精讲】（23-24九年级上·广东梅州·期中）小英、小康和小亮三位同学玩掷硬币游戏，规则如下：连续抛掷硬币三次，若三次都是正面朝上或三次都是反面朝上，则小英获胜；若两次正面朝上，一次反面朝上，则小康获胜；若两次反面朝上，一次正面朝上，则小亮获胜． (1)请用画树状图法表示三次抛掷硬币的所有情况． (2)求小英和小康获胜的概率． (3)这个规则对小英、小康和小亮三位同学是否公平？ 请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)小英获胜的概率为小康获胜的概率为 (3)不公平，理由见解析 【思路引导】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画出树状图即可； （2）根据概率公式计算即可得解； （3）求出小亮获胜的概率，比较即可得解． 【规范解答】（1）解：画树状图如下 （2）解：由图可知，共有8种等可能情况，其中三个正面或三个反面的有2种情况：两次正面，一次反面的有3种情况；一次正面，两次反面的有3种情况， ∴小英获胜的概率为，小康获胜的概率为； （3）解：这个规则对三位同学是不公平的． 理由：∵P(小英获胜)，（小康获胜)， (小亮获胜) ，且， ∴这个规则对三位同学是不公平的． 【变式训练】（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 【答案】(1)0.35（或） (2)这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大 【思路引导】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）用摸到白球的个数除以摸球的总数即可； （2）画出树状图，分别求出李海执黑棋和李海执黑棋的概率即可求解． 【规范解答】（1）； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果有13种， （赵婷执黑棋），P（李海执黑棋）， （赵婷执黑棋）（李海执黑棋）， 这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大． 考点10：利用概率计算随机事件发生的平均次数 【典例精讲】（20-21九年级下·福建福州·阶段练习）计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 【答案】（1）；（2）2台，理由见解析． 【思路引导】（1）根据概率的计算公式计算即可； （2）先分别计算各段年入流量的概率，再根据概率计算安装2台发电机和3台发电机对应的年利润的加权平均数，比较之，则可得出答案． 【规范解答】（1）年入流量不低于120的年数为:， 总的年数为50年． 年入流量不低于120的概率为：． （2）根据题意，能安装2台发电机对应的年入流量为不低于80， 年入流量低于的概率为：，只能运行1台发电机； 年入流量不低于80的概率为： ，能2台发电机都运行； 安装2台发电机时的利润为：万元． 能安装3台发电机对应的年入流量为不低于120，由（1）可知：，只能运行1台发电机， 当年入流量时，，只能运行2台发电机； 当年入流量时，，能运行3台发电机， 安装3台发电机时的利润为： 万元， 因为，故安装2台发电机． 【考点评析】本题考查了概率的计算，将概率当做权数计算平均数，计算出各段的概率是解题的关键． 【变式训练】在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【规范解答】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【考点评析】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 考点11：概率在转盘抽奖中的应用 【典例精讲】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）综合与实践 （1）【问题再现】 有这样一道概率题：如图①，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少?请你解答． （2）【类比设计】 在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为，请你帮忙设计． （3）【拓展运用】 在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红1份，黄2份、绿4份区域，分别得奖金50元、30元、20元购物券，求转动1次所获购物券的平均金额 【答案】（1）指针落在红色区域和白色区域的概率分别是；（2）见解析；（3）11.875元 【思路引导】本题考查概率的应用，以及计算加权平均数．熟练掌握概率公式，以及加权平均数的计算方法，是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）将转盘均分成8份，根据概率求出各种颜色所占份数，即可得解； （3）利用对准红、黄、绿的概率乘以各自对应的钱数，即可得解． 【规范解答】解：（1）， 答：指针落在红色区域和白色区域的概率分别是． （2）把圆分成8等份，然后红色占3份，白色占3份，黄色占2分，如图所示： （3）（元） 答：转动1次所获购物券的平均金额为11.875元． 【变式训练】（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）把其中3个扇形标A即可． 【规范解答】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同， ∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是； （2）∵每个展馆都有被选中的机会， ∴先将每个展馆都填在一个区域内， 又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大， ∴剩下的两个区域都填上即可， 如图所示： 指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 考点12：概率在比赛中的应用 【典例精讲】在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． (1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　　； (2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率； (3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)，建议小明在第一题使用“求助” 【思路引导】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案； （3）分别求出小明在第一题使用“求助”和在第二题使用“求助”顺利通关的概率，比较后即可求得答案． 【规范解答】（1）解：∵第一道单选题有3个选项， ∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：， 故答案为； （2）解：分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况， ∴小明顺利通关的概率为：； （3）解：若小明“求助”第一题（假设去掉错误选项C）， 画树状图为： 共有8种等可能的结果数，其中两题全答对的结果数为1， 所以他顺利通关的概率=， 若小明“求助”第二题，由（2）可知他顺利通关的概率为， 而＞， 所以他应该在第一题使用“求助”，顺利通关的概率才更大． 【考点评析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【变式训练】2018（第七届）绵阳之春国际车展将于2018年4月18日-22日在绵阳国际会展中心盛大举行．某品牌汽车为了推广宣传，特举行“趣味答题闯关赢大奖”活动，参与者需连续闯过三关方能获得终极大奖．已知闯过第一关的概率为，连续闯过两关的概率为，连续闯过三关的概率为，已经连续闯过两关的参与者获得终极大奖的概率为 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由获得终极大奖是在连续闯过两关的基础上再闯过第三关，则存在概率关系：连续闯过两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯过三关的概率，由此等量关系可得方程，解方程即可． 【规范解答】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由题意得，， 解得：． 故选：D． 【考点评析】本题考查了概率的求法，清楚连续闯两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯三关的概率是解答本题的关键． 考点13：概率的其他应用 【变式训练】（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 【答案】(1)随机 (2)，， (3)见解析 【思路引导】（1）根据“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”的定义判断即可； （2）利用概率公式直接进行计算． （3）设计摸球游戏中的球总数为，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数即可． 【规范解答】（1）解：小明可能中奖也可能不中奖 小明中奖是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：袋中共有个球，其中红球个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与， ， ， ． 故答案为：； （3）解：有足够多的球，从中选个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率， 只要球的总数为个，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数， 可设计如下：选红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球个，其中红球和白球都是个，黑球个，其他的球都是黄色球． 【考点评析】本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键． 【典例精讲】（21-22七年级下·全国·单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．    (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少? (3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大? 【答案】(1) (2)小玲胜小军的概率是 (3)当小玲摸到棋子B时，胜小军的概率最大 【思路引导】（1）画出树状图，根据概率公式进行作答即可； （2）已知小玲先摸到了棋子C，还剩9枚棋子，因为棋子C胜棋子D，只有４枚棋子，即可知道这一轮小玲胜小军的概率； （3）分情况讨论，根据概率的大小即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据题意，画出树状图：    共有个等可能的结果，小玲摸到棋子C的结果有3个， 所以若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是； （2）解：因为小玲先摸到了棋子C，若小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，那小军摸到棋子的结果有9个，只有当小军摸到棋子D，此时小玲胜小军，所以这一轮小玲胜小军的概率为； （3）解：①若小玲摸到A棋，小军摸到B，C棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ②若小莹摸到B棋，小军摸到D，C棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ③若小玲摸到C棋，小军摸到D棋，小玲胜， 小玲胜小军的概率是； ④若小玲摸到D棋，小军摸到A棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ∵，由此可见，小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率最大． 【考点评析】本题考查了树状图法以及概率公式，正确掌握概率公式是解题的关键． 1．（2025·四川凉山·中考真题）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： (1)本次调查的总人数是_______人； (2)补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为_______度； (3)现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)50 (2)图见解析， (3) 【思路引导】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率，求扇形统计图中圆心角度数，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用类人数除以所占的比例求出总人数即可； （2）求出类人数，补全条形图，用360度乘以C类人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：（人）； 故答案为：50； （2）类人数为：（人）；补全条形图如图： C类所对应的扇形的圆心角为； 故答案为：； （3）由题意，画出树状图如下： 共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， ∴． 2．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【规范解答】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【考点评析】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： (1)这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． (2)若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 【答案】(1)40，，见解析 (2)见解析， 【思路引导】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可； （2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． 【规范解答】（1）解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， C组的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：40， （2）解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、 根据题意可以画出如下的树状图 列表法如下图 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种. 4．（2025·云南·中考真题）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）画树状图，得到共有种等可能的结果； （2）根据树状图得到的结果有种，利用概率公式计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意画树状图如下， 共有共种等可能的结果； （2）解：由树状图得，的结果有种， 组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． 5．（2025·山东烟台·中考真题）2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10． ②乙社团的平均成绩为（分）． ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： (1)将条形统计图补充完整； (2)成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）； (3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)补全图形见解析 (2)成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前 (3) 【思路引导】（1）先分别求解甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形即可； （2）先分别求解甲社团的成绩的中位数为（分）；乙社团的成绩的中位数为（分），再进一步求解即可； （3）记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵由统计数据可得：甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形如下： ； （2）解：①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，6，6，6，7，7，7，7， 7，7，7， 7，8，8，8，8，8，8， 8，8，8，8，9，9，9，9，9，9， 9， 9，9，9， 9，9，10，10，10． ∴排在第，位的数据为， ∴甲社团的成绩的中位数为（分）； ∵乙社团排在第，位的数据为，， ∴乙社团的成绩的中位数为（分）； ∴成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前； （3）解：记男生为甲，两个女生分别为乙，丙， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种， ∴两人恰好是一名男生和一名女生的概率为． 【考点评析】本题考查的是从统计数据，平均数公式中获取信息，求解中位数，利用中位数做决策，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，掌握统计的基础知识是解本题的关键． 基础夯实 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．则红色卡片的数量约为（   ） A．8张 B．4张 C．10张 D．12张 【答案】A 【思路引导】本题考查频率估计概率，根据概率公式求数量，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得抽到红色卡片的概率为，进而根据卡片的总数为20张，即可求解． 【规范解答】解：由题意可得，抽到红色卡片的概率为， 故红色卡片的数量为：（张）， 故选：A． 2．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）有5张背面完全相同的卡片，每张卡片正面上分别写有1，2，3，4，5．将卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题可先确定总的可能结果数以及卡片上的数是偶数的结果数，再根据概率公式计算概率．本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式：（其中表示所有可能的结果数，表示事件发生的结果数）是解题的关键． 【规范解答】解：共有5张卡片，分别写有1，2，3，4，5 从中任意抽出一张卡片，共有5种等可能的结果 其中卡片上的数是偶数的有2，4，共2种结果 卡片上的数是偶数的概率为 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了利用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【规范解答】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中第一次正面向上、第二次反面向上的结果只有种， ∴第一次正面向上、第二次反面向上的概率为， 故选：． 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【规范解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： ∴能让灯泡发光的概率， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）从“”中随机抽取一个字母，抽中字母“”的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一步概率问题，涉及简单概率公式，根据题意，得到从“”中随机抽取一个字母的所有等可能情况及抽中字母“x”的情况，代入简单概率公式计算即可得到答案，读懂题意，分析出各种等可能的结果是解决问题的关键． 【规范解答】解：从“”中随机抽取一个字母，有7种等可能的结果，其中抽中字母“”的情况有1种， ∴（抽中字母“”） 故答案为：． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1~10共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号题和7号题，则第3位选手抽中8号题的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查根据概率公式求概率．掌握概率公式是解题的关键． 由题意知，第3位选手从8道题中抽一个号，共有8种等可能的结果，根据概率公式求解即可． 【规范解答】解：由题意知，前两位选手抽走2号题、7号题，则第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、10，共8道题中抽一个号，共有8种等可能的结果， ∴抽中8号题的概率为． 故答案为： 7．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查几何概率，频率分布折线图，以及利用频率估计概率，正确理解折线统计图是解题的关键．由折线统计图可知，小球落在不规则图案内的概率约为，求出长方形的面积，再乘概率求解即可． 【规范解答】解：由折线统计图可知，小球落在不规则图案内的概率约为， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 不规则图案的面积约为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）现有四张卡片，每张卡片的正面各写有一个事件内容，卡片背面完全相同．四张卡片的内容分别为： ①过马路时恰好遇到红灯；②购买《我和我的家乡》电影票，座号是3的倍数；③13个学生中至少有两个人的生日在同一个月；④水中捞月． 小萌和小颖玩游戏，游戏规则是：将四张卡片背面朝上洗匀后，小萌随机抽取一张不放回，小颖再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若抽到两张卡片上的事件至少有一个是必然事件则小萌获胜；若抽到两张卡片上的事件都是随机事件则小颖获胜，请你通过计算判断这个游戏是否公平． 【答案】游戏不公平 【思路引导】考查概率的求法，事件的分类．列举出所有情况，看抽取的两张卡片上的事件都正确的情况数占总情况数的多少即可． 【规范解答】解：①过马路时恰好遇到红灯，属于随机事件； ②购买《我和我的家乡》电影票，座号是3的倍数，属于随机事件； ③13个学生中至少有两个人的生日在同一个月，属于必然事件； ④水中捞月，属于不可能事件； 画树状图得： 共12种情况，抽到两张卡片上的事件至少有一个是必然事件③的有6种，小萌获胜的概率为；抽到两张卡片上的事件都是随机事件的有2种，小颖获胜的概率为； ∴游戏不公平． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）铭记历史，缅怀先烈，珍爱和平．每年的12月13日是国家公祭日，我校为加强学生爱国主义教育，在11月下旬开展了以“以国家之名祭民族之魂”为主题的写作活动，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．通过评比，确定两名男生和两名女生的文章适合全校广播． (1)若从中随机选取一名学生的文章进行广播，则选中女生的文章的概率为______． (2)若从中随机选取一名学生的文章（不放回），再从中随机选取一名学生的文章，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的文章的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查列表法或树状图法，用列表法表示所有等可能出现的结果是正确解答的前提． （1）根据概率的定义直接进行计算即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的文章的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：一共有4名学生，其中女有2名， 所以从中随机选中女生的文章的概率为：， 故答案为： （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的作文的结果有8种， ∴恰好选中一名男生和一名女生的文章的概率为． 10．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）某周末甲、乙两人外出参观游玩，各自随机选择到白城沙滩、厦门大学、山海步道、厦门方特四个地点中的一个地点参观游玩．假设这两人选择到哪个地点参观游玩不受任何因素影响，且上述四个地点中的每个被选到的可能性相同． (1)甲选择到厦门方特参观游玩的概率为_______． (2)用列表法或画树状图法，求甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的概率． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查了古典概型的概率计算，熟练掌握古典概型的概率公式是解题的关键． （1）根据古典概型的概率计算公式，即所求事件发生的结果数除以所有可能的结果数来计算甲选择到厦门方特参观游玩的概率． （2）通过列表法列出甲、乙两人选择地点的所有可能结果，再找出两人选择到同一个地点的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【规范解答】（1）解：∵总共有四个地点，甲选择每个地点的可能性相同，厦门方特是其中一个地点 ∴甲选择到厦门方特参观游玩的概率为， 故答案为：； （2）解：将白城沙滩、厦门大学、山海步道、厦门方特四个地点分别记为、、、． 列表如下： 甲乙 ∵由列表可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的结果有种 ∴甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的概率为 培优拔高 11．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，根据题意、正确画出树状图成为解题的关键． 正确画出树状图确定所有可能的结果数和能让灯泡发光的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【规范解答】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故选：B． 12．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， 先画出树状图，从而可得出两个转盘转动时的所有可能结果，再找出一个为红色，一个为蓝色的结果，再利用概率公式求解即可 【规范解答】解：由题意，画树状图如下： 由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红色，一个为蓝色的结果只有1种， 则配得紫色的概率是， 故选：D． 13．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）第一个盒中有2个白球、1个黄球、2个红球，第二个盒中有1个白球、1个黄球、2个红球，这些球除了颜色外无其他差别，分别从每个盒子中随机抽取1个球，下列说法正确的是（   ） A．取出的2个球都是黄球的概率为 B．取出的2个球中1个白球、1个红球的概率为 C．取出的2个球中1个白球、1个黄球的概率为 D．取出的2个球中1个黄球、1个红球的概率为 【答案】D 【思路引导】本题主要考查概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 分别计算每个选项对应事件的概率，与选项给出的数值对比即可找出答案． 【规范解答】解：总情况数：第一个盒子5个球，第二个盒子4个球，总共有种可能． A：第一个盒子取黄球的概率为，第二个盒子取黄球的概率为，概率为，故本选项不符合题意； B：分两种情况：①第一个盒子取白（概率），第二个盒子取红（概率），概率为；②第一个盒子取红（概率），第二个盒子取白（概率），概率为，总概率为，故本选项不符合题意； C：①第一个盒子取白（概率），第二个盒子取黄（概率），概率为；②第一个盒子取黄（概率），第二个盒子取白（概率），概率为， 总概率为，故本选项不符合题意； D：①第一个盒子取黄（概率），第二个盒子取红（概率），概率为；②第一个盒子取红（概率），第二个盒子取黄（概率），概率为，总概率为，故本选项符合题意； 故选：D． 14．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）现有6张正面分别标有数字的不透明卡片，他们除数字不同外，其余都相同．现将他们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记该卡片上的数字为a，则使得关于x的分式方程 有整数解，且使关于y的一元二次方程 有实数根的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了概率公式，解分式方程，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式等知识点． 先解分式方程得，且，根据分式方程有整数解得到，符合题意的，再由一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义得到，即可求解概率． 【规范解答】解：， 去分母得：， 解得：，且， ∴， ∴ ∵有整数解， ∴， ∴， ∵有6张正面分别标有数字的不透明卡片， ∴， ∵关于y的一元二次方程 有实数根 ∴，， 解得：，， ∴， ∴概率为， 故答案为：． 15．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献，某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，选择方案包含《算学启蒙》的概率是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查列表法与树状图法，概率公式．画树状图表示出所有等可能得情况和恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【规范解答】解：将四部名著《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D， 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 其中包含《算学启蒙》的情况有6种， ∴选择方案包含《算学启蒙》的概率是， 故答案为：． 16．（2025·安徽阜阳·二模）五一期间，某商场举行一场游戏活动，有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个泰迪熊玩具．已知参加该游戏的人有人，商场发放泰迪熊玩具个．若要使摸到一个红球的概率和得到泰迪熊玩具的概率相同，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查概率的公式，根据直接列式求解即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可得， ， 解得：， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，有一旅游景区在原有布局结构不变的情况下，为了方便游客进出，在内道门处设有A，B两个出入口，外道门处设有C，D，E三个出入口，小宇同学游览结束后，要先随机经过内道门（A或B），再随机经过外道门（C或D或E）才能出去． (1)小宇经过内道门时，从B口出去的概率是 ； (2)请用画树状图或列表的方法表示小宇经过内、外两道门走出景区的所有可能情况，并求小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【思路引导】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵在内道门处设有A，B两个出入口， ∴小字经过内道门时，从B口出去的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的结果有2种， ∴小宇同学经过内、外两道门后从E门出去的概率为． 18．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了． (1)从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） (2)若随机取出2个球，第一次取出一个球记下颜色后放回搅匀，第二次再取出一个球，求两次取出的球的颜色相同的概率． 【答案】(1)不可能 (2) 【思路引导】本题考查了事件的概念与分类，求解简单随机事件的概率，解题的关键是利用列表法或树状图法求概率． （1）由不可能事件的含义可得答案； （2）先画树状图，得到所有可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵蓝球只有1个， ∴抽取的2个球不可能全是蓝球， 所以，该事件是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两球颜色相同的结果有10种， ∴两次取出的球的颜色相同的概率为． 19．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转． (1)甲先单独转A转盘，转到4的概率_____； (2)请用树状图或列表法列出所有可能的结果； (3)若指针所指的两个数字都是方程的解时，则甲获性；若指针所指的两个数字都不是方程的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)甲获胜的概率更大，说明见解析 【思路引导】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解一元二次方程．解题的关键是注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，进行求解即可； （3）求出方程的解，分解求出两人获胜的概率，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，转到4的概率为； 故答案为： （2）由题意，列出树状图如下： （3）此游戏乙获胜的概率更大，理由如下： 解方程得：， 所以，从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果， 其中两个数字都是方程的解有4次，两个数字都不是方程的解有2次， 所以，P（甲胜）=，P（乙胜）=， 所以，此游戏甲获胜的概率更大． 20．（2022·四川乐山·二模）某公司组织部分员工到一博览会的A、B、C、D、E五个展馆参观，公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示． 请根据统计图回答下列问题： (1)该公司组织参观博览会的员工共有___________名； (2)将条形统计图在图中补充完整； (3)若B馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若抽出的两次数字之积为偶数则小明获得门票，反之小华获得门票．”请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)小明获得门票的概率为，小华获得门票的概率为，不公平 【思路引导】（1）由条形统计图及扇形统计图可得展馆门票数量及其相应的占比，据此即可求出该公司组织参观博览会的员工总数； （2）由扇形统计图可得展馆门票占比为，据此即可求出展馆门票数，然后将条形统计图补充完整即可； （3）依据题意先用画树状图法分析所有等可能出现的结果，然后根据概率公式求出小明获得门票的概率和小华获得门票的概率，将双方获得门票的概率进行比较，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：由条形统计图及扇形统计图可知： 展馆门票共张，相应的占比为， 该公司组织参观博览会的员工总数（名）， 故答案为：； （2）解：由扇形统计图可知： 展馆门票占比为， 展馆门票数（张）， 将条形统计图补充完整如下： （3）解：画树状图如下： 由图可知，共有种可能的结果，且每种结果的可能性相等，其中小明可能获得门票的结果有种，分别是，，，，，，，，，，，， 小明获得门票的概率， 小华获得门票的概率， ， 这个规则对双方不公平． 【考点评析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联以及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$