专题2.1 圆（知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题2.1 圆 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆的定义 1 知识点梳理02：点与圆的位置关系 2 知识点梳理03：与圆有关的概念 2 知识点梳理04：确定圆的条件 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：圆的基本概念辩析 4 考点2：求圆中弦的条数 5 考点3：求过圆内一点的最长弦 6 考点4：求一点到圆上点距离的最值 7 考点5：圆的周长和面积问题 8 考点6：判断点与圆的位置关系 8 考点7：利用点与圆的位置关系求半径 9 考点8：已知半径和圆上两点作圆 10 考点9：圆心角概念辨析及简单运算 11 考点10：求圆弧的度数 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 15 知识点梳理01：圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　 ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点梳理02：点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 知识点梳理03：与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 知识点梳理04：确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 考点1：圆的基本概念辩析 【典例精讲】（24-25九年级上·山西忻州·阶段练习）如图所示，已知矩形的对角线和相交于点，试判断，，，四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 【变式训练】（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，是半圆的直径，是半圆上的一点． (1)作的平分线交半圆于点． (2)在（1）的作图下，连接，求证：． 考点2：求圆中弦的条数 【典例精讲】（21-22九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【变式训练】点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点3：求过圆内一点的最长弦 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【变式训练】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    考点4：求一点到圆上点距离的最值 【典例精讲】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（22-23九年级上·全国·单元测试）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 考点5：圆的周长和面积问题 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）如图，为矩形外一点，，，，则的最大值为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，分别是的中点，是以B为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 考点6：判断点与圆的位置关系 【典例精讲】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 考点7：利用点与圆的位置关系求半径 【典例精讲】（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【变式训练】（21-22九年级上·山东滨州·期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 考点8：已知半径和圆上两点作圆 【典例精讲】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，为上的一动点，连接，Q为的中点，是上的一点，并满足，则的最小值是 ． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．    考点9：圆心角概念辨析及简单运算 【典例精讲】（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    【变式训练】（22-23九年级上·江苏·期中）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．    考点10：求圆弧的度数 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2023·安徽芜湖·三模）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 2．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 4．（2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 5．（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 基础夯实 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知与点在同一平面内，如果的半径为5，线段的长为4，则点（   ） A．在上 B．在内 C．在外 D．无法确定 4．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，．以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是 ． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，点E在y轴上，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若，，则半径r为 ． 6．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ． 7．（2025·江西宜春·一模）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，且，则圆的半径为 ． 8．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是的直径， 是的弦， 、的延长线交于点，． 若 求的度数． 培优拔高 11．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（   ） A．都不在 B．只有 C．只有 D． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径是方程的根，且点A到圆心的距离为6，则点A在（   ） A．上 B．内 C．外 D．无法确定 14．（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ． 15．（2025·上海崇明·二模）如图，在矩形中，与相交于点，点是在直线上方到距离等于3的一个动点，当点在以点为圆心，为半径长的圆上时，的长为 ． 16．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，为的直径，点在上，连接，在上截取，连接并延长交于点．若，，则的长为 ． 17．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，等边三角形的边长为，点D，E分别是边的动点，且，连接交于点．则 ：连接，线段长的最小值为 ． 18．（2025·福建福州·三模）已知：如图，在四边形中，，点E为边上一点，与分别为和的平分线． (1)作线段的垂直平分线交于点O，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，当，求证：四边形是菱形． 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，经过网格点A，射线经过点，射线在第一象限． (1)⊙P的圆心坐标为 ； (2)在网格图中仅用无刻度直尺进行下列操作： ①将绕E逆时针旋转得到交于M； ②点在射线上，且，画出点． 20．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图1，P是圆O外一点，A，B为圆上两点，连接，分别交圆O于C，D两点，，连接． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点M，连接，当点C为中点时，求证：四边形为菱形． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 圆 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆的定义 1 知识点梳理02：点与圆的位置关系 2 知识点梳理03：与圆有关的概念 2 知识点梳理04：确定圆的条件 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：圆的基本概念辩析 4 考点2：求圆中弦的条数 6 考点3：求过圆内一点的最长弦 8 考点4：求一点到圆上点距离的最值 10 考点5：圆的周长和面积问题 12 考点6：判断点与圆的位置关系 14 考点7：利用点与圆的位置关系求半径 16 考点8：已知半径和圆上两点作圆 18 考点9：圆心角概念辨析及简单运算 21 考点10：求圆弧的度数 23 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 28 基础夯实 28 培优拔高 35 知识点梳理01：圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　 ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点梳理02：点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 知识点梳理03：与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 知识点梳理04：确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 考点1：圆的基本概念辩析 【典例精讲】（24-25九年级上·山西忻州·阶段练习）如图所示，已知矩形的对角线和相交于点，试判断，，，四个点是否在同一个圆上．如果在，请给予证明；如果不在，请说明理由． 【答案】在，证明见解析 【思路引导】根据矩形的性质得到，，，进而说明即可证明． 【规范解答】，，，四个点是否在同一个圆上． 证明：四边形是矩形， ，，， ， 、、、四点在以圆心长为半径的同一个圆上． 【变式训练】（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，是半圆的直径，是半圆上的一点． (1)作的平分线交半圆于点． (2)在（1）的作图下，连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【思路引导】此题考查了角平分线的作图、等腰三角形的判定和性质、圆的基本性质等知识， （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）由角平分线定义得到．由得到，则，即可证明． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）如图． 平分， ． ， ， ， ． 考点2：求圆中弦的条数 【典例精讲】（21-22九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【规范解答】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【考点评析】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 【变式训练】点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【规范解答】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 考点：圆的认识． 考点3：求过圆内一点的最长弦 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路引导】（1）连接，并延长交上于一点D，则是直径，符合题意，即可作答． （2）因为等腰 内接于中，，则连接，因为，则直线是的垂直平分线，记直线与的交点为，结合等腰三角形的三线合一，则是底边的中线，即可作答． （3）连接交于点O，连接交于点H，连接，即为线段的垂直平分线，即可作答． 本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． 【规范解答】（1）解：是中一条最长的弦，如图所示： （2）解：底边的中线如图所示： （3）解：直线即为所求．如图所示： 【变式训练】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【思路引导】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【规范解答】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【考点评析】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 考点4：求一点到圆上点距离的最值 【典例精讲】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆的面积公式，证明为等边三角形得出，再由圆的面积公式计算即可得解． 【规范解答】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 【变式训练】（22-23九年级上·全国·单元测试）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 【答案】(1)米 (2)不能省材料，理由见解析 (3)甲得到280元，乙得到320元 【思路引导】本题考查圆的周长公式，有理数混合运算解决实际问题． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可； （2）求出B方案中两个小花坛的直径，再根据圆的周长公式即可两个小花坛的周长之和，与（1）进行比较即可； （3）根据甲每天能完成工程的可求出甲原来每天的效率，进而可求出甲总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数，同理求出乙总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数． 【规范解答】（1）解：∵大圆花坛的半径为10米，则直径为20米， ∴两个小圆花坛的直径为（米）， ∴修两个花坛的周长为（米）． 故答案为：米 （2）解：不能省材料，理由如下： 根据B方案，两个小圆花坛的直径分别为： （米）， （米）， 它们的周长之和为（米） ∴方案B与方案A修的花坛的周长相等， ∴按照方案B修，与方案A比，不能省材料． （3）解：整项工程为（米）， 甲原来每天可以修（米）， 甲总共修了（米）， 甲得到的工资为（元）； 乙总共修了（米）， 乙得到的工资为（元）， 答：甲得到280元，乙得到320元． 考点5：圆的周长和面积问题 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）如图，为矩形外一点，，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了点和圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，取的中点，连接，由可得点在上运动，即可得，据此解答即可求解，由得出点的运动轨迹是解题的关键． 【规范解答】解：如图，取的中点，连接， ∵， ∴点在上运动， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 即点共线时，取最大值，最大值为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，分别是的中点，是以B为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 【答案】点D在内，点E在外；见解析 【思路引导】本题主要考查了点与圆的位置关系，由，，，得，由，分别是，的中点，得，得点在内；由，得，得点在外，解题的关键是正确计算判断． 【规范解答】解：点D在内，点E在外，理由如下： ，，， ， ，分别是，的中点， ， 点在内； ， ， 点在外． 考点6：判断点与圆的位置关系 【典例精讲】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，，，，是斜边上的中线． (1)若以点为圆心，以为半径作，且点，，中有两个点在内，有一个点在外，求的取值范围； (2)若以点为圆心，以为半径作，且点，，都在上，求的值． 【答案】(1) (2)5 【思路引导】本题考查点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握点和圆的位置关系及勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可得，根据直角三角形的性质得，进而根据点与圆的位置关系即可得答案； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及圆的定义，可得答案． 【规范解答】（1）解： ，，， ． ∵是斜边上的中线． ∴， 点，，中有两个点在为，有一个点在外，， ； （2）解：是斜边上的中线，， ． 点，，都在上， ． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 【答案】(1)2 (2)8 (3)当，无距离等于3的点，当，有且只有一个距离为3的点，当，有且只有两个距离为3的点，当，有三个，当，有四个 【思路引导】本题主要考查了点与圆的关系，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据垂线段最短，则要使上有且只有一个点到直线l的距离等于3，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径是； （2）根据点O到直线l的距离为5，要使上有且只有三个点到直线l的距离等于3，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是； （3）结合上述两种特殊情况分、、、、五种情况即可解答． 【规范解答】（1）解：如图：上有且只有一个点到直线距离等于3，即． 故答案为：2． （2）解：如图：上有且只有三个点到直线距离等于3，即． 故答案为8． （3）（3）当时，上没有点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3． 考点7：利用点与圆的位置关系求半径 【典例精讲】（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）与x轴相交；见解析；（4） 【思路引导】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用， （1）根据勾股定理得出等式化简即可； （2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （4）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． 【规范解答】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （3）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 【变式训练】（21-22九年级上·山东滨州·期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【思路引导】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【规范解答】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【考点评析】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 考点8：已知半径和圆上两点作圆 【典例精讲】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，为上的一动点，连接，Q为的中点，是上的一点，并满足，则的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定和性质，点到圆的最值距离，勾股定理，得到点在以点为圆心，的长为半径的半圆上，当共线时，的最小值为的值，利用勾股定理即可解答． 【规范解答】解：如图，取的中点，连接． 为的中点，，即， ， ， ，即 点在以点为圆心，的长为半径的半圆上，当共线时，的最小值为的值． ，四边形是矩形， ，， ， 的最小值是． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．    【答案】 【思路引导】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最大距离．连接，，通过证明可推出的轨迹是以为圆心，2为半径的圆上，从而求出取到最大值时的位置，结合勾股定理从而可求出的最大值．本题的做题关键是通过全等来推出动点的轨迹． 【规范解答】解：如图，连接，， ， ， ，， ． ， 在以为圆心，3为半径的圆上， 连接，则当在的延长线上时，最长， 根据勾股定理可得， 此时，    故答案为：． 考点9：圆心角概念辨析及简单运算 【典例精讲】（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    【答案】 【思路引导】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答． 方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【规范解答】方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为．    方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为．      【考点评析】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键． 【变式训练】（22-23九年级上·江苏·期中）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．    【答案】 【思路引导】利用点C，D对应的刻度分别为，，求出，，再根据求出，利用外角的性质得到，从而得解． 【规范解答】解：如图，连接，，    根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并计算其他角度是解题的关键． 考点10：求圆弧的度数 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【规范解答】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 【变式训练】（2023·安徽芜湖·三模）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【规范解答】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 1．（2025·河南·中考真题）如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)作图见详解 (2)证明过程见详解 【思路引导】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用尺规作直径的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证． 【规范解答】（1）解：如图所示， ∵是直径， ∴运用尺规作直径的垂直平分线角于点， ∴点即为所求点的位置； （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形． 2．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【规范解答】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【思路引导】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【规范解答】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 4．（2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【思路引导】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得． 【规范解答】解：如图，过点作于点，连接， ，， 当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为， 故选：B． 【考点评析】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键． 5．（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 【答案】 【思路引导】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点（谁动谁定）；②动点轨迹；③最值模型（比如将军饮马模型）；④定线段；⑤求线段长（勾股定理、相似或三角函数），结合题意求解即可得到结论． 【规范解答】解：①分析所求线段端点：是定点、是动点；②动点的轨迹：正方形的边长为10，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则，因此动点轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，如图所示： ③最值模型为点圆模型；④最小值对应的线段为；⑤求线段长，连接，如图所示： 在中，，正方形的边长为10，点G是边的中点，则，根据勾股定理可得， 当三点共线时，最小为， 接下来，求的长：连接，如图所示 根据翻折可知，设，则根据等面积法可知，即整理得，解得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查动点最值下求线段长，涉及到动点最值问题的求解方法步骤，熟练掌握动点最值问题的相关模型是解决问题的关键． 基础夯实 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 运用勾股定理得到，根据点与圆的位置关系即可求解． 【规范解答】解：点的坐标为， ∴， ∵的半径为，圆心的坐标为， ∴点与的位置关系是点在上， 故选：B ． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【规范解答】解：弦为、、． 故选：B． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知与点在同一平面内，如果的半径为5，线段的长为4，则点（   ） A．在上 B．在内 C．在外 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外，则；点P在圆上，则；点P在圆内，则．直接根据点与圆的位置关系进行判断． 【规范解答】解：∵的半径是5，线段的长为4，即点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在内． 故选：B． 4．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，．以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是 ． 【答案】点在上 【思路引导】此题主要是考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离等于半径，则点在圆上，进行判断即可解答，能够熟记点到圆心的距离等于半径，则点在圆上是解题的关键． 【规范解答】解：， 如图：以点为圆心，以长为半径画圆， ， 由图可得，点与的位置关系是：点在上， 故答案为：点在上． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，点E在y轴上，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若，，则半径r为 ． 【答案】5 【思路引导】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，坐标与图形，根据点的坐标得到，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示， 连接， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴半径r为5， 故答案为：5． 6．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，圆的基本性质，连接，可证明，得到，由三角形外角的性质得到，再由得到，则． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·江西宜春·一模）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，且，则圆的半径为 ． 【答案】5 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，圆的基本性质，坐标与图形，连接，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，连接， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴圆的半径为5， 故答案为：5． 8．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【规范解答】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查了圆的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，理解圆的性质是解答关键． （1）根据圆的性质得到，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质得到，结合已知求出，利用三角形外角性质求出的度数，再结合平角的定义求解， 【规范解答】（1）解：． 理由如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：由（1）得， ． ，， ， ， ，， ． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是的直径， 是的弦， 、的延长线交于点，． 若 求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质；根据已知得出，根据得出，进而根据三角形外角的性质，得出，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 培优拔高 11．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最大值． 【规范解答】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最大值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为6， 故选C． 12．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（   ） A．都不在 B．只有 C．只有 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，以点为圆心，长为半径画圆，再根据图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 取中点，连接，则， 以点为圆心，长为半径画圆，如图所示： 由图可知，点都在内， ∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内， 故选：． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径是方程的根，且点A到圆心的距离为6，则点A在（   ） A．上 B．内 C．外 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程、点与圆的位置关系等知识点，掌握判定点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 先根据题意求得方程的根，从而得到圆的半径，再根据半径r与d的值的大小关系即可解答． 【规范解答】解：解方程得：（舍去） ∴圆O的半径是8， ∵点A到圆心O的距离为6，， ∴点A在圆O内． 故选：B． 14．（2025·山西临汾·二模）如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质，一点到圆上一点的距离的最值问题、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键． 根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值． 【规范解答】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当F在上时，有最小值，最小值为； 如图，过点E作交于延长线点H，连接， ∵在边长为4的菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 故答案为：． 15．（2025·上海崇明·二模）如图，在矩形中，与相交于点，点是在直线上方到距离等于3的一个动点，当点在以点为圆心，为半径长的圆上时，的长为 ． 【答案】5或 【思路引导】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 如图，过作于，则，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理得到；过点作交的延长线于，同理得，根据勾股定理得到 ． 【规范解答】解：如图，过作于， 则， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ； 过点作交的延长线于， 同理得， ， ∴， 综上所述，的长为 5 或， 故答案为： 5 或． 16．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，为的直径，点在上，连接，在上截取，连接并延长交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆的基本性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．先证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，连接． ， ． ， ， ． ， ． ， 则是等腰直角三角形． ， ． ． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，等边三角形的边长为，点D，E分别是边的动点，且，连接交于点．则 ：连接，线段长的最小值为 ． 【答案】 /60度 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 首先由已知条件证明，得到，通过构造圆，找到线段的最小值时，点的所在的位置，进而求解． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆， 连接交于， 交于，则， 根据圆周角定理可得， ， ， ，， ∴，， 当点与重合时，的值最小，最小值， 故答案为： ，． 18．（2025·福建福州·三模）已知：如图，在四边形中，，点E为边上一点，与分别为和的平分线． (1)作线段的垂直平分线交于点O，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，当，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，圆的有关概念，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先作的垂直平分线，找到的中点O，再以O为圆心，为半径作圆即可； （2）先证明，结合可证四边形是平行四边形，再由可证四边形是菱形． 【规范解答】（1）解：如图，为所求， （2）证明：∵与分别为和的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上． ∴在中，， ， 又平分， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，经过网格点A，射线经过点，射线在第一象限． (1)⊙P的圆心坐标为 ； (2)在网格图中仅用无刻度直尺进行下列操作： ①将绕E逆时针旋转得到交于M； ②点在射线上，且，画出点． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】该题主要考查了圆的基本性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解答的关键是能够根据题意正确作图． （1）根据点A，B，C的坐标可得圆心P是直线与直线的交点，即可解答； （2）①根据等腰直角三角形的性质即可画出； ②连接，，，交于点H，在中作直径，连接并延长交于点N，得到，即有，则点N为所求． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴点A，B关于直线对称， ∴圆心P在直线上， ∵，， ∴点B，C关于直线对称， ∴圆心P在直线上， ∴圆心P的坐标为． 故答案为： （2）解：①如图，为所求； ②如图，点N为所求； 由图可得， 由旋转有， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图1，P是圆O外一点，A，B为圆上两点，连接，分别交圆O于C，D两点，，连接． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点M，连接，当点C为中点时，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题主要考查圆心角定理的推论，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质定理以及菱形的判定定理，熟练掌握上述定理，并能综合运用，是解题的关键． （1）作，，垂足分别为，先证，得，由角平分线的性质定理，可得，进而即可得到结论； （2）根据等腰三角形三线合一得，由直角三角形的性质可得，进而可知为中点，得，由四边相等的四边形是菱形即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：作，，垂足分别为． ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴，即：， ∵，平分， ∴． 又∵为中点， ∴． ∴ ∴为中点． ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$