2.8 圆锥的侧面积（知识精讲+易错点拨+六大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.8 圆锥的侧面积 （知识精讲+易错点拨+六大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：求圆锥侧面积 2 考点讲练2：求圆锥底面半径 3 考点讲练3：求圆锥的高 5 考点讲练4：求圆锥侧面展开图的圆心角 7 考点讲练5：圆锥的实际问题 8 考点讲练6：圆锥的侧面上最短路径问题 10 中等题真题汇编练 11 培优题真题汇编练 15 新知精讲梳理 知识点01：圆锥的基本定义与性质 圆锥的定义：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，底面是一个圆，侧面是一个曲面。圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边（即圆锥的轴）旋转一周所形成的图形。 圆锥的母线：连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫做圆锥的母线。圆锥的所有母线长度相等。 圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。 知识点02：圆锥的侧面积、全面积公式 侧面积公式：S侧＝•2πr•l＝πrl． 圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl 圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 高频易错知识点拨 易错知识点01：圆锥基本概念的混淆 圆锥的母线与高的区别：学生容易将圆锥的母线与圆锥的高混淆。圆锥的母线是连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段，而圆锥的高是连接圆锥顶点与底面圆心的线段。两者在长度和定义上都有区别。 易错知识点02：计算过程中的错误 单位不统一：在计算圆锥侧面积时，如果底面半径和母线长的单位不一致（如一个是厘米，一个是米），就会导致计算结果错误。因此，在计算前需要确保所有单位统一。 计算失误：在代入公式进行计算时，学生可能会因为粗心大意而出现计算错误，如乘法运算错误、小数点位置错误等。 易错知识点03：实际应用中的误解 圆锥的展开图：学生可能对圆锥的侧面展开图理解不够深入，容易将圆锥的侧面误认为是其他形状的平面图形。实际上，圆锥的侧面展开后是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，半径等于圆锥的母线长。 实际问题的建模：在将圆锥侧面积公式应用于实际问题时，学生需要能够准确地将问题中的条件转化为数学语言，并建立相应的数学模型。如果建模不准确或理解错误，就会导致计算结果与实际情况不符。 考点讲练1：求圆锥侧面积 【精讲题】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ． 【举一反三练1】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【举一反三练2】（2024·江苏无锡·一模）如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．    【举一反三练3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 考点讲练2：求圆锥底面半径 【精讲题】（2024·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，的一段弧经过格点，，． (1)请在图中标出圆心的位置，并写出点的坐标； (2)连接，，则的度数为______度； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径． 【举一反三练1】（18-19九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 ． 【举一反三练2】（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，是的半径，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，连接，交于点和点，交半径于点，连接，，，若把小于半圆的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ． 【举一反三练3】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)画出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并连接． (2)请在（1）的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题： ①的半径为_________（结果保留根号）； ②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是_____． 考点讲练3：求圆锥的高 【精讲题】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上． (1)求扇形的面积； (2)将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高． 【举一反三练1】（2024·甘肃武威·三模） 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广东江门·期末）（1）解方程：． （2）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度． 【举一反三练3】（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 考点讲练4：求圆锥侧面展开图的圆心角 【精讲题】（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是 ． 【举一反三练1】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是 ，这个圆锥的全面积是 ． 【举一反三练2】（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）． (1)求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数． (2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：） 【举一反三练3】（22-23九年级上·河南周口·期末）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径，母线长． (1)求这种加工材料的顶角的大小． (2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 考点讲练5：圆锥的实际问题 【精讲题】（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 【举一反三练1】（2021·山东德州·二模）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（2020·辽宁盘锦·二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（  ） 　 A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6 【举一反三练3】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 考点讲练6：圆锥的侧面上最短路径问题 【精讲题】（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．    【举一反三练1】（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【举一反三练2】（22-23八年级上·重庆·期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，将圆锥沿母线剪开，其侧面展开图如图2所示，若，，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【举一反三练3】（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知圆锥的底面半径是2，侧面展开图的圆心角为，则其侧面积为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，的斜边，一条直角边，现以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川达州·三模）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东淄博·二模）如图是某几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·甘肃武威·期中）如图，从一张腰长为的等腰直角三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的底面半径为 ．         6．（2024·江苏淮安·一模）如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的高为 ． 7．（2024·广西梧州·二模）如图，圆锥底面圆的半径为3，母线与底面圆的夹角，则该圆锥侧面积为 ．    8．（2024·广西南宁·一模）一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是 ． 9．（2024·安徽亳州·一模）某几何体的三视图如图所示． (1)该几何体的名称是_______； (2)根据图中的数据，求该几何体的侧面积．（结果保留π） 10．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）（1）某商场今年2月份的营业额为万元，3月份的营业额比2月份多万元，5月份的营业额达到万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率． （2）如图，扇形的半径为，圆心角的度数为，将此扇形围成一个圆锥．求这个圆锥的底面圆的半径． 11．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．    (1)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径； (2)在中是否存在长度为定值的边?若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．    (1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________； (2)判断点与的位置关系； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 培优题真题汇编练 13．（22-23九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，从一块半径是 2 的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（　　） A． B． C． D． 14．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为(    ) A．1 B． C．2 D． 15．（22-23九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠， 则小猫经过的最短路程是（　　）． A． B．4 C． D．6 16．（2022九年级·全国·专题练习）如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是（    ） A．m B．m C．m D．2m 17．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）一个圆锥的侧面展开图是半径为、面积为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 ． 18．（2022九年级上·全国·专题练习）已知在中，，把绕直线旋转一周得到一个圆锥，其表面积为，把绕直线旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为，则等于 ． 19．（2023·内蒙古·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．    20． （23-24九年级上·广东肇庆·期末）圆锥的母线长l为，底面圆半径r为，则该圆锥的侧面积为 ． 21．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，已知每个小正方形的边长为，O，A，B都在小正方形顶点上，扇形是某个圆锥的侧面展开图．求这个圆锥的底面半径． 21． （23-24九年级上·安徽安庆·期末）根据“双减”工作要求，为丰富学生课余生活，促进学生全面成长，学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动，在一次综合实践活动中，华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为的扇形铁片，再制作成一个高的圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），求华华剪裁的扇形铁片的圆心角． 23．（22-23六年级上·全国·单元测试）要制造一个如图所示的粮仓，其上部是圆锥，下部是圆柱，如果每平方米需用铁皮（底部不用铁皮，接头忽略不计），根据图中数据，求制作该粮仓大约需要多少铁皮？（，精确到） 24．（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.8 圆锥的侧面积 （知识精讲+易错点拨+六大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：求圆锥侧面积 2 考点讲练2：求圆锥底面半径 5 考点讲练3：求圆锥的高 10 考点讲练4：求圆锥侧面展开图的圆心角 14 考点讲练5：圆锥的实际问题 19 考点讲练6：圆锥的侧面上最短路径问题 22 中等题真题汇编练 28 培优题真题汇编练 36 新知精讲梳理 知识点01：圆锥的基本定义与性质 圆锥的定义：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，底面是一个圆，侧面是一个曲面。圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边（即圆锥的轴）旋转一周所形成的图形。 圆锥的母线：连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫做圆锥的母线。圆锥的所有母线长度相等。 圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。 知识点02：圆锥的侧面积、全面积公式 侧面积公式：S侧＝•2πr•l＝πrl． 圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl 圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 高频易错知识点拨 易错知识点01：圆锥基本概念的混淆 圆锥的母线与高的区别：学生容易将圆锥的母线与圆锥的高混淆。圆锥的母线是连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段，而圆锥的高是连接圆锥顶点与底面圆心的线段。两者在长度和定义上都有区别。 易错知识点02：计算过程中的错误 单位不统一：在计算圆锥侧面积时，如果底面半径和母线长的单位不一致（如一个是厘米，一个是米），就会导致计算结果错误。因此，在计算前需要确保所有单位统一。 计算失误：在代入公式进行计算时，学生可能会因为粗心大意而出现计算错误，如乘法运算错误、小数点位置错误等。 易错知识点03：实际应用中的误解 圆锥的展开图：学生可能对圆锥的侧面展开图理解不够深入，容易将圆锥的侧面误认为是其他形状的平面图形。实际上，圆锥的侧面展开后是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，半径等于圆锥的母线长。 实际问题的建模：在将圆锥侧面积公式应用于实际问题时，学生需要能够准确地将问题中的条件转化为数学语言，并建立相应的数学模型。如果建模不准确或理解错误，就会导致计算结果与实际情况不符。 考点讲练1：求圆锥侧面积 【精讲题】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数． 【规范解答】根据圆锥侧面积公式：，可得 解得：， ， 解得， 侧面展开图的圆心角是． 故答案为：． 【举一反三练1】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了圆锥的三视图，求圆锥的侧面积，勾股定理，先由三视图得到该圆锥的高为，底面圆半径为，则由勾股定理可得母线长为，再根据圆锥侧面积底面周长母线长进行求解即可． 【规范解答】解：由三视图可知，该圆锥的高为，底面圆半径为， ∴母线长为， ∴这个圆锥的侧面积为， 故选：B． 【举一反三练2】（2024·江苏无锡·一模）如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键． 先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积． 【规范解答】解：由勾股定理得：母线， ． 故答案为：． 【举一反三练3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ． 【答案】 /18度 【思路点拨】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，根据题意，得，解得；根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，根据扇形面积公式，得，解答即可． 本题考查了扇形弧长，面积计算，圆锥侧展与扇形的关系，熟练掌握公式是解题的关键． 【规范解答】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为， 根据题意，得， 解得； 根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积， 得， 故答案为：，． 考点讲练2：求圆锥底面半径 【精讲题】（2024·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，的一段弧经过格点，，． (1)请在图中标出圆心的位置，并写出点的坐标； (2)连接，，则的度数为______度； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径． 【答案】(1)见解析，点； (2)； (3)圆锥的底面半径． 【思路点拨】（）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，再写出点坐标即可； （）利用利用网格特点和勾股定理定理和逆定理即可求解； （）设该圆锥的底面半径，根据圆周长和弧长公式即可求解； 本题考查了垂径定理，勾股定理及逆定理，圆周长和弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，如图， ∴点即为所求，点， （2）如图， 根据网格可知：，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）设该圆锥的底面半径， ∵， ∴， 则， 解得：． 【举一反三练1】（18-19九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，90度的圆周角所对的弦是直径．连接，如图，根据圆周角定理得为的直径，即，所以，设该圆锥的底面圆的半径为，根据弧长公式得到方程即可求得． 【规范解答】解：连接，如图， ， 为的直径，即， ， 设该圆锥的底面圆的半径为， ∴， 解得， 即该圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，是的半径，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，连接，交于点和点，交半径于点，连接，，，若把小于半圆的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算、线段垂直平分线的性质、尺规作图，等边三角形的判定与性质，连接，根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据等边三角形的判定与性质求出，根据弧长公式、圆的周长公式计算即可，掌握圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 【规范解答】连接， 由作图可知：是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为：， ∴圆锥的底面半径为：， 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)画出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并连接． (2)请在（1）的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题： ①的半径为_________（结果保留根号）； ②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是_____． 【答案】(1)见解析 (2)建立坐标系见解析，①② 【思路点拨】此题考查直线与圆的位置关系，涉及了圆的有关性质、勾股定理，圆锥的侧面展开图、全等三角形的判定与性质，正确作出图形是解决此题的关键． （1）分析可知，圆心必在弦的垂直平分线上，则只需作出弦的垂直平分线即可； （2）①根据题意建立平面直角坐标系即可；观察图形，利用勾股定理求出的半径；②对图形中的点进行标注，证明全等三角形，联系全等三角形的性质证明，联系侧面展开图的弧长是底面周长求解即可． 【规范解答】（1）解：线段的垂直平分线的交点即为圆心D，如图所示； （2）解：①建立平面直角坐标系如图所示： 的半径， 故答案为：； ②在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的长， ∴圆锥的底面半径为：， 故答案为：． 考点讲练3：求圆锥的高 【精讲题】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上． (1)求扇形的面积； (2)将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高． 【答案】(1) (2)圆锥的底面半径为，高为 【思路点拨】（1）先判断过圆心O，，然后由勾股定理求扇形的半径，再根据面积公式求解即可； （2）利用底面周长等于展开图的弧长，可求得半径径的长度，然后利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【规范解答】（1）连接，， ∵， ∴过圆心O， ∴， ∵从中剪出一个圆心角的扇形， ∴． ∵， ∴， ∴扇形半径为； ∴； （2）设围成圆锥的底面半径为r，则， 解得， ∵圆锥的母线长， ∴圆锥的高为． 【考点评析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 【举一反三练1】（2024·甘肃武威·三模） 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，解直角三角形；作于，如图，根据折叠的性质得等于半径的一半，即 ，再根据特殊角的三角函数值得出，则，所以，则利用弧长公式可计算出弧的长，再求出底面圆的半径为，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高． 【规范解答】如图，过点作，垂足为，交于点， 由折叠的性质可知，，则 由此可得，在中，， 同理可得， 在中，由三角形内角和定理，得． 弧的长为． 设围成的圆锥的底面半径为，则， ． 圆锥的高为． 故选A． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广东江门·期末）（1）解方程：． （2）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题主要考查了解一元二次方程，求圆锥的高，勾股定理等等： （1）利用配方法解方程即可； （2）先求出的长，再根据的长即为扇形底面圆的周长求出的长，即可利用勾股定理求出的长． 【规范解答】解：（1） 解得； （2）由题意得，的长为， ∴， ∴ 【举一反三练3】（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 【答案】(1)①；② (2) 【思路点拨】（1）①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到，结合即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案； （2）本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接并延长交于点D，作即可得到为最小值求解即可得到答案； 【规范解答】（1）解：①∵三角形是正三角形， ∴， ∴； ②由①得， ， ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于点D，作于， ∵O是正三角形的中心，， ∴，，， ∴，是点到三角形边上最长的线段， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：   ． 考点讲练4：求圆锥侧面展开图的圆心角 【精讲题】（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求圆锥侧面展开图圆心角的度数，垂径定理，勾股定理解直角三角形，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，根据圆锥的底面圆周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，求得展开后的扇形的圆心角为，进而根据勾股定理和垂径定理即可求解，求得侧面展开图的圆心角是解题的关键． 【规范解答】解：∵这个圆锥的底面圆周长为， ∴， 解得：， ∴侧面展开图的圆心角为， 如图，为圆锥侧面展开图，，的长度即为这条彩带的最短长度， 过点作于点， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这条彩带的最短长度是， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是 ，这个圆锥的全面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考出来圆锥关于圆锥的计算．根据圆锥的底面直径是，母线长，可以求出圆锥的底面半径是，周长是，底面积是，进而求出侧面展开图面积为，圆锥的全面积为．设圆锥的侧面展开图的圆心角是，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的弧长列出方程，即可求出，问题得解． 【规范解答】解：∵圆锥的底面直径是， ∴圆锥的底面半径是， ∴圆锥的底面周长是，底面积是，侧面展开图面积为， ∴圆锥的全面积为． 设圆锥的侧面展开图的圆心角是， 由题意得， 解得． ∴圆锥的侧面展开图的圆心角是，这个圆锥的全面积是． 故答案为：， 【举一反三练2】（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）． (1)求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数． (2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：） 【答案】(1) (2)方案二 【思路点拨】（1）根据题意利用勾股定理求出圆锥母线长，再利用圆锥的底面周长与扇形的弧长之间的关系，即可得到本题答案； （2）过点作，利用矩形性质及（1）中结论可知，再利用含角的直角三角形三边关系求得，继而求出方案一所需的矩形铁皮的面积，同法可得方案二所需的矩形铁皮的面积，再比较大小即可得到本题答案． 【规范解答】（1）解：设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为， ∵底面半径为，高为的锥形漏斗， ∴圆锥的母线长为：， ∴，解得：， 即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为； （2）解：如图，过点作， 四边形是矩形，由（1）知， ． 由（1）可得；， 在中， ， ， ， ， 方案一所需的矩形铁皮的面积； 如图，， ， 在中， ， ， ， 方案二所需的矩形铁皮的面积， ， 方案二所用的矩形铁皮面积较少． 【考点评析】本题考查含角的直角三角形三边关系，矩形性质，弧长公式，勾股定理，圆锥的底面周长与扇形的弧长之间的关系，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 【举一反三练3】（22-23九年级上·河南周口·期末）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径，母线长． (1)求这种加工材料的顶角的大小． (2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）设，根据圆锥侧面展开图的扇形面积公式，即可求解； （2）分别求得和扇形的面积，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：设，依题意， ∴， ∴； （2）解：设加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积为， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴, ∴ 【考点评析】本题考查了圆锥侧面积公式，扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键． 考点讲练5：圆锥的实际问题 【精讲题】（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 【答案】 /180度 【思路点拨】（1）勾股定理求出圆锥的高即可； （1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可． 【规范解答】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为； 即：水深cm； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∴展开滤纸的圆心角为； 故答案为：． 【考点评析】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解题的关键． 【举一反三练1】（2021·山东德州·二模）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr，解方程求出r，然后求得直径即可． 【规范解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r 根据题意得2 πr， 解得r＝1， 侧面积= ， 底面积= 所以圆锥的表面积=， 故选：B． 【考点评析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： （1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； （2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 【举一反三练2】（2020·辽宁盘锦·二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（  ） 　 A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6 【答案】B 【思路点拨】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算即可得答案． 【规范解答】扇形的弧长是：=， 圆的半径为r，则底面圆的周长是， ∵恰好围成如图所示的圆锥， ∴=， ∴R=4r， 故选：B． 【考点评析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 【举一反三练3】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【规范解答】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 考点讲练6：圆锥的侧面上最短路径问题 【精讲题】（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．    【答案】 【思路点拨】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得． 【规范解答】解：∵，，， ∴ ∴圆锥的底面周长是， 则 ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是， 如图所示，    ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴在圆锥侧面展开图中， ∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算． 【举一反三练1】（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【思路点拨】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得． 【规范解答】画出圆锥侧面展开图如下： 如图，连接、， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为， 因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长， 所以， 解得， 则， 又， 是等边三角形， 点为的中点， ，， 在中，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键． 【举一反三练2】（22-23八年级上·重庆·期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，将圆锥沿母线剪开，其侧面展开图如图2所示，若，，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】6 【思路点拨】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，进而即可得出结果． 【规范解答】解：如图，连接，作于点， ∴即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故答案为： 【考点评析】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质、定理． 【举一反三练3】（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)20.7 【思路点拨】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【规范解答】（1）解：如图1， ，则， ∴， 如图2， ，作于D，则， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【考点评析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知圆锥的底面半径是2，侧面展开图的圆心角为，则其侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后根据扇形的面积公式计算扇形的面积，从而得到圆锥的侧面积． 【规范解答】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得， 解得， 所以圆锥的侧面积． 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，的斜边，一条直角边，现以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算和点、线、面、体，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 可得圆锥的底面半径为，母线长为，再根据圆锥的侧面积底面周长母线长即可得出答案． 【规范解答】解：圆锥的侧面积为． 故选：． 3．（2024·四川达州·三模）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，根据圆锥侧面积计算公式，得出，进而根据弧长公式进行求解即可． 【规范解答】解：设圆锥的母线长为， ∵ ∴ ∴ 解得： 故选：C． 4．（2024·山东淄博·二模）如图是某几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的侧面积公式；根据三视图可得此几何体为圆锥，那么，从而得出答案． 【规范解答】根据三视图可得：这个几何体为圆锥， 直径为，圆锥母线长为， 侧面积. 故选：B. 5．（23-24九年级下·甘肃武威·期中）如图，从一张腰长为的等腰直角三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的底面半径为 ．         【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧长的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到弧，计算即可． 【规范解答】过作于点， ，， ， ， 设圆锥的底面圆的半径为，则， ， 解得， 故答案为：． 6．（2024·江苏淮安·一模）如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆锥的相关计算，易得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，加上母线长6，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【规范解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：， ∴圆锥的底面半径为， ∴该圆锥的高为：． 故答案为：． 7．（2024·广西梧州·二模）如图，圆锥底面圆的半径为3，母线与底面圆的夹角，则该圆锥侧面积为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥侧面积的计算．根据圆锥的侧面积公式：计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2024·广西南宁·一模）一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【思路点拨】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 本题考查了圆锥的侧面积的计算．圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 【规范解答】圆锥的侧面积，其中，， ∴这个圆锥的侧面积， 故答案为：． 9．（2024·安徽亳州·一模）某几何体的三视图如图所示． (1)该几何体的名称是_______； (2)根据图中的数据，求该几何体的侧面积．（结果保留π） 【答案】(1)圆锥 (2) 【思路点拨】本题考查了由三视图判断几何体，以及圆锥的侧面积，正确识别图形，熟记公式是解题的关键． （1）根据几何体三视图即可得出结论； （2）代入圆锥侧面积公式即可， ． 【规范解答】（1）解：由三视图可知，原几何体为圆锥． 故答案为：圆锥． （2）解：根据图中数据知，圆锥的底面半径为4，高为6， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为． 10．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）（1）某商场今年2月份的营业额为万元，3月份的营业额比2月份多万元，5月份的营业额达到万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率． （2）如图，扇形的半径为，圆心角的度数为，将此扇形围成一个圆锥．求这个圆锥的底面圆的半径． 【答案】（1）3月份到5月份的营业额的平均月增长率是；（2）这个圆锥的底面圆的半径为 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用；求圆锥的底面半径； （1）设3月份到5月份的营业额的平均月增长率是x．根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设这个圆锥的底面圆的半径为．根据弧长公式可得，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：设3月份到5月份的营业额的平均月增长率是x．        ∴，（舍） 答：3月份到5月份的营业额的平均月增长率是 （2）解：设这个圆锥的底面圆的半径为． ∵   ∴   ∴ 答：这个圆锥的底面圆的半径为3cm 11．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．    (1)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径； (2)在中是否存在长度为定值的边?若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在， 【思路点拨】（1）设该圆锥的底面半径为r，根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长列式即可得到答案； （2）连接，由垂径定理得到D为中点，E为中点．则为的中位线．得到．再求出的长，即可得到的长，结论得证； 【规范解答】（1）解：设该圆锥的底面半径为r， 由题意得． 解得， 即该圆锥的底面半径为1． （2）存在，的长为定值．如图，连接．    ∵，， ∴D为中点，E为中点． ∴为的中位线． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【考点评析】此题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、垂径定理、三角形中位线定理的等知识，数形结合是解题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．    (1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________； (2)判断点与的位置关系； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【答案】(1)，； (2)圆内； (3)． 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，坐标与图形性质和垂径定理． （1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为P点，再写出P点坐标，然后计算长得到的半径； （2）利用两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解； （3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，设该圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，求出r即可． 【规范解答】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为， ， 即的半径为； 故答案为：，； （2）解：∵P，， ∴， ∵， ∴的长小于圆的半径， ∴点在内； （3）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，， 设该圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得， 解得． 培优题真题汇编练 13．（22-23九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，从一块半径是 2 的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得． 【规范解答】解：∵的半径是2， ∴， 连接，根据题意知，， 在中，， 即扇形的对应半径， 弧长， 设圆锥底面圆半径为r，则有 ， 解得：， 故选：C 【考点评析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 14．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为(    ) A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【思路点拨】根据边心距求得外接圆的半径为，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可． 【规范解答】如图,过点作，垂足为， ∵正六边形的边心距为， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设圆锥的半径为，根据题意，得， 解得， 故选：B． 【考点评析】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面积，熟练掌握弧长公式，圆锥的侧面积公式是解题的关键． 15．（22-23九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠， 则小猫经过的最短路程是（　　）． A． B．4 C． D．6 【答案】C 【思路点拨】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【规范解答】解：圆锥主视图是边长为的正三角形， 圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 如图，在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是． 故选：C． 【考点评析】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 16．（2022九年级·全国·专题练习）如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是（    ） A．m B．m C．m D．2m 【答案】A 【思路点拨】设圆锥的底面圆半径为rm．先根据勾股定理求出扇形ABC的半径，再根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列方程求出r． 【规范解答】解：∵BC＝2m，AB=AC，∠BAC＝90°， ∴AB＝m， 设圆锥的底面圆的半径为rm， 根据题意得2πr＝， 解得r＝， 即圆锥的底面圆的半径为m． 故选：A． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理，扇形，圆锥等，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，扇形的弧长公式，用扇形弧长等于圆锥底面圆的周长建立并解方程． 17．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）一个圆锥的侧面展开图是半径为、面积为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查圆锥的计算．根据扇形的面积求得侧面展开图扇形的弧长，即圆锥底面的周长，再根据圆的周长公式即可求得底面圆的半径． 【规范解答】设侧面展开扇形的弧长为l， 由可得， ∴， ∴侧面展开扇形的弧长为，即圆锥底面的周长为， 设底面圆的半径为r，则， ∴， ∴圆锥底面圆的半径为． 故答案为：3． 18．（2022九年级上·全国·专题练习）已知在中，，把绕直线旋转一周得到一个圆锥，其表面积为，把绕直线旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为，则等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了圆锥的表面积．分别求出当以为轴旋转时，当以为轴旋转时，圆锥的表面积，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，当以为轴旋转时，，为底面圆半径，为母线长10， ∴． 当以为轴旋转时，为底面圆半径，为母线长为10，， ∴， ∴． 故答案为： 19．（2023·内蒙古·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．    【答案】 【思路点拨】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可． 【规范解答】解：∵正六边形的外角和为， ∴每一个外角的度数为， ∴正六边形的每个内角的度数为， 设这个圆锥底面圆的半径是r， 根据题意得，， 解得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查正多边形和圆及圆锥的计算，解题的关键是求得正六边形的内角的度数，并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 20．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）圆锥的母线长l为，底面圆半径r为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是熟记圆锥的侧面积公式．根据圆锥的侧面积计算公式求解即可． 【规范解答】解：∵圆锥的母线长是，底面圆半径为 ∴圆锥的侧面积：， 故答案为：． 21．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，已知每个小正方形的边长为，O，A，B都在小正方形顶点上，扇形是某个圆锥的侧面展开图．求这个圆锥的底面半径． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求圆锥的底面半径，勾股定理和勾股定理得逆定理，求弧长等等，先利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，进而利用弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， ∴是直角三角形，且 ∴扇形的弧长为， ∴这个圆锥的底面半径为． 22．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）根据“双减”工作要求，为丰富学生课余生活，促进学生全面成长，学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动，在一次综合实践活动中，华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为的扇形铁片，再制作成一个高的圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），求华华剪裁的扇形铁片的圆心角． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求圆锥侧面展开图中扇形的圆心角度数，勾股定理，设裁减的扇形圆心角为，制成烟囱帽的底面圆半径为，先利用勾股定理求出，再根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长列出方程求解即可． 【规范解答】解：设裁减的扇形圆心角为，制成烟囱帽的底面圆半径为， 由题意得 ∴， 解得， ∴裁减的扇形圆心角为． 23．（22-23六年级上·全国·单元测试）要制造一个如图所示的粮仓，其上部是圆锥，下部是圆柱，如果每平方米需用铁皮（底部不用铁皮，接头忽略不计），根据图中数据，求制作该粮仓大约需要多少铁皮？（，精确到） 【答案】 【思路点拨】根据扇形面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆柱的侧面展开图为长方形，求出圆柱的侧面积，即可求解． 【规范解答】解：由题意，得圆锥的侧面积为：， 圆柱的侧面积为：． ∴． 答：制作该粮仓大约需要铁皮． 【考点评析】本题主要考查了求圆锥和圆柱的侧面积，解题的关键是掌握扇形面积公式为，圆柱的侧面展开图为长方形． 24．（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)彩带长度的最小值为． 【思路点拨】（1）圆锥的底面周长等于扇形的弧长，求出，再根据半径经过的中点，得到，即可求出与OB的夹角； （2）根据（1）即可证明结论； （3）先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，得到，再连接，利用勾股定理得到长，即可求出彩带长度的最小值． 【规范解答】（1）由题意可知，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ， ， ，， ， 经过的中点， ， ， 与OB的夹角为， 故答案为：，； （2）由（1）得：， ； （3），， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，如下图， ， ， 连接，即为彩带长度的最小值， ，， 由勾股定理得：， 彩带长度的最小值为． 【考点评析】本题考查了圆锥的性质，弧长公式，同弧或等弧所对的圆心角相等，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$