1.2～1.3 一元二次方程的解法、根与系数的关系（知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第1章《一元二次方程》】 1.2-1.3 一元二次方程的解法、根与系数的关系 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：解一元二次方程—直接开平方法 3 考点讲练2：解一元二次方程—配方法 5 考点讲练3：配方法的应用 6 考点讲练4：根据判别式判断一元二次方程根的情况 8 考点讲练5：根据一元二次方程根的情况求参数 9 考点讲练6：公式法解一元二次方程 10 考点讲练7：因式分解法解一元二次方程 11 考点讲练8：换元法解一元二次方程 12 考点讲练9：一元二次方程的根与系数的关系 14 中等题真题汇编练 15 培优题真题汇编练 18 新知精讲梳理 知识点1：一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 细节剖析： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 　 法，再考虑用公式法． 知识点2：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 细节剖析： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 高频易错知识点拨 易错知识点01：直接开平方法 易错点：忽略方程是否满足直接开平方的条件，即方程是否能化为 x²=p 或 (x+q)² = m（p,m≥0）的形式。 对策：在尝试直接开平方之前，先判断方程是否满足条件。如果不满足，则考虑其他解法。 易错知识点02：配方法 易错点：配方过程中，二次项系数不为1时，未先将方程两边同时除以二次项系数。 配方时，常数项未移至等号右边或未正确加上和减去同一个数。 配方后，未正确开平方或开平方时未注意正负号。 对策：确保方程为一般形式后，先将二次项系数化为1。配方时，严格按照步骤进行，确保等式两边平衡。 开平方时，注意正负号的取值。 易错知识点03：公式法 易错点： 计算判别式 △= b² - 4ac时出错。代入求根公式时，未注意二次项系数 a 的值，导致计算结果错误。忽略判别式的值对根的影响，即未根据△的正负判断方程的根的情况。 对策：仔细计算判别式△，确保无误。 代入求根公式时，注意二次项系数 a 的值，避免混淆。 根据判别式的值判断方程的根的情况，并据此求解。 易错知识点04：因式分解法 易错点： 无法准确识别方程左侧的多项式是否可以因式分解。 因式分解过程中，漏项或错项。 因式分解后，未正确设置等式为零并求解。 对策： 多练习因式分解的技巧，提高识别能力。 因式分解时，注意每一项的系数和符号，避免漏项或错项。 因式分解后，及时将等式设置为零并求解。 考点讲练1：解一元二次方程—直接开平方法 【精讲题】（23-24九年级上·新疆巴音郭楞·阶段练习）解方程 ①           ② ③          ④ ⑤         ⑥ ⑦           ⑧． 【举一反三练1】（23-24九年级上·湖南株洲·期中）解下列一元二次方程． (1) ； (2)； (2) ； (4) 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏南通·开学考试）解方程． (1) ； (2)． 【举一反三练3】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）解方程： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 考点讲练2：解一元二次方程—配方法 【精讲题】（23-24九年级上·四川成都·开学考试）若分式的值为，则的值为 ；若，则 ． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）选择适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 【举一反三练2】（23-24九年级上·山东临沂·开学考试）解方程： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【举一反三练3】．（23-24九年级上·山东聊城·开学考试）解方程 (1) ；（用配方法） (2)； (2) ； (4)． 考点讲练3：配方法的应用 【精讲题】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【举一反三练1】（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 【举一反三练2】（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， (1)模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； (2)若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【举一反三练3】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 考点讲练4：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【精讲题】（23-24九年级上·河南周口·开学考试）已知关于x的方程． (1)求证:方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 【举一反三练1】（23-24九年级上·重庆·开学考试）从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是3； ②若，，，且，，中最小值为，则； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三练2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知5是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根 【举一反三练3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有实数根； (2)设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值． 考点讲练5：根据一元二次方程根的情况求参数 【精讲题】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【举一反三练1】（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）已知等腰的底边长为5，其余两边长恰好是关于的方程的两个根，则的值是（　　） A．2 B．2或10 C．4 D．4或10 【举一反三练2】（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知一元二次方程有唯一实数根，求的值． 【举一反三练3】（2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 考点讲练6：公式法解一元二次方程 【精讲题】（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）解方程： (1) ； (2)． 【举一反三练1】（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）解方程： (1) (2) 【举一反三练2】（23-24九年级上·河北承德·期中）用合适的方法解下列方程 (1) (2) 【举一反三练3】（23-24八年级下·浙江·期中）解下列方程： (1) ． (2)． 考点讲练7：因式分解法解一元二次方程 【精讲题】（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）解方程： (1) ； (2)． 【举一反三练1】（23-24九年级上·广东清远·期末）（）用适当的方法解下列方程：．   （）已知反比例函数的图象经过点，求这反比例函数的表达式． 【举一反三练2】（23-24九年级上·四川成都·开学考试）（1）解方程：； （2） 解不等式组：． 【举一反三练3】（23-24九年级上·山东德州·开学考试）（1）计算：； （3） 分解因式：； （3）解方程： ①； ②． 考点讲练8：换元法解一元二次方程 【精讲题】（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【举一反三练1】（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【举一反三练2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【举一反三练3】（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 考点讲练9：一元二次方程的根与系数的关系 【精讲题】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【举一反三练1】．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 【举一反三练2】（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根和b的值分别是多少？ 【举一反三练3】（23-24九年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B． C． D．2 4．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，且满足，，那么的值为 . 5．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）若多项式可以分解为，则在关于x的方程中，的值为（    ） A．3或 B．或1 C． D．1 6．（23-24八年级下·云南·期末）已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 7．（23-24九年级上·吉林·期中）嘉琪准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为 ． 8．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的方程有两个不相等的整数根，则正整数m的值是 ． 9．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： (1)． (2) (3) 10．（23-24九年级上·河北承德·期中）阅读下面的例题， 范例：解方程， 解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）． （2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是， 请参照例题解方程 11．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知关于x的方程． (1)当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根、满足：，求k的值． 12．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 培优题真题汇编练 13．（2024·广东广州·二模）关于y的一元二次方程的解为（　　） A． B． C． D． 14．（2024·山东·模拟预测）已知实数、均不为，，，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 15．（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定根的情况 16．（2024·上海宝山·三模）下列说法正确的是（   ） A．若，则只需满足 B．方程的两根之积为1 C．边长为5的菱形的两条对角线交于O点，且、的长分别是关于x的方程的两根，则m等于 D．关于x的方程有实数根，则a满足且 17．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）方程，如同一首精致的诗，以简洁的线条勾勒出深沉的数学之美．已知a、b满足，，，且，则 ． 18．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 19．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在y轴的右侧作正方形，其对角线交点在第一象限，反比例函数的图象经过点A和I，则的值为 ． 20．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 21．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 22．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，在锐角中，，点，在外部且与点在直线同侧，满足且，连接、． (1)证明：； (2)如图，，的延长线交于点，过作于点，连接； 线段，，有何数量关系？猜想并证明你的结论； 在的条件下，若，，则的长度为？ 23．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值：，其中是方程的解．下面是小明同学的部分解答过程： 解：原式① ② ③ ④ ⑤ …… (1)第②步的依据是（    ） A．等式的基本性质    B．分式的基本性质    C．乘法分配律    D．乘法交换律 (2)小明第______步出现错误，请你写出完整的解答过程． 24．（23-24九年级上·福建莆田·开学考试）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为， 则，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t满足，且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第1章《一元二次方程》】 1.2-1.3 一元二次方程的解法、根与系数的关系 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：解一元二次方程—直接开平方法 3 考点讲练2：解一元二次方程—配方法 8 考点讲练3：配方法的应用 13 考点讲练4：根据判别式判断一元二次方程根的情况 18 考点讲练5：根据一元二次方程根的情况求参数 21 考点讲练6：公式法解一元二次方程 23 考点讲练7：因式分解法解一元二次方程 27 考点讲练8：换元法解一元二次方程 30 考点讲练9：一元二次方程的根与系数的关系 34 中等题真题汇编练 37 培优题真题汇编练 46 新知精讲梳理 知识点1：一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 细节剖析： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 　 法，再考虑用公式法． 知识点2：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 细节剖析： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 高频易错知识点拨 易错知识点01：直接开平方法 易错点：忽略方程是否满足直接开平方的条件，即方程是否能化为 x²=p 或 (x+q)² = m（p,m≥0）的形式。 对策：在尝试直接开平方之前，先判断方程是否满足条件。如果不满足，则考虑其他解法。 易错知识点02：配方法 易错点：配方过程中，二次项系数不为1时，未先将方程两边同时除以二次项系数。 配方时，常数项未移至等号右边或未正确加上和减去同一个数。 配方后，未正确开平方或开平方时未注意正负号。 对策：确保方程为一般形式后，先将二次项系数化为1。配方时，严格按照步骤进行，确保等式两边平衡。 开平方时，注意正负号的取值。 易错知识点03：公式法 易错点： 计算判别式 △= b² - 4ac时出错。代入求根公式时，未注意二次项系数 a 的值，导致计算结果错误。忽略判别式的值对根的影响，即未根据△的正负判断方程的根的情况。 对策：仔细计算判别式△，确保无误。 代入求根公式时，注意二次项系数 a 的值，避免混淆。 根据判别式的值判断方程的根的情况，并据此求解。 易错知识点04：因式分解法 易错点： 无法准确识别方程左侧的多项式是否可以因式分解。 因式分解过程中，漏项或错项。 因式分解后，未正确设置等式为零并求解。 对策： 多练习因式分解的技巧，提高识别能力。 因式分解时，注意每一项的系数和符号，避免漏项或错项。 因式分解后，及时将等式设置为零并求解。 考点讲练1：解一元二次方程—直接开平方法 【精讲题】（23-24九年级上·新疆巴音郭楞·阶段练习）解方程 ①           ② ③          ④ ⑤         ⑥ ⑦           ⑧． 【答案】①，；②, ；③，；④，；⑤；⑥，；⑦，；⑧， 【思路点拨】考查一元二次方程的解法，要根据方程形式的不同灵活运用不同的方法来解方程：①直接开平方法；②、③、④用因式分解法；⑤⑥⑦⑧去括号，移项化为一般形式，进而求解． 常用的方法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法，根据题目选择合适的方法是解题的关键． 【规范解答】解：①， ∴， ∴，； ②， ∴， ∴或， ∴, ； ③，即， ∴，； ④，即 ∴，   ∴，； ⑤， ， ， ，   ∴； ⑥， ， ， ∴，； ⑦， ， ∴，； ⑧ ， ∴，． 【举一反三练1】（23-24九年级上·湖南株洲·期中）解下列一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【思路点拨】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择恰当的解法是解题的关键． （1）用直接开方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）先将方程化为一般式，再用因式分解法求解即可． 【规范解答】（1）解： ，； （2）解： 或 ，； （3）解： 或 ，； （4）解： 化简整理，得 或 ，． 【举一反三练2】（23-24九年级上·江苏南通·开学考试）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【思路点拨】本题考查解一元二次方程： （1）直接开方法解方程即可； （2）配方法解方程即可． 【规范解答】（1）解： ∴； （2） ∴，． 【举一反三练3】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【思路点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 用配方法解一元二次方程； 用配方法解一元二次方程； 用直接开平方法解一元二次方程； 用因式分解法解一元二次方程． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：， ， ， ，； （4）解：， ， 或， ，． 考点讲练2：解一元二次方程—配方法 【精讲题】（23-24九年级上·四川成都·开学考试）若分式的值为，则的值为 ；若，则 ． 【答案】 1 或 【思路点拨】根据分式值为的条件及配方法解一元二次方程即可求得答案． 本题考查分式值为的条件及配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【规范解答】解：由分式值为的条件可得且， 解得：； ， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：或； 故答案为：；或． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）选择适当的方法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【思路点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， ∴， ∴，． 【举一反三练2】（23-24九年级上·山东临沂·开学考试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)； (3)； (4) 【思路点拨】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）用公式法解方程即可； （2）变形后利用因式分解法解方程； （3）配方解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【规范解答】（1） ∵， ∴， ∴， ∴ （2） ∴ ∴， ∴或， ∴； （3） ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （4） ∵， ∴， ∴， ∴ 【举一反三练3】．（23-24九年级上·山东聊城·开学考试）解方程 (1)；（用配方法） (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开方法，配方法，公式法，因式分解法是解题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可； （3）用因式分解法解方程即可； （4）方程整理后，用因式分解法解方程即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 或 ； （3）解： 或 ； （4）解： 或 ． 考点讲练3：配方法的应用 【精讲题】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【答案】A 【思路点拨】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可． 【规范解答】∵当时，该多项式的值为， ∴， 整理得，即 ∵， ∴，即， ∴， ∴， 四个选项中，只有A符合， 故选：A． 【举一反三练1】（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【思路点拨】本题主要考查配方法的运用，几何图形的面积的计算，乘法公式与几何图形面积的综合运用，理解题意，掌握乘法公式与几何图形的综合知识的运用是解题的关键． （1）根据材料提示，运用配方法即可求解； （2）结合矩形和正方形面积公式，利用整式的乘法分别算出、，再运用的结果的正负来判断大小，即可解题； （3）根据题意得到，利用矩形面积公式表示出，再结合题干求解方法即可解题． 【规范解答】（1）解：由题知，， 故答案为：，． （2）解：由题知，， ， ， ， ． （3）解：， 由题知，， 矩形的面积；      ， ， ， 当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 【举一反三练2】（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， (1)模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； (2)若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查了配方法的应用，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法和一次函数的性质． （1）根据题意把方程进行配方即可求解； （2）先根据配方法求出、，进而得到一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，最后利用三角形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解： 即， ， 解得：，； （2） 即 ， 解得， 将，代入一次函数，得， 令，则；令，则，解得； 该函数与轴的交点为，于轴的交点为 一次函数的图像与坐标轴交点所围成的三角形的面积为． 【举一反三练3】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7 (3)， 【思路点拨】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式． （1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可； （2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可； （3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7； （3）解：， ， ， ，， 解得，． 考点讲练4：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【精讲题】（23-24九年级上·河南周口·开学考试）已知关于x的方程． (1)求证:方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】(1)方程总有两个不相等的实数根 (2)5 【思路点拨】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析． （1）找出，及，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证． （2）把代入方程即可求，然后化简代数式再将代入所求的代数式并求值即可． 【规范解答】（1）关于的一元二次方程． ， 方程总有两个不相等的实数根； （2） ， 是此方程的一个根， 把代入方程中得到， 把代入得： 原式． 【举一反三练1】（23-24九年级上·重庆·开学考试）从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是3； ②若，，，且，，中最小值为，则； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，根据题中所给新定义运算、一元二次方程的解法、一元二次方程根的判别式可进行求解即可作出判断． 【规范解答】解：①若，，，则有：，，，所以，，为、3、7三个数中的一个数，故，，三个数中最大的数是7，原说法错误； ②若，，， 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，解得：，； 综上所述：若，，，且，，中最小值为，则；；故原说法正确； ③由题意的值为定值，只需检验即可，依题意可设，则有，，，且， 又有， ， ， ，显然， 给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第次操作的结果是，，，则的值为定值，说法正确； 综上所述，以上说法正确的是②③， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知5是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根 【答案】(1)证明见解析 (2)，方程的另一根为 【思路点拨】本题考查了根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系为：．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根． 【规范解答】（1）证明：∵， ， 无论取何值，， 则， ∴不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程可得， 解得：， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为． 【举一反三练3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有实数根； (2)设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【思路点拨】（）利用根的判别式求出即可； （）把原方程因式分解，求出方程的两个根，，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题； 本题考查了根的判别式，解一元二次方程和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：原方程可变为， 则方程的两根为，， ∴直角三角形三边为，，； 若为直角三角形的斜边时，则： ， ∴（负值已舍去）； 若为直角三角形的斜边时，则： ， ∴（负值已舍去）； 综上所述，的值为或． 考点讲练5：根据一元二次方程根的情况求参数 【精讲题】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【思路点拨】本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的根与判别式的关系，根据一元二次方程的定义可得，再根据方程有两个根可得，即可求解． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴，且， 故选：D． 【举一反三练1】（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）已知等腰的底边长为5，其余两边长恰好是关于的方程的两个根，则的值是（　　） A．2 B．2或10 C．4 D．4或10 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，求得，再将的分别代入一元二次方程求出腰长，结合三角形的三边关系，即可确定m的值． 【规范解答】解：∵等腰三角形的两腰相等， ∴方程有两个相等的实根， ，，， ， 解得：， ∴， 解得：， ，满足三角形的三边关系， 即m的值是2， 故选：A． 【举一反三练2】（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知一元二次方程有唯一实数根，求的值． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，分式的化简求值．熟练掌握一元二次方程根的判别式，分式的化简求值是解题的关键． 由一元二次方程有唯一实数根．可得，可求，通分进行减法运算，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【规范解答】解：∵一元二次方程有唯一实数根． ∴， 解得，， ， 当时，原式． 【举一反三练3】（2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，原方程可化为， 配方，得， 解得； （2）解：∵该方程有实数根， ∴， 解得， 即若该方程有实数根，的取值范围是． 考点讲练6：公式法解一元二次方程 【精讲题】（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路点拨】本题主要考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式和因式分解法是解题的关键． （1）先求出，再代入求根公式求解即可； （2）先移项提取公因式，再化简为即可求解． 【规范解答】（1）解：， 原方程的系数分别是，，， ， ， ，； （2）解： 或， 解得：，． 【举一反三练1】（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【思路点拨】本题考查解一元二次方程， （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【规范解答】（1）解： ∵， ∴， ∴，； （2）解： 移项得，， 即， 因式分解得，， ∴或， ∴，． 【举一反三练2】（23-24九年级上·河北承德·期中）用合适的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【思路点拨】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【规范解答】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：， 其中，，， ， ， ，． 【举一反三练3】（23-24八年级下·浙江·期中）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程整理后运用公式法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可 【规范解答】（1）解： ∵ ∴， ∴； （2）解：， ， ， 解得， 考点讲练7：因式分解法解一元二次方程 【精讲题】（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程； （1）先求出，再由求根公式，即可求解； （2）对方程左边进行因式分解，由的形式可得或，即可求解； 选用恰当的方法解方程是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得 ，，， ， 则， ，； （2）解：， 则或， 解得：，． 【举一反三练1】（23-24九年级上·广东清远·期末）（）用适当的方法解下列方程：．   （）已知反比例函数的图象经过点，求这反比例函数的表达式． 【答案】（），；（）反比例函数表达式为． 【思路点拨】（）利用因式分解法解答即可求解； （）把点代入计算求出即可求解； 本题考查了解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，正确计算是解题的关键． 【规范解答】解：（）∵， ∴， ∴或， ∴，； （）将点代入中得，， 解得， ∴反比例函数表达式为． 【举一反三练2】（23-24九年级上·四川成都·开学考试）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）， （2） 【思路点拨】本题考查解一元二次方程、解一元一次不等式组，熟练掌握解一元二次方程和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键． （1）先将方程变形，然后根据因式分解法可以解答此方程； （2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【规范解答】解：（1）， 移项，得：， ， ∴或， 解得，； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为． 【举一反三练3】（23-24九年级上·山东德州·开学考试）（1）计算：； （2）分解因式：； （3）解方程： ①； ②． 【答案】（1）1；（2）；（3）①，②或 【思路点拨】（1）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可； （2）先提取公因数，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）①根据解一元一次方程的一般步骤求解即可； ②利用因式分解法解一元二次方程即可． 【规范解答】（1）解： ； （2） 解： ； （3）① 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，； ② 解：， ∴或， ∴或． 【考点评析】本题考查二次根式的乘除混合运算、因式分解、解一元一次方程、解一元二次方程，熟练掌握相关运算方法是解题的关键． 考点讲练8：换元法解一元二次方程 【精讲题】（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2) (3)2025和2022 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【规范解答】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （3）解：， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为或． 【举一反三练1】（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【规范解答】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 【举一反三练2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1)， (2)，； 【思路点拨】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可． 【规范解答】（1）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故原方程的解为：，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，即， ， 方程无解； 故原方程的解为：，． 【举一反三练3】（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【思路点拨】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 考点讲练9：一元二次方程的根与系数的关系 【精讲题】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为1，方程的另一个根为0 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握这两个知识点是解题的关键； （1）计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断； （2）设方程的另一个根为x，由根与系数的关系即可求出k的值及方程的另一个根． 【规范解答】（1）证明：， 则一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为x， 由根与系数的关系得：， 解得：； 即k的值为1，方程的另一个根为0． 【举一反三练1】．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意得出该方程为，由一元二次方程根的判别式得出，设两实数根为，，则，，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于的方程，解方程即可得出答案． 【规范解答】解：根据题意可知，该方程为， ∵方程的两实数根的平方和为12， ∴， ∴， 设两实数根为，，则，， ∵ ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根和b的值分别是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)，另一个根为 【思路点拨】本题考查根的判别式和根与系数关系．（1）中掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；（2）熟记韦达定理是解题关键． （1）判断即可证明； （2）根据韦达定理即可得出另一根，然后即可确定b的值． 【规范解答】（1）解：， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为x，则 ，解得， 故该方程的另一个根为， ， ∴． 【举一反三练3】（23-24九年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，解不等式即可得出答案； （2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可； （3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合题意求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：根据题意得：，     解得； （2）解：∵是符合条件的最大整数， ∴的值为6， ∴方程变形为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴的值为． 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查解一元二次方程，运用因式分解法求解方程即可 【规范解答】解：， ， ， ∴， 故选：B 2．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，根据根与系数关系可得，，代入即可解答． 【规范解答】解：∵是一元二次方程，即的两个实数根， ∴，， ∴． 故选：D 4．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，且满足，，那么的值为 . 【答案】 【思路点拨】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键．由a、b满足的条件可得出a、b为方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中可求出结论． 【规范解答】解：，且满足，， 、b为方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）若多项式可以分解为，则在关于x的方程中，的值为（    ） A．3或 B．或1 C． D．1 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了因式分解的定义和多项式乘多项式的运算及解一元二次方程，正确将原式变形是解题关键．直接利用多项式乘法将原式变形进而计算得出答案． 【规范解答】解：多项式可以分解为， ， ， ， ， 故选：D． 6．（23-24八年级下·云南·期末）已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【规范解答】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 将代入方程，得， 即， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·吉林·期中）嘉琪准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定范围，设中为，根据判别式的意义得到，然后解不等式求出后找出最大整数即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【规范解答】解：设中为， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴“”的最大值为， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的方程有两个不相等的整数根，则正整数m的值是 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握含参因式分解的方法；根据因式分解，求出方程的两根，再根据是整数，且求解即可； 【规范解答】关于x的方程有两个不相等的整数根， ，， 解得， m是正整数，方程有两个不相等的整数根， 是整数，且， ， 故答案为：1； 9．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： (1)． (2) (3) 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【思路点拨】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． 【规范解答】（1）解：， 移项得，， 因式分解得，，即， ∴或， ∴或． （2）解：， 因式分解得，，即， ∴或， ∴或． （3）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴或． 10．（23-24九年级上·河北承德·期中）阅读下面的例题， 范例：解方程， 解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）． （2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是， 请参照例题解方程 【答案】， 【思路点拨】本题考查的是解一元二次方程，绝对值的意义，掌握因式分解法解方程式解题关键．参照例题，根据绝对值的意义分两种，利用因式分解法分别求解即可． 【规范解答】解： ①当时，此时， 原方程化为，即 解得：，（舍）； ②当时，此时， 原方程化为，即， 解得：，（舍）， ∴原方程的根是，． 11．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知关于x的方程． (1)当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根、满足：，求k的值． 【答案】(1)当时，方程有实数根 (2) 【思路点拨】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元一次方程不等式，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；根据根与系数的关系结合找出关于k的一元一次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出、，结合k的取值范围可得出、均为正数，根据可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值． 【规范解答】（1）解：关于x的方程有实数根， ， 解得：， 当时，方程有实数根． （2）解：方程的两个实数根为、， ， ， 、均为正数， ，即， 解得： ． 12．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1)倍根方程 (2)c的值是8 (3)方程的两个根是，或， 【思路点拨】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程； （2）设方程的两个根为，，由倍根方程”的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （3）设一元二次方程，的两个实数根分别为、，由题意可知，或，，即可得到方程的根是2、4或、． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． 【规范解答】（1）解：解方程得： ，， ， 方程是倍根方程； 故答案为：“倍根方程”； （2）解：程的两个根为，， 一元二次方程是“倍根方程”， ， ，， ，， ， ； （3）解：元二次方程，的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ，， ， 解得或（舍去）， ， 或，， ， 解得或（舍去）， ， 这个方程的根是2、4或、． 培优题真题汇编练 13．（2024·广东广州·二模）关于y的一元二次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 先把方程转化成一般形式，然后提取公因式y分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，求出方程的解即可． 【规范解答】解：， ， ， ，， 故选：D． 14．（2024·山东·模拟预测）已知实数、均不为，，，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程以及求代数式的值，由，解得或，从而求得的值，代入即可得解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴或， 经检验或都是的解， 当时，，， 当时，，， ∴的值为， 故选D． 15．（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 由题意知，，然后判断作答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 16．（2024·上海宝山·三模）下列说法正确的是（   ） A．若，则只需满足 B．方程的两根之积为1 C．边长为5的菱形的两条对角线交于O点，且、的长分别是关于x的方程的两根，则m等于 D．关于x的方程有实数根，则a满足且 【答案】C 【思路点拨】由，可得，即，可判断A的正误；由，可得，无实数根，可判断B的正误；由边长为5的菱形的两条对角线交于O点，可得，由、的长分别是关于x的方程的两根，可得，则，可求，则，计算求出满足要求的解，进而可判断C的正误；关于x的方程有实数根，分为一元一次方程，一元二次方程两种情况，求解作答，进而可判断D的正误． 【规范解答】解：∵， ∴，即，A错误，故不符合要求； ∵， ∴，无实数根，B错误，故不符合要求； ∵边长为5的菱形的两条对角线交于O点， ∴， ∵、的长分别是关于x的方程的两根， ∴， ∴， 解得，， ∴， 解得，或（舍去），C正确，故符合要求； 关于x的方程有实数根，分为一元一次方程，一元二次方程两种情况； 当为一元一次方程且有实数根，则，即； 当为一元二次方程且有实数根，则，， 解得，且； 综上所述，，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【考点评析】本题考查了二次根式有意义的条件，一元二次方程的根与系数的关系，菱形的性质，完全平方公式的变形，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，一元二次方程的根与系数的关系，菱形的性质，完全平方公式的变形，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义是解题的关键． 17．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）方程，如同一首精致的诗，以简洁的线条勾勒出深沉的数学之美．已知a、b满足，，，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握根与系数的关系成为解题的关键． 先说明a、b是方程的解，然后根据根与系数的关系可得，然后再对变形后代入计算即可． 【规范解答】解：∵a、b满足，，，且， ∴a、b是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】10 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义、完全平方公式是解决本题的关键．根据题意，得，根据根与系数的关系可得，，整体代入变形后的代数式即可求出代数式的值． 【规范解答】解：根据题意，得， ∴ ∵， ∴ 故答案为：10． 19．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在y轴的右侧作正方形，其对角线交点在第一象限，反比例函数的图象经过点A和I，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】过点A作于点N，过点C作轴于点M，设、，其中，，，证明，可得、，利用中点坐标公式可得，即，再求解即可． 【规范解答】解：过点A作于点N，过点C作轴于点M， 设、，其中，，， 则，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴、， ∵点是正方形对角线的交点， ∴点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A和I， ∴， 整理得，， ∵点在第一象限， ∴，， 将等式两边同时除以得，， 设，则， ∴， 整理得，， 解得，（舍）， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的性质与判定、解一元二次方程，根据正方形的性质正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】2或3 【思路点拨】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 21．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【答案】0或4 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，根据“积和点”定义可得，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解． 【规范解答】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：， 代入得：， 整理得：， 由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，． 故答案为：0或4． 22．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，在锐角中，，点，在外部且与点在直线同侧，满足且，连接、． (1)证明：； (2)如图，，的延长线交于点，过作于点，连接； 线段，，有何数量关系？猜想并证明你的结论； 在的条件下，若，，则的长度为？ 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【思路点拨】本题是三角形题，主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式，解一元二次方程等知识点，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）根据可证明； （2）过点作于，证明，由全等三角形的性质得出，，再证明，得出，即可得出结论；由全等三角形的性质及四边形的面积可得出，根据三角形的面积公式及已知等量关系列出方程，解一元二次方程即可求出答案． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，证明如下： 如图，过点作于， ， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ； ， ， ， 又， ， ， ， 整理，得：， 分解因式，得：， 解得：（负值不符合题意，故舍去）， 的长度为． 23．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值：，其中是方程的解．下面是小明同学的部分解答过程： 解：原式① ② ③ ④ ⑤ …… (1)第②步的依据是（    ） A．等式的基本性质    B．分式的基本性质    C．乘法分配律    D．乘法交换律 (2)小明第______步出现错误，请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)B (2)⑤，，1 【思路点拨】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件、解一元二次方程，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的基本性质解答即可； （2）根据约分法则找出出现错误的步骤，根据分式的混合运算法则把原式化简，解一元二次方程求出，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算得到答案． 【规范解答】（1）解：第②步的依据是分式的基本性质， 故答案为：B； （2）解：小明第⑤步出现错误， 解答过程如下：原式 ， 解方程，得，， 由题意得：， ， 当时，原式， 故答案为：⑤． 24．（23-24九年级上·福建莆田·开学考试）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为， 则，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系直接作答即可； （2）根据根与系数的关系，得到，整体代入计算即可； （3）由题意可知，为方程的两个根，根据根与系数的关系，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：． （2）∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）∵实数s、t满足，，且， ∴可以看作方程的两个根， ∴，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$